2014高考复习——函数的单调性与最值

§2.2 函数的单调性与最值

复习备考要这样做 1.从数、形两种角度理解函数的单调性与最值；2.判断复合函数的单调性；3.含参函数的最值，对参数进行讨论．

1．函数的单调性 (1)单调函数的定义

(2)若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x

)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫作函数y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值

[难点正本 疑点清源] 1．函数的单调性是局部性质

函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．

2．函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；

如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 3．单调区间的表示

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

1．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. 2．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______________． 3．(课本改编题)函数f (x )＝

2x

x ＋1

在[1,2]的最大值和最小值分别是__________． 4．已知函数y ＝f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)、B (－3,2)在其图像上，则不等式－2

A ．a >－1

4

B ．a ≥－1

4

C ．－1

4

≤a <0

D ．－1

4

≤a ≤0

答案 (1) －6 (2) ????－12，＋∞ (3) 4

3

，1 (4) (－3,0) (5) D

题型一 函数单调性的判断

例1 试讨论函数f (x )＝ax

x －1 (a ≠0)在(－1,1)上的单调性．

思维启迪：可利用定义或导数法讨论函数的单调性．(也可分类常数)

解 设－1

当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

探究提高 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．

(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋a

x (x >0)，证明函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；

(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．

答案(1)证明 （略）(2)y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 题型二 利用函数单调性求参数

例2 若函数f (x )＝ax －1

x ＋1

在(－∞，－1)上是减函数，求实数a 的取值范围．

思维启迪：利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．

答案 a 的取值范围是(－∞，－1)．

探究提高 已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式 恒成立问题

求解；需注意的是，若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的

任意子集上也是单调的．

(1)若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则a 的取值范围为____________． (2)函数y ＝x －5

x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )

A ．a ＝－3

B ．a <3

C ．a ≤－3

D ．a ≥－3

答案 (1)????－∞，1

2 (2)C 题型三 利用函数的单调性求最值

例3 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2

3

.

(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．

思维启迪：问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(2)用函数的单调性即可求最值．

探究提高 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)

f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：

如x 1＝x 2·x 1

x 2

或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；利用函数单调性可以求函数最值．

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ????

x 1x 2

＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.

(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；

(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．

忽视函数的定义域

典例：(10分)求函数y ＝log 1

3

(x 2－3x )的单调区间．

温馨提醒 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，容易忽视定义域，导致错误．

函数的单调性与最值

典例：(12分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.

(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.

审题视角 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f (M )

规范解答

(1)证明 设x 10， ∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.[2分] f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分] ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0?f (x 1)

解函数不等式问题的一般步骤：

第一步：确定函数f (x )在给定区间上的单调性； 第二步：将函数不等式转化为f (M )

第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”， 转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：解不等式或不等式组确定解集；

第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．

温馨提醒 本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x >0时，f (x )>1.构造不出f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f (M )

.

方法与技巧

1． 可以根据定义判断或证明函数的单调性． 2． 求函数的单调区间：

首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义，利用图像和单调函数的性质；利用导数的性质． 3． 复合函数的单调性——简称：同增异减． 失误与防范

1． 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在

两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．

2． 函数f (x )、g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1

f (x )

等的单调

性与其正负有关，切不可盲目类比.

(2)解 ∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1， ∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1?f (2)＝2f (1)－1，[8

分]

f (3)＝4?f (2＋1)＝4?f (2)＋f (1)－1＝4?3f (1)－2＝4，

∴f (1)＝2，∴f (a 2＋a －5)<2＝f (1)，[10分] ∵f (x )在R 上为增函数，∴a 2＋a －5<1?－3

即a ∈(－3,2)．[12分]

A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． 下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是

( )

A ．y ＝1－x 2

B ．y ＝x 2＋2x

C ．y ＝1

1＋x

D ．y ＝x

x －1

答案 A

解析 ∵y ＝1－x 2的对称轴为x ＝0，且开口向下， ∴(－∞，0)为其单调递增区间．

2． 已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )

A.????0，3

4 B.???0，34 C.????0，3

4

D.???

?0，34 答案 D

解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数； 当a ≠0时，由?????

a >0－4(a －3)4a ≥3，得0

综上，a 的取值范围是0≤a ≤3

4

.

3． 已知f (x )＝????

?

a x

(x >1)，???

