(完整版)数学本科毕业论文1
定积分中的几何直观方法与不等式的证明
摘要:一些高指数的不等式,如果借助算术—几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话,一般都要分与进行讨论证明,往往证明起来很麻烦,若借助数学分析中的定积分来进行证明的话,会大大简化其证明工序,也很简单,灵活的选取合适的初等函数进行定积分,再求和会得到意想不到的效果。
关键词:高指数;不等式;算术—几何均值;定积分;数列
1 引言
文[1]中给出了一个不等式: 11
2(11)21n
i n n i
=+-<<-∑
() (1)
田寅生对(1)进行了指数推广,其结果是 命题1【2】 设且,,,则有
1111111[(1)1]1111n
p
p p k n n p k
p p --=+-<<-+---∑
(2)
文[2]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式,分与进行讨论证明,读者不难看出,不仅过程繁琐,而且对其证明思路难以把握。文[3] 中
利用微分中值定理给出了它的另一种证法。 文[4]借助定积分的方法,给出了一种很自然的证明【4】:
命题1的证明【4】 当,时,对于,有,即
,
两边取积分,得
1
111
11(1)k k k p p p k
k k dx dx dx k x k
+++<<+?
??, (3)
即得
11111[(1)](1)1p p
p p
k k k p k
--<+-<+- (4)
对(3)两边分别求和,即得
111
1111[(1)1]1111n
p
p p k n n p k p p --=+-<<-+---∑
(5)
命题1得证。
该证明方法简单自然,几何意义直观。不等式(3)的几何意义是:如图1,以为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间,根据定积分的几何意义,即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。
(图1)
在文[5]中,又把(1)式推广为: 命题2【5】 已知为等差数列且,公差,则
1111
1221
()()n
n i n i a a a a a d d a +=-<<-+∑
(6)
其证明方法与文[1]本质上是一样的。本文将借鉴[4]中方法,即利用定积分的几何直观方法,把有关结果作进一步的推广。
2 主要结果
下面借鉴文[4]中定积分的的方法,把命题2推广为 定理1 设为等差数列且,公差,,,,则
1111111111111()()(1)(1)n
p p p p
n n p p
i i
a a a a d p a d p a ----+=-<<-+--∑ (7)
为证明定理1,先证明下面的引理 引理1 设为等差数列且,公差,,,,则
1111111()(1)p p
k k p p
k k
a a a d p a --++<-<- (8)
证明 因为数列是等差数列,且,所以该数列是一个单调递增的正数列,又因为,不妨令,则有 即
(9) 对(9)两端在上取积分,有
1
1111
11k k k k
k k a a a p p p a a a k k
dx dx dx a x a ++++<
?? (10)
即
1111111()1p p
k k
p p
k k d
a a d a p a --++<-<- (11)
由(11),即得
1111111()(1)p p
k k
p p
k k a a a d p a --++<-<- 定理1的证明 由引理1可得
(12)
对(12)式的两边同时求和,得
1
1
11111111()(1)n n p p
k k p
k k k a a a d p ----+==+<--∑∑ 即
111111111()(1)n
p p
n p p
k k
a a a a d p --+=-<--∑ 故有
111111
111()(1)n
p p
n p p
k k a a a d p a --+=<-+-∑ 同理,由
(13)
对式(13)的两边同时求和,可得到
1111111()(1)n
p p
n p i i
a a d p a --+=-<-∑
故定理1得证。
引理1的证明中几何意义十分明显,参见下面的图2。
(图2)
如果注意到函数()是下凸函数,利用关于下凸函数图像的下列两条几何性质:
性质1 任意两点间的弧段总在这两点连线的上方;
性质2 曲线总在它的任一切线的上方。
那么可以对引理1中的不等式(8)进一步精细化,得到
定理2 设为等差数列且,公差,,,,则
1111111
111111()()2(1)2p p p
k k k p p p p k k k k d a a a a p d p a a a ---+++++<-<--- (14)
证明 因为()是下凸函数,由上述两条性质,得
11111()()
()'()()()()()k k k k k k k k k
f a f a f a f a x a f x f a x a a a +++++-+-<<+
--
即得
111111111111()()p p
p k k k k k p p p k k k k
a a a x a x a a p x a a a -+++++-
--<<+--
(15)
对(15)两端在上积分,得(14)成立。
定理2证明的几何意义,可参考下面图3。
(图3)
推论1 当,时,有
111111111(1)[(1)][](1)(1)2(1)
p p p
p p p p
k k k k p k k k ---++<+-<--+-+ 该结果显然比(4)式更为精细。
3 应用例子
例1【1】 试求11
1
123
1000,000
x =+
+++
的整数部分.
