复数与平面几何题(潘成华、周文化)
用复数解平面几何题的尝试
宿迁市泗洪县育才实验学校 周文化 文武光华数学工作室 潘成华
【摘要】用复数法解决某些平面几何题往往显得简洁而特别，尤其是那些规则的，容易得出较简洁表达式的问题。本文通过具体的问题谈谈对复数解平面几何题的若干尝试。 关键词 复数，共轭复数，平面几何
为使符号表示简明，文中约定使用复数时，①用AB 表示“A B -”，代替通常的写法AB ，②AB 表示复数AB 的共轭复数，③引入符号“1≡”与“i ≡”： y x 1≡表示Re(x)=Re(y),即复数x,y 的实部相等；y x i ≡表示Im(x)=Im(y),即复数x,y 的虚部部相等.
由此约定不难得出，“p 是实数”等价于“p i ≡0” ，“p 是纯虚数”等价于“p 1≡ 0”. 命题1. 设i b a x 11+=，i b a y 22+=，其中R ∈i i b a ，，2,1=i ； (1)y x ⊥? 011≡?≡?x y ； (2) y x //? 0i i x y ≡?-≡?. 证明：只证充分性
（1）当y x ⊥时，易知02121=+b b a a ；由i b a x 11+=可得i b a 11-=， 故i b a b a b b a a i b a i b a y ?-++=+?-=?)()()()(122121212211，
于是Re (y x ?)=2121b b a a +=0，即01≡?y x ，再由共轭复数的性质可得01≡?y x . (2)由(1)可知i b a b a b b a a y x ?-++=?)()(12212121， 当y x //时，易知01221=-b a b a ，
∴Im (y x ?)=1221b a b a -=0，即0i y x ≡?，再由共轭复数的性质可得0i y x ≡?-. 注：实际上y x ?的实部、虚部分别对应于向量)(11b a ，与)(22b a ，的内积、外积.
命题 2.△ABC 与△'
'
'
C B A 顺向相似(对应点的排列顺序相同)的充分必要条件可以是下列条件中的任一个：
①
'''
'C
A B A AC AB =，②''''C A AC B A AB =，③AC B A C A AB ?=?''''， ④0''''i AC B A C A AB ≡?+?且01''''≡?-?AC B A C A AB . 证明：只证充分性，设ey ex, A'C'y, AC x, A'B'AB ====即证.
B'
C
注：对顺向相似中任意两组对应的有向线段 b'a, b, a', ，都显然有
''b a b a =,'
'b b
a a =,
b a b a ?=?''，0''i b a b a ≡?+?，0''1≡?-?b a b a 成立. △ABC 与△'
'
'
C B A 反向相似(对应点的排列顺序相反)的充分必要条件可以是下列条件中的任一个：
①'''
'C A B A AC AB =，②''''C
A AC
B A AB =，③A
C B A C A AB ?=?''''，
④0''''i AC B A C A AB ≡?+?且01''''≡?-?AC B A C A AB . 证明：只证充分性，设y e ex, A'C'y, AC x, A'B'AB ====即证. 注：对反向相似中任意两组对应的有向线段 b'a, b, a', ，都显然有
''b a b a =,'
'b b
a a =,
b a b a ?=?''，0''i b a b a ≡?+?，0''1≡?-?b a b a 成立. 命题3. 若AB ∥CD ，Q 是直线CD 上的任一点，则Im （AB PQ ?）= Im （﹣AB PQ ?）为定值. 证明：只需证Im （AB PQ ?）为定值.
AB CQ AB PC AB CQ PC AB PQ ?+?=?+=?)(，
由AB CQ //可得0i AB CQ ≡? ，
∴AB PC AB PQ i ?≡?, 即Im （AB PQ ?）为定值.
特别的，当Q 在直线AB 上时，Im （AB PQ ?）= Im （﹣AB PQ ?）= Im （AB PA ?）= Im （PB PA ?）。
命题4. 若AB ⊥CD ，Q 是直线CD 上的任一点，则Re （AB PQ ?）= Re （AB PQ ?）为定值. 证明：只需证Re （AB PQ ?）为定值.
