2016-2017学年河北省馆陶县第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题

2016-2017学年河北省馆陶县第一中学高二下学期期中考试数学（理）

试题

高二数学（理科）试题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1、已知R b a ∈,，则b a =是i b a b a )()(++-为纯虚数的( )

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

2、由1＝12

，1＋3＝22

，1＋3＋5＝32

，1＋3＋5＋7＝42

，…，得到1＋3＋…＋(2n －1) ＝n 2

用的是( )

A ．归纳推理

B ．演绎推理

C ．类比推理

D ．特殊推理

3、用数学归纳法证明

11151236

n n n ++???+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是 A.111313233k k k +++++ B.112

313233k k k +-+++ C.11331k k -++ D.1

33

k + 4、有5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( ) A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种

5、张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种

6、已知随机变量服从正态分布ξ~2

(2,)N σ，且(4)0.8p ξ<= ，则(02)P ξ<<= A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2

7、已知1

02

a <<

，随机变量ξ的分布列如下，则当a 增大时（ ） A 、()E ξ增大，()D ξ增大 B 、()E ξ减小，()D ξ增大 C 、()E ξ增大，()D ξ减小 D 、()E ξ减小，()D ξ减小

8、在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条

件下，第2次也摸到红球的概率为

A ．

35 B ．25 C ．110 D ．59

9、6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为 A ．35 B ．50 C ．70 D ．100

10、设曲线)12ln(+-=x ax y 在点)0,0(处的切线方程为x y 2=，则a ＝( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 11、 若 2017

220170122017(21)

()x a a x a x a x x R -=++++∈ ，

则320172

23201711112222a a a a a a ++++=L A ．12017 B ．12017- C ．14034 D ．14034

-

12．设)(,)(x g x f 是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且0)()()()(''<-x g x f x g x f ，则当b

x a <<时有( )

A ．)()()()(b g b f x g x f >

B ．)()()()(x g a f a g x f >

C ．)()()()(x g b f b g x f >

D ．)()()()(a g a f x g x f > 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13

．设()f x =

(()),((())),f f x f f f x 来猜想

n

x f f f )))(((的

解析式：

n

x f f f )))(((=_________________________．

14

.

1

1

cos )x x dx -=?

15．已知2

6

)1()1(-+ax x 的展开式中含3

x 项的系数是20，则a 的值等于________。 16.函数)()(ax x e x f x -=恰有两个极点)(,2121x x x x <，则a 的取值范围是 . 三、解答题(本大题共6小题，共70分，应出写文字说明或演算步骤)

17．（10分）有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋.现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？

18、(12分) 已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992，求n

x

x 2)12(-

的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项。

19、（12分） 为了防止受污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为1

6

，第二轮检测不合格的概率为

1

10

，两轮检测是否合格相互独立。 （1）求该产品不能销售的概率；

（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元，如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利-80元），已知一箱有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列及数学期望()E X 。

20、（12分） 某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种， 方案一：每满200元减50元：

方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲 箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出 1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）

(I)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率； (II)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？

21．（本小题满分12分） 已知函数()()3ax

f x e

a R =∈的图像C

在点()()

1,1P f 处切线的斜率为

e ，记奇函数

()(),,0g x kx b k b R k =+∈≠的图像为l ．

（1）求实数,a b 的值；

（2）当()2,2x ∈-时，图像C 恒在l 的上方，求实数k 的取值范围；

22．(12分)已知函数x

x

ax x f +-+

+=11)1ln()( （x ≥0），其中a >0. (1)若)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值； (2)求)(x f 的单调区间；

(3)若)(x f 的最小值为1，求a 的取值范围．

2016—2017学年第二学期期中考试

高二数学（理科）答案

一、选择题1．C 2. A 3． B 4． D 5．B 6．C 7．B 8．D

9．B 10． A 11．C 12．C 二、填空题 13

．

14．

2π

15． 0或5 16． 1

(0,)2 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 【解析】设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A ，3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合

B ，4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合

C ，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下四类：

第一类：A 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为

1123C C 6?=种； 第二类：C 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为

1143C C 12?=种； 第三类：C 中选1人参加围棋比赛，A 中选1人参加象棋比赛，方法数为1142C C 8?=种； 第四类：C 中选2人分别参加两项比赛，方法数为2

4

A 12=种.

