圆锥曲线的定义与性质(例题+讲解)

圆锥曲线的定义与性质(例题+讲解)
圆锥曲线的定义与性质(例题+讲解)

一、圆锥曲线的定义

1. 椭圆:到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆。

即:{P| |PF

1|+|PF

2

|=2a, (2a>|F

1

F

2

|)}。

2. 双曲线:到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲

线。即{P|||PF

1|-|PF

2

||=2a, (2a<|F

1

F

2

|)}。

3. 圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0时为椭圆:当e=1时为抛物线;当e>1时为双曲线。

二、圆锥曲线的方程。

1.椭圆:+ =1(a>b>0)或+ =1(a>b>0)(其中,a2=b2+c2)

2.双曲线:- =1(a>0, b>0)或- =1(a>0, b>0)(其中,c2=a2+b2)

3.抛物线:y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0)

三、圆锥曲线的性质

1.椭圆:+ =1(a>b>0)

(1)范围:|x|≤a,|y|≤b

(2)顶点:(±a,0),(0,±b)

(3)焦点:(±c,0)

(4)离心率:e= ∈(0,1)

(5)准线:x=±

2.双曲线:- =1(a>0, b>0)

(1)范围:|x|≥a, y∈R

(2)顶点:(±a,0)

(3)焦点:(±c,0)

(4)离心率:e= ∈(1,+∞)

(5)准线:x=±

(6)渐近线:y=±x

3.抛物线:y2=2px(p>0)

(1)范围:x≥0, y∈R

(2)顶点:(0,0)

(3)焦点:(,0)

(4)离心率:e=1

(5)准线:x=-

四、例题选讲:

例1.椭圆短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆中心到准线的距离是__________。

解:由题:2b=2,b=1,a=2,c= = ,则椭圆中心到准线的距离:= = 。

注意:椭圆本身的性质(如焦距,中心到准线的距离,焦点到准线的距离等等)不受椭圆的位置的影响。

例2.椭圆+ =1的离心率e= ,则m=___________。

解:(1)椭圆的焦点在x 轴上,a 2=m ,b 2=4,c 2=m-4,e 2= = = m=8。

(2)椭圆的焦点在y 轴上,a 2=4,b 2=m ,c 2=4-m ,e 2

=

= = m=2。

注意:椭圆方程的标准形式有两个,在没有确定的情况下,两种情况都要考虑,切不可凭主观丢掉一解。

例3.如图:椭圆 + =1(a>b>0),F 1为左焦点,A 、B 是两个顶点,P 为椭圆上一点,PF 1⊥x

轴,且PO//AB ,求椭圆的离心率e 。

解:设椭圆的右焦点为F 2,由第一定义:|PF 1|+|PF 2|=2a, ∵ PF 1⊥x 轴,∴ |PF 1|2+|F 1F 2|2=|PF 2|2, 即(|PF 2|+|PF 1|)(|PF 2|-|PF 1|)=4c 2,

