《数学建模》考试试卷与参考答案

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《数学建模》试题

一、填空题（每题5分，满分20分）：

1. 设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 .

2. 设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 .

3. 所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 .

4. 设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，

其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 .

二、分析判断题（每题10分，满分20分）：

1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。

2. 某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为3000，5000和4000件.公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至少1000件给客户3，另外客户3和4都想尽可能多购剩下的件数.已知各厂运销一件产品给客户可得到的净利润如表1所示，问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前

提下获利最多？

表1

单位：元/件

上述问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可），否则说明理由。

三、计算题（每题20分，满分40分）：

1. 有一批货物要从厂家A 运往三个销售地B 、C 、D ，中间可经过9个转运站

.,,,,,,,,321321321G G G F F F E E E 从A 到321,,E E E 的运价依次为3、8、7；从1E 到21,F F 的

运价为4、3；从2E 到321,,F F F 的运价为2、8、4；从3E 到32,F F 的运价为7、6；从1F 到21,G G 的运价为10、12；从2F 到321,,G G G 的运价为13、5、7；从3F 到32,G G 的运价为6、8；从

密

线

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1G 到C B ,的运价为9、10；从2G 到D C B ,,的运价为5、10、15；从3G 到D C ,的运价为8、

7。试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线。

2. 试求如表2所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用：

表2 单位：百元/吨

四、综合应用题（本题满分20分）：

试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题。

（ 提示：要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤。）

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数学建模》试题参考答案

一、填空题：1、;)()0(,00rt

e x t x x x rx dt dx =?== 2.、);(2783.1221

201011万元≈=Q 3、问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析； 4.、80.

二、分析判断题（每题10分，满分20分）： 1、

1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益 ……..2分

2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的

高度、层数等 ……….5分 3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料8分

4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型 ………10分 2. 可以转化为运输模型，具体做法如下：

首先确定总的产销量. 总产量显然为12000件；总需求量中，客户3的需求量在保证已承诺给客户1和2的供给量7000件条件下，最多是5000件，而客户4则最多可得4000件。因此，总需求量按最高需求应为16000件，因而可视问题为供小于求的运输问题…4分 其次，为产销平衡，虚设一个工厂4，其产量为4000件 ……………6分 再次，为确定需求量，将有最低需求与额外需求量的客户分别视为两个客户，并确定各自需求量，注意最低需求量不能由虚设工厂供给，从而可设其利润值是-M （M 是一个充分大的正数）8分

综合上述讨论得产销平衡运价表如下：10分

三、计算题（每题20分，满分40分）： 1. 建立图模型如图1-1.

图1-1 …………………….10分

利用双标号法计算结果如图1-2.

图1-2

…………………15分 再利用逆向搜索法便可得到运输路线有： B G F E A ????221， 16min =l ；

C G F E A ????221 或 ,321C G F E A ???? ;21min =l ,321

D G F

E A ???? 20min =l . ………………… 20分 （注意，到C 的路线只给出一条者扣2分）

2. 易见，这是一个产销平衡且为最小值类型的运输问题。我们有 (1) 利用最小元素法可得初始方案如表1，

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…………………..5分

（2）使用闭回路法可得负检验数为12λ=-1，故令12x 进基 ……………...10分 （3）使用闭回路法进行调整知11x 出基，便得新的运输方案如表2 ……15分

表2 （4）再进行检验知，所有检验数0≥ij λ，故得最优运销图如图1-3：……………20分

图1-3 最小费用为385（百元）。

四、综合应用题（本题满分20分）： 1. 问题分析………………..5分

所谓方桌可否在地面上放稳，可视为其四个桌脚可否同时着地，从而可将问题归结为桌脚与地面的距离是否同时为零，故构造这个距离函数是建模的关键，而证明四个距离函数同时为零这个命题是建模的最终目的。 2. 模型假设………………..10分

(1) 四条桌腿同长,视四个桌脚为四个几何点,四脚的连线呈长方形； (2) 地面的高度是连续变化的，即将地面看作数学上的连续曲面； (3) 地面是相对平坦的，在任何位置，至少有三个桌腿同时着地。

3. 模型建立…………………15分

如图1-4，以长方形的两条对角线的交点

为原点建立平面直角坐标系，且不妨设A 、C 两桌脚开始时位于横轴上，则问题与旋转角度 θ有关。注意到假设3，设A 、B 两个桌脚与 地面距离之和为0)(≥θf ，另外两个桌脚与 地面距离之和为,0)(≥θg 则)(,θθf ?与)(θg

中至少有一个为零，当0=θ时不妨假设 图1-4

0)(,0)(>=θθg f 。又由假设2，以上两个函数均为旋转角度的连续函数，于是有命题：

已知

,0)0(,0)0(,0)()()(),(>==?g f g f g f 且，的连续函数，对是θθθθθθ则

0θ?，使得.0)()(00==θθg f

上述命题即为所建立的数学模型。

4. 模型求解

只须证明上述命题即可。

将桌子旋转0

180)(π，则A 、B 两点与D 、C 两点恰好交换位置。由假设便有，

)(,0)(ππg f >.0=又由前述假设，.0)0(,0)0(>=g f

令),()()(θθθg f h -=则有.0)(,0)0(><πh h 由于)(),(θθg f 的连续性知)(θh 也是连续函数。依据连续函数的基本性质（零点定理），必至少存在一个角度0θ，,00πθ<<使得0)(0=θh ，即).()(00θθg f =又根据θθθ?=,0)()(g f 成立，故有.0)()(00==θθg f 5. 模型分析

由于本问题结论简单，符合实际，故分析过程从略。 ……………..20分

A 1

B 3 B 2 5 15 A 2 B 2 B 1 10 5 A 3 B 4

B 2 10 15