初一角平分线练习

初一角平分线练习
初一角平分线练习

角平分线练习

1.如图,已知OE 、OD 分别平分∠AOB 和∠BOC ,若∠AOB =90°,∠EOD =70°,求∠BOC 的度数.

2.如图,∠AOC=∠BOD=90o,∠AOD=130o,求∠BOC 的度数。

3. 如图,已知∠AOB 是直角,点C 、O 、D 在一条直线上,∠AOC=25°,则∠BOC 和∠AOD 的度数分别是( )

A 75°,155°

B 65°,155°

C 25°,65°

D 90°,180°

4.如果∠1=65°15′,∠2=78°30′,那么∠3是多少度?

5.用一副三角板不能画出( )

A.75°角

B.135°角

C.160°角

D.105°角

6.如果∠1-∠2=∠3,且∠4+∠2=∠1,那么∠3和∠4间的关系是( )

A.∠3>∠4

B.∠3=∠4;

C.∠3<∠4

D.不确定

D C

B

A

O

7. 如图,∠AOB=55°.画出∠BOC的平分线OD,并计算∠AOD的度数。

B

A O C

8. OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线,若∠AOB=90°,∠AOB= 2∠BOC,

求∠AOC的度数.

9.选择题

(1)下列说法中:①一个角的补角一定大于这个角的余角;②一个角的补角必定大于这个角;③若两个角互为补角,那么这两个角必定是一个锐角和一个钝角;④互余的两个非零的角必定都是锐角. 不正确的个数有()

A 1个

B 2个

C 3个

D 4个

10.已知:∠AOB=40°,∠BOC是∠AOB的补角,OD、OE分别是∠AOB和∠BOC的平分线,求∠DOE的度数.

12.如图,O是直线AB上的一点,OM是∠AOC的角平分线,ON是∠BOC的角平分线,(1)图中互余的角有几对?

(2)图中互补的角有几对?

C

N

M

B

A

O

新北师大版八年级下册数学 《角平分线(1)》教案

4.角平分线(一) 一、学生知识状况分析 本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上,进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程,因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。 二、教学任务分析 学生已探索过角平分线的性质,而此处在学生回忆的基础上,尝试着证明它,并构造其命题,进一步讨论三角形三个内角平分线的性质.本节课的教学目标为: 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理. 2.进一步发展学生的推理证明意识和能力,培养学生将文字语言.转化为符号语言、图形语言的能力. 3.经历探索,猜想,证明使学生掌握研究解决问题的方法。 教学难点: 正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节:第一环节:情境引入;第二环节:探究新知;第三环节:巩固练习;第四环节:随堂练习;第五环节:课时小结;第六环节:课后作业 1:情境引入 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质,步骤如下: 从折纸过程中,我们可以得出CD=CE, 即角平分线上的点到角两边的距离相等. 你能证明它吗? 2:探究新知 (1)引导学生证明性质定理 请同学们自己尝试着证明上述结论,然后在 全班进行交流. 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P 2 1 E D C P O B A

在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E. 求证:PD=PE. 证明:∵∠1=∠2,OP=OP, ∠PDO=∠PEO=90°, ∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) 我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论.我们把它叫做角平分线的性质定理。(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(2)你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时,已经历过构造其逆命题的过程,我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题. 引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题: 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上. 它是真命题吗? 你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时,是假命题. (由学生自己独立思考完成,在全班讨论交流,对困难学生可个别辅导) 证明如下: 已知:在么AOB内部有一点P,且PD上OA,PE⊥OB,D、E为垂足且PD=PE,求证:点P在么AOB的角平分线上. 证明:PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠ PEO=90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP,PD=PE,∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理). ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等). 逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了,那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理.我们就把它叫做角平分线的判定定理。 3.巩固练习 综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展

(八年级数学教案)数学教案-角的平分线

数学教案-角的平分线 八年级数学教案 3.9角的平分线 教学目标 1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用. 2.理解原命题和逆命题的概念和关系,会找一个简单命题的逆命题. 3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点. 性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点. 教学过程设计 一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明 1,复习引入课题. (1)提问关于直角三角形全等的判定定理.