∴ |PF 1|= 。

∵ PO//AB ,∴ ΔPF 1O ∽ΔBOA,

∴ = c=b a= c, ∴ e= = 。

又解,∵ PF 1⊥x 轴,∴ 设P(-c, y)。

由第二定义: =e |PF 1|=e(x 0+ )= (-c+ )= ,

由上解中ΔPF 1O ∽ΔBOA ,得到b=c e= 。

例4.已知F 1,F 2为椭圆 + =1的焦点,P 为椭圆上一点,且∠F 1PF 2= ,求ΔF 1PF 2的面积。

分析:要求三角形的面积,可以直接利用三角形的面积公式,注意到椭圆中一些量之间的关系,我们

选用面积公式S= absinC 。

解法 一:S Δ= |PF 1|2|PF 2|2sin

|PF 1|+|PF 2|=2a=20,

4336=4c 2=|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos ,

即(|PF 1|+|PF 2|)2-3|PF 1||PF 2|=4336,

|PF 1|2|PF 2|=

∴ S Δ= 3 3 = 。

解法二:S Δ= |F 1F 2|2|y P |= 3123y P =6|y P |,

由第二定义: =e |PF 1|=a+ex P =10+ x P ,

由第一定义:|PF 2|=2a-|PF 1|=10- x P ,

4c 2=|F 1F 2|2=(10+ x P )2+(10- x P )2-2(10+ x P )(10- x P )cos ,

144=100+ = , =64(1- )=643 ,

S Δ=6|y P |=63 = 。

注意:两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法都试试

例5.椭圆

+ =1 的焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上,

若线段PF 1的中点在y 轴上,

求:|PF 1|,|PF 2|。

分析:先要根据题意画出图形,然后根据已知量,将关于|PF 1|,|PF 2|的表达式写出来,再求解。

解:如图,∵O 为F 1F 2中点,PF 1中点在y 轴上,∴PF 2//y 轴,∴PF 2⊥x 轴,

由第 一定义:|PF 1|+|PF 2|=2a=4 ,

|PF 1|2-|PF 2|2=|F 1F 2|2,

(|PF 1|-|PF 2|)(|PF 1|+|PF 2|)=439=36,

例6.椭圆: + =1内一点A (2,2),F 1,F 2为焦点,P 为椭圆上一点,求|PA|+|PF 1|的最值。

解: |PA|+|PF 1|=|PA|+2a-|PF 2|=10+|PA|-|PF 2|≤|AF 2|+10=2 +10,

|PA|+|PF 1|=|PA|+10-|PF 2|=10-(|PF 2|-|PA|)≥10-|AF 2|=10-2

注意:利用几何图形的性质:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。

例7.已知:P为双曲线- =1(a>0, b>0)上一点,F

1,F

2

为焦点,A

1

,A

2

为其

顶点。求证:以

PF

1为直径的圆与以A

1

,A

2

为直径的圆相切。

证明:不妨设P在双曲线的右支上,设PF

1

中点为O', A

1

A

2

中点为O,|OO'|= |PF

2

|,圆O

半径为|A

1A

2

|,圆O'半径为|PF

1

|

由双曲线定义:|PF

1|-|PF

2

|=|A

1

A

2

| |PF

1

|- |A

1

A

2

|= |PF

2

|=|OO'|

∴两个圆相内切。

注意:可以自己证出P在左支时,两圆相外切。

例8.已知:过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P,Q 两点。求证:以线段PQ为直径的圆与准线相切。

证明:由定义知,如图:|PP'|=|PF|, |QQ'|=|QF|

|PQ|=|PP'|+|QQ'|,|PQ|= (|PP'|+|QQ'|),

故圆心到准线的距离等于圆的半径,即圆和准线相切。

五、课后练习

1. 椭圆+ =1上一点P与椭圆两焦点连线互相垂直,则ΔPF

1F

2

的面积为()

A、20

B、22

C、28

D、24

2. 若点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点,且P到渐近线距离为,则a+b=( )

A、-

B、

C、-2

D、2

3. 焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是()

A、y2=16x或x2=16y

B、y2=16x或x2=-16y

C、x2=-12y或y2=16x

D、x2=16y或y2=-12x

4. 已知:椭圆+ =1(a>b>0)上两点P、Q,O为原点,OP⊥OQ,求证:+

为定值。

六、练习答案:

1. D

2. B

3. C

4. 设P(|OP|cosα, |OP|sinα), Q(|OQ|cos(α+90°), |OQ|sin(α+90°)),利用两点距离公式及

三角公式,+ = 。

测试

选择题

1.设F1和F2为双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则DF1PF2的面积是()。

A、1

B、

C、2

D、

2.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影分别

为A1,B1,则∠A

1FB

1

等于()。

A、45°

B、60°

C、90°

D、120°

3.抛物线y2=2px (p>0)上任一点Q到顶点O的距离与到焦点F的距离之比是k,k的取值范围是()。

A、k>0

B、k≤

C、0≤k≤

D、k>

4.已知点A(-2,),设F是椭圆=1的右焦点,M是椭圆上一动点,求|AM|+2|MF|的最小值,并求此时点M的坐标()。

A、5,(2 ,)

B、10,(2 ,)

C、5,( ,)

D、10,( ,

)

5.若椭圆a2x2- y2=1的一个焦点是(-2,0),则a等于()。

A、 B、 C、 D、

答案与解析

答案:1、A 2、C 3、C 4、B 5、B

解析:

1、分析:在RtΔF1PF2中,= |PF1|3|PF2|,应考虑双曲线的定义。

解答:a=2,b=1,,

在RtΔF1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=20,

根据双曲线的定义:||PF1|-|PF2||=4,

两边平方:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|3|PF2|=16,

∴ 2|PF1|3|PF2|=4,|PF1|3|PF2|=2,

∴。答案选A。

2、分析:根据统一定义知,|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,故由图易得∠A1FB1=90°。

3、分析:设Q(x,y),由抛物线定义|QF|=x+ ,又|OQ|=

∴=k,即=k(x+ ),

平方整理得(k2-1)x2+(k2-2)px+ =0 (1)

由Δ=(k2-2)2p2-(k2-1)k2p2≥0,求得k2≤,

依题意k≥0,并注意到k=1时Q也存在(Δ不存在),

故所求k满足0≤k≤。

4、分析:∵ a=4,b=2 ,∴ c=2,e= = ,

设l是椭圆的右准线,则其方程为x=8,

由+ = <1知点A在椭圆的内部,过M作MN⊥l交l于N,

则由椭圆的第二定义有=e,|MF|= |MN|,

故|MA|+2|MF|=|MA|+|MN|。

由图知,当且仅当A,M,N三点共线时|MA|+|MN|最小,即|MA|+2|MF|最小,将y= 代入椭圆方程

得x=±2 ,

因M点在A右边,故x>-2,∴ x=2 。

∴ M点坐标为(2 ,)时,|MA|+2|MN|最小,最小值为|AN'|=10。

5、分析:首先将椭圆变形成标准方程:=1,

∴ a<0且=4,

解出a= ,∴选B。

立足基础知识提高思维层次

——谈解析几何的复习

解析几何在中学数学中有着重要的地位,近几年的高考数学试卷都有恰如其分的体现。高考选择题,填空题中的解析几何题大多概念性较强,小巧、灵活,思维多于计算。解答题则立意新颖,不落俗套,要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题,解决问题。

