分式的加减法2 教案

课题 第三章 第三节 分式的加减法(二)

教学目标

1.熟练应用异分母的分式加减法的法则。

2.能正确进行分式的通分。

教学重难点

重点 掌握异分母的分式加减运算.

难点 化异分母分式为同分母分式的过程.

教学方法 本节课我主要以“创设情景——引导探究——类比归纳——拓展延伸”为主线，让学生观察归纳，启发和引导贯穿教学始终，通过师生共同研究探讨，体现以教为主导、学为主体的自主探索、合作交流的教学方法为主。

教具准备

教师准备 多媒体投影片 同步学生用导学稿

学生准备 课本 练习本 饱满的学习精神

教学过程

一.类比异分母分数的加减法引入分式通分

[师]大家知道,对于异分母的分数相加减必须利用分数的基本性质，化成同分母的分数相加减,然后才能运算。

上一节课,我们讨论较简单的异分母的分式加减法。下面我们再来看几个异分母的加减法。(多媒体展示，学生在导学稿上做。)

做一做 尝试完成下列各题：

（1）

24a －a

1=____________； （2）a 1+b 1=____________； （3）ab b a +－bc c b +=________； （4）a b 3+b a 2=___________； [生]我们已学过分式的一些知识,如分式的概念,分式的约分以及分式的乘除法等.这些知识,都是在与分数类比中得到的.我想异分母的分式的加减法也可类比分数的加减法,应先把异分母的分式加减法转化为同分母的分式的加减法。

[师]你的想法很好。在分数的加减法中,我们把异分母的分数化成同分母分数的过程叫做通分。

[生]老师,我知道啦,在分式的加减法中,把异分母的分式化成同分母分式的过程也叫做通分。

"做一做"中的几个异分母的分式加减法就需要先通分。

设计意图 通过类比异分母分数加减法引入异分母分式加减法，学生接受起来既简单又易懂。

二.探究通分

[师]下面可尝试用分式的基本性质,将"做一做"中的异分母分式的加减法通分化成同分母的分式加减法,计算并化简。

[生]解:(1) 24a -a 1 =24a -2a a = 24a

a -

(2)

a 1 +

b 1 =ab b +ab a = ab

a b + (3) ab b a + -bc c b + =abc bc ac + - abc

ac ab + = abc

ac ab bc ac --+ = abc

b c b )(- =ac b c - (4) a b 3+b a 2 =ab b 622 + ab a 632 = ab

a b 63222+ (让同学们分组讨论交流完成,教师可巡视发现问题并解决问题)。

[师]把异分母的分式加减法,通过通分,每个分式都化成同分母的加减法。你是怎样通分,把异分母的分式化成同分母的？

同学们可根据"做一做"的每个步骤,总结你是怎样通分的?(小组讨论完成)

[生]我认为通分的关键是几个分式的公分母,从而确定各分式的分子、分母同乘以什么样的"适当整式",才能化成同分母。

[生]确定公分母的方法:系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数,再取各分母所有因式的最高次幂的积,一起作为几个分式的公分母。

法 则 是 基 石

异分母的分式相加减， 先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算.

[师]同学们概括得很好。下面我们来看一个例题(多媒体)

三. 吃透例题 , 成功一半

[例1]计算 (1)31-x -31+x (2)422-a a -21-a (3)()233-x x -x

x -3 分析: 通分时,应先确定各个分式的分母的公分母:先确定公分母的系数,取各个分母系数的最小公倍数;再取各分母所有因式的最高次幂的积。

解:(1) 31-x ,3

1+x 分母的最简公分母为 ()()33+-x x ,则 31-x -3

1+x =()()333+-+x x x -()()

333-+-x x x =()()()()

3333-+--+x x x x =

()()336-+x x

(2)找 422-a a ，21-a 的最简公分母，需要对42-a 分解因式后是()()22-+a a ，422-a a ，2

1-a 的最简公分母是 ()()22-+a a 。 4

22-a a -21-a = ()()222-+a a a -()()

222-++a a a = ()()

222-+-a a a = 2

1+a (3)两个分母的最简公分母为 ()23x -。

()2

33-x x -x x -3 =()

233x x

--()()2

33x x x -- = ()223x x -

设计意图：第(1)题是初步练习分母是整式的异分母分式的加减法，第(2)题加深难度了，分母需要分解因式，才能更好地找到最简公分母来通分，第(2)题的分母需要知道x -3和3-x 虽然是互为相反数，但是只要改变x -3的一项即可，因为()()2

233-=-x x ,并且提示学生分式最后的结果应该化到最简或者整式。练习题逐层加深，结合学生的认知水平，更利于数学学习的深化。

四.随堂练习

1.（2012·绍兴中考）化简111

x x --可得（ ） A ．21x x - B ． 21x x -- C ．221x x x

+- D. 31+x 2.（2012·临沂中考）化简4122a a a ??+

÷ ?--??的结果是（ ） A ． 2a a + B ． 2a a + C ． 2a a - D ． 2

a a - 3. （2012·黄冈中考）化简1)1

1121(22-÷+-++--x x x x x x x 的结果是_______。

4. （2012·枣庄中考）化简11(1)1m m ??-

+ ?+??的结果是 。 5.（2012·张家界中考）先化简：

12

24422++÷--a a a a ，再用一个你最喜欢的数代替a 计算结果。 设计意图：检验学生是否掌握异分母分式的加减运算方法，以便查漏补缺，并且使学生经常接触同步的中考题，让学生感受到中考题的题型和难易程度，使我们的学生意识到，中考题并非很难的题目，借机增强学生学习数学的信心和勇气。

五.学以致用 , 方为能者

探究一 分式的混合运算

[师]我们再来看一个例题(出示多媒体)

[例2]计算:

用两种方法计算:x x x x x x 42232-???

