2017-2018学年高二下学期期末考试试卷 数学文科 (含答案)

沈阳二中2018——2018学年度下学期期末考试

高二（17届）数学(文)试题

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.函数)13lg(13)(2++-=

x x

x x f 的定义域为（ ）

A ),3

1

(+∞- B )1,3

1(- C )3

1,31(- D )3

1,(--∞ 2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则=θ2tan （ ） A

34 B 43 C 34- D 4

3- 3.在ABC ?中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AC AB AN μλ+=,则μλ+的值为（ ） A

21 B 31 C 4

1

D 1 4.已知0>a ，函数ax x x f -=3

)(在),1[+∞是单调增函数，则a 的最大值是（ ）

A 0

B 1

C 2

D 3

5若实数,a b 满足12

a b

+=，则ab 的最小值是（ ）

A

B 2

C

D 4

6. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )

A ．24

B ． 32

C ． 48

D ． 64

7. 函数ln ||

cosx

y x =

的图象大致是（ ）

A B C D

8.某货轮在A处看灯塔S在北偏东30?方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75?方向，则此时货轮看到灯塔S的距离为_________海里

A 3

12

B C 3

100 D 2

100

9. .已知)

,0(π

θ∈，则

θ

θ2

2cos

9

sin

1

+

=

y的最小值为( )

A 6

B 10

C 12

D 16

10.在斜三角形ABC中，C

B

A cos

cos

2

sin-

=

且tan tan1

B C

?=则角A的值为（）

A

4

π

B

3

π

C

2

π

D

3

4

π

11.若函数2

()log(5)(01)

a

f x x ax a a

=-+>≠

且满足对任意的

12

,x x，当

122

a

x x

<≤时，21

()()0

f x f x

-<，则实数a的取值范围为（）

A

(-∞

B )

+∞

C [1

D (1

12.设函数x

a

x

x

x

f ln

1

2

)

(2+

+

-

=有两个极值点

2

1

,x

x，且

2

1

x

x<，则)

(

2

x

f的取值范围是（）

A )

4

2

ln

2

1

,0(

+

B )

4

2

ln

2

1

,

(

-

-∞ C )

,

4

2

ln

2

1

(+∞

-

D)0,

4

2

ln

2

1

(

-

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.设变量x,y满足约束条件34

2

y x

x y

x

≥

?

?

+≤

?

?≥-

?

，则3

z x y

=-的最大值为________

14.若将函数)

4

2

sin(

)

(

π

+

=x

x

f的图像向右平移?个单位，所得图像关于y轴对称，则?的最小正值是_______

15. 已知A B C

?的外接圆圆心为O，满足n

m+

=且2

3

4=

+n

m

，6

,3

4=

=,则=

?_____________

16已知函数??

?>-≤-=2

,)2(2,2)(2

x x x x x f .函数),2()(x f b x g --=其中R b ∈，若函数

)()(x g x f y -=恰有4个零点，则b 的取值范围是___________

三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题10分）

设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.

(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期; (Ⅱ)求单调递增区间;

18. （本小题12分）

已知函数()x f x a =的图象过点(1,12),且点2(1,)n a n n

- (n ∈N *)在函数()x

f x a =的图象上.

(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令11

2

n n n b a a +=-

,若数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:5n S <

19. （本小题12分）

已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈

(1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的极值. 20. （本小题12分）

如图：梯形ABCD 中，AB//CD ，BC=6，22tan -=∠ABC （1）若4

π

=∠ACD ，求AC 的长；（2）若BD=9，求BCD ?的面积；

A

B

C D

21. （本小题12分） 已知函数f (x )=x a x -2log 2，过定点A (2

1

,21)的直线与函数f (x )的图象交于两点B 、C ，且．=+ （1）求a 的值；

（2）若n S =n n

n f n f n f ),1()2()1(-+?++∈N *

，且n ≥2，求n S ．

（3）已知数列{}n a 满足：123a =

，n

a 1

=(S n +1)(S n +1+1)，其中n ∈N *．T n 为数列{a n }的前n 项和，若)1(1+<+n n S T λ对一切n ∈N *都成立，试求λ的取值范围．

22. （本小题12分） 已知函数f(x)＝

x

e x 1

ln +，(e ＝2.71828…是自然对数的底数)。 (1)求f(x)的单调区间；

(2)设g(x)＝)(x f x '，其中)(x f '为f(x)的导函数．证明：对任意x>0，g(x)<1＋e －2.

