第八章几何证明

第八章 几何证明

§8.1 共线点

定义8.1.1：同在一条直线上的若干点叫做共线点，或称这些点共线。

一、证题术1：证明A 、B 、C 三点共线的基本方法是：适当选择一条通过A 点的直线PAQ ，连接AB 、AC ，那么： ①当B 、C 在A 的异侧时，证明∠BAQ =∠PAC 、或∠PAB +∠PAC = 180o ；

②当B 、C 在A 的同侧时，证明∠PAB =∠PAC 。

例

1（西姆松线）：证明三角形外接圆上任意一点在三边所在直线

上的射影共线。

证明：如图所示：点P 是三角形ABC 的外接圆圆周上任意一点,不失一般性，不妨设P 在劣弧⌒BC

内，过P 作PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，PG ⊥CA ，连接EF ，FG ，那么P 、

B 、E 、F 四点共圆，P 、G 、

C 、F 四点共圆，P 、G 、A 、E 也共圆。

由于∠BFE =∠BPE =∠BPC －∠EPC

=∠BPC －(∠EPG －∠CPG)= ∠BPC －∠EPG +∠CFG

图

2

P

而∠BPC 与∠A 互补,∠EPG 与∠A 也互补，所以∠BPC =∠EPG 于是∠BFE =∠CFG ，而∠EFP +∠PFC =∠EFB + 90o +90o 所以E 、G 两点在直线BC 异侧，故∠BFE 与∠CFG 是对顶角，即E 、F 、G 三点共线。

这条直线通常叫做西姆松线（实际应该叫瓦里斯线，因为是瓦里斯在1797年首先发现的）。

二、证题术2：证明点共线，可以借助某些特殊点线的唯一性。 例2（欧拉线）：证明三角形的外心、重心、垂心三点共线。 证明：设O 、G 、H 依次是三角形ABC 的外心、重心和垂心。E 、M 依次是BC 、CA 的中点，连接OH ，设OH 与AE 交于G`，连接AH 、OE ，则AH ∥OE ，所以△AHG`∽△EOG`，于是

G`A ∶G`E = AH ∶EO

如图4，连接BO 延长交三角形ABC 的外接圆于M 点，因为AH ⊥BC ，MC ⊥BC ，所以AH ∥MC ，又因为CH ⊥AB ，AM ⊥AB ，所以AM ∥CH ，

于是AH = CM = 2EO 。所以G`点内分线段AE 成二比一，即G`是三角形ABC 的重心。从而O 、G 、H 三点共线。

三、证题术3：利用梅涅劳定理

在证明点共线时，有一个非常重要的定理，它就是梅涅劳定理，梅涅劳（Menelaus ）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有

图3

E

B

C

图

4

几何学和三角学方面的许多书籍。下面的定理就是他首先发现的。这个定理在几何学上有很重要的应用价值。为了比较顺利地介绍梅涅劳定理，我们先引入有向线段的概念。

一条直线上的点排成两种不同的顺序，我们说这两种顺序确定了这条直线的两个不同的方向，在这两个方向中，我们通常选择一个作为直线的正向，而把另一个方向叫做负向。选定了正向的直线叫做有向直线。在有向直线上或平行于有向直线的线段叫做有向线段。对于由点A 、B 按方向的不同可以产生两个有向线段，一个以A 为起点，以B 为终点；另一个一个以B 为起点，以A 为终点。为了与无向线段区别开来，我们把前一个记为AB ，后一个记为BA 。这样有向线段的长度也有正负只分。当一个有向线段的方向与规定的正方向一致时，那么它的长度在数值上等于这条线段作为无向线段时的长度；当一个有向线段的方向与规定的正方向相反时，那么它的长度在数值上等于这条线段作为无向线段时的长度的相反数。为了区别于一般无向线段的长度，我们把有向线段的有向长度叫做有向线段的数量。在不发生混淆时有向线段AB 的数量仍然用其本身符号表示为AB 。因此在刻画有向线段的无向长度时，一般记为||AB 。对有向线段的数量只有它们的方向一致或相反时才能进行运算。