(2)让学生用量角器画出图3-86中的/ AOB的角

平分线oc. 2.画图探索角平分线的性质并证明之. (1)在图3- 86中,让学生在角平分线OC上任取一 点P,并分别作出表示P点到/ AOB两边的距离的线段 PD, PE (2)这两个距离的大小之间有什么关系?为什么?学生度量后得出猜想,并用直角三角形全等的知识进行证明,得出定理. (3)引导学生叙述角平分线的性质定理(定理1),分析定理的条件、结论,并根据相应图形写出表达式. 3.逆向思维探求角平分线的判定定理. (1)让学生将定理1的条件、结论进行交换,并思考所得命题是否成立?如何证明?请一位同学叙述证明过程,得出定理2――角平分线的判定定理. (2)教师随后强调定理1与定理2的区别:已知角平分线用性质为定理1,由所给条件判定出角平分线是定理2. (3)教师指出:直接使用两个定理不用再证全等,可简化解题过程. 4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.

(1)角平分线上任意一点(运动显示)到角的两边的距离都相等(渗透集合的纯粹性). (2)在角的内部,至U角的两边距离相等的点(运动显示)都在这个角的平分线上(而不在其它位置,渗透集合的完备性). 由此得出结论:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合. 二、应用举例、变式练习 练习1填空:如图3-86 (1) v OC平分/AOB,点P在射线0C上, PD丄OA于D PE丄OB于E.「. ----- (角平分线的性质定理). (2) v PD丄OA, PEL OB, -------- 二0P平分/AOB ( --------- ) 例1已知:如图3-87 (a), ABC的角平分线BD和CE交于F. (1)求证:F到AB, BC和AC边的距离相等; (2)求证:AF平分/ BAC; (3)求证:三角形中三条内角的平分线交于一点,而且这点到三角形三边的距离相等; (4)怎样找△ ABC内到三边距离相等的点?

八年级数学上 角平分线的作法

一. 教学内容: 1. 角平分线的作法. 2. 角平分线的性质及判定. 3. 角平分线的性质及判定的应用. 二. 知识要点: 1. 角平分线的作法(尺规作图) ①以点O 为圆心,任意长为半径画弧,交OA 、OB 于C 、D 两点; ②分别以C 、D 为圆心,大于1 2 CD 长为半径画弧,两弧交于点P ; ③过点P 作射线OP ,射线OP 即为所求. O A B ① ② ③ 2. 角平分线的性质及判定 (1)角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ①推导 已知:OC 平分∠MON ,P 是OC 上任意一点,PA ⊥OM ,PB ⊥ON , 垂足分别为点A 、点B . 求证:PA =PB . O P A B M N 12 C 证明:∵PA ⊥OM ,PB ⊥ON ∴∠PAO =∠PBO =90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1=∠2 在△PAO 和△PBO 中,???? ?∠PAO =∠PBO ∠1=∠2 OP=OP ∴△PAO ≌△PBO ∴PA =PB ②几何表达:(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)

O P A B M N 12 如图所示,∵OP 平分∠MON (∠1=∠2),PA ⊥OM ,PB ⊥ON , ∴PA =PB . (2)角平分线的判定:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ①推导 已知:点P 是∠MON 内一点,PA ⊥OM 于A ,PB ⊥ON 于B ,且PA =PB . 求证:点P 在∠MON 的平分线上. O A B M N P 证明:连结OP 在R t △PAO 和R t △PBO 中,? ????PA =PB OP =OP ∴R t △PAO ≌R t △PBO (HL ) ∴∠1=∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上. ②几何表达:(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.) O P A B M N 1 2 C 如图所示,∵PA ⊥OM ,PB ⊥ON ,PA =PB ∴∠1=∠2(OP 平分∠MON ) 3. 角平分线性质及判定的应用 ①为推导线段相等、角相等提供依据和思路; ②实际生活中的应用.

