2015年高考数学理真题分类汇编：专题02 函数 Word版含解析
专题二 函数
1.【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( ) A
．y = B ．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-
【答案】D
【解析】函数y =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇
函数，故选D ．
【考点定位】函数的奇偶性．
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，除了要掌握奇偶性定义外，还要深刻理解其定义域特征即定义域关于原点对称，否则即使满足定义，但是不具有奇偶性，属于基础题． 2.【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．x
e x y += B ．x x y 1+= C ．x x y 2
12+= D ．21x y += 【答案】A ．
【解析】记()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+，那么()()11f f -≠，
()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，依题可知B 、C 、D 依次是奇
函数、偶函数、偶函数，故选A ． 【考点定位】函数的奇偶性判断．
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性判断和常见函数性质问题，但既不是奇函数，也不是偶函数的判断可能较不熟悉，容易无从下手，因此可从熟悉的奇偶性函数进行判断排除，依题易知B 、C 、D 是奇偶函数，排除得出答案，属于容易题．
3.【2015高考湖北，理6】已知符号函数1,0,
sgn 0,0,1,0.x x x x >??
==??-
()f x 是R 上的增函数，
()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）
A ．sgn[()]sgn g x x =
B ．sgn[()]sgn g x x =-
C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =
D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B
【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)
(x g
是R 上的减函数，由符号函数1,0
sgn 0,01,0x x x x >??==??-??
===-??
.
【考点定位】符号函数，函数的单调性.
【名师点睛】构造法数求解高中数学问题常用方法，在选择题、填空题及解答题中都用到，特别是求解在选择题、填空题构造恰当的函数，根据已知能快捷的得到答案. 4.【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）2
1y x =+ 【答案】
A
【考点定位】1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.
【名师点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段
学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-有零点?函数()()y f x g x =-在x 轴有交点
?方程()()0f x g x -=有根?函数()y f x =与()y g x =有交点.
5.【2015高考四川，理8】设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的 （ ）
（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】
若333a b >>，则1a b >>，从而有log 3log 3a b <，故为充分条件. 若log 3log 3a b <不一定有1a b >>，比如.1
,33
a b =
=，从而333a b >>不成立.故选B. 【考点定位】命题与逻辑.
【名师点睛】充分性必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考.
6.【2015高考北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()
2log 1f x x +≥
的解集是（ ）
A B O
x
y -1
2
2C
A ．{}|10x x -<≤
B ．{}|11x x -≤≤
C ．{}|11x x -<≤
D ．{}|12x x -<≤
【答案】C
【解析】如图所示，把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到
2log (1)y x =+的图象1x =时两图象相交，不等式的解为
11x -<≤，用集合表示解集选C
【考点定位】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想.
【名师点睛】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，本题属于基础题，首先是函数图象平移变换，把2
log y x =沿x 轴向左
平移2个单位，得到2log (y x =+2)的图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写出不等式的解集.
7.【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()2
1x m
f x -=- （m 为实数）为偶函数，
记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C
【解析】因为函数()2
1x m
f x -=-为偶函数，所以0m =，即()21x
f x =-，所以
2
21
log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ?
?===-=-=-= ??
?
()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=
所以c a b <<，故选C.
【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，先由函数奇偶性知识求出m 的值，计算出相应的,,a b c 的值比较大小即可，是中档题. 其中计算a 的值时易错. 8.【2015高考浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）
A. (sin 2)sin f x x =
B. 2
(sin 2)f x x x =+ C. 2
(1)1f x x +=+ D.
2(2)1f x x x +=+
【答案】D.
【考点定位】函数的概念
【名师点睛】本题主要考查了函数的概念，以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题，全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位，同时也考查了举反例的数学思想. 9.【2015高考安徽，理9】函数()()
2
ax b
f x x c +=
+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <
【答案】C
【解析】由()()
2
ax b
f x x c +=
+及图象可知，x c ≠-，0c ->，则0c <；当0x =时，
2(0)0b f c =
>，所以0b >；当0
y =，0ax b +=，所以0b
x a
=->，所以0a <.故0a <，0b >，0c <，选C.