? ??+-- (可由学生板演,学生之间互查互纠).

解: 方法一:(按运算顺序,先计算括号里的算式)

x x x x x x 42232-???

? ??+-- = ()()()()()()????

? ??-+---++2222223x x x x x x x x ()()x x x 22-+ =()()()()x

x x x x x x 2222822-+?-++ 方法二:(利用乘法分配律).

x x x x x x 42232-???

? ??+-- =()()()()x

x x x x x x x x x 2222223-+?+--+?- =()()223--+x x

=82+x

探究二 分式变形应用

已知0132=++a a ,求(1)a a 1+ (2)221a a + [师生共析]由于0132=++a a 没有分母,所以需要对等式进行变形,两边同时处以a ,等式变为013=++a

a ，第(1)题容易解决了，第(2)题有平方，对第(1)题的式子和值的等式左右两边同时平方即可。

解：(1)由0132

=++a a ，两边都处以a 得 013=+

+a

a ，即31-=+a a 。 (2)由31-=+a a ，两边都平方得 912=??? ?

?+a a 即92122=++a a ， 所以221a

a +=7 探究三 分式的拓展灵活应用

出示多媒体

[例3]甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化,两位采购员的购货方式也不同,其中,甲每次购买1000千克,乙每次用去800元,而不管购买多少饲料.

(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少?

(2)谁的购货方式更合算?

[师生共析]由于两次购买饲料的单价有所变化,可设第一次购买的饲料的单价为m 元/千克,第二次购买的饲料的单价为n 元/千克,甲、乙所购买饲料的平均单价应为两次饲料的总价除以两次所买饲料的总质量.在第(2)题中,比较甲、乙所购饲料的平均单价,谁的平均单价低谁的购货方式就更合算,可以用作差法比较平均单价.

解:(1)设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元/千克(m,n 是正数,且m ≠n) 甲两次购买饲料的平均单价为 200010001000n m +=()n m +2

1(元/千克) 乙两次购买饲料的平均单价为n m mn n

m +=+28008001600 (元/千克) (2)甲、乙两种饲料的平均单价的差是

()n m +21 - n

m mn +2 = ()()()

n m mn n m n m +-++2422 = ()()

n m n m +-22 由于m 、n 是正数,因为m ≠n 时, 也是正数,即 ()n m +21 - n

m mn +2 >0,因此乙的购买方式更合算.

教学意图：通过实例，提高学生的数学阅读能力、运用分式的加减运算解决实际问题的能力。同时这个题目给大家一定的时间进行充分的思考，讨论，交流。真正找到问题的“症结”所在。在这练习中,需要注意分子相减时,探究一的方法一中的括号内的减法中,要注意减数分子的括号的作用。探究三不仅仅是分式的灵活应用，而且要会利用作差法比较两个数或式的大小，更是分

式化简的练习。每一个层次的练习完成之后让学生去总结一下在解题过程中的收获，在此基础上引导学生发现解题技巧，把学生的认知提升了一个高的层面上，达到了用法则而不拘泥于法则。

六.课堂小结

这节课我们主要有什么收获？

1.异分母分式相加减，需要先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

2.确定公分母的方法:系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数,再取各分母所有因式的最高次幂的积,一起作为几个分式的公分母。

3.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式（或整式）。

作业布置

上交作业助学58页第6题1 2 3 4题

课外作业抽出10分钟预习3.4分式方程(1)

主要预习方向 1分式方程的定义

2分式方程与整式方程的区别

3分式应用中等量关系的关键语句

板书设计

教学反思：

本节课是分式加减法第二课时，是学生在学习了分式的基本性质及同分母分式的加减法

法则的基础上进行的，学生对于找最简公分母时有一定困难。经过一节课教学，有几点收获

和今后教学中值得注意的问题。

从对异分母分数加减法法则类比出异分母分式的加减法法则，顺应着学生的认知过程，

递进式的设置台阶，使学生归纳出法则，给足充分的时间让学生去演算，去暴露问题，也为

后一步的教学提供了较好的对比分析的材料，让他们留下深刻的印象。

其次是让学生去感受体验，感受到用常规法则去做分式加减法，在此基础上引导学生发

现总结出两种解题技巧，并比较优劣，把学生的认知提升了一个高的层面上，达到了用法则

而不拘泥于法则。通过学生板演可以发现学生许多奇异的思路，培养他们的发散思维能力。

其三是科学设计不仅对一节课的成败起决定作用，对学生数学思想的建立和数学方法的

掌握尤为重要，科学的设计，有利于挖掘学生的数学潜能，突破难点，事半而功倍，有利于

数学学习的深化。

不足之处：（1）忽略了例题的示范性，没有规范的板书解题过程，造成学生浪费了时间，

较差的学生，解题过程乱，导致最后的拓展探究的内容没完成，这部分内容没能得以升华。（2）上课的前十分钟，课堂显得较沉闷，没能较快的调动学生进入较好的学习状态。