中考二次函数面积最值问题(含答案)

二次函数最值问题

例1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这

条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S(单位：cm 2)随x(单位：cm)的变化而变化．

(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；

(2)当x 是多少时，这个三角形面积S 最大?最大面积是多少?

解：（1）x 02x 2

12+-=S （2）∵a=2

1-<0 ∴S 有最大值 ∴022

1202a 2b x =-?-=-=）（ ∴ S 的最大值为2002002202

12=?+?-=S ∴当x 为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是200cm 2。

2.如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm ，AD =4cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2）.

（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；

（2）求△PBQ 的面积的最大值.

解：（1）∵S △PBQ =2

1PB ·BQ, PB=AB －AP=18－2x ，BQ=x ，

∴y=2

1（18－2x ）x ，即y=－x 2+9x （0

∴y=－(x －29）2 +4

81,∵当0

3．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以 1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如 果P ，Q 两点同时出发，分别到达B ，C 两点后就停止移动．

（1）设运动开始后第t 秒钟后，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数关

系式，并指出自变量t 的取值范围．

（2）t 为何值时，S 最小？最小值是多少？

解：（1）第t 秒钟时，AP=tcm ，故PB=（6﹣t ）cm ，BQ=2tcm ，

故S △PBQ =?（6﹣t ）?2t=﹣t 2

+6t

∵S 矩形ABCD =6×12=72．∴S=72﹣S △PBQ =t 2﹣6t+72（0＜t ＜6）；

（2）∵S=t 2﹣6t+72=（t ﹣3）2+63，∴当t=3秒时，S 有最小值63cm ．

4．在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园 的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成如图，若设花园的BC 边长为x （m ）花园 的面积为y （m 2）

（1）求y 与x 之间的函数关系式，并求自变量的x 的范围．

（2）当x 取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？

解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，

∴AB=CD，AD=BC ，

∵BC=xm，AB+BC+CD=40m ，∴AB=

， ∴花园的面积为：y=x?=﹣x 2+20x （0＜x≤15）；

∴y 与x 之间的函数关系式为：y=﹣x 2+20x （0＜x≤15）；

（2）∵y=﹣x 2+20x=﹣（x ﹣20）2+200， ∵a=﹣＜0，∴当x ＜20时，y 随x 的增大而增大，

∴当x=15时，y 最大，最大值y=187.5．

∴当x 取15时花园的面积最大，最大面积为187.5．

5.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1． 试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．

解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，

则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4）

易知CN=4-x ，EM=4-y ．

过点B 作BH ⊥PN 于点H

则有△AFB ∽△BHP ∴PH BH BF AF =，即3

412--=y x ， ∴52

1+-=x y ， x x xy S 52

12+-==)42(≤≤x ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，

对于42≤≤x 来说，当x=4时，124542

12=?+?-=最大S ． 6．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．

(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？

(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

解：(1)∵长为x 米，则宽为

350x -米，设面积为S 平方米． )50(3

13502x x x x S --=-?= 3

625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3

625max =S (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大． (2) 中间有n 道篱笆，则宽为2

50+-n x 米，设面积为S 平方米． 则：)50(2

12502x x n n x x S -+-=+-?= 2

625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2

625max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．

即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．

7．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．

A B C D

Q

解：∵∠APQ =90°,

∴∠APB +∠QPC =90°.

∵∠APB +∠BAP =90°,

∴∠QPC =∠BAP ，∠B =∠C =90° ∴△ABP ∽△PCQ.

,86,y

x x CQ BP PC AB =-=∴x x y 34612+-=． 8.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．

（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？

解：（1）根据题意，得x x x x S 302

2602+-=?-= 自变量的取值范围是

（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值

当时，

答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．

9.较难如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向

点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）

秒．解答如下问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BO？

（2）设△AQP的面积为S，

①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，

∴AB===10．

如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t．

∵PQ∥BO，∴，即，解得t=，

∴当t=秒时，PQ∥BO．

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．

①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，

∴，即，解得PD=6﹣t．

S=AQ?PD=?2t?（6﹣t）=6t﹣t2=﹣（t﹣）2+5，

∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣（t﹣）2+5（0＜t＜），

当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．