人教版八年级数学上册《角的平分线的性质》

角的平分线的性质 教学目标 知识与技能: 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法; 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法: 通过让学生经历观察演示,动手操作,合作交流,自主探究等过程,培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观: 培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,激发学生应用数学的热情。 教学重点: 掌握角平分线的尺规作图,理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点: 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解; 2、对于性质定理的运用。 教学过程: 一、创设情景 生活中有很多数学问题: 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼,刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点,要从P 点建两条管道,分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1:怎样修建管道最短? 问题2:新修的两条管道长度有什么关系,画来看一看。 二、探究体验 要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线,工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型,介绍仪器特点(有两对边相等),将A 点放在角的顶点处,AB 和AD 沿角的两边放下,过AC 画一条射线

A F C B E AE ,AE 即为∠BAD 的平分线。 学生口述,用三角形全等的方法证明AE 是∠BAD 的平分线。 多媒体展示实验过程。 把简易平分角的仪器放在角的两边时,平分角的仪器两边相等,从几何作图角度怎么画?BC =DC ,从几何作图角度怎么画? 让学生用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,把对折后的纸片继续折一次,折出一个直三角形(使第一次的折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕。 问题1:第一次的折痕和角有什么关系?为什么? 问题2:第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系,它们的长度有何关系? 如图:按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕.让学生分组讨论、交流,再利用几何画板软件验证结论,并用文字语言阐述得到的性质.(角的平分线上的点到角两边的距离相等) 结合图形写出已知,求证,分析后写出证明过程.教师归纳,强调定理的条件和作用. 三、合作交流 判断正误,并说明理由: (1)如图1,P 在射线OC 上,PE ⊥OA ,PF ⊥OB ,则PE =PF . (2)如图2,P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点,E 、F 分别在OA 、OB 上,则 PE =PF . (3)如图3,在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ,若P 到OA 的距离为3cm ,则P 到OB 的距离边为3cm . 让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题: 问题:引例中两条管道的长度有什么关系?理由是什么? 四、例题讲解 例1 如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且BD =CD ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别是E ,F .求证:EB =FC . E O B A O B P E F 图2 图3 A O B P E A O B P E F 图1

八年级数学:角的平分线(教学设计)

初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校: 年级: 任课教师: 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订:XX文讯教育机构

角的平分线(教学设计) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容,让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力,培养学生的逻辑、直觉判断等能力,本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写,可以放心修改调整或直接进行教学使用。 知识结构 重点与难点分析: 本节内容的重点是角平分线的性质定理,逆定理及它们的应用。性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等,开辟了新的途径,简化了证明过程。 本节内容的难点是:a、角平分线定理和逆定理的应用;b、这两个定理的区别;c、写命题的逆命题。学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了,所以证题时,不习惯直接应用定理,仍然去找全等三角形,结果相当于重新证明了一次定理。对于原命题和逆命题,学生对条件和结论容易混淆,特别是没有明显的提示语言时,更易找不准条件和结论,这就成了教学的难点。 教法建议: 整堂课围绕“以复习为基础,以过程为主线,以思维为中心,以训练为手段”开展教学。注重学生的参与度,通过提问、板演、讨论等多种形式,让学生直接参加课堂活动,将教与

学融为一体。具体说明如下: (1)做好铺垫 新课引入前,作一个具体画图的练习:已知角画出它的角平分线;然后在平分线上任取一点,作出这一点到角两边的距离。这样做一是复习了角平分线的定义和点到直线距离的定义;二是为本节课的学习奠定了图形基础。 (2)主动获取 利用上面的图形,观察这两个距离的关系,并证明自己的结论。对基础条件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。对基础稍差一些的同学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确,此时教师要做指导。这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动,主动提出此定理。 (3)激荡思维 在上面定理的基础上,让学找出此定理的条件与结论,并交换条件与结论得到一个新的命题,然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到是一个真命题。此时顺理成章地引出教材中的定理2。最后注意强调:两个定理的区别与联系;原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆命题的方法步骤。这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。