以下就解析几何的复习提几点建议。

1.牢固掌握圆锥曲线定义

圆锥曲线定义反映了圆锥曲线的本质属性,是构建有关知识网络的基础。同时,定义直接用于解题常常使一些看似很难解决的问题变得简单。

例1.点F是椭圆=1的左焦点,点P(-2, )在椭圆内,点M在椭圆上,求使

|PM|+2|MF|取最小值的点M的坐标。

分析:直接应用距离公式难以秦效,而根据椭圆第二定义,将|MF|用点M到左准线的距离来表示,

问题容易得解。(解略)。

例2.如图1,直线l1⊥l2,垂足为M,点N在l1上,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等。若ΔAMN为锐角三角形,|AM|= ,|AN|=3,|BN|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程。

分析:由定义知曲线段C是以N为焦点,l2为准线的抛物线的一段,以l1为x轴,MN的中垂线为y轴建立坐标系,则可设曲线段C所在的抛物线方程为y2=2px(p>0)。

由|AM|= |AN|=3,易得p=4,x A=1,又由|BN|=6,得x B=4,

∴曲线段C的方程为y2=8x (1≤x≤4,y>0)。

涉及曲线上的点到定点的距离和到定直线的距离或曲线上的点到两个定点的距离之和(差)的问题,可考虑用定义解。

2.重视基础知识,基本题型的复习

(1)注意课本典型例题、习题的延伸

教材中的例题、习题虽然大多比较容易,但其解法往往具有示范性,可延伸性,适当地编拟题组进行复习训练,有利于系统地掌握知识,融会贯通。

如教材中题:“过抛物线y2=2px焦点的一条直线和抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2,求证y1y2=-p2。”给出的结论是关于抛物线焦点弦的一条重要性质,而其证明方法也是解决有关直线与圆锥曲线的位置关系问题的最基本最典型的方法。

例3.设抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,且BC//x轴。证明直线AC经过原点O。

分析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由BC//x轴,且点C在准线x=- 上,所以点C的坐标为(-

,y2)。要证直线AC经过原点O,只需证明k OC=k OA,k OA= ,k OC= ,下面的问题是如何将

两者联系起来,这只要重复上述课本习题的解答过程,得y1y2=-p2,即可得= ,又

=2px1,∴= ,命题即得证。

(2)注意转化条件,优化解题方法

解析几何中有一些基本问题,如两直线垂直的证明、求弦的中点、弦长的计算等等,对这些问题的处理方法是熟知的。但有不少题目,所给的条件无法直接使用,或者使用起来比较困难,此时,可考虑对条件进行适当的转化,使解题过程纳入到学生所熟悉的轨道。

例4.设过原点的直线l与抛物线y2=4(x-1)相交于A、B两点,且以线段AB为直径的圆恰好经过抛物线的焦点F,求直线l的方程。

分析:以线段AB为直径的圆的方程不易求出,所以将“以线段AB为直径的圆经过焦点F”转化成等价条件“AF⊥BF”即可解决。

略解:设直线l:y=kx (k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),

由,得k2x2-4x+4=0,

令Δ>0,得-1,且k≠0。

由题意AF⊥BF,又F(2,0),∴2=-1。

再由韦达定理,可得k=±,∴ l:y=±x。

例5.已知直线l:y=mx+b (|m|<1)与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,与双曲线x2-y2=1相交于R,S两点,且|RP|=|PQ|=|QS|,求m,b的值。

分析:RP,QS都是直线l被不同的曲线截得的线段,其长度不易求出,而条件“|RP|=|PQ|=|QS|”与“RS和PQ的中点重合,且|RS|=3|PQ|”等价,问题就转化为求圆锥曲线截直线所得弦的中点和弦长的计算了(解略)。

例6.已知椭圆+y2=1,点A是下顶点,直线y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于M,N两点,当|AM|=|AN|时,求m的取值范围。

分析:“|AM|=|AN|”即“点A在MN的中垂线上”。

略解:设MN的中点为P,由,得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0,

当Δ>0,得m2<3k2+1.......①

x p= ,y p= ,由题意,MN⊥AP,

∴,∴ 2m=3k2+1.....②

②代入①得2m>m2,∴ 0

又由②,k2= >0,∴ m> ,∴ m的取值范围为( ,2)。

3.重视判别式的作用

有关直线与圆锥曲线的位置关系问题,通常都是利用一元二次方程来解决的。其中,根的判别式往往起着关键的作用。

例7.已知双曲线x2-y2=4,是否存在直线l,使l被双曲线截得的线段的中点为M(1,- )?

