新课标高三数学文科综合测试题与参考答案(二)

新课程高三年级文科数学综合测试题与参考答案试题（二）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 复数3321i i

++的值是 （ ）

A ．i 2121+

B ．

i 107101+ C ．i 8585+ D ．i 4

3

81+ 2.

下列各式中，值为 ） A ．2sin15cos15? B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-

D ．2

1cos 152

-

3.若R b a ∈,，则31a 3

1b >成立的一个充分不必要的条件是 （ ）

A . 0<

B . a b >

C . 0>ab

D . 0)(<-b a ab

4．函数x

x x x f +=)(的图像是

（ ）

A

B

C D

5. 如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形, 俯视图为一个半径为3的圆及其圆心, 那么这个几何体的体积为( )

A. 3π

B. 3π

C. 33π

D. 93π 6．已知方程1||+=ax x 有一负根且无正根，则实数a 的取值范围是（ ）

A. a >-1

B. a=1

C. a ≥1

D. a ≤1 7．直线4)1()1(0144322=++-=-+y x y x 与圆的位置关系是（ ）

A ．相交且直线过圆心

B ．相切

C ．相交但直线不过圆心

D ．相离

8．在正项等比数列}{n a 中，S n 是其前n 项和，若S 10=10，S 30=130，则S 20的值为（ ） A ．50 B ．40 C ．30 D ．310 9．设P 、Q 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P ⊙Q=}.|{Q P x Q P x x ???∈，且 如果}0,4|{},4|{2>==-==x y y Q x y x P x ，则P ⊙Q=（ ）

A ．[]()+∞?-,21,2

B ．()[)+∞?-,21,2

C ．[-2，1]

D ．（2，+∞）

N

10．关于函数2()(2),x f x x x e =-给出下列四个判断： ①()0f x >的解集是}{

02

x x

<< ②(

f 是极小值，f 是极大值

③()f x 没有最小值，也没有最大值 ④()f x 有最大值，没有最小值

则其中判断正确的是：（ ）

A ①③

B ①②③

C ②④

D ①②④. 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，其中11－13为必做题，14－15为选做题，共20分．）

11．给出如右图的一个算法的程序框图, 该程序框图的功能是________ .

12. 给出下列四个命题：

①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；

②一条直线与两个相交平面平行，则它必与这两个平面的交线都平行； ③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行；

④对两条异面直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确的命题序号： ．

13．设周期函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，且2)1(->f ，m

f 3

1)2(-

=，则m 的取值范围是 （考生从下面两道题中任选一道题作答）

14.极坐标方程sin 2cos ρθθ=+所表示的曲线的直角坐标方程是 . 15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，

34=∠MAB ，则=∠D .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知f (x)＝a ·b －

1，其中向量a ，cosx ），b ＝（1，2cosx ）（x ∈R ）.

⑴求f (x)的单调递增区间；

⑵在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，f (A)

＝2，a

b ＝3，求边长

c 的值。

17. （本小题满分12分）

（1）线性回归方程；

（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 18．（本小题满分14分）

如图，四面体C —ABD ，CB = CD ，AB = AD ， ∠BAD = 90°.E 、F 分别是BC 、AC 的中点. （Ⅰ）求证：AC ⊥BD ；

（Ⅱ）如何在AC 上找一点M ，使BF ∥平面MED ？并说明理由；

（Ⅲ）若CA = CB ，求证：点C 在底面ABD 上的射影是线段BD 的中点.

19．（本小题满分14分）

已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，一个顶点的坐标是（0，1），离心率等于 5

5

2． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；

（Ⅱ）过椭圆 C 的右焦点F 作直线 l 交椭圆 C 于A 、B 两点，交 y 轴于M 点，若

1λ=，2λ=，求证 21λλ+ 为定值．

20．（本题满分14分）

已知数列}{n a 满足：,2

1

,121=

=a a 且

*2,0]1)1[(22])1(3[N n a a n n n n ∈=--+--++．

（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n a a b 212?=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ； 21．（本小题满分14分）

设函数d cx bx ax x f +++=2

3)( （a 、b 、c 、d ∈R ）满足：R x ∈? 都有

0)()(=-+x f x f ，且x =1时，)(x f 取极小值.3

2

-

（1）求)(x f 的解析式；

（2）当]1,1[-∈x 时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直； （3）设)()(x xf x F = ，证明：)3,0(∈x 时，.4

3)(≤x F

参考答案：

一、选择题：1~5BDACD 6~10CDBAD

二、填空题：11.输出c b a ,,较小者； 12. ②④； 13. ),0()3,(+∞?--∞； 14. 2220x y x y +--=； 15.

124

16．解：⑴f (x)＝a ·b

－1，cosx ）·（1，2cosx ）－1

＋2cos 2x －1 …………2分

sin2x ＋cos2x …………3分

＝2sin （2x ＋6

π

） …………5分 由2k π－2π≤2x ＋6π≤2k π＋2π 得 k π－3π≤x ≤k π＋6

π

∴f (x)的递增区间为,3

6k k π

πππ?

?

