2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形考点规范练23解三角形文新人教A版201803304206

考点规范练23 解三角形

基础巩固

1.在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆的面积为()

A. B.π

C.2π

D.4π

2.(2017安徽马鞍山一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,则

c=()

A. B.1 C. D.2

3.(2017江西宜春中学3月模拟)在△ABC中,已知a cos A=b cos B,则△ABC的形状是()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

4.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=()

A. B.

C. D.

5.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

6.(2016山西朔州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,b=4,则△ABC的面积的最大值为()

A.4

B.2

C.2

D.

7.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=sin A-sin B,则∠C=.

8.在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.

9.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=.

10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船?

能力提升

11.(2017全国Ⅰ,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos

C)=0,a=2,c=,则C=()

A.B.C.D.

12.如图,已知AB是圆O的直径,AB=2,点C在直径AB的延长线上,BC=1,点P是圆O上半圆上的动点,以PC为边作等边三角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧,记∠POB=x,将△OPC和△PCD的面积之和表示成x的函数f(x),则当y=f(x)取最大值时x的值为()

A. B. C. D.π

13.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果△ABC的面积等于8,a=5,tan B=-,那么

=.

14.(2017广东广州二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b cos C+b sin C=a.

(1)求角B的大小;

(2)若BC边上的高等于a,求cos A的值.

高考预测

15.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a sin A sin B+b cos2A=a.

(1)求;

(2)若c2=a2+b2,求角C.

答案：

1.B解析:在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,

故C=180°-A-B=60°.

设△ABC的外接圆半径为R,

则由正弦定理可得2R=,解得R=1,

故△ABC的外接圆的面积S=πR2=π.

2.B解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×,

整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.

3.D解析:∵a cos A=b cos B,

∴sin A cos A=sin B cos B,

∴sin 2A=sin 2B,

∴A=B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.

4.D解析:(方法一)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,

则由题意,得S△ABC=a·a=ac sin B,即c=a.

由正弦定理,得sin C=sin A.

∵C=-A,∴sin C=sinsin A,

即cos A+sin A=sin A,

整理,得sin A=-3cos A.

∵sin2A+cos2A=1,∴sin2A+sin2A=1,

即sin2A=,解得sin A=(排除负值).故选D.

(方法二)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,

则由题意得S△ABC=a·ac sin B,∴c=a.

∴b2=a2+-2a·,即b=.

由正弦定理,得sin A=.故选D.

5.B解析:依题意可得AD=20 m,AC=30 m,

又CD=50 m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.

6.A解析:∵在△ABC中,,

∴(2a-c)cos B=b cos C.

∴(2sin A-sin C)cos B=sin B cos C.

∴2sin A cos B=sin C cos B+sin B cos C=sin(B+C)=sin A.

∴cos B=,即B=.

由余弦定理可得16=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,

故ac≤16,当且仅当a=c时取等号,

因此,△ABC的面积S=ac sin B=ac≤4,故选A.

7. 解析:在△ABC中,∵=sin A-sin B,

∴=a-b.

∴a2+b2-c2=ab,∴cos C=.

∴C=.

8. 解析:由题意及正弦定理,可知,

即,故∠ADB=45°.

所以A=180°-120°-45°,故A=30°,

则C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形.

所以AC=2sin 60°=.

9. 解析:在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.

由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,

即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),

解得cos α=,则sin α=,

所以tan α=.

10.

解:设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h, 则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,

依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos 120°,

解得BC2=49,BC=0.5x=7,

解得x=14.

又由正弦定理得sin∠ABC=,

所以∠ABC=38°.

又∠BAD=38°,所以BC∥AD.

故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h截住该走私船.

11.B解析:由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,

整理得sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C-sin A cos C=0,

则sin C(sin A+cos A)=0,

因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,

即tan A=-1,因为A∈(0,π),所以A=.

由正弦定理,得,

即sin C=,所以C=,故选B.

12.A解析:∵S△OPC=OP·OC·sin x=sin x,PC2=12+22-2·1·2·cos x=5-4cos x,

S△PCD=PC2·sin(5-4cos x),

∴f(x)=sin x+(5-4cos x)=2sin.

故当x-,即x=时,f(x)有最大值,故选A.

13. 解析:在△ABC中,∵tan B=-,

∴sin B=,cos B=-.