定积分在数列和式不等式证明中的应用(1)

定积分在数列和式不等式证明中的应用

数列和式不等式1

()n

i i i i a A a A ==<>∑∑或的证明通常要用到放缩法，由于放缩法技巧性强，且无固定模式，

在实际解题过程中同学们往往难以掌握。学习了定积分的相关知识后，我们可以利用定积分的定义及几何意义证明此类不等式，下面笔者仅就两例对这种方法加以介绍。

例1

证明：1)1<+

+<（n N *

∈）证明：

构造函数()f x =

，作出函数图象，图（1）中n-1个矩形的面积

和

???+应为直线1x =，x n =，x 轴和曲

线

()f x =

所围成曲边梯形面积的不足近似值，

故121

n x dx -+

2n x

=2，所以

图（1）

???

<1<。

图（2）中n

个矩形的面积和1???+应为直线1x =，1x n =+， x

轴和曲线()f x =

所围成的曲边梯形

面积的过剩近似值，故1

121

1n x dx +->?=

图（2）

2n x

=2，不等式得证。

评

析：教

材

对

本

题

证

明

给

出

了

提

示

：

①，实际解题过程中，由于不等式①技巧性强，思维量大，学生如

不参考提示很难得到。事实上，如图（3）所示，根据定积分的定义及几何意义，在区间[],1()n n n N *+∈上的曲边梯形的面积大于以区间的右端点1n +对应的函数

值(1)

f n+为一边的长，以1为邻边的长的矩形的面积，小于以区间的左端点n对

图（3）应的函数值()

f n为一边的长，以1为邻边的长的矩形的面积，即

n n

x dx x

+-+

>==

?>，也即不等式①。至此，放缩不等式①不再仅仅是由

代数变形技巧得到，更非“空穴来风”，而是有着明确几何意义的代数表示，数形结合思想在这里得以充分地体现。

例 2 对于任意正整数n，试证：（1）ln(1)ln

n N n n

∈+->

当时，求证：

n+1

（2）

1117

123

n n n n

++???+<

+++

分析：此题的设计意图是利用第（1）问的结论证明第（2）问。但如果没有第一问作铺垫，第（2）问的证明很难用代数方法得到，如果利用例1所述方法，那么证明变得非常简洁。

证明：（1）证明略。

（2）构造函数

()

f x

=(0)

x>，作出函数图象，根据()

y f x

在区间[]

n n上定积分定义及其几何意义，图（4）中n个矩形的

面积和小于由直线x n

=，2

x n

=，x轴和曲线

()

f x

=所

围成的曲边梯形的面积，即

111

122

n n n

++???+<

21l n(2)l n

d x n n

l n2l n

=<，不等式

得证。

图（4）

新课标新增的微积分知识有着丰富的数学背景及内涵，所蕴含的数学思想方法为我们问题的解决提供了新的视角，所以我们在平常学习过程中应予以足够的重视。最后提供两道练习题供同学们参考。

1、求证：

121

()()()()2

n n n n

n n

n n n n

++???++<（n N*

∈）

2、证明：对于大于1的正整数n，2

1111

n n n n

++???+>

积分不等式的若干证明技巧

题目：积分不等式的若干证明技巧学院：数学科学学院专业班级：数学07－4实验班学生姓名：努尔艾拉.阿西木指导教师：塔实甫拉提副教授答辩日期：2011年5月10日新疆师范大学教务处

目录 1引言 (1) 2 利用有些定义证明积分不等式 (1) 2.1利用定积分的定义证明积分不等式 (1) 2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 (2) 3 利用函数的单调性证明积分不等式 (4) 4利用微分中值定理证明积分不等式 (4) 5利用积分中值定理证明积分不等式 (6) 6利用一些基本不等式证明积分不等式 (7) 7利用泰勒展开式证明积分不等式 (7) 8利用将单积分化为重积分的方法 (8) 9利用分部积分法来证明积分不等式 (9) 10 结论 (10) 参考文献： (11) 致谢 (12)

积分不等式的若干证明技巧摘要：不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种联系。论证不等式的方法很多，本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性，是理工科学生学习的一个难点，以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发，大致地分成若干种方法，介绍有关证题的技巧和规律。关键词：积分不等式，积分中值定理；Rolle中值定理；Cauchy中值定理；Lagrange中值定理 Integral inequality of several proof skills Abstracts：inequality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates many methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus "advanced mathematics synthesized and summarized in" the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich strong skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law. Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value theorem; Lagrange mid-value theorem 。