初中数学八年级上册《角平分线的性质》优秀教学设计

12.3 角的平分线的性质 第1课时角平分线的性质 一、教学目标 (一)知识与技能 1.会作已知角的平分线; 2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质; 3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算. (二)过程与方法 在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力. (三)情感、态度与价值观 在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验. 二、教学重点、难点 重点:角的平分线的性质的证明及应用; 难点:角的平分线的性质的探究. 三、教法学法 三步导学的教学模式;自主探索,合作交流的学习方式. 四、教与学互动设计 (一)激情导课 如图是小明制作的风筝,他根据AB=AD,BC=DC.不用度量,就知道AC是∠DAB的角平分线,你知道其中的道理吗? (二)民主导学 1、探究一:角的平分线的作法 Ⅰ、议一议 问题1 请你拿出准备好的角,用你自己的方法画出它的角平分线. 问题2 如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB 和AD沿着角的两边放下,画一条射线AE,AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗? 问题3 通过上面的探究,你有什么启发?你能用尺规作图作已知角的平分线吗?请你试着做一做,并与同伴交流. 已知:∠ MAN

A B BD 2 1 求作:∠MAN的角平分线. 作法:(1)以A为圆心,适当长为半径画弧,交AM于B,交AN于 D. (2)分别以B、D为圆心,大于的长为半径画弧,两 弧在∠MAN的内部交于点C. (3)画射线AC. ∴射线AC即为所求. Ⅱ、练一练 平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线OC以后,把它反向延长得到直线 CD.直线CD与直线AB是什么关系? 思考:你能总结出“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法吗?请说明你 的方法。 2、探究二:角的平分线的性质 Ⅰ、做一做 如图,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然 后展开.观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?试着证明你的结论. (1)角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. (2)角的平分线性质的证明步骤: ①明确命题中的已知和求证; 已知:一个点在一个角的平分线上. 结论:这个点到这个角两边的距离相等. ②M根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证; 已知:如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分 别为点D、E. 求证: PD=PE. ③M经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程. 证明:∵ PD⊥OA,PE⊥ OB (已知) ∴∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义) 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO(已证) ∠AOC= ∠BOC (已证) B P O A C E D

八年级数学上册角的平分线导学案无答案新人教版

山东省烟台市郭城一中八年级数学上册《角的平分线》导学案新人教版 一.学习目标: 1.能够理解和证明三角形三条角平分线位置关系定理。 2.通过例题进一步理解和巩固证明的方法和要求。 3.通过学习活动,进一步提高推理证明能力和推理证明的意识,培养抽象概括能力。 4.通过交流合作、独立思考等活动,进一步提高分析问题,解决问题的技巧。 5在参与数学学习的活动中,培养合作交流的良好习惯。 二.重点: (1)三角形三条角平分线位置关系定理及其证明;(2)综合运用。 三.难点 三角形三条角平分线位置关系定理的证明。 四.学习过程 (一)自主探究。 1.知识回顾1.已知:△ABC中,∠B=90°,∠A、∠C的平分线交于点O,则∠AOC的度数为______度. 。2.角平分线上的点到_________________距离相等;到一个角的两边距离相等的点都在_____________ 3.∠AOB的平分线上一点M ,M到 OA的距离为1.5 cm,则M到OB的距离为_________. 4.如图,∠AOB=60°,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,且CD=CE,则∠DOC=_________. 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3 cm,BD=5 cm,则BC=_____cm. 第4题第5题 2.探究新知. (1)问题:如图在?ABC中,∠A的平分线和∠B的平分线相交于点I,如图所示,I在∠C的平分线上吗?同学们,你知道满足什么条件的点在角的平分线上吗 ① ② 。 分析题意你可以发现本题我们应该用的方法是 因此我们应该怎样添加辅助线啊 写出你的证明过程 ② 由此可以得到三角形的三条角平分线相交于点,并且这一点到三角形的三条边的距离相等。(2)如图,在△ABC中 AC=BC ∠C=900AD 是角平分线,DE⊥AB 垂足为点E。①已知CD=4,求AC 的长 求证:AB=AC+CD ①的分析: ①的证明过程