在上述有向线段的意义下，有向线段具有下面的两条性质： 性质1o ：BA AB -=或0=+BA AB 。

性质2o ：对于一条直线上的任意三个点A 、B 、C ，总有

AC BC AB =+或CA CB AB -=成立。

定理8.1.1（梅涅劳定理）：设D 、E 、F 依次是三角形ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线上的点，那么这三点共线的充分必要条件是

1-=??FA

CF EC

BE DB

AD

证明：先证明必要性：如果D 、E 、F 三点共线。过C 作CM ∥DE 交AB 于M ，于是

FC

AF

DM BD DM AD EC BE FC

AF

DM AD

DM BD

EC BE ?=?∴

==,

,

所以

1-=??FA CF EC BE DB

AD

再证明充分性：如果

1-=?

?

FA

CF EC

BE DB

AD ，延长DF 交BC 的延

长线于E '，再作CM ∥DE 交AB 于M ，那么

FC

AF DM

BD DM

AD C

E E B FC

AF DM

AD DM

BD C

E E B ?=?''∴=='',

，所以

1-=?''?FA CF C E E B DB AD

从而

EC

BE C

E E B =

'' 进而E E ',重合。

例3（笛沙格定理）如果两个三角形的对应顶点的连线共点，那么对应边所在的直线的交点共线。

证明：设B A AB '',交于点E ，

图5

E

图6

F

C

C B BC '',交于点F ，A C CA '',交于点

D 。那么，在三角形OBC 中，

由梅涅劳定理有 1-=?''?''FB

CF

C C C O O B B B ；

同理：在三角形OCA 中有

1-=?''?''DC AD A A A O O C C C ，在三角形OAB 中有1-=?''?''EA

BE

B B B O O A A A ， 将上面三个等式相乘、约分得：

1-=?

?

DC

AD EA

BE FB

CF

对于三角形ABC ，点D 、E 、F 适合梅涅劳定理，所以D 、E 、F 三点共线。

例4：求证，三角形的两条内角平分线和第三角的外角平分线与对边所在直线的交点共线。

证明：如图7：D 、E 依次是角A 、B 的平分线与对边BC 、CA 的交点，F 是角C 的外角平分线与直线AB 的交点，由角

平分线定理有：

EA

CE AB CB DC

BD AC AB ==|

|||,|

|||和

FB

AF BC AC -

=|

|||，将这三个等式

左右对应相乘得：

1-=??EA

CE DC

BD FB

AF ，由梅涅劳定理即得D 、E 、F 三点共线。

例5：在三角形ABC 与三角形A 1B 1C 1中，三对对应顶点的连线AA 1、BB 1、CC 1交于一点S ，三对对应边AB 与A 1B 1、BC 与B 1C 1、CA 与C 1A 1分别交于P 、Q 、R 三点，求证P 、Q 、R 三点共线（如图8所示）。

图7

F

A

B

证明：由梅涅劳定理，只需证明：1

-=?

?

RA

CR QC

BQ PB

AP 即可。

事实上，在三角形ABS

中，P 、B 1、A 1分别是AB 、SB 、SA 三边所在直线上的点，

并且这三点共线，于是由梅涅劳定理有：

11111-=??A

A SA S

B BB PB

AP ………①

同理：在三角形BCS 中有：

11111-=??B

B SB S

C CC QC

BQ ………②

在三角形CAS 中：

11111-=??C

C SC S

A AA RA

CR ………③

将上面三个等式相乘即得： 1-=?

?