用变限积分函数证明不等式

用变限积分函数证明不等式院系：数学与计算科学学院班级：应数5班姓名：谭晶晶学号：201040510534 【摘要】证明不等式，方法多种多样。构造变限积分来证明不等式是非常巧妙的方法之一。本文介绍了利用变限积分和被积函数的不等式的方法解决不等式的证明。【关键字】变限积分；辅助函数；不等式；被积函数的不等式提出问题：变限积分是一类重要的函数，在微积分领域应用广泛。本文我们探讨：如何运用变限积分函数证明不等式。分析问题：对于形如的积分，我们可以写成，的形式；对于简单函数也可表示为的积分形式。由此可以看出不管是积分表达式还是一般表达式都可以用变限积分表示出来那么我们便可将证明不等式问题转化为研究变限积分函数的问题中来，再结合具体情况根据函数的性质最终证出不等式。解决问题：在解决此类问题关键是构造变限积分形式的辅助函数。大致步骤可分三步：构造辅助函数根据所构造的辅助函数性质结合题目进一步处理，多数采用求导的方法；还原到原来形式，不等式得证。一．变限积分的定义设f（x）在，上可积，根据定积分性质，对任意x∈，，f在，上也可积。于是，由 ? 定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分。类似地，又可以定义变下限的定积分 ?与统称为变限积分。注意，在变限积分中，不可再把积分变量写成x。二﹑变限积分函数的应用

一通过变限积分函数构造辅助函数证明不等式在解题中构造辅助函数后，要对函数求导，我们简单介绍一下变限积分函数的求导问题。定义在，上，设φ ψ ’φφ’ψψ’ 注：若被积函数中含x,不能直接用公式求导,应先作变代换使被积函数不含 x, 再求导。在构造辅助函数时，又可根据不等式的特征分为两类构造方法将不等式两边相减的方法，即:要证形如的不等式，可设。例一：设f（x）是，上的单调递增函数，且f（x）在，上连续，求证：分析：在此证明不等式题中，可以先运用变限积分构造辅助函数F（x），由于 f（x）在，上连续，得知F（x）可导，求出F（x）的导函数，再由f（x）是，上的单调递增函数推出F（x）的单调性，从而证出不等式。证明：令（）由f（x）在，上连续得知F（x）可导。且 ‘ 又因为f（x）是，上的单调递增函数，故在，上有，，则（）