(完整版)八年级数学角平分线的性质练习题

角平分线的性质练习题 1角平分线上的点到_________________距离相等;到一个角的两边距离相等的点都在 _____________. 2、∠AOB 的平分线上一点M ,M 到 OA 的距离为1.5 cm ,则M 到OB 的距离为_________. 3、如图,∠AOB =60°,CD ⊥OA 于D ,CE ⊥OB 于E ,且CD =CE ,则∠DOC =_________. 4、如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 是角平分线,DE ⊥AB 于E ,且DE =3 cm ,BD =5 cm ,则BC =_____cm . 5、三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到________________相等。 6、点O 是△ABC 内一点,且点O 到三边的距离相等,∠A =60°,则∠BOC 的度数为_____________. 7、在△ABC 中,∠C =90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D ,若BC =32,且BD ∶CD =9∶7,则D 到AB 的距离为 . 8、三角形中到三边距离相等的点是( ) A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 9、如图,∠1=∠2,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,下列结论错误的是( ) A 、PD =PE B 、OD =OE C 、∠DPO =∠EPO D 、PD =OD 10、如图,直线l 1,l 2,l 3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( ) A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 11、如图,△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,AD 平分∠CAB 交BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,且AB =6㎝,则△DEB 的周长为( ) A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定 2 1 D A P O E B l 2 l 1 l 3 第9题 第10题 第11题 第3题 第4题 D C A E B

人教版八年级上册数学角的平分线

12.3角的平分线的性质(第1课时) 教学目标 (一)教学知识点 角平分线的画法、角平分线的性质1. (二)能力训练要求 1.掌握角平分线的性质1 2.会用尺规作一个已知角的平分线. (三)情感与价值观要求 在利用尺规作图的过程中,培养学生动手操作能力与探索精神. 教学重点 利用尺规作已知角的平分线.角平分线的性质1. 教学难点 角的平分线的性质1 教学过程: 一.提出问题,创设情境 问题:图中哪条线段的长可以表示点P 到直线L 的距离 ? 导入新课,明确学习目标 如果老师手里只有直尺和圆规,你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗? 二.合作交流 探究新知 探究1 想一想:下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD ,BC =DC .将点A 放在角的顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE ,AE 就是角平分线.你能说明它的道理吗? 教师活动: 播放多媒体课件,演示角平分仪器的操作过程,使学生直观了解得到射线AC 的方法. 学生活动: 观看多媒体课件,讨论操作原理. 分析:要说明AC 是∠DAC 的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB . ∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中,那么证明这两个三角形全等就可以了. 我们看看条件够不够. AB AD BC DC AC AC =?? =??=? 所以△ABC ≌△ADC (SSS ). 所以∠CAD=∠CAB . 即射线AC 就是∠DAB 的平分线. 原来用三角形全等,就可以解决角相等.线段相等的一些问题.看来温故是可以知新的. 试一试:老师再提出问题: 通过上述探究,能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.自己动手做做看.然后与

北师大版八年级数学下册 角平分线-教案

《4 角平分线》教案 第1课时 教学目标 掌握角的平分线的性质和判定,并会运用它们解决实际问题. 教学重点难点 重点:掌握角的平分线的性质和判定. 难点:例解性质和判定的互逆关系,并能正确运用它们解决问题. 教学过程 1、引例 在S 区有一个贸易市场P ,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P 点建两条路,一条到公路,一条到铁路,怎样修才能使路最短?它们有怎样的数量关系呢? 2、角平分线的性质定理 角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等. 例1、在△ABC 中,已知点D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,并且BE=CF ,试证:AD 在∠BAC 的角平分线上. 3、角平分线的判定定理 例2、在∠AOB 中有一点P ,已知PE ⊥OA 于E ,PF ⊥OB 于F ,且PE=PF .试证:点P 在∠AOB 的角平分线上. 角平分线的判定定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 例3、在△ABC 中,已知AD 将∠BAC 平分,点D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,试证:BE=CF . 4、练习 在△ABC 中,AM 平分∠BAC ,BN 平分∠ABC ,AM 与BN 于点P ,试证:点P 到三边的距离都相等;点P 在∠ACB 的角平分线上. 四、小结 1、角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等. 2、角平分线的判定定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. S 公路 铁路 P