分析:设l:y+ =k(x-1),(k≠±1),即y=kx-(k+ ),代入x2-y2=4,

得(1-k2)x2+2k(k+ )x-(k2+k+ )=0.........(*)

由韦达定理,得=1,∴ k=-2,但k=-2时,方程(*)中Δ<0.

故不存在符合题意的直线l。

本题若不注意运用根的判别式进行检验,则极易得出错误的结论。通过图象也可知道过点M(1,- )且斜率为-2的直线与双曲线x2-y2=4无交点,但这只不过是“Δ<0”的几何反映。若用“点差法”解题,检验工作同样是必须的。

根的判别式也常常在求参数的取值范围中发挥重要的作用。利用判别式的符号对参数加以限制,进而求出参数的范围,前面的例6就是一个典型例子。

例8.已知抛物线y=x2-1上一定点B(-1,0)和两个动点P,Q,当P在抛物线上运动时,BP⊥PQ,求Q 点的横坐标的取值范围。

略解:设P(x 1,y 1)(x 1≠-1),Q(x 2,y 2),由BP ⊥PQ ,得 2 =-1。

∵ y 1= -1,y 2=

-1,

+(x 2-1)x 1+(1-x 2)=0.......(*)

关于x 1的二次方程(*)有实根,∴ Δ=(x 2-1)2-4(1-x 2)≥0,

∴ x 2≤-3或x 2≥1,又x 1≠-1,∴ x 2≠ ,

∴ x 2∈(-∞,-3)∪ ∪( ,+∞)。

4.强化数学思想方法的训练和运用 (1)函数与方程思想

解析几何的研究对象和方法决定了它与函数、方程的“不解之缘”,很多解析几何问题实际上就是建立方程后研究方程的解或建立函数后研究函数的性质。

例9.过点P(- ,0)作直线l 与椭圆 =1相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,求

ΔOAB 的面积的最大值。

分析:设l :x=my- ,代入椭圆方程得(3m 2

+4)y 2

-6 my-3=0,

设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),建立目标函数S= 2 2|y 1-y 2|=6 。

要求函数t= 的最大值,常用以下两种方法:

方法1:利用二次函数:

t= =-3( )2

+

,

当m=± 时,t max = 。

方法2:利用不等式性质

t= ,

当m=±时,t max= 。

从而S max= 。

(2)分类讨论思想

解析几何中,有些公式,性质是有适用条件的,解题时必须注意分类讨论、区别处理。例如直线方程的点斜式、斜截式中斜率必须存在,截距式只适用在两轴上的截距存在且不为零的情况,两点式不适用于与坐标轴垂直的直线。例9中,若设直线l:y=k(x+ ),则必须另外考虑l⊥x轴的情形。两直线l1,l2所成角的正切公式tanα=| |只有当l1与l2不垂直,且都有斜率时才适用。又如圆锥曲线的离心率的变化对曲线类型的影响,以及更一般的含参数曲线方程的讨论,距离、面积等最值问题的讨论等等,都要运用分类讨论思想去解决。

(3)数形结合思想

解析几何的本质就是将“数”与“形”有机地联系起来,曲线的几何特征必然在方程、函数或不等式中有所反映,而函数、方程或不等式的数字特征也一定体现出曲线的特性。

例10.求过点M(3,-2)且与圆x2+y2-4x-2y+4=0相切的直线l的方程。

分析:圆方程可化为(x-2)2+(y-1)2=1,设l:y=k(x-3)-2,

则l与圆心(2,1)的距离为=1,

即(k+3)2=k2+1,∴ 6k+9=1 .....①

k=- ,∴ l的方程为4x+3y-6=0。

注意到一次方程①是由二次方程退化而得,故立即想到问题可能失去一解(与x轴垂直的直线),经检验知直线x=3也合题意。

若将点M的坐标改为( ,1+ ),l:y=k(x- )+1+ ,则=1,

得3k2-2 k+1=0.......②

∴ k= ,切线l:x- y+ =0。

同样由方程得到一解,但由方程②得到两个等根,故可推断出点( ,1+ )应在已知圆上,问题只有一解。

若给出的点M在圆内,则相应的方程必定无实根。

解析几何题综合性强,对思维能力和运算能力要求较高,这就要求养成良好的学习习惯,自觉地运用数学思想方法进行分析、推理、运算,指导自己的复习。

解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质

4.2 解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1.(2010·安徽)双曲线方程为x 2 -2y 2 =1,则它的右焦点坐标为 ( ) A. ????22,0 B.????52,0 C.??? ?62,0 D .(3,0) 解析:∵原方程可化为x 21-y 2 1 2=1,a 2=1, b 2=12, c 2=a 2+b 2=32, ∴右焦点为????6 2 ,0. 答案:C 2.(2010·天津)已知双曲线x 2 a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一个 焦点在抛物线y 2 =24x 的准线上,则双曲线的方程为 ( ) A.x 236-y 2108=1 B.x 29-y 227=1 C.x 2 108-y 2 36=1 D.x 2 27-y 2 9 =1 解析:∵渐近线方程是y =3x ,∴b a = 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2=24x 的准线上, ∴c =6.② 又c 2=a 2+b 2,③ 由①②③知,a 2=9,b 2=27, 此双曲线方程为x 29-y 2 27=1. 答案:B