AB CQ AB PC AB CQ PC AB PQ ?+?=?+=?)(，
由AB CQ ⊥ 可得01≡?AB CQ ，
∴AB PC AB PQ ?≡?1, 即Re （AB PQ ?）为定值.
借助上述命题和复数的其他知识解决一些问题时思路往往显得很新颖直接.
A
B
C D
C'
C
问题1.已知：△ABC 与△ADE 反向相似，M 、N 分别是BD 、CE 的中点，BE 、CD 交于点X.
求证：（1）AX//MN.（2）若∠ABC=∠ADE=90O
，则AX ⊥BD 证明：（1）0)(2i i AC AD AE AB DC BE AX MN AX ≡?+?≡+?=? 因此，AX//MN 。
（2）
)()(21-?≡-?+=?AD BC AB AD DE BC BD MN ∴BD MN ⊥,进而BD AX ⊥.
问题2. 已知：Ｏ、Ｈ分别是△ABC 的外心、垂心，D 、E
是AB 、AC 的中点，C F ⊥AB 于F ，BG ⊥AC 于G ，
DE 、FG 相交于P ； 求证：AP ⊥OH
证明：由外心、垂心的性质易得BC AH AC OE AB OD ⊥⊥⊥,,；
由D 、E 是AB 、AC 的中点，C F ⊥AB 于F ，BG ⊥AC 于G 可得△AD E ∽△AGF ∽△ABC ，D E ∥BC ，于是又有AH ⊥DE.
∴01=?-?≡?-?=?AF AD AG AE AF AO AG AO FG AO ，可得FG AO ⊥； ∴011=?-?≡?-?≡?-?=?AD AF AG AE AO AF AH AE AO AP AH AP OH AP ， 可得OH AP ⊥.
D
B
B
C
问题3. （田开斌老师题）已知：□ABCD 中，CE 、DF 分别垂直BD 、AC 于E 、F ，FE 与BA 相交于G ； 求证：O G ⊥AD.
证明：分别过C 、D 作CM 、DN 垂直于OC 、OD ，且交OD 、OC 于M 、N ，
易知CE ∥DN ，DF ∥CM ，MN ∥EF ，Rt △EOC ∽Rt △DON, Rt △FOD ∽Rt △
可得
i k OC MC
OD DN ==，R k ∈； ∴0)(OG 01
)(OG AD OG i MC DN OD OC ≡+?
?≡+??⊥
而MN OE DC OA i MN DC OG MC DN OG ?+?≡+?=+?)()(
i OD OD OC i ON OE OD OC i MN OE CD OC ≡?+?≡?+?≡?+?=∴O G ⊥AD 。
问题4. （叶中豪老师题）已知:矩形ABCD 内接于⊙O ，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，BF 、DE 相交于P ，AP 交⊙O 于G ； 求证：E G ⊥FG
证明：连接CG ，易知C G ⊥AG ，则
GC
CF GE CF GC GC GE CF GC GC GE CF GE GC GE CF GC GE GF GE ?+=?+?≡?+?≡?+?=+?=?)(11)(由A P ⊥CG 可知 0)(0)(011i AP CF GE GC CF GE GF GE FG EG ≡?+?≡?+?≡??⊥； 而0)(i BC BE BP BC BC PE i BP CB AD PE i BP CF AP PE i AP CF GE ≡?=?+?≡?+?≡?+?≡?+， 所以原命题得证.
B
问题5. （叶中豪老师题）已知：AB=AC ，M 是BC 上一点，过点M 作MD 、ME 分别交AB 、AC 于D 、E ，且使得∠BMD=∠CME ， O 、P 、Q 分别是BC 、DE 、AM 的中点； 求证：O 、P 、Q 在同一直线上.
证明：易知△BMD ∽△CME ，
EM CE DA CE EM BD EM DA CE BD PQ OP i ?+?+?≡+?+=?)()(22 0)(i i DM CE EM BD EM CE ME DM CE EM BD ≡?+?=?++?+?≡，
∴O 、P 、Q 在同一直线上.
问题6. 已知：如图，△ABC ∽△ADE ，G 、H 分别是它门的垂心，直线CD 、EB 交于点M ； 求证：AM ⊥GH.