RA

CR QC

BQ PB

AP

所以P 、Q 、R 三点共线。

这个例题的结论在空间中仍然成立（如图9所示）。

R

1

图9

习题8.1

1、如图：三角形ABC 的外角平分线与对边所在直线依次交于D 、E 、F 三点，求证D 、E 、F 三点共线。

2、依次过三角形ABC 的顶点作它的外接圆的切线，这三条切线与对边所在直线依次交于D 、E 、F 三点，求证D 、E 、F 三点共线。

3、过三角形ABC 的顶点A 作角B 、C 的内、外角平分线的垂线，垂足分别为D 、E 、F 、G ，求证D 、E 、F 、G 四点共线。

4、设M 、N 是三角形ABC 的边AB 、AC 的中点，延长CM 到D 使

CM = DM ，延长BN 到E 使BN = EN ，

求证D 、A 、E 三点共线。

5、设P 是三角形ABC 外接圆上任意一

点，P 关于直线AB 、BC 、CA 的对称点依次为D 、E 、F ，求证D 、E 、F 三点共线。

第1题

E

D

F

第3

题

第4

题

E

第5

题

E

§8.2 共点线

定义8.1.1：几条直线如果相交于同一点，则称这些直线为共点线，或称这些线共点。

一、证题术1：证明三线共点，可以先确定其中两条直线的交点，然后在第三条直线上取两个点，证明它们与交点共线。即把共点线转化为证明点共线。这样就可以运用证明点共线的方法特别是运用梅涅劳定理来解决线共点问题。

例1：在三角形ABC 的外边作正三角形△BCA 1、△CAB 1、△ABC 1（如图1），证明：AA 1、BB 1、CC 1三线共点。

证明：分三种情形讨论。

1o 当三角形中有一个角等于120o 时，例如A 等于120o （图1①），

图1

②

①

A 1

C 1

A 1

B 1

1

C C

这时CAC 1、BAB 1是两条直线，从而AA 1、BB 1、CC 1三线共点于A 。

2o 当三角形的三个内角都小于120o 时（图1②），设BB 1、CC 1交

于O 点，连接OA 、OA 1，这时：

∠BAB 1=∠BAC +∠CAB 1 =∠BAC + 60o =∠BAC +∠C 1AB

=∠CAC1，AB = AC1，AC=AB1，所以△ABB1≌△AC1C，进而A到BB1、CC1的距离相等（全等三角形的对应高相等），从而OA是∠B1OC1的平分线。

再由△ABB1≌△AC1C，有∠B1BC =∠CA1A，∠CAA1 =∠CB1B，所以A、O、C、B1四点共圆，B、O、C、A1四点共圆。所以：∠AOC =∠BOC =120o，于是∠AOB =120o，即A、O、B、C1四点共圆。于是∠AOC1 =∠ABC1 =60o、∠BOC1 =∠BAC1 =60o，所以OC1也是∠AOB的平分线。故C、O、C1三点共线。

3o当三角形中有一个角大于120o时，例如A大于120o（图1③），这时BB1、CC1交于△ABC外部一点O（O、A同在BC一侧），连接OA、OA1，同2o，可以证明△ABB1≌△AC1C及A、O、C、B1四点共圆，B、O、C、A1四点共圆，因此OA是∠B1OC1的平分线，OC1也是∠AOB的平分线。所以C、O、C1三点共线。

这道题还有其他许多种证法。同时结论还可以推广。

图2

1

B1

1

1

B

C

C

B

当△BCA1、△CAB1、△ABC1是三个相似的等腰三角形（三角

形ABC的三边为底边）时，结论AA1、BB1、CC1三线共点仍然成立

（如图二所示）。

例1中三直线AA1、BB1、CC1的交点O叫三角形ABC的正等角中心。当三角形ABC的内角都小于120o时，三角形的正等角中心到三角形的三顶点的距离之和为最小。这个性质在17世纪时被法国数学家费马首先发现，所以当三角形ABC的内角都小于120o时，三角形的正等角中心又叫三角形的费马点。

二、证题术2：证明三线共点，可以先确定其中两条直线的交点，然后将这个点与第三条上某个点连接，证明这条连线与第三条直线重合。

例2：已知三个圆的圆心不共线，两两相交得三条公共弦，求证

这三条弦所在直线共点。

的公共弦为AA1，圆O1与圆O3的公

共弦为CC1。圆O2与圆O3的一个公

共点为B。由于圆心O1、O2、O3不共

线，并且O1O3⊥CC1，O1O2⊥AA1，

所以CC1与AA1必然交于一点O。连接BO并设所在直线交圆O3交于D1，交圆O2于D2，那么，由相交弦定理，在圆O2中，BO·OD2 = AO·OA1，在圆O1中，AO·OA1 =CO·OC1，在圆O3中，CO·CO1 =BO·OD1，所以