解 由(1)式,得 于是可以判断,故。
例2【1】 试求的值,式中
111
10,00010,0011,000,000
x =
+++
. 解 由命题1,可得 所以。
例3 设3331111232010
x =+
+++ ,求不超过的最大整数. 解 对本问题,如果运用命题1或命题2将无法计算,我们运用定理1便会迎刃而解,(),令数列的通项公式为,,, 由定理1,可得
11113
3
11(2011
1)20101111113
3
x --??-<<-+ ??
?-- 即
所以。
例4 设3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
27
29
31
2003
s =+
+
++
,求的近似值(绝对误
差不超过).
解 记数列是以为首项,公差的等差数列,那,这里,由定理1,得
222211113
3
3
3
23
111(2005
27
)(2003
27
)222(1)
2(1)
27
3
3
s --
-
-
-<<
-+
--
即
由绝对误差不超过0.06,而14.512-14.454=0.058<0.06,故s 可以取14.454到14.512任何一个数即可,不妨取s=14.49。
4 其它应用
在文[6]中,作者给出了二次根式的一个不等式: 命题3【6】 设,则
y x p p y p x p +++≥+++ (16)
当且仅当x=0或y=0时,(1)的等号成立。
原证比较简短,但我们更关心的是不等式(16)是如何得到的,换言之,这类不等式具有什么样的几何意义?
考虑函数与,,则由,得 即
p x p y p y x p -+≤
+-++ (17)
由于不等式(16)与(17)等价,而不等式(17)具有鲜明的几何意义,
它的左右两端分别代表两个曲边梯形的面积 (如图4)
(图4)
事实上,许多重要不等式都具有类似的几何意义,如不等式 () (18)
就可以利用
()?
?
?≤+≤+x
x
x dt dt t dt t 0
002
111
11
(19)
来认识其几何意义。
由此可知,通过对一些简单的不等式积分,可能获得另一个不是十分明显的不等式。
下面例子选自《高等数学附册·学习辅导与习题选解》一书,我们将用利用定积分的几何直观方法进行新的证明,并改进其结果。
命题4【7】 设,证明
(20)
文献[7]关于不等式(20)的证明思路是:
1
11000(1)1111p
p
p p p dx x x dx dx x x x =-=-+++??? 而,故有,因此
由此可知(20)式左侧的不等式成立,至于(20)式右侧的不等式,那是显然的。
另证 因为()是下凸函数,函数在点的切线方程为,根据下凸函数的
几何性质,有
(21)
当,时,有,将(21)中的换成,得
(22) 再对(22)两端在上积分,立得结论成立。
下面改进不等式(20)两端的常数,将得到如下更加精细的结果: 推论2 设,则
103211
max[,]114(1)12(1)
p p p dx p p x p +<<-++++?
证明 考虑函数在点的切线方程为,而函数的两个端点、的连线方程为,根据下凸函数的几何性质,有
(23)
将(23)中的换成,得
(24)
再对(24)两端在上积分,得
103211
14(1)12(1)
p p dx p x p +<<-+++? 再结合命题4所证,故得
103211
max[
,]114(1)12(1)
p p p dx p p x p +<<-++++?。 参考文献:
[1] 徐利治,王兴华. 数学分析的方法及例题选讲[M]. 北京: 高等教育出版社, 1984 [2] 田寅生. 一个不等式的指数推广及应用[J]. 中学数学月刊,2003(9)
[3] 刘玉琏等. 数学分析讲义练习题选解(第一版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 1996 [4] 胡付高. 一个不等式的简证及其几何直观[J]. 中学数学,2004(2) [5] 田寅生. 一个不等式的推广、加强及应用[J]. 数学通报, 2004(2) [6] 赵思林. 关于二次根式的一个不等式及应用[J]. 中学数学, 2007(9)
[7] 同济大学应用数学系. 高等数学附册, 学习辅导与习题选解[M]. 北京: 高等教育出版社, 1983