证明：由相似三角形及垂心的性质易知
ki AH
DE
GA BC ==，其中k 为实数， 因此，001i DE)(BC AM GH AM GH AM ≡+??≡??⊥；
EB AE CD AC DE BC MA EB ME CD MC ?+?=+?+?+?)(
0i i AB AE AD AC ≡?+?≡.
当MCD 、MEB 共线时，0i i EB ME CD MC ≡?≡?， 可得0i DE)(BC AM ≡+?，原命题得证. 另一种表达方式：
以A 为原点，B=1建立复平面，可设C 、D 、E 对应的复数分别为x e x e 、
、； 因此，GH AM GH AM ??⊥为纯虚数DE)(BC AM +??为实数；
EB AE CD AC DE BC MA EB ME CD MC ?+?=+?+?+?)( )1()(x e x e e x e -+-=显然为实数，原命题得证。
以上6个问题的解决基本上是借助命题3或命题4将问题归结至相似三角形中，再由命题2作出判断. 比较多的依赖于几何图形的形式，而更多的时候我们会充分借助其“数”的特征，用“数”来反映几何图形中的关系,再通过“数”的“运算”达成目的。
B C
A
C
ex
C
问题7. （潘成华老师题）已知正方形ABCD 、AEFG ，P 、Q 、R 分别是BF 、AE 、CG 的中点，求证：PQ=PR
且PQ ⊥PR
证明：∵ PR FG
BC FE i BA i FE BA i PQ i =+=?+?=+?
=?2
22 ∴PR PQ =,且PR PQ ⊥.
问题8. （潘成华老师题）已知：M 、N 分别是正方形ABCD 、AEFG 的中心，P 、Q 分别是CG 、BF 的中点，
PQ 、MN 交于点O,求证：∠POM=45°，且PQ=
2
2
MN. 设21i e -=,则PQ GF
CB AF CA e MN e =+=+?
=?2
2，原命题得证
问题9.. （潘成华老师题）以任意△ABC 三边为边向外作等边三角形ABD 、BCE 、CAF ，M 、Q 、N 分别是△ABD △BCE △CAF 的外心，U 、V 、P 分别是DF 、MN 、BC 的中点； 求证：UV ∥PQ 且UV=PQ.
证明：取AB 、AC 中点G 、H ，设AB 、BC 、CA 、GD 、PE 、HF 对应的复数分别为a 、b 、c 、x 、y 、z ，k= i 2
3-, 易知c k z b k y a k x ?=?=?= , ,，00=
++=++z y ,x c b a ； 由三角形外心的性质可知
03
1
312=++=++=++=
+z)y (x HF)PE (GD PQ NF MD PQ VU ，原命题得证. 注：由以上证明可以看出结论对向外作顺相似的三角形都成立.
F
E
O
F
D F
D
△CAF 的外心，以两边BC 为边向外作等边三角形BCE ，K 是△BCE 的外心； 求证：ML 、AK 相互平分.
证明：设O
O
i e 60sin 60cos ?+=， ∵3
33E
C B
D B A A F C A KL AM ++-+++-++=
+ )(3
33CA BC AB e CF EC AD C E A C D F ++=++=---++==0,
∴四边形AMKL 是平行四边形，ML 、AK 相互平分.
问题11. （潘成华老师题）.以任意△ABC 三边为边向外作等边三角形CAD 、BCE 、ABF ，U 、V 、X 、Y 分别是CB 、CA 、EF 、DF 的中点，直线UX 、VY 相交于P ； 求证：∠P+∠ACB=120°.
证明：设O
O
i e 60sin 60cos ?+=,
CA e BA CB e BF CE UX ?=+?=+=2
)(22，
CB e
AB CA e AF CD VY ?=+?=+=
2
)(22， ∴2
e e
e UX VY CB CA ==?，∠P+∠ACB=120°.
D B
D B P
F
的中点；
求证：△AMN 是等边三角形.
证明：设AB 、BC 、CA 对应的复数分别为a 、b 、c ，
60sin 60cos ?-=i e ,
则0)(2
12
2
2
2
=++?+=
+++
++?
=++-
++?=-?c b a e b
e c c e eb
a ea e CE
AC AF BE
AB AD e AN AM e
于是AM e AN ?=，可得∠MAN=60O
，且AM=AN ，△AMN 是等边三角形.