4.(2010·辽宁)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=() A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 解析:解法一:AF直线方程为: y=-3(x-2), 当x=-2时,y=43,∴A(-2,43). 当y=43时代入y2=8x中,x=6, ∴P(6,43), ∴|PF|=|P A|=6-(-2)=8.故选B. 解法二:∵P A⊥l,∴PA∥x轴. 又∵∠AFO=60°,∴∠F AP=60°, 又由抛物线定义知P A=PF, ∴△P AF为等边三角形. 又在Rt△AFF′中,FF′=4, ∴F A=8,∴P A=8.故选B. 答案:B 5.高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上,且相距10 m,则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为() A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 解析:如图1,假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆,P点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点,由于∠BPA=∠DPC,则Rt△ABP∽Rt△CDP,BA P A DC PC ,从而 PC=2P A.在平面APC上,以AC为x轴,AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2),则A(-5,0),C(5,0),设P(x,y),得(x-5)2+y2=2(x+5)2+y2 化简得x2+y2+50 3 x+25=0,显然,P点的轨迹为圆.

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式:2121 tan 1k k k k α-= + (3)弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =- = 或12AB y y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程: 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?

22 222b b p a a 椭圆:;双曲线:;抛物线: (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是( ) A 、双曲线; B 、双曲线的一支; C 、两条射线; D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时,S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时,S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?) (6)、记住焦半径公式:(1)00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为 “左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ,1342 22 2=+y x ;两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什 么?如果有两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,

数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析

数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

曲线方程及圆锥曲线典型例题解析 一.知识要点 1.曲线方程 (1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 化” (2)求曲线方程的常见方法: 直接法:也叫“五步法”,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。 转移代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点,另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参数法:根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别动点的坐

标,间接地把坐标x,y联系起来,得到用参数表示的方程。如果消去参数,就可以得到轨迹的普通方程。 2.圆锥曲线综合问题 (1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类:一类是有关长度和面积的最值问题;一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用,要注意观察、分析图形的特征,将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法: 设圆锥曲线C∶f(x,y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、 B(x2,y2)两点,则弦长|AB|为: 若弦AB过圆锥曲线的焦点F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|. 在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围。 (2)对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法。 (3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型,随着高考改革的深入,同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测,以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。

最新圆锥曲线的概念及性质

圆锥曲线的概念及性 质

第二讲 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1.(2010·安徽)双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为 ( ) A.?? ??22,0 B.????52,0 C.??? ?62,0 D .(3,0) 解析:∵原方程可化为x 21-y 2 1 2=1,a 2=1, b 2=12, c 2=a 2+b 2=32, ∴右焦点为??? ? 62,0. 答案:C 2.(2010·天津)已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一 个 焦点在抛物线y 2=24x 的准线上,则双曲线的方程为 ( ) A.x 236-y 2108=1 B.x 29-y 2 27=1 C.x 2108-y 236=1 D.x 227-y 2 9 =1 解析:∵渐近线方程是y =3x ,∴ b a = 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2=24x 的准线上, ∴c =6.② 又c 2=a 2+b 2,③ 由①②③知,a 2=9,b 2=27, 此双曲线方程为x 29-y 2 27=1. 答案:B

4.(2010·辽宁)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,P A⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|= () A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 解析:解法一:AF直线方程为: y=-3(x-2), 当x=-2时,y=43,∴A(-2,43). 当y=43时代入y2=8x中,x=6, ∴P(6,43), ∴|PF|=|P A|=6-(-2)=8.故选B. 解法二:∵P A⊥l,∴P A∥x轴. 又∵∠AFO=60°,∴∠F AP=60°, 又由抛物线定义知P A=PF, ∴△P AF为等边三角形. 又在Rt△AFF′中,FF′=4,

高考圆锥曲线典型例题(必考)

椭 圆 典例精析 题型一 求椭圆的标准方程 【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为45 3 和 25 3 ,过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25+3y 2 10=1或3x 210+y 2 5 =1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时,常用待定系数法,但是当焦点所在坐标轴不确定时,需要考虑两种情形,有时也可设椭圆的统一方程形式:mx 2+ny 2=1(m >0,n >0且m ≠n );(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时,经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上,抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1,C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标(x ,y ).由于记录失误,使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上,也不在抛物线C 2上.小明的记录如下: 据此,可推断椭圆C 1的方程为 . x 212+y 2 6 =1.