BO·OD2 = OB·OD1，于是OD1 = OD2。所以D1、D2重

合于一点B1，所以圆O2与圆O3的公共弦BB1也过O点。即三条公

共弦AA 1、BB 1、CC 1共点。

三、证题术3：证明三线共点，有时可以利用某些特殊点、线的唯一性。

例3：在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 依次是边CD 、DA 、AB 、BC 的中点，I 、J 依次是对角线AC 、BD 的中点，求证EG 、FH 、IJ 三直线共点。

证明：由图4，由三角形中位线定理知EFGH 是平行四边形，所以它的对角线FH 、EG 交于一点O 并且都被O 点平分。同时FJHI 也是平行四边形，则它的对角线FH 、IJ 也交于一点O 1并

且也被O 1平分，从而O 、O 1都是FH 的中点，故O 1、O 重合，所以EG 、FH 、IJ 三直线共点。

四、证题术3：证明三线共点，可以利用塞瓦定理

同梅涅劳定理一样，在证明线共点时，下面的定理占有相当重要的地位。这个定理是由17世纪意大利数学家兼水力工程师塞瓦（Ceva ）首先发现的。

定理8.2.1（塞瓦定理）：设D 、E 、F 依次是三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 所在直线上的点，那么两两不平行的三直线AD 、BE 、CF 共点的充分必要条件是

1=??EA

CE DC

BD FB

AF 。

证明：先证必要性。如果直线AD 、BE 、CF 三直线交于同一点O ，对于三角形ADC 和三角形ADB 分别使用梅涅劳定理，那么有

C

B

1

1

-=?

?

-=?

?

CD

BC FB

AF OA

DO EA

CE BC

DB OD

AO

将上面的两个等式左右相乘即得：

1=??EA

CE DC

BD FB

AF

再证明充分性。假设条件

1=??EA

CE DC

BD FB

AF

成立。因为BE 、CF 不平行，所以设这两条直线交于O 点。又设直线AO 交直线BC 于D 1点。由前面证明过的必要性，应有

111=??EA

CE

C D BD FB AF

成立，及条件

1=??EA CE DC BD FB AF ，于是C D BD DC

BD 11=

成立。所以D 、D 1重合。这里如果AO ∥BC （图6），那

么

CB AO FB

AF AO BC

EA CE ==，代入

1=??

EA

CE DC

BD FB

AF 得

1-=DC

BD ，即

DC BD -=，而DC BC CD BC BD -=+=

从而0=BC 而导致矛盾，故AO 不可能平行于BC 。

下面我们用塞瓦定理证明本节例1后对费马点所作的推广。 例4：在三角形ABC 的外边以三角形的边为底边的三个相似等腰三角形△BCA 1、△CAB 1、△ABC 1（如图7），证明：AA 1、BB 1、CC 1三线共点。

证明：设三个相似等腰三角形的底角为α，顶角为β，下面分三

图5

C

B

D

1图6

B

F

种情形讨论：

（1） 当三角形ABC 的最大角θ满足αθ-<0180时（图7①）：

②图7

C 1

B C 1

B A 1

C 1

B

设AA 1、BB 1、CC 1交三角形的三边依次于D 、E 、F 三点，根据塞瓦定理只需证明

1=??EA

CE DC

BD FB

AF 即可。

而)

sin(||)sin(||)

sin(||||)sin(||||111

1αααα+?+?=

+??+??=

=

??B BC A AC B BC BC A AC AC S S FB

AF CBC CAC

同理有：

)

sin(||)sin(||)

sin(||)sin(||αααα+?+?=

+?+?=

A A

B

C CB EA

CE C AC B AB DC

BD

将上面三个等式分别相乘即得：1=?

?