问题12. （潘成华老师题） .以任意△ABC 三边为边向外作等边三角形ABD 、BCE 、CAF ，G 、H 、I 、J 、K 、L 分别是AD 、DB 、BE 、EC 、CF 、FA 的中点，GJ 、HK 、IL 两两相交于X
求证：△XYZ 是等边三角形.
证明：设O
O
i e 60sin 60cos ?+=,
,2
2HK AF
BC DA AC BE DB e GJ e =++=++?=?
O
YXZ 60=∠∴；
同理O
XZY ZYX 60=∠=∠，原命题得证.
-eb C H
F D B
△CAF 的外心，以两边BC 为边向外作等边三角形BCE ，K 是△BCE 的外心； 求证：△AFB ∽△KLM.
证明：设AB 、BC 、CA 对应的复数分别为a 、b 、c ，o o o o i e i f 60sin 60cos )30sin 30(cos 3
3
+=+=
、, a c
e fa c
f fc fb a f b f CM KC BL KB KM KL -=-=+--=++=, KM
KL
a c e AB AF =-=, 故△AFB ∽△KLM.
问题14. （潘成华老师题）已知：△ABD 、△ACE 均为等边三角形，M 、N 是它们的中心，DN 、EM 相交于点F ，G 、H 分别是BC 、EM 的中点； 求证：F 、G 、N 、H 四点共圆 证明：作等边△PAE ，Q 是其外心，设O
O
i e 60sin 60cos ?+=
o
MHG e AE
MA AE MA e AE MA CE BM ME GH 6021)(21)(21
=∠?=++=++=，
o
DNG e AN
DA AN DA e AN
DA AQ BA DN
GN 602
1)(2
1)(2
1=∠?=
++=++=
∴o
DNG MHG 60=∠=∠，于是F 、G 、N 、H 四点共圆.
D B
D B
E
D
E
D
问题15. （潘成华老师题）已知：△ABD 、△ACE 均为等边三角形，G 、H 、I 分别是AE 、BC 、AD 的中点，XYZ
分别是△ABD 、△ACE 的外心；
求证：线段XY 中点Z 是△GHI 的外心. 证明：设O
O
i e 60sin 60cos ?+=，
?=+=+?
=?GI EA
AD EC AB e GH e 2
2△GHI 为等边三角形；
∴6
2D
B A E
C A Y X Z +++++=+=, 3)222(31I
H G D A E B E A ++=
+++++?=，
即Z 是△GHI 的外心.
问题16. （潘成华老师题） 已知：正方形ABED 、BCGF 、CAHI 、EFJK ，且KI 、JH 交于点P ； 求证：(1)DG 通过点P ，(2)∠DPK=45°.
证明：设AB 、BC 、CA 、EK 对应的复数分别为a 、b 、c 、d,易知a+b+c=0,d=b-a.
(1)b ia ib+d ic+a FJ BF AB HA HJ +=
--=+++=，ib a KI -=，b i a i DG )1()1(-++=； ∴KI HJ DG +=；
于是)(KI HJ PD KI PK HJ PH GD PD KI PK HJ PH +?-?+??+?+?=
KI DK HJ DH ?+?=ib)(a d)(a b)+(ia (ia+ic)-?++?=0)()(=-++=ib a b b ia b i
当PHJ 、PKI 分别共线时，KI PK HJ PH ?? 、
均为实数， 则GD PD ?也是实数，PGD 共线，即DG 通过D 点； (2)由(1+i)KI=DG 可得∠DPK=45°.
E
D
B
G
D G
D
问题17. （潘成华老师题）已知矩形ACHI 、BADE 、CBFG 两两相似，P 、Q 、R 、P'、Q'、R'皆为中点, 求证：PP'、QQ'、RR'共点.
证明：设AB 、BC 、CA 、AD 、BF 、CH 对应的复数为a 、b 、c 、x 、y 、z,
且c ki b,z ki a,y ki x ?=?=?=,0z y x =++,其中k 为实数；
由P 、Q 、R 是中点易知0RR'QQ'PP'
=++； 对任一点O 都有
QQ'Q'R'PP'P'R'?+?=?+?+?RR'OR'QQ'OQ'PP'OP'
0)(4
1
)()(41i b y a x b c z a x c ≡+---?+--+-?-=
； 当O 是PP'、QQ'的交点时，0i i QQ'OQ'PP'OP'≡?≡?， 于是0i RR'OR'≡?，即O 在RR'上，原命题得证.
