高二数学基本概念——第13章 复数

第13章复数

13.1 复数的概念

现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：

（1）i2=-1；

（2）实数可以与i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。

这样就解决了前面所提出的问题，即-1可以开平方，且－1的平方根为±i.

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.

复数集

全体复数所成的集合叫做复数集.用C表示复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称

为复数a+bi的实部（记作Rez）与虚部（记作Imz），1与i分别是实数单位和虚数单位，

当b=0时，a+bi就是实数，

当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。

这样实数集就是复数集的一个子集。它们的关系如下：

(0)()

(,)(0)(0)(0)b a b i a b R a b a ?????

?=?

??+????

∈?

=??≠?

?≠??

整数

有理数实数分数复数无理数无限不循环小数纯虚数虚数非纯虚数用集合之间的关系来表示自然数集、整数集、

有理数集、实数集、复数集

复数相等的定义

根据两个复数相等的定义，设a , b , c , d ∈R ，两个复数a +bi 和c +di 相等规定为a +bi =c +di .

由这个定义得到a +bi =0 .两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

a c

b d =???=?

00

a b =???=?如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等.

复数z=a+bi 有序实数对(a,b)

直角坐标系中的点Z(a,b)

x

y

o

b

a

Z(a,b)

建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x 轴------实轴y 轴------虚轴

（数）

（形）------复数平面

(简称复平面)

一一对应

z=a+bi （一）复平面

复数z=a+bi

复平面中的点Z(a,b)

一一对应

OZ

为起点的向量复平面上以原点（二）复数的向量表示

O

a b

Z(a,b)

x

y

实数绝对值的几何意义:能否把绝对值概念推广到复数范围呢？

X

O

A

a

| a | = | OA |实数a 在数轴上所对应的点A 到原点O 的距离。x

O

z =a +b i y

| z | = |OZ |复数的绝对值复数z=a +b i 在复平面上对应的点Z(a ,b )到原点的距离。

(复数的模)的几何意义:

Z (a ,b )

??

?<-≥=)

0()

0(a a a a 2

2b a +=（三）复数的模

一、复数加法与减法的运算法则

(a +b i ) + (c +d i ) = (a +c ) + (b +d )i 很明显，两个复数的和仍然是一个复数容易验证：对于任意，，∈C ，有

Z 1Z 2Z 3+ = + ，

Z 1Z 2Z 2Z 1Z 3( + )+ = +( +) .

Z 1Z 2Z 3Z 1Z 21、复数加法的运算法则

(a +b i )－(c +d i ) = x+y i ，2、复数减法的运算法则

复数减法规定是加法的逆运算(c +d i )+(x+y i ) = a +b i

，

由复数相等定义，有

c +x=a ，

d +y=b

由此，x=a －c ，y=b －d

∴(a +b i )－(c +d i ) = (a －c )+ (b －d )i (a +b i )±(c +d i ) = (a ±c )+ (b ±d )i

思考：设z =a +bi (a ,b ∈R ),那么

定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z =a +bi 的共轭复数记作?

z z +=,z z a bi

=-即?

z z -=z z z z z z z z 12121212

,+=+-=-另外不难证明:

3、共轭复数

|

|||z z =

1.复数的乘法法则：

2

ac adi bci bdi +++)()ac bd bc ad i

=-++（(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把换成－1，然后实、虚部分别合并.