EA

CE DC

BD FB

AF 。

（2）当三角形ABC 的最大角θ满足αθ->0180时（图7②）时，不妨设角C 是最大角。除交点F 外，D 、E 分别在BC 和AC 的延长线上，这时

)

sin(||)sin(||)

sin(||||)sin(||||111

1αααα+?+?=

+??+??=

=??B BC A AC B BC BC A AC AC S S FB AF CBC CAC )

sin(||)sin(||)

360sin(||||)sin(||||111

1αααα++=

--??+??-

=-

=??C AC B AB C C A AC B B A AB S S DC

BD CAA BAA

)

sin(||)sin(||)

sin(||||)360sin(||||111

1αααα++=

+??--??-

=-

=??A AB C BC A AB AB C C B BC S S EA

CE ABB CBB 将上面三个等式分别相乘仍然得：1=??EA

CE DC

BD FB

AF 。

（3）当三角形ABC 的最大角θ满足αθ-=0180时（图7③）时，不妨设角C 是最大角。这时，BB 1、AA 1都经过点C ，显然三直线AA 1、BB 1、CC 1三线共点于C 。

习题8.2

1、设G 是三角形ABC 的重心，M 、N

分别是GB 、GC 的中点，延长AC 到E 使CE 等于AC 一半，延长AB 到F 使BF 等于

AB 一半，求证AG 、ME 、NF 三直线共点。

2、从三角形ABC 向外以三边为边作三个正方形（如右图）M 、N 、K 分别是平行于三角形各边的正方形边上的中点，求证AN 、BM 、CK 三直线共点。

3、以BC 为直径的5交三角形ABC 的边AC 于E 、交AB 于F ，AH 是BC 边上的高，过E 、F 分别引圆的切线ET 、FS ，求证AH 、ET 、

FS 三直线共点。

第1题

A

第2题

H

E

第3题

4、设AB是圆的直径，AA1、BB1、A1B1是圆的切线，其中A1B1的切点为C，过C作CH⊥AB于H，求证AB1、A1B、CH三直线共点。

5、从三角形ABC的顶点向某直线引垂线，得三个垂足A1、B1、C1，再作A1H1⊥

BC，B1H2⊥AC，C1H3⊥AB，求证A1H1、

B1H2、C1H3三直线共点。

第4题

1第5题

1

1

1

§8.3 几何证明的思路分析

垂直与平行、相等与不等是平面几何中最重要也是最普遍的关系，本节通过若干实例说明这些关系的证明方法和思路。

例1：已知在四边形ABCD 中，AB = CD ，M 、N 分别是BC ，AD 的中点，BA 、CD 的延长线分别交MN 的延长线于E 、F ，求证：

∠AEM =∠CFM 。

思路：要证明两个角相等，一般有四种思路：将要证明的问题归结为某个等腰三角形（或构造一个等腰三角形）、集中到一个平行四边形的对角、转化为平行线的同位角（或内、外错角）、同弧的圆周角等。具体用什么策略，要根据题设条件进行分析。 思路1：如图1。本题要证明的两个角的

位置较分散，利用题设条件中AB = CD 我们可以构造等腰三角形来达到目的。为此将DC 平移到AG 处，得到平行四边形ADCG ，然后作等腰三角形BAG 底边上的高AH ，

剩下的问题就是证明∠3=∠1，∠4 =∠2即可。欲达此目的，则需证明AH ∥MN ，这需要HM ∥AN ，而H 、M 分别是BG 、BC 的中点，于是问题迎刃而解。

思路2：平移DC 到A 时可以改变方向

成图2的形状，这时要证明的两个角成为等腰三角形BAG 的两个底角。这仍然需要证明

图1

G

B

C

图2

B

C

BG ∥MN ，利用M 、N 的中点性质即可得到结论。 例2：已知M 是线段AB 的中点，C 是

线段AB 上不同于A 、B 、M 的任意一点，D 是线段AB 外的一点，N 、P 分别是DC 、DB 的中点，Q 是MN 的中点，求证直线PQ

平分AC 。

思路：本题中点条件较多，构成的三角形也较多，因此中位线应该是予以注意的地方。连接AD 、CN 、MP ，只需要NE ∥AD 就可以解决问题。而PM 是三角形ABD 的中位线，故只需NE ∥PM 。但Q 是NM 中点，因而由对角线互相平分的四边形是平行四边形的性质就可以得到需要的结论。