【考点定位】1.函数的图象与应用.
【名师点睛】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、
单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.本题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断,,a b c 的正负关系.
10.【2015高考天津，理8】已知函数()()2
2,2,
2,2,
x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )
（A ）7,4??+∞
??? （B ）7,4??-∞ ??? （C ）70,4?? ??? （D ）7,24??
???
【答案】D
【解析】由()()2
2,2,2,2,x x f x x x -≤??=?->??得222,0
(2),0x x f x x x --≥??-=?
2,0
()(2)42,
0222(2),2
x x x y f x f x x x x x x x ?-+
=+-=---≤≤??--+->?，
即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+
=+-=≤≤??-+>?
()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象
的4个公共点，由图象可知
7
2
4
b <<. 【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.
【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题. 11.【2015高考山东，理10
】设函数()31,1,2,1
x
x x f x x -
≥?错误！未找到引用源。则满足
()()()2f a f f a =的a 取值范围是（ ）
（A ）2,13?????? （B ）[]0,1 （C ）2,3??+∞????
（D ）[)1,+∞ 【答案】C
【考点定位】1、分段函数；2、指数函数.
【名师点睛】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题.
12.【2015高考新课标2，理10】如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）
(D)
(C)
(B)(A)
y
4
2
4
π
π
4
2
4
y
x
y
4
2
4
π
π
4
2
4
y
【答案】B
【解析】由
已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04
x π
≤≤
时，
tan PA
PB x +=+；当点P 在CD 边上运动时，即3,4
42
x x π
ππ
≤≤
≠时，PA PB +=，当2
x π
=时，PA PB +=P 在AD 边上运动时，即
34
x π
π≤≤时，tan PA PB x +=-，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2
x π
=
对称，且()()42
f f ππ
>，且轨迹非线型，故选B ．
【考点定位】函数的图象和性质．
【名师点睛】本题考查函数的图像与性质，表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意，通过点P 的运动轨迹来判断图像的对称性以及特殊点函数值的比较，也可较容易找到答案，属于中档题．
D
P
C
x
13.【2015高考新课标2，理5】设函数
211log (2),1,()2,1,
x x x f x x -+-
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 【答案】C
【解析】由已知得
2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以
22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．
【考点定位】分段函数．
【名师点睛】本题考查分段函数求值，要明确自变量属于哪个区间以及熟练掌握对数运算法则，属于基础题．
14.【2015高考新课标1，理13】若函数f (x )=ln(x x +为偶函数，则a = 【答案】1
【考点定位】函数的奇偶性
【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在x =0处有意义，常用f (x )=0,求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算. 15.【2015高考浙江，理12】若4log 3a =，则22a
a
-+= ．
【答案】
33
4
. 【解析】∵3log 4=a ，∴3234=?=a
a
，∴33
431322=+
=+-a
a
. 【考点定位】对数的计算
【名师点睛】本题主要考查对数的计算，属于容易题，根据条件中的对数式将其等价转化为
指数式，变形
即可求解，对数是一个相对抽象的概念，在解题时可以转化为相对具体的指数式，利用指数
的运算性质求 解.
13.【2015高考湖南，理15】已知32,(),x x a
f x x x a
?≤=?>?，若存在实数b ，使函数()()g x f x b
=-有两个零点，则a 的取值范围
是 .
【答案】),1()0,(+∞-∞ . 【解析】
试题分析：分析题意可知，问题等价于方程)(3
a x
b x ≤=与方程)(2
a x
b x >=的根的个数和
为2，
若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组??
?
?
???≤->≤a b a b a b 3
1
有解，∴23a b a <<，从而
1>a ；
若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2
a x
b x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组????
?>->a
b a b 31
有解，从而