几类定积分不等式的证明

万方数据

几类定积分不等式的证明作者：王阳，崔春红作者单位：河北农业大学中兽医学院,河北定州,073000 刊名：和田师范专科学校学报英文刊名：JOURNAL OF HOTAN TEACHERS COLLEGE 年，卷(期)：2009，28(3) 被引用次数：0次参考文献(4条) 1.白银凤微积分及其应用 2001 2.刘连福.许文林高等数学 2007 3.詹瑞清高等数学全真课堂 2003 4.沈燮吕.邵品宗数学分析纵横谈 1991 相似文献(10条) 1.期刊论文杜红敏.Du Hong-min浅谈定积分在不等式证明与因式分解中应用-中国科教创新导刊2009,""(3) 定积分是高中新课程体系中一个新增加的重要内容,很多教师在该部分内容的教学时都与高中其他知识点割裂开未,殊不知,定积分在高中阶段解题中具有广泛的应用,本文以定积分在不等式证明和因式分解中应用为例,探讨定积分在高中解题中的应用. 2.期刊论文陈欢定积分的一个不等式及其应用-福州大学学报(自然科学版)2003,31(6) 线性是定积分最重要的性质之一,在此基础上定性地分析了形如gfn的函数的定积分的随着n的变化趋势,得到一个定理,并利用这个定理重新证明了Holder不等式. 3.期刊论文嵇国平.Ji Guoping定积分在不等式上的应用-常州师范专科学校学报2003,21(2) 不等式的证明是中学教学的一个重要内容,同时也是一个数学难点.由于微积分部分内容逐步渗透到中学数学中,用定积分方法解决不等式证明已成为可能. 4.期刊论文张惠玲.ZHANG Hui-ling定积分中不等式性质的研究-西安航空技术高等专科学校学报2009,27(3) 关于不等式的性质结论中等号成立的问题,在定积分中,进行了研究与探讨,并举例说明了它的应用. 5.期刊论文冯其明含∑nk=1f(k/n)的不等式的一种证法-高等数学研究2003,6(4) 利用定积分的定义及其几何意义可证明一些含∑nk=1f(k)/(n)的不等式. 6.期刊论文侯晓星.HOU Xiao-xing含定积分的不等式证明-泰州职业技术学院学报2005,5(4) 定积分不等式的证明是常见的一种题型.通过对典型例题的分析,利用换元法将被积函数转化为非负函数,或将定积分不等式视为数值不等式,再利用函数的单调性等,论述了含定积分的不等式证明的一般规律及求证方法. 7.期刊论文程仁华.李丽定积分的定义与某些重要不等式的推广应用-景德镇高专学报2004,19(4) 本文通n个正数的调和平均值、几何平均值、算术平均值及k次幂平均值的关系,并利用定积分的定义和连续函数极限的性质推导出函数的上述四种平均值之间的类似关系. 8.期刊论文沈凤英.孙存金.SHEN Feng-ying.SUN Cun-jin Schwarz不等式及旋转体侧面积的计算问题-苏州市职业大学学报2006,17(4) 文章应用Schwarz不等式的知识,给出了旋转体侧面积计算公式的一个新颖的证明,并同时指出用定积分计算旋转体侧面积时应该避免发生的错误. 9.期刊论文林银河关于Minkowski不等式的讨论-丽水师范专科学校学报2003,25(5) 在有关定积分不等式中,Minkowski不等式占有重要地位.将<数学分析>中提到的Minkowski不等式推广到更加一般的情形,从而改进已有的结论. 10.期刊论文刘放不等式(1/n+1+1/n+2+…+1/2n)2《1/2的六种不同证法-宜宾学院学报2003,6(6) 给出了不等式((1)/(n+1)+(1)/(n+2)+…+(1)/(2n))2＜(1)/(2)的六种不同证法. 本文链接：https://www.360docs.net/doc/1817285181.html,/Periodical_htsfgdzkxxxb-hwb200903135.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：05ca550e-ea59-4c55-8af2-9da600b00ff2，下载时间：2010年7月 1日

使用定积分巧妙证明一类和式不等式

使用黎曼和巧妙证明一类和式不等式摘要：借助黎曼和几何意义得到一类和式不等式的巧妙证明方法：考虑通过图像看出逼近定积分的过程中产生的一系列黎曼和总是大于或小于定积分值，从而建立黎曼和与定积分的不等关系，而和式又常常就是黎曼和，这样便建立了和式和定积分的不等关系，和式不等式便得以简化。使用黎曼和精确放缩特性做加强命题：通过取出某些项使其不参与定积分的放缩来加强不等式。关键词：定积分，黎曼和，和式不等式，证明与加强。对于和式不等式，由于其变幻较为复杂，构造较为精巧，通常不易证明。针对一类有特殊特征的和式不等式，除了使用通常的构造、不等式放缩以外，还可以用黎曼和巧妙证明，从而免去繁杂的构造和放缩，使其证明更加简洁优美。黎曼和：对一个在闭区间[,]a b 有定义的实值函数f ，f 关于取样分割0,,n x x 、01,,n t t - 的黎曼和定义为以下和式：直观地说就是以标记点i t 到x 轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积，它是求积分时在过程的中间形态，当n →+∞，矩形宽0→，则黎曼和就接近于定积分值。例一（2012天津高考理科数学，20，第（3）问）证明12 2ln(21)21 n i n i =<+-∑（）- *()n N ∈ 分析：本题作为第三小题，原解答使用了第二问的结论，进行构造颇为繁琐，若撇开前两问，单对此不等式分析，发现12 ln(21)221 n i n i =?<++-∑ 原式，左边是分式的累加，右边是对数函数，联想到1ln ||dx x C x =+?,因而一个简洁的证明就是取2 21 i -的不足黎曼和证明：1 1 1 2 22 2121n n i dx i i ++=>--∑ ?由于 ……① 112222212121 n n i dx i n x +=∴+<-+-∑ ? 222 ln(21)2121 n i n i n =∴+<+-+∑ 222ln(21)22121 n i n i n =∴++2<++-+∑ 122ln(21)22121n i n i n =+<++-+∑即，舍去 221n + 即证得12ln(21)221 n i n i =<++-∑

用微积分理论证明不等式的方法

用微积分理论证明不等式的方法高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似．微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ．证明：因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(．得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤．所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的．二．用可导函数的单调性证明不等式法