第2课时 教学目标 1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理. 2、进一步发展学生的推理证明意识和能力. 教学重难点 证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理. 教学过程 一、学习准备 1、三角形的三条角平分线交于一点,并且这一点到三条边的距离. 2、三角形三条边的角平分线相交于一点,这一点一定在三角形. 二、自学提示 探究一: 1、用尺规作图作下面三角形的三条角平分线,你发现什么结论,并证明. 如图:设△ABC的角平分线BM、CN交于P,求证:P点在∠BAC的平分线上. 定理:三角形的三条角平分线交于一点,并且这一点到三条边的距离. 引申:三角形的三条角平分线交于一点,若设这一点到其中一边的距离为m,三边长分别为a、b、c,则三角形的面积S=__. 例:△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E. 已知:CD=4cm,求AC长.求证:AB=AC+CD.

(八年级数学教案)角的平分线

角的平分线 八年级数学教案 知识结构 重点与难点分析: 本节内容的重点是角平分线的性质定理,逆定理及它们的应用。性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等,开辟了新的途径,简化了证明过程。 本节内容的难点是:a、角平分线定理和逆定理的应用;b、这两个定理的区别;c、写命题的逆命题。学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了,所以证题时,不习惯直接应用定理,仍然去找全等三角形,结果相当于重新证明了一次定理。对于原命题和逆命题,学生对条件和结论容易混淆,特别是没有明显的提示语言时,更易找不准条件和结论,这就成了教学的难点。 教法建议: 整堂课围绕“以复习为基础,以过程为主线,以思维为中心,以训练为手段”开展教学。注重学生的参与度,通过提问、板演、讨论等多种形式,让学生直接参加课堂活动,将教与学融为一体。具体说明如下: (1)做好铺垫

新课引入前,作一个具体画图的练习:已知角画出它的角平分线;然后在平分线上任取一点,作出这一点到角两边的距离。这样做一是复习了角平分线的定义和点到直线距离的定义;二是为本节课的 学习 奠定了图形基础。 (2)主动获取 利用上面的图形,观察这两个距离的关系,并证明自己的结论。对基础条件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。对基础稍差一些的同学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确,此时教师要做指导。这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动,主动提出此定理。 (3)激荡思维 在上面定理的基础上,让学找出此定理的条件与结论,并交换条件与结论得到一个新的命题,然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到是一个真命题。此时顺理成章地引出教材中的定理2。最后注意强调:两个定理的区别与联系;原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆命题的方法步骤。这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。 (4)推向深入

八年级数学(角的平分线的判定)

12.3角的平分线的性质 第2课时角的平分线的判定 一、新课导入 1.导入课题: 我们知道,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,反过来,到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢?这节课我们对这个问题进行探究. 2.学习目标: (1)能说出角平分线的性质的逆定理,并能给予证明. (2)能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理解决一些相关的数学问题. 3.学习重、难点: 重点:正确地区分角平分线的性质定理及逆定理的条件与结论. 难点:角平分线定理和逆定理的互用. 二、分层学习 1.自学指导: (1)自学内容:教材第49页下面的“思考”至例题之间的内容. (2)自学时间:5分钟. (3)自学方法:通过动手作图、观察、思考、论证、归纳得出结论. (4)自学参考提纲: ①知识回顾:角平分线的性质定理是:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 这个定理的题设是一个点在一个角的平分线上,结论是这个点到这个角两边的距离相等,用几何语言表示:如右图, ∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE ②把角平分线的性质定理的题设与结论互换,就可以得到它的逆命题,试写出这个逆命题:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上用几何语言表示:如右图, ∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(OP平分∠AOB), ③小组合作完成教材第49页的思考: a.所建的集贸市场要符合哪些条件? 到公路、铁路的距离相等,并且离公路与铁路的交叉处500m. b.集贸市场应该建在什么位置? 画一画,并说明理由.