问题18. （潘成华老师题）.以任意△ABC 两边AB 、AC 为边向内作等边三角形ABD 、CAF ，L 、M 分别是△ABD 、△CAF 的外心；
求证：BC 、ML 、FD.共点
证明：以A 为原点，设F 、B 对应的复数为x 、y, 2
31i
e +=
，31+=e f .
PFD 、PBC 共线?)()(x ey x p -?-与)()(ex y ex p -?-均为实数， 两式相加得y x x y e p --+?))(1(为实数,从而y x x y e p i ≡-+?))(1(； 于是0)3
1
(31)()()()(=?-=?-?≡-?--?≡-?-y x f f y x f f y x x y x f f x y f p fx fy fx p i i ∴PML 也共线，原命题得证.
H
E
F D
y
F
D
问题19. （潘成华老师题）已知△ABD 、△BCE 、△CAF 均为等边三角形，X 、Y 、Z 分别是FD 、DE 、EF 的中点，
求证：(1)AX 、BY 、CZ 共点； （2）设（1）中交点为J ，则∠AJY=∠BJZ=∠CJX =60°. 证明（一）：设CA ，CB 对应的复数为a 、b ，e=cos60°+i ?sin60°， 可得，2
22eb
a e ,CZ ea-
b ,BY b e a AX +=
=+-=
， (1) 设AX 交BY 于J ，CJ=j ，
2AX 与AJ 共线 b ea b)e (-a+j b)e (-a+(j-a)i i ≡??≡??0； 2BY 与BJ 共线b ea (ea-b) j (ea-b)(j-b)i i ≡??≡??0； 两式相加得011i i )b])a+([(e-≡≡?，
又1 =e e+，可得011)i )b]-e )a+([(e-j ]a+eb e ([j ≡?=-?，
∴CZ 、CJ 共线，从而AX 、BY 、CZ 共点.
(2) 由AX CZ e CZ BY e BY AX e =?-=?-=?- , , 可得∠AJY=∠BJZ=∠CJX =60°.
证明二:只证（1）设AB 、BC 、CA 对应的复数分别为a 、b 、c ，
o i o e 60sin 60cos ?-=,显然a+b+c=0,可得0=++CZ BY AX , BY AX CZ BY AX ?+?=?+?+?
02
2i a
e eb b c e ea c ≡-?--?
=(利用a+b+c=0,简单整理即得) 当0i i BY JB AX JA ≡?≡?时，0i CZ JC ≡?， ∴AX 、BY 、CZ 共点.
F
F
E
问题20.已知：OA=OD ，OB=OE ，∠AOD=∠BOE ，AE 、BD 交于C ，M 是△ABC 的外心. 求证：OM ⊥DE 证明（一）
设OA=a ,OB=b ,OC=c ,2OM=x ,|e |=1，取AD 、BE 中点X 、Y ， 易知OX ⊥AD ，OY ⊥BE ，Rt △AOX ∽Rt △BOY ；
由问题（1）可知OC ⊥XY ，可得01≡--+b)e b a (ea c ； 由M 是△ABC 外接圆的圆心可知
b)(a b)][x-(a b-a)e (a)][x-(c (b-ea)、c)][x-(b -+++ 、
三式相加得b)ea -b (ea b)e a-b-(ea c b-ea)e (x +++是纯虚数, ∴b-ea)e (x 也是纯虚数,OM ⊥DE.
证明（二）
取△ABC 三边中点P 、Q 、R 与AD 、BE 中点X 、Y ，易知MP 、MQ
、MR 分别垂直于AC 、BC 、AB,OX 、OY 分别垂直于AD 、BE ，OC ⊥XY ；
∵0=+++ED AE BA DB ，
∴)(2ED MO AE MP BA MR DB MQ ?+?+?+?