积分不等式的证明及应用论文

广西科技大学毕业论文题目：积分不等式的证明及应用英文题目：The integral inequality proof and application.所在学院：理学院所在专业：信息与计算科学学号：200900901071 作者姓名：朱伟指导老师：张明俊二零一三年五月

摘要积分不等式是学习高等数学中的一个重要内容，在数学分析中的应用也很广泛,也经常会在考研试卷中出现.有很多积分不等式的证明方法，一些方法综合性和技巧性也很强。利用导数和积分的相关知识去证明不等式，可以降低技巧性，使证明的思路变得简单，在此总结出可用于证明不等式的知识点。文中涉及到的知识有积分不等式、柯西不等式、拉格朗日中值定理、泰勒公式等高等数学中的内容。【关键词】积分不等式、函数、拉格朗日中值定理、柯西不等式、泰勒公式

Abstract Mathematical analysis is an important information and calculation science specialized basic course,integral inequality is important content of mathematical analysis,using the integral inequality can solve many problems,thus the application of integral inequality is very wide.Proof of integral inequality and applications has always been a difficulty in mathematical analysis,it's proved that erected a bridge for different branches of mathematics,greatly improved our creative thinking.It's proof and application is also very cleverly,can solve some difficult problems.So,a deep understanding, to grasp the method of integral inequality proof, and its different applications in mathematical analysis,can improve our understanding of theoretical knowledge and application,at the same time also is good for our future study,to improve our thinking ability, innovation ability, and skill also has the very big help. 【Key words】Integral inequality, Probability mass function, Lagrange's mean value theorem, Cauchy inequality, Taylors formula.

定积分不等式

第三章一元积分学第三节定积分值的估计及不等式定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识（微分学的知识，积分学的知识等）也很多。总的说来：（1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单的不等式也是有用的：（i ）若]),[( )()(b a x x g x f ∈≤，则?? ≤b a b a dx x g dx x f )()( . （ii ）? ?≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| . （iii ）若b d c a b a x x f ≤≤≤∈≥]),,[( 0)(,则?? ≤b a d c dx x f dx x f )()(. (iv)(柯西不等式)??? ≤b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([ 222 (2)主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法. (3)利用二重积分、级数等．值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法．例１．判断积分 ? π 20 2sin dx x 的符号分析：这个积分值是求不出来的．如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断．如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值（实际上是比较积分值的绝对值）．本题中被积函数2 sin x 在积分区间上有正、有负，先作换元：2 x t =，把积分变为 dt t t dx x ?? =ππ 2020 2 sin 21sin 后，问题更清晰，因而想到 dt t t dx x ?? = ππ 2020 2sin 21sin +=?π0sin (21dx t t )sin 2?π π dt t t 至此积分的符号凭直觉已经能判断了．但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分的积分区间不一样，为了方便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较．有了这些分析和思路后，解答就容易了．解：令2 x t =，则 dt t t dx x ?? = ππ 2020 2sin 21sin ＝ +=?π0sin (21dx t t )sin 2?π π dt t t 对上式右端后一积分换元π+=u t 得 ? ? ?+-=+-=π π π π π π 2sin sin sin dt t t du u u dt t t 从而 =? π 20 2sin dx x -= ?π0sin (21dx t t )sin 0 ? +π π dt t t

积分不等式的证明方法及其应用

积分不等式的证明方法及其应用【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。【关键词】积分不等式 Schwarz 不等式 Ho .. lder 不等式 Gronwall 不等式 Young 不等式 1 引言在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz 公式求出（如2 1 0x e dx -?），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f 在[]0,1上连续可微，且(1)(0)1f f -=，求1 '20()f x dx ?），因此我们希望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式. ? ? ≤ 2 1 2 1 ln ln xdx x xdx x ， ()() 2 2 ()cos ()sin 1b b a a f x kxdx f x kxdx +≤? ? 都是积分不等式. 2积分不等式的证明方法 2.1 定义法我们根据定积分的定义，把积分区间n 等分，得出积分和，再由离散型式子，得出积分和之间的大小关系，再令∞→n ，取极限即可. 例1设函数)(x f 在区间 []0,1上可积 .试证明有不等式1 12 00 ()()f x dx f x dx ≤ ?? . 证先用Jensen 不等式法证明不等式 : 对 R x x x n ∈?,,,21 , 有不等式