-

+

???

?

（k ∈z ） …………7分 ⑵f (A)＝2sin （2A ＋6

π

）＝2 ∴sin （2A ＋

6π

）＝1 …………8分 ∴2A ＋6π＝2π

∴A ＝6

π

…………10分

由余弦定理得 a 2＝b 2＋c 2－2bccosA

3＝9＋c 2―3即 c 2―＋6＝0 …………11分

（c －（c 0

∴c ＝c …………12分

17

于是23.14

5905

453.112552

2

51

25

1=?-??-=

--=

∑∑==x

x y

x y

x b i i i i

i ， 08.0423.15=?-=-=x b y a 。

∴线性回归方程为：08.023.1^

+=+=x a bx y 。 （2）当x=10时，38.1208.01023.1^=+?=y （万元）

即估计使用10年时维修费用是12.38万元。

18．解：（Ⅰ）取BD 的中点O ，连接AO ，CO ，在△BCD 中， ∵BC = DC ，∴CO ⊥BD ，同理AO ⊥BD ………… 2分 而AO ∩CO = O ，∴BD ⊥平面AOC ，

又?AC 平面AOC ，∴AC ⊥BD . ……………………4分 （Ⅱ）取FC 的中点M ，连接EM ，DM ，

∵E 是BC 的中点，∴BF ∥EM ，……………………6分

∵?EM 平面MED ，∴BF ∥平面MED ，

∴FC 的中点M 即为所求. ……………………………8分 （Ⅲ）∵△ABD 是等腰直角三角形，∠BAD = 90°， ∴AO = BO = DO ；∵CA = CB = CD ，CO 是公共边， ∴△COA ≌△COB ≌△COD ；

∴∠COA=90°，即CO ⊥AO ，…………………………………………………………12分 又CO ⊥BD ，AO ∩BD = O ，∴CO ⊥平面ABD

即点C 在底面ABD 上的射影是线段BD 的中点 …………………………………… 14分

19.解：（Ⅰ）设椭圆 C 的方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ，则由题意知1=b ．

∴

55

22

22=-a

b a ．即552112=-a ． ∴ 52

=a ．

∴ 椭圆 C 的方程为15

22

=+y x ．4分 （Ⅱ）设A 、B 、M 点的坐标分别为A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），M （0，0y ）．又易知F 点的坐标为（2，0）． ∵ 1λ=，

∴ （1x ，01y y -）),2(111y x --=λ．

∴ 11

112λλ+=

x ，1

011λ+=y y ． 7分 将A 点坐标代入到椭圆方程中，得

1)1()12(5121

02

11=+++λλλy ． 去分母整理得

0551020121=-++y λλ． 11分

同理，由BF MB 2λ=可得：055102

022

2=-++y λλ． ∴

1λ，2λ是方程05510202=-++y x x 的两个根，

∴ 1021-=+λλ． 14分

20．解：（Ⅰ）经计算33=a ，414=

a ，55=a ，8

1

6=a ． 当n 为奇数时，22+=+n n a a ，即数列}{n a 的奇数项成等差数列，

122)1(112-=?-+=∴-n n a a n ；

当n 为偶数，n n a a 21

2=

+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列， n n n a a )2

1

()2

1

(1

22=?=∴-． 因此，数列}{n a 的通项公式为??

???=)()

21()( 2

为偶数为奇数n n n

a n n ．

（Ⅱ） n

n n b )2

1()12(?-=，

n n n n n S )2

1

()12()21()32()21(5)21(3211132?-+?-++?+?+?

=∴- ……（1） 1432)2

1

()12()21()32()21(5)21(3)21(1

21+?-+?-++?+?+?=n n n n n S …（2） （1）、（2）两式相减， 得

132)2

1

()12(])21()21()21[(2211 21+?--++++?=n n n n S 11)21()12(2

11])21(1[2121+-?----?+=n n n 1)21()32(23+?+-=n n ．

n

n n S )2

1()32(3?+-=∴．

21．解：（I ）因为，)()(,x f x f R x -=-∈?成立，所以：0==d b ，

由：0)1(='f ，得 03=+c a ，

由：32)1(-

=f ，得 32

-=+c a 解之得：1,31-==c a 从而，函数解析式为：x x x f -=3

3

1)(…………4分

（2）由于，1)(2-='x x f ，设：任意两数 ]1,1[,21-∈x x 是函数)(x f 图像上两点的横坐

标，则这两点的切线的斜率分别是：1)(,1)(2

2222111-='=-='=x x f k x x f k

又因为：11,1121≤≤-≤≤-x x ，所以，0,021≤≤k k ，得：021≥k k 知：121-≠k k

故，当]1,1[-∈x 是函数)(x f 图像上任意两点的切线不可能垂直…………9分 （3）当：)3,0(∈x 时，)3,0(2∈x 且032

>-x 此时

4

3)23(31)3(31)31()()(2222

23=-+?≤-=-==x x x x x x x x xf x F

当且仅当：,32

2

x x -=即)3,0(3

6

∈=

x ，取等号，故：43)(≤x F …………14分