由分类加法计数原理，选派方法数共有6+12+8+12=38种. 18、解：由题意知99222

2=-n n

，解得5=n 。

（1）

10

)12(x x -的展开式中第6项的二项式系数最大，即 8064

)1()2(555

106-=-??=x x C T

（2）设第1+r 项的系数的绝对值最大，因为

r

r r

r x x C T )1()2(10101-??=-+ r r r

r x C 21010102)1(--???-=

则??????≥??≥?--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ，得?????≥≥+-11010

1

101022r r r r C C C C 即???-≥+≥-r r r r 10)1(2211 解得≤

≤r 3

8311

所以r=3，故系数的绝对值最大的项是第4项,即4

373

10415360)1()2(x x x C T -=-=

19：（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A ，则

111()1(1)(1)6104P A =--?-=.所以，该产品不能销售的概率为1

4

. 4分

（Ⅱ）由已知，可知X 的取值为320,200,80,40,160---. 5分

411

(320)()4256

P X =-==

， 1

34133(200)()4464P X C =-=??=

， 2

2241327(80)()()44128P X C =-=??=

， 3341327(40)()4464P X C ==??=， 4381

(160)()4256

P X ===

. 10分 所以X 的分布列为

11分 E(X)11272781

32020080401602566412864256

=-?

-?-?+?+?

40= 所以，均值E(X)为40. 12分 20解：（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A ，则P (A )＝3×2×14×4×4＝3

32，

两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率 P ＝1－P (－A )P (－A )＝1－(1－332)

2＝183

1024．

…5分

（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320－50＝270元．

若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取160，224，256，320． P (X ＝160)＝332，

P (X ＝224)＝3×2×3＋3×2×1＋1×2×14×4×4＝13

32， P (X ＝256)＝3×2×3＋1×2×3＋1×2×14×4×4＝1332， P (X ＝320)＝1×2×34×4×4＝332，

则E (X )＝160×332＋224×1332＋256×1332＋320×3

32＝240． ∵ 270＞240，

∴第二种方案比较划算． …12分

21.解：（ 1）()()331

3,133

ax a

f x ae f ae e a ''=∴==?=

， ()g x kx b =+ 为奇函数，0b ∴=；……………4分

（2）由（1）知()x

f x e =，()

g x kx =，

因为当()2,2x ∈-时，图像C 恒在l 的上方，所以()2,2,x

x e kx ?∈->恒成立，

记()()(),2,00,2x e h x x x

=

∈- ，则()21

x x h x e x -'=，由()()01,2h x x '>?∈， ()h x ∴在()2,0-单调减，在(]0,1单调减，在[)1,2单调增， ()()

2,0,21,2,2,0x

x

e k x x k e e e k x x ?<∈????∴∈-??????>∈-??

综上，所求实数k 的取值范围是2

1

[,)2e e -

；……………12分

22． (1)f ′(x )＝a ax ＋1－2(1＋x )2＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2

，

∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，即a ·12＋a －2＝0，解得a ＝1. (2)f ′(x )＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2

，∵x ≥0，a >0，∴ax ＋1>0.

①当a ≥2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为[0，＋∞)． ②当00，解得x > 2－a a .

由f ′(x )<0，解得x < 2－a

a

. ∴f (x )的单调减区间为(0,

2－a

a )，单调增区间为(

2－a

a ，＋∞)．

(3)当a ≥2时，由(2)①知，f (x )的最小值为f (0)＝1； 当0

2－a

a 处取得最小值，且f (

2－a

a )

综上可知，若f (x )的最小值为1，则a 的取值范围是[2，＋∞)．