沈阳二中2018——2018学年度下学期期末考试

高二（17届）数学(文)试题答案

一． 选择题：

1. B 2 C 3 A 4 D 5 C 6 D 7 C 8 B 9 D 10.A 11 D 1

2.D

二．填空题： 13. 8 14. 83π 15 36 16. 24

7

<

解:(Ⅰ)(1cos 2)()6

2)326

x f x x x π

+==++,

故f (x )的最小正周期π=T ,

由 522226

k x k π

ππππ+≤+≤+ 得f (x )的单调递增区间为 511

[,]()1212

k k k Z ππππ++∈ 18. (1)∵函数f (x )=a x

的图象过点(1,12

),

∴a =12,f (x )=(12

)x .

又点(n -1,a n n 2)(n ∈N *)在函数f (x )=a x

的图象上,从而a n n 2=12n －1,即a n =n 22

n －1.

(2)证明:由b n =

n ＋

2

2

-n 22=2n ＋1

2

得,

(3)S n =32+522++2n ＋1

2n ,

则12S n =322+523++2n －12n +2n ＋12

n ＋1, 两式相减得:12S n =32+2(122+123++12n )-2n ＋1

2

n ＋1,

1

12122

11]

)21(1[4122321+-+--

-+=n n n n s ∴S n =5-2n ＋5

2

n ,

025

2>+n

n

∴S n <5 19. 函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()1'=-

a f x x

. (Ⅰ)当2=a 时,()2ln =-f x x x ,2

()1(0)'=-

>f x x x

,

(1)1,(1)1'∴==-f f ,

()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ,

即20+-=x y .

(Ⅱ)由()1,0-'=-

=>a x a f x x x x

可知: ①当0≤a 时,()0'>f x ,函数()f x 为(0,)+∞上的增函数,函数()f x 无极值; ②当0>a 时,由()0'=f x ,解得=x a ;

(0,)∈x a 时,()0'f x

()∴f x 在=x a 处取得极小值,且极小值为()ln =-f a a a a ,无极大值.

综上:当0≤a 时,函数()f x 无极值

当0>a 时,函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ,无极大值

20.（1）Q tan ABC ABC ∠=-∴∠为钝角，且1

sin 33

ABC ABC ∠=

∠=- //,4

AB CD BAC ACD π

∴∠=∠=

Q ,在ABC ?中，

,8sin sin BC AC AC BAC ABC

==∠∠;

(2)

//,AB CD ABC BCD π

∴∠+∠=Q ,

1cos cos 3

BCD ABC ∠=-∠=

,

sin sin BCD ABC ∴∠=∠=

,在BCD ?中，213681cos 326CD BCD CD +-∠==??,

24450,9CD CD CD ∴--=∴=,1

69sin 2

BCD S BCD ?=???∠=

21. 1）证明：∵0

=+AC AB ∴A 是BC 的中点．设A (x ,y )，B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2),

由21(x 1+x 2)=2

1，得x 1+x 2=1，则x 1=1-x 2或x 2=1-x 1． （2分） 而

21=21(y 1+y 2)=21[f (x 1)+f (x 2)]=21( log 22

22112log 2x a x x a x -+-) =

21(1+log 222211log x a x x a x -+-)，∴log 2=2

2

11x a x x a x -?-0，

因此λ＞21，即λ的取值范围是（,2

1

+∞）．

22. (1)得f ′(x )＝

1

x e x

(1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，

当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x >0，

所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.

因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明：因为g (x )＝xf ′(x )．

所以g (x )＝1

e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．

由(2)h (x )＝1－x －x ln x ，

求导得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －lne －

2)，

所以当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2.

又当x∈(0，＋∞)时，0<1

e x<1，

所以当x∈(0，＋∞)时，1

e x h(x)<1＋e

－2，即g(x)<1＋e－2. 综上所述结论成立．