AE OA OC BA OB OA DB OC OB AE OP BA OR DB OQ ?++?++?+=?+?+?=)()()()(2 02)()(11≡?=+?≡+?+?+?=XY OC AE DB OC AE DB OC DA OB BE OA
∴当0111≡?≡?≡?AE MP BA MR DB MQ 时，01≡?ED MO ，原命题得证.
注：证法二实质上是将原问题转化为四线共点
D E
E
问题21.已知：△AOB 与△COD 反相似，G 、H 是它们的垂心； 求证：AC 、BD 、GH 共点.
证明：以O 为原点建立复平面，设A 、C 、B 、D 、G 、H 对应的复数分别为y f fx y e ex y x 、、、、、； MAC 共线?)()(x y x m -?-为实数?y x x y m i ≡-?)( ------①； MBD 共线?)()(ex y e ex m -?-为实数?y x e ex y e m i ?≡-?2
)( -----②；
设e f 21λλ+=,其中21λλ、为实数,则1λ?① +2λ?②得y x e fx fy m i ?+≡-?)()(2
21λλ， 而MGH 共线等价于y x f
fx fy m i ?≡-?2
)(,
因此只要对e 、f 证明存在实数21λλ、同时满足?
??+=+=221221e f e f λλλλ便可推出原命题，
解此方程组得???
????
--=--=e e f f e f e f )1()
1(1)(21λλ，由G 是垂心易知21λλ、为实数，故原命题得证.
M
A
问题22.已知：等腰△ABC 中，AC=BC ，D 是它的垂心，Ｏ是AB 的中点，P 是以AB 为直径的圆Ｏ上的一个动点，
求证：当P 在AB 上方时，∠APC=∠BPD ；而当P 在AB 下方时，∠APC+∠BPD=180°.
证明：由题易知Rt △AOD ∽Rt △COB,OA 2
=OD ·OC ；以Ｏ为原点，⊙Ｏ为单位圆建立复平面， 设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、P 对应的复数分别为-1、1、ki 、
i k
1
、p=θi θsin cos ?+，其中k 为负实数. θcos 21)1(11)1(11
2)1(111
1
?+-=-?+-=-?+-=--?
+-=
?
k k p p k k p p k k p i
k p p ki p BP
DP AP
CP 为实数； 当P 在AB 上方时，πθ<<0，
211=+>?BP
DP
AP CP
，可得∠APC=∠BPD ；
当P 在AB 下方时，πθπ2<<，
011=-
DP
AP CP ，可得∠APC+∠BPD=180
问题23.已知：圆 O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 是切点，M 、N 分别是AD 、BC 求证：M 、O 、N 三点共线.
证明：以Ｏ为原点，⊙Ｏ为单位圆建立复平面，设D 、E 、F 对应的复数分别为1、x 、y ，其中|x|=|y|=1.
连接OA 、EF 交于P ，易知P 为EF 的中点，Rt △OPF ∽Rt △OFA,OF 2
=OP ·OA ；
所以1=?A P ，而2y x P +=
,从而A +=2，同理，1
2
+=B 、12+=x C ， 进而)()1(21111y x xy y x y x N +++++=+++=
，)
(22
11y x y x y x M +++=
++=， ∴2
1
)()(221)(21++++++=+++=y x y x y x y x ON OM 为实数，M 、O
A B
B
C
问题24. （叶中豪老师题）已知：圆 I 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 是切点，M 是AD 的中点； 求证：若M 在⊙I 上，则
IC
IB
MC MB =. 证明：以I 为原点,⊙I 为单位圆建立复平面,设D 、E 、F 、M 对应的复数分别为x 、y 、z 、m ， 其中|x|=|y|=|z|=|m|=1, 易知A 、B 、C 对应的复数分别为
z y +2、x z +2、y x +2，而2
1x z y m ++=； 1)()()()()
(2)(2)(2)(22222
==+-++-+=+-+-=+-+-=++?-+-+=?EA FA D E D A D F D A y x m x z m y x m x z m x z y x m
y
x m x
z IB IC MC MB ；
∴
IC
IB
MC MB =.
结束语：个人认为不存在万能的方法，复数法亦如此，因此在使用复数法解平面几何题的时候应兼顾数与形两方面，以数助形，数形结合，还应让复数的方法融入到众多已有的几何结论中去，站在已有定理的基础上才能“看”得更远.