说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；

i 2(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律

即对于任何z 1 , z 2 ,z 3 ∈C,有

,

()(),

().

z z z z z z z z z z z z z z z z z ?=???=??+=+1221

1231231231213()()a bi c di ++=

2

2|z ||z |z z ==重要公式：1

z z 1|z |==时，特别地：当2、复数的乘方

*

21N n m C;z z z ∈∈、、、对于任何n m n m z z z +=?mn

n m z z =)(n

n n z z z z 2

121)(?=?1

i 0=规定：

=

===5321i i i i 算一算：i i -1-1

====∈+++34n 24n 14n 4n i i i i ,N n 思考：对1i

1-i

-3.复数除法的运算法则

的商：

除以复数复数0)di c (di c bi a ≠+++=++di

c bi

a

高中数学基本概念

_

2

z z z

?=2

121z z z z ?=?n

n z

z =11

222

0z z z z z =≠（）21212

|||z z z z z -≤±≤+1|z 模的重要运算性质

4.复数的积与商的模

11

222

0z z z z z =≠（）n

n z

z =2

121z z z z ?=?_

2

z z z

?=_______

12z z ±=__

2

__1_______

21z z z z ?=?_____

__

11

2__

22

0z z z z z ??=≠ ???（）21212

|||z z z z z -≤±≤+1|z z ?是纯虚数z z

=z ?是实数0

z z z =-≠且__

__

12

z z ±5.复习

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13.5 复数的平方根和立方根

复数的平方根

di

c )bi a ()R

d ,c ,b ,a (di c bi a 2+=+∈++满足和如果复数则称a+bi 是c+di 的一个平方根问题：c+di 还有其它平方根吗？

-（a+bi ）

规定：1

i 2-=i

1±-∴的平方根为

复数的立方根

的立方根。

是则称满足、若复数2123

121z z ,z z z z =0

12111i

2

3

2122=+++-=ωωωωω）（的立方根。都是、、）（设2

11ωω、、的立方根只有

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13.6 实系数一元二次方程

实系数一元二次方程的根

对于一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a , b , c ∈R )，当△=b 2－4ac >0时, 方程有两个不同的实根，

x =；当△=b 2－4ac =0时, 方程

有两个相同的实根，x 1=x 2=；

2-b±b -4ac 2a b

-2a

（1）在复数集中的解

当△=b 2－4ac <0时, 方程有两个共轭

的虚数根，x =.

2-b±4ac -b i

2a

总结：对于一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a, b, c ∈R)

a

ac b a b x ac 242.,04b 122-±

-=>-=?有两个不相等的实数根时、当22b 40,.2ac b x a

?=-==-

、当时有两个相等的实数根

4、在有两个虚数根的情况下，韦达定理仍

然成立，即x 1+x 2= ；x 1x 2= .

b -a

c a

22

3b 40,.4ac b i(22ac b x a a ?=-<-=-±、当时有两个不相等的虚数根一对互相共轭的虚根）

因式的积：

总可以分解为两个一次故、总有两个解程在复数集中，实系数方0,x x 0ax 2212=++=++∴c bx ax c bx )

)((212x x x x a c bx ax --=++

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补充：

复数的模及其几何意义

复平面上两点间的距离()()

1222

()()()()z z a bi c di a c b d i a c b d ∴-=+-+=-+-=

-+-设两个复数则在复平面上对应的点为()()

12,,

,z a bi a b R z c di c d R =+∈=+∈12(,),(,)

Z a b Z c d 21211212

Z Z Z Z OZ OZ z z ==-=-

y

x

Z 2

Z 1

12

z z -

根据复数的几何意义及向量表示，将椭圆+y 2b 2x 2a 2=1 (a ＞b ＞0)，双曲线= 1 (a ＞0,b ＞0)-y 2b 2x 2a 2分别写成复数方程的形式。

答：|Z+C |+|Z -C |=2a ，其中C =

；a2-b2||Z+C |-|Z -C || =2a ，其中C =

；a2+b2用复数表示圆心在点P ，半径为r 的圆的方程。

解：如图，设圆心P 对应的复数是P=a +b i ，圆的半径为r ，圆心任一点Z 与复数P 对应的复数Z =a +b i 对应，那么

|Z -P |=r

这就是复平面内的圆的方程

利用复数的减法法则，把圆的方程

|Z -P |=r 化成用实数表示的一般形式为：

(x-a )2+(y-b )2=r 2

x

y

Z

P