题型二 椭圆的几何性质的运用 【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F 1PF 2=60°. (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)e 的取值范围是[12,1).(2)2 1 F PF S =12mn sin 60°=3 3 b 2, 【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形,求解有关问题时,要注意正、余弦定理,面积公式的使用;求范围时,要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用,如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2 ,|PF 1|≥a -c . 【变式训练2】 已知P 是椭圆x 225+y 2 9=1上的一点,Q ,R 分别是圆(x +4)2 +y 2 =1 4 和圆 (x -4)2+y 2=1 4上的点,则|PQ |+|PR |的最小值是 .【解析】最小值 为9. 题型三 有关椭圆的综合问题 【例3】(2010全国新课标)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的 左、右焦点,过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率;

【整理】圆锥曲线的综合经典例题(有答案解析)

经典例题精析 类型一:求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点 横坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨:先确定椭圆标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用 待定系数法确定、(定量). 解析: 方法一:因为有焦点为, 所以设椭圆方程为,, 由,消去得, 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二:设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以, 由得,(点差法) 所以 又

故椭圆标准方程为. 举一反三: 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直, 且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方 程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为(), 并有,解之得,, ∴椭圆标准方程为 2.根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)与双曲线有共同的渐近线,且过点; (2)与双曲线有公共焦点,且过点 解析: (1)解法一:设双曲线的方程为 由题意,得,解得, 所以双曲线的方程为 解法二:设所求双曲线方程为(),

将点代入得, 所以双曲线方程为即 (2)解法一:设双曲线方程为-=1 由题意易求 又双曲线过点,∴ 又∵,∴, 故所求双曲线的方程为. 解法二:设双曲线方程为, 将点代入得, 所以双曲线方程为. 总结升华:先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、.在第(1)小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第(2)小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程,关键是求、,在解题过程中应熟悉各元素(、、、及 准线)之间的 关系,并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为 (). 举一反三: 【变式】求中心在原点,对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)一渐近线方程为,且双曲线过点.

(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案

一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄,则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 (C ) I (D ) 2. 设F 为抛物线 c : y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= ( k>0)与C 交于点P , PF 丄x 轴,则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C : T a 2 y_ 1(a 0,b 0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为 '、3,贝U C 的 焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C : 0)的左右焦点为 F i ,F 2,离心率为 丄3,过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3,则 C 的方程为() 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0)的一条渐近线平行于直线 I : y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为( 也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧, c 3x 2 1 C.— 25 占 八、、 的焦点, uu uuu OA OB A 、2 (其中O 为坐标原点),则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是( ) x 1 (D)

怎样学好圆锥曲线

怎样学好圆锥曲线(解析几何的高考热点与例题解析)圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系,从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点,主客观题必不可少,易、中、难题皆有.为此需要我们做到: 1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石,高考中的题目都涉及到这些内容. 2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹,此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法:定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查. 4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线,因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,就简化解题运算量. (2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法,因此要加强坐标法的训练. 考点一求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题。 解决这类问题常用定义法和待定系数法。 ●思路方法:一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤。 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用)

圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。

圆锥曲线历年高考题附答案解析

数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2 =1的一条渐近线方程为y =43x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )32 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 x 23+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A .43 B .75 C .85 D .3 4.(2006高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) B. C. 2 D. 4 5.(2006卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006卷)曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设

2011年高考数学二轮考点专题突破:圆锥曲线的概念及性质

第二讲 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1.(2010·安徽)双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为 ( ) A.?? ??22,0 B.????52,0 C.??? ?62,0 D .(3,0) 解析:∵原方程可化为x 21-y 2 1 2=1,a 2=1, b 2=12, c 2=a 2+b 2=32, ∴右焦点为??? ? 62,0. 答案:C 2.(2010·天津)已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一个 焦点在抛物线y 2=24x 的准线上,则双曲线的方程为 ( ) A.x 236-y 2108=1 B.x 29-y 2 27=1 C.x 2108-y 236=1 D.x 227-y 2 9=1 解析:∵渐近线方程是y =3x ,∴b a = 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2=24x 的准线上, ∴c =6.② 又c 2=a 2+b 2,③ 由①②③知,a 2=9,b 2=27, 此双曲线方程为x 29-y 2 27=1. 答案:B

4.(2010·辽宁)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,P A⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=() A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 解析:解法一:AF直线方程为: y=-3(x-2), 当x=-2时,y=43,∴A(-2,43). 当y=43时代入y2=8x中,x=6, ∴P(6,43), ∴|PF|=|P A|=6-(-2)=8.故选B. 解法二:∵P A⊥l,∴P A∥x轴. 又∵∠AFO=60°,∴∠F AP=60°, 又由抛物线定义知P A=PF, ∴△P AF为等边三角形.

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有!)