例3：已知三角形ABC 的内心O 与重心G 的连线GO 平行于BC ，那么AB 、BC 、CA 依次成等差数列。

思路：要证明AB 、BC 、CA 依次成等差数

列。需要证明AB + AC =2BC ，则需要找到AB 与BD ，AC 与CD 的比例关系，O 是内心，利用内角平分线定理得到

AB ∶BD = AO ∶OD=AC ∶DC ，由于GO 平行于BC 和G 是重心得到

AO ∶OD = 2∶1，即AB ∶BD =AC ∶DC= 2∶1

AB + AC =2BD+2DC=2BC ，即AB 、BC 、CA 依次成等差数列。 例4：从圆⊙外一点P 引圆⊙的切线PA 及割线PBC ，弦AE 过

图3

A

图4

D B

C

BC 中点D ，弦EF ∥PC ，求证PF 是圆⊙的切线。 思路：如图5，要证明PF 是切线，需要证明∠6=∠4。也就是证明∠4=∠5，这需要APFD 四点共圆。也就是

证明∠2=∠3，但∠2=∠1，∠1=∠E ，

∠E=∠3，至此问题得到解决。

例5：将任意三角形ABC 的每个内角三等分，证明每两个内角的相邻三等分线的交点构成一个等边三角形（图6）。 思路：这道题按常规思路一般不易获得解决。如果我们先作一个等边三角形，然后构造一个结构与图6相同的图形，利用相似形的传递性达到证明的目的。具体思路如下：

设∠A=3α，∠B=3β，∠C=3γ，作任意等边三角形EFG ，在其外侧作∠A 1EG =60o +β，∠A 1GE =60o +γ，∠B 1EF = 60o +α，∠B 1FE = 60o +γ，∠C 1FG =60o +β，∠C 1GF

= 60o +α（入图7），以下需要完成△A 1B 1C 1∽△ABC ，△A 1EB 1∽△AQB ，△A 1GC 1∽△AOC ，△B 1FC 1∽△BRC 的证明，从而达到△EFG ∽△QRP 的目的。

这时，∠EA 1G=180o －∠A 1EG －∠A 1GE=60o －（β+γ）=α， 同理：∠EB 1F=α，∠A 1EM=β。

过E 作直线EM 使∠A 1EM=β，交A 1G 于M ，交B 1F 于N ，那

图5

P

B

B 1

1

么 ∠MEC=∠A 1EG －β=60o ，又∠FEG=60o ，故∠FEN=180o －（60o +60o ）=60o ，∠B 1EN=∠B 1EF －60o =α，

由EG=EF ，∠MGE=∠NFE=60o +γ，∠MEG=∠NEF=60o 。于是△MEG ≌△NEF 。进而得ME=EN 。 同时由△A 1ME ∽△ENB 1，得

EN

M A EB E A 11

1=，所以

ME

M A EB E A 11

1=

，

再考虑∠A 1EB 1=180o －（α+β），所以△A 1EB 1∽△A 1ME ，于是∠B 1A 1E=α，∠A 1B 1E=β。

同理可得∠GA 1C 1=α，∠GC 1A 1=γ，∠FB 1C 1=β，∠FC 1B 1=γ 所以△A 1B 1C 1∽△ABC 。

进一步得：△A 1GC 1∽△APC ，△A 1FC 1∽△BRC ，△A 1EB 1∽△AQB ，所以△EFG ∽△QRO ，这就证明了△QRP 是正三角形。

习题8.3

1、设AC 与BD 为四边形ABCD 的对角线，AC=BD ，E 为它们的交点，F 、G 为边AD 、BC 的中点，连接FG 交AC 、BD 于P 、Q ，求证EP=EQ 。

2、设D 、E 、F 是△ABC 三边BC 、CA

的中点，AH 为BC 边上的高，求证∠EHF

3、在△ABC 的各边上作等腰相似三角形△ABD ∽△BCE ∽△ACF ，求证DF=EC 。

4、在△ABC 中，∠A=60

o ，求证∠A 的平分线垂直平分连接外心O 及垂心H 的线段OH 。

5、自△ABC 的顶点A 作对边的高AG 交外接圆于F ，垂足、垂心分别为D

、H ，求证D 为HF 的中点。

D

第2题

D E

B

第4题

第5题

B