定积分证明题方法总结六

定积分证明题方法总结六篇定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法 1. 凑微分法 2. 裂项法 3. 变量代换法 1) 三角代换 2) 根幂代换 3) 倒代换 4. 配方后积分 5. 有理化 6. 和差化积法 7. 分部积分法（反、对、幂、指、三） 8. 降幂法二、定积分的计算方法 1. 利用函数奇偶性 2. 利用函数周期性 3. 参考不定积分计算方法三、定积分与极限

1. 积和式极限 2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3. 洛必达法则 4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则 >= ()dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法 1) 积分估值定理 2) 放缩法 3) 柯西积分不等式 ≤ % 4. 抽象函数的定积分不等式的证法 1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性 2) 积分中值定理 3) 常数变易法 4) 利用泰勒公式展开法

五、变限积分的导数方法篇二：定积分知识点总结 1、经验总结 (1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 (2)定积分几何意义： ①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab ②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a 反数 (3)定积分的基本性质： ①kf(x)dx=kf(x)dx aabb ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac (4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb ①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义 ’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba 篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上

探讨定积分不等式的证明方法

探讨定积分不等式的证明方法摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。关键词：定积分不等式证法不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。 1．运用定积分中值定理证明定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。例1：设)(x f 在[0,1]上连续且单调不增，证明a ?∈[0,1]有 ? a dx x f 0 )(≥ ?1 )(dx x f a ．证明：由原不等式变形得? a dx x f 0 )(≥??+1 ))()(dx x f dx x f a a （, 即是要证：? -a dx x f a 0 )() 1(≥?10 )(dx x f a , 对左式，)(x f 在[0,1]上连续，故由定积分中值定理知： [] a ，01∈?ξ使 )()1()()110 ξf a a dx x f a a -=-?（, 同理对右式：[]12，a ∈ ?ξ使)()1()(2 1 ξ f a a dx x f a -=?,

显然，ξ1＜ξ2又f(x)在[0,1]上单调不增， ∴f (ξ1)≥f (ξ2) 故原不等式 ? a dx x f 0 )(≥?1 )(dx x f a 成立. 定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握。 2．运用辅助函数证明构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限（下限）换成x ，移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。然后再求F ’(x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。例2：设)(x f 在[a ，b]上连续,且)(x f >0. 试证：2b )() (1 )(a b dx x f dx x f a b a -≥?? 证明：构造辅助函数2)() (1 )()(a x dt t f dt t f x F x a x a --=? ? （将b 换成x ），则??--+=x a x a a x dt t f x f dt t f x f x F )(2)() (1)(1)()(' = ??? -+x a x a x a dt dt x f t f dt t f x f 2) ()()() ( =dt x f t f t f x f x a )2) ()()()((-+? ∵)(x f ＞0，∴ 02) () ()()(≥-+x f t f t f x f ，又a

积分不等式的证明方法

摘要在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性

ABSTRACT When we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better.Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality,integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarized． Key words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem, Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty

探讨定积分不等式的证明方法

∴f (ξ1)≥f (ξ2) 故原不等式 ? a dx x f 0 )(≥?1 )(dx x f a 成立. 定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握。 2．运用辅助函数证明构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限（下限）换成x ，移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。然后再求F ’(x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。例2：设)(x f 在[a ，b]上连续,且)(x f >0. 试证： 2b )() (1 )(a b dx x f dx x f a b a -≥? ? 证明：构造辅助函数2)() (1 )()(a x dt t f dt t f x F x a x a --=??（将b 换成x ），则??--+=x a x a a x dt t f x f dt t f x f x F )(2)() (1)(1)()(' = ??? -+x a x a x a dt dt x f t f dt t f x f 2) ()()() ( =dt x f t f t f x f x a )2) ()()()((-+? ∵)(x f ＞0，∴ 02) ()()()(≥-+x f t f t f x f ，又a

关于积分不等式的证明

* * * * 大学 * * 学院毕业论文（设计）（ * 届）题目：关于积分不等式的证明院（系、部）：数学系专业：数学与应用数学姓名： **** 学号 ******** 指导教师：****** ****大学**学院教务处制