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例):①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两 个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<, e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。 (2)双曲线(以22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)为例):①范围:x a ≤-或,x a y R ≥∈;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,双曲线?1e >,等轴双曲线 ?e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大;⑥两条渐近线:b y x a =±。 (3)抛物线(以2 2(0)y px p =>为例):①范围:0,x y R ≥∈;②焦点:一个焦点(,0)2 p ,其中p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);

圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)

x 专题:圆锥曲线之轨迹问题 一、 临阵磨枪 1?直接法(五部法):如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些 几何条件简单明了且易于表达,我们只须把这种关系“翻译”成含 x,y 的等式就得到曲线 的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。 2?定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线 的定义),则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 3?坐标转移法(代入法):有些问题中,其动点满足的条件不便于等式列出,但动点是随 着另一动点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的, 或是可分析的, 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标, 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方 程,这种求轨迹的方法坐标转移法,也称相关点法或代入法。 4. 参数法:有时求动点应满足的几何条件不易求出,也无明显的相关点,但却较易发现 (或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间 等)的制约,即动点坐标(x, y )中的x, y 分别随另一变量的变化而变化, 我们可以把这个变 量设为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫做参数法,如果需要得到轨迹的普通方程, 只要消去参变量即可。 5. 交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题常可 通过解方程组得出交点含参数的坐标, 再消去参数得出所求轨迹方程,此种方法称为交轨法。 二、 小试牛刀 1. _________________________________________________________________________ 已知M (-3,0),N ( 3,0) PM PN 6,则动点P 的轨迹方程为 ______________________________ 析:Q MN PM PN ???点P 的轨迹一定是线段 MN 的延长线。 故所求轨迹方程是 y 0(x 3) 圆所引的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程为 __________________________ 析:???圆O 与圆o 外切于点M (2,0) ?两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等, 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线,其方程为 x 2 2 2 x y 一 3.已知椭圆 — 亍1(a b 0) ,M 是椭圆上一动点,F i 为椭圆的左焦点,贝U 线段MF i a b 的中点P 的轨迹方程为 _____________________________ 析:设P (x, y ) M (x °,y °)又F , ( c,0)由中点坐标公式可得: 2 2.已知圆0的方程为x 2 2 y 2,圆0的方程为x 2 y 8x 10 0 ,由动点P 向两

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题型 一.选择题(共10小题) 1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离 心率的范围是() A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是() A.B.C. D. 3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为() A.B. C.D. 4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D. 5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此 双曲线的离心率的取值范围是() A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞) 6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()

A.B.C.D.2 7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x 8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心 率的取值范围是() A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2) 9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是() A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为() A.B.C.D. 二.填空题(共2小题) 11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是. 12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为. 三.解答题(共4小题)

高考数学之圆锥曲线常见习题及解析(经典版)

高考数学 圆锥曲线常见习题及解析 (经典版)

椭圆 一、选择题: 1. 已知椭圆方程22143x y +=,双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C. 2 D. 3 2.双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> 的左、右焦点分别为F 1,F 2,渐近线分别为12,l l ,点P 在第 一象限内且在1l 上,若2l ⊥PF 1,2l //PF 2,则双曲线的离心率是 ( ) A .5 B .2 C .3 D .2 【答案】B 【解析】双曲线的左焦点1(,0)F c -,右焦点2(,0)F c ,渐近线1:b l y x a = ,2:b l y x a =-,因为点P 在第一象限内且在1l 上,所以设000(,),0P x y x >,因为2l ⊥PF 1,2l //PF 2,所以12PF PF ⊥,即121 2 OP F F c ==, 即22200x y c +=,又00b y x a =,代入得222 00()b x x c a +=,解得00,x a y b ==,即(,)P a b 。所以 1PF b k a c = +,2l 的斜率为b a -,因为2l ⊥PF1,所以()1b b a c a ?-=-+,即2222()b a a c a ac c a =+=+=-,所以2220c ac a --=,所以220e e --=,解得2e =,所以双曲线 的离心率2e =,所以选B. 3.已知双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的一条渐近线的斜率为2,且右焦点与抛物线x y 342 =的焦 点重合,则该双曲线的离心率等于 A .2 B .3 C .2 D .2 3

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题 第一部分:椭圆 1.椭圆的概念 在平面与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数: (1)若a>c,则集合P为椭圆;(2)若a=c,则集合P为线段;(3)若ab>0) y2 a2+ x2 b2=1( a>b>0) 图形 性质 围 -a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a 对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2|=2c 离心率e= c a ∈(0,1) a,b,c的关系c2=a2-b2

典型例题 例1.F 1,F 2是定点,且|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 例2. 已知ABC ?的周长是16,)0,3(-A ,B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( ) (A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(125 1622≠=+y y x 例3. 若F (c ,0)是椭圆22 221x y a b +=的右焦点,F 与椭圆上点的距离的最大值为M ,最小值为m ,则椭圆上与F 点的距离等于 2 M m +的点的坐标是( ) (A)(c ,2b a ±) 2 ()(,)b B c a -± (C)(0,±b ) (D)不存在 例4. 设F 1(-c ,0)、F 2(c ,0)是椭圆22x a +2 2y b =1(a >b >0)的两个焦点,P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若 ∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( ) 例5 P 点在椭圆120 4522=+y x 上,F 1、F 2是两个焦点,若21PF PF ⊥,则P 点的坐标是 . 例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴与短轴的和为18,焦距为6; . (2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2,1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的3 1 ; ____. (4)离心率为 2 3 ,经过点(2,0); . 例7 12F F 、是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点,点P 在椭圆上运动,则12||||PF PF ?的最大值是 .