?4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为

( )

A ．(1，＋∞)

B ．[4,8)

C ．(4,8)

D ．(1,8)

答案 B

解析 因为f (x )是R 上的单调递增函数，

所以可得?????

a >1，

4－a 2

>0，

a ≥4－a 2

＋2.解得4≤a <8，故选B.

4． 给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12

(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋

1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序

号是

( )

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

答案 B

解析 ①函数y ＝x 1

2

在(0，＋∞)上为增函数，故在(0,1)上也为增函数；

②y ＝log 1

2(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故在(0,1)上也为减函数；③y ＝|x －1|在(0,1)上为减函数；

④y ＝2x

＋1

在(－∞，＋∞)上为增函数，故在(0,1)上也为增函数．

二、填空题(每小题5分，共15分)

5． f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为__________；f (x )max ＝________.

答案 [1,4] 8

解析 函数f (x )的对称轴：x ＝1，单调增区间为[1,4]， f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8.

6． 函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是__________．

答案 ????

32，4

解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－????x －322＋25

4的减区间为????32，4，∵e>1， ∴函数f (x )的单调递减区间为????

32，4.

7． 若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是____________．

答案 a >0且b ≤0

解析 要使f (x )在[0，＋∞)上为增函数，则a >0且x －b ≥0恒成立，即b ≤x ，∴b ≤0. 三、解答题(共22分)

8．(10分)已知函数f (x )＝1a －1

x

(a >0，x >0)，

(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数； (2)若f (x )在????12，2上的值域是????1

2，2，求a 的值． (1)证明 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0， ∵f (x 2)－f (x 1)＝????1a －1x 2

－????

1a －1x 1

＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2

>0， ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)解 ∵f (x )在????12，2上的值域是????1

2，2， 又f (x )在????

12，2上单调递增，

∴f ????12＝12，f (2)＝2.∴易得a ＝25

. 9．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋a

x

(x ≠0，a ∈R )．

(1)判断函数f (x )的奇偶性；

(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数； 当a ≠0时，f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )， ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．

(2)设x 2>x 1≥2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 2

2－a x 2 ＝

x 1－x 2

x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2

)－a ]， 由x 2>x 1≥2，得x 1x 2(x 1＋x 2)>16，x 1－x 2<0， x 1x 2>0.

要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 只需f (x 1)－f (x 2)<0，

即x 1x 2(x 1＋x 2)－a >0恒成立，则a ≤16.

B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )

x

在区间(1，

＋∞)上一定

( )

A ．有最小值

B ．有最大值

C ．是减函数

D ．是增函数

答案 D

解析 由题意知a <1，∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋a

x －2a ，

当a <0时，显然g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 当a >0时，g (x )在[a ，＋∞)上是增函数， 故在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )在(1，＋∞)上一定是增函数．

2． 已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，

则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值

( )

A ．一定大于0

B ．一定小于0

C ．等于0

D ．正负都有可能

答案 A

解析 ∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )． 又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0， ∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，

f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.

3． 已知函数f (x )＝????

?

x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2

， x <0，

若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C ．(－2,1)

D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

答案 C

解析 由题意知f (x )在R 上是增函数， 由题意得2－a 2>a ，解得－2

4． 设函数f (x )＝ax ＋1

x ＋2a

在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是__________．

答案 [1，＋∞)

解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1

x ＋2a ，

其对称中心为(－2a ，a )．

∴????? 2a 2－1>0－2a ≤－2?????

?

2a 2－1>0a ≥1

?a ≥1. 5． 已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ???

?????1x

解析 由f ????????1x

?1x >1， ∴1x >1或1

x

<－1，∴0

①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0； ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0； ③f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2>0；

④

f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2

<0.

其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为________．(填序号)

答案 ①③

解析 依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推出函数y ＝f (x )为增函数． 三、解答题

7． (13分)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )

a ＋b

>0

成立．

(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)

x －1

)；

(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1

f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)

·(x 1－x 2)，

由已知得f (x 1)＋f (－x 2)

x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，

∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

∴?????

x ＋12<1x －1

，－1≤x ＋1

2≤1，

－1≤1x －1≤1.

∴－3

2

≤x <－1.

(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1，

即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.

①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．

②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1，1]恒成立，必须有g (－1)≥0且g (1)≥0， ∴m ≤－2或m ≥2.

∴m 的取值范围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2.