摘要：积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，在数学分析中有着广泛的应用，且在考研试卷中会经常出现。研究积分不等式的证明方法，不仅解决了一些积分不等式的证明，而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来，拓宽我们的视野，提高我们的发散思维能力和创新能力。本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用单调性来证积分不等式、利用施瓦茨不等式来证积分不等式、利用拉格朗日中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用Taylor公式来证积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式。关键词：积分不等式；单调性；施瓦茨不等式；拉格朗日中值定理；Taylor公式；凹凸性；二重积分。 Abstract：Integral inequality is a kind of important inequality in the calculus， which is broadly used in mathematical analysis and usually appears in Postgraduate examinations. The study of integral inequality can help us not only solve some integral inequality of equation, but also put the primary mathematics knowledge and higher mathematics knowledge together to broaden our horizons and improve our ability of thinking and innovation. The purpose of this paper is to discuss the proving of the Integral inequality from the following aspects: by the use of the monotonicity of function, Schwarz inequality, Lagrange means value theorem, integral mean value theorem, Taylor formula, concavo convex characteristic of function, double integral and so on. Key words: Integral inequality; monotonous; Schwarz inequality; Lagrange mean value theorem; Taylor formula; concavo-convex characteristic; double integral.

积分不等式的证明方法

积分不等式的证明摘要 :本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用单调性来证积分不等式,利用拉格朗日中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用Taylor公式来证积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式。关键词：积分不等式单调性拉格朗日中值定理 taylor 公式二重积分凹凸性柯西不等式英文题目: to study integral inequality proof: using the monotonous integral inequality, use l Schwartz inequality certificate integral inequality, using Lagrange's mean value theorem of integral inequality, l using integral mean value theorem of integral inequality, l Taylor formula to card integral inequality, use the concave and convex function sex to card integral inequality, use the double integral to card integral inequality. Key word: Integral inequality，monotonous ,Lagrange's mean value theorem, Taylor formula, double integral, Cauchyinequality 1引言：数学分析是数学专业的一门重要的专业基础课，其中很多问题的解

用微积分理论证明不等式的方法

用微积分理论证明不等式的方法江苏省扬中高级中学卞国文 212200 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似．微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义导数定义：设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点 0x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数，n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ．分析：问题中的条件与结论不属于同一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出：)0(221f na a a n '=+++ ．于是问题可以转化为证明 1)0(≤'f ．证明：因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则n na a a f +++=' 212)0(．利用导数的定义得：

探讨定积分不等式的证明方法

探讨定积分不等式的证明方法摘要:文章针对被积函数的特性,给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。关键词:定积分不等式证法不等式的证明在高等数学的学习中很常见,但关于定积分不等式的证明却一直就是一个难点。要证明定积分不等式,首先要瞧被积函数,其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。 1.运用定积分中值定理证明定积分中值定理就是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积,即将定积分转化为函数来证明不等式。例1:设)(x f 在［0,1]上连续且单调不增,证明a ?∈[0,1]有 ? a dx x f 0 )(≥ ?1 )(dx x f a 、证明:由原不等式变形得? a dx x f 0 )(≥??+1 ))()(dx x f dx x f a a （, 即就是要证:? -a dx x f a 0 )() 1(≥?10 )(dx x f a , 对左式,)(x f 在[０,1]上连续, 故由定积分中值定理知: [] a ，01∈?ξ使 )()1()()110 ξf a a dx x f a a -=-?（, 同理对右式:[]12，a ∈ ?ξ使)()1()(2 1 ξ f a a dx x f a -=?, 显然,ξ1＜ξ2又f(ｘ)在［0,1]上单调不增, ∴f (ξ１)≥f (ξ２)

故原不等式 ? a dx x f 0 )(≥?1 )(dx x f a 成立、定积分中值定理的运用直观易懂,它的条件也极其简单,易于掌握。 2.运用辅助函数证明构造辅助函数F(x)证明不等式,首先就是做函数将要证结论中的积分上限(下限)换成x,移项使不等式的一边为零,另一边的表达式即就是辅助函数。然后再求F ’(x),并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。例２:设)(x f 在[a,b]上连续,且)(x f >0、试证:2b )() (1 )(a b dx x f dx x f a b a -≥?? 证明:构造辅助函数2)() (1 )()(a x dt t f dt t f x F x a x a --=? ? (将b 换成ｘ), 则??--+=x a x a a x dt t f x f dt t f x f x F )(2)() (1)(1)()(' = ??? -+x a x a x a dt dt x f t f dt t f x f 2) ()()() ( ＝dt x f t f t f x f x a )2) ()()()((-+? ∵)(x f >０,∴ 02) ()()()(≥-+x f t f t f x f , 又a