解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质

4.2解析几何--圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1.(2010·安徽双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为 ( A. B. C. D.(,0 解析:∵原方程可化为-=1,a2=1, b2=,c2=a2+b2=, ∴右焦点为. 答案:C 2.(2010·天津已知双曲线-=1(a>0,b>0的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为 ( A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:∵渐近线方程是y=x,∴=.① ∵双曲线的一个焦点在y2=24x的准线上, ∴c=6.② 又c2=a2+b2,③ 由①②③知,a2=9,b2=27, 此双曲线方程为-=1. 答案:B

4.(2010·辽宁设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|= ( A.4 B.8 C.8 D.16 解析:解法一:AF直线方程为: y=-(x-2, 当x=-2时,y=4,4A(-2,4. 当y=4时代入y2=8x中,x=6, 4P(6,4, 4|PF|=|PA|=6-(-2=8.故选B. 解法二:5PA∞l,4PA%x轴.

又5 AFO=60°,4 FAP=60°, 又由抛物线定义知PA=PF, 4≥PAF为等边三角形. 又在Rt≥AFF′中,FF′=4, 4FA=8,4PA=8.故选B. 答案:B 5.高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上,且相距10 m,则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 ( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:如图1,假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆,P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点,由于∠BPA=∠DPC,则Rt△ABP∽Rt△CDP,=,从而 PC=2PA.在平面APC上,以AC为x轴,AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2,则A(-5,0,C(5,0,设P(x,y,得=2 化简得x2+y2+x+25=0,显然,P点的轨迹为圆. 答案:A 二、填空题 解析:由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则c

圆锥曲线轨迹方程经典例题

轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题: 1、 必修2课本P 124B 组2:长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程: 必修2课本P 124B 组:已知M 与两个定点(0,0),A (3,0)的距离之比为 2 1 ,求点M 的轨迹方程;(一般地:必修2课本P 144B 组2:已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ;讨论点M(x ,y )的轨迹方程(分m =1,与m ≠1进行讨论) 2、 必修2课本P 122例5:线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆 1)1(22=++y x 上运动,求AB 的中点M 的轨迹。 (2013新课标2卷文20)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为22,在y 轴上截得线段长为32。 (1)求圆心的P 的轨迹方程; (2)若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ,求圆P 的方程。 如图所示,已知P (4,0)是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足∠APB =90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解:设AB 的中点为R ,坐标为(x ,y ),则在Rt △ABP 中,|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理:在Rt △OAR 中,|AR |2=|AO |2-|OR |2=36-(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x -4)2+y 2=36-(x 2+y 2),即x 2+y 2-4x -10=0因此点R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y ),R (x 1,y 1),因为R 是PQ 的中点,所以x 1= 2 ,241+= +y y x ,代入方程x 2+y 2-4x -10=0,得24 4)2()24( 22+? -++x y x -10=0整理得:x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l .设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围. (2013陕西卷理20)已知动圆过定点)0,4(A ,且在y 轴上截得弦MN 的长为8.

圆锥曲线典型例题(精华版)

圆锥曲线典型例题强化训练 一、选择题 1、若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03),的距离小2,则点P 的轨迹方程为( )A A. 2 12x y = B.2 12y x = C.2 4x y = D.2 6x y = 2、若圆0422 2 =--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为2 2 ,则a 的值为( )C A .-2或2 B .2 321或 C .2或0 D .-2或0 3、设F 1、F 2为曲线C 1: x 2 6 + y 2 2 =1的焦点,P 是曲线2C : 13 22 =-y x 与C 1的一个交点,则△PF 1F 2的面积为( )C (A) 1 4 (B) 1 (C) 2 (D) 2 2 4、经过抛物线x y 22 =的焦点且平行于直线0523=+-y x 的直线l 的方程是( )A A.0346=--y x B. 0323=--y x C.0232=-+y x D. 0132=-+y x ' 5、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) D A .2- B .2 C .4- D .4 6、如图,过抛物线)0(22 >=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ,交其准线于点 C ,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( ) B A .x y 232 = B .x y 32 = C .x y 2 92 = D .x y 92 = 7、以14 122 2=-x y 的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为( )D A . 1526422=+y x B. 1121622=+y x C. 141622=+y x D.11642 2=+y x 8、已知双曲线192 22=-y a x ()0>a 的中心在原点, 右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( ) D

相关文档
最新文档