如图所示:P点即为所求,理由:P点在交叉口的角平分线上,所以P点到公路与铁路的距离相等. c.实际距离500米能否转换成图上距离?写出计算过程. 能,∵图上距离/500m= 1 20000,∴图上距离=0.025m=2.5cm. ④结合上图自己写出角平分线性质定理的逆定理的证明过程. 2.自学:学生可结合自学指导进行自学. 3.助学: (1)师助生: ①明了学情:学生已经具备了一些几何概念定理学习方法,对于性质定理的逆命题,学生能很快得出来,但在语言表达上还存在一定问题;教材第49页的“思考”对于八年级的学生来说还存在一定的难度. ②差异指导:引导学生比较角平分线的性质定理和它的逆命题的题设与结论,认识它们的区别与联系,学会文字语言和几何语言的转换. (2)生助生:生生间互助交流. 4.强化: (1)进一步明确角平分线的性质定理和它的逆定理的题设与结论的互换关系,以及文字语言向几何语言的转换方法. (2)角平分线的性质定理和它的逆定理,揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系. 这为今后我们证明角相等,线段相等提供了一种解题思路. 1.自学指导: (1)自学内容:教材第50页例题. (2)自学时间:5分钟. (3)自学要求:思考辅助线的作用和为什么要这样作辅助线的道理. (4)自学参考提纲: 研究例题,我知道了: ①推出PD=PE的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等; ②“同理”这里省略的过程是∵CN是△ABC的角平分线,点P在CN上; ③推出PE=PF的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等; ④推出PD=PE=PF的依据是等量代换; ⑤由点P在∠A的内部,且PD=PF可知,点P在∠A的平分线上,其依据是角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上; ⑥归纳:三角形的三条角平分线交于一点,而且这一点到三角形三边的距离相等. 2.自学:学生可结合自学指导进行自学. 3.助学:

初中数学八年级上册《角平分线的性质》教学设计

12.3 角的平分线的性质 第1课时 角平分线的性质 1.经历角的平分线性质的发现过程,初步掌握角的平分线的性质定理.(重点) 2.能运用角的平分线性质定理解决简 单的几何问题.(难点) 一、情境导入 问题:在S 区有一个集贸市场P ,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P 点建两条路,一条到公路,一条到铁路. 问题1:怎样修建道路最短? 问题2:往哪条路走更近呢? 二、合作探究 探究点一:角平分线的作法 如图,AB ∥CD ,以点A 为圆心, 小于AC 长为半径作圆弧,分别交AB ,AC 于 E , F 两点,再分别以E 、F 为圆心, 大于1 2 EF 的长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线AP ,交CD 于点M .若∠ACD =120°,求∠MAB 的度数. 解析:根据AB ∥CD ,∠ACD =120°,得出∠CAB =60°,再根据AM 是∠CAB 的平分 线,即可得出∠MAB 的度数. 解:∵AB ∥CD ,∴∠ACD +∠CAB =180°,又∵∠ACD =120°,∴∠CAB =60°,由作 法知,AM 是∠CAB 的平分线,∴∠MAB =1 2∠ CAB =30°. 方法总结:通过本题要掌握角平分线的作图步骤,根据作图明确AM 是∠BAC 的角平 分线是解题的关键. 探究点二:角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图:在△ABC 中,∠C =90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,F 在AC 上,BD =DF .求证:(1)CF =EB ;(2)AB =AF +2EB . 解析:(1)根据角平分线的性质,可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离,即CD =DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EDB ,得CF =EB ;(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC =AE ,然后通过线段之间的相互转化进行证明. 证明:(1)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,DC ⊥AC ,∴DE =DC .∵在Rt △DCF 和Rt △DEB 中,∵? ????DF =BD ,DC =DE ,∴Rt △CDF ≌Rt △ EDB (HL).∴CF =EB ; (2)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,DC ⊥AC ,∴CD =DE .在△ADC 与△ADE 中,∵

八年级:角的平分线 - 初中数学第四册教案(实用文本)

( 数学教案 ) 学校:_________________________ 年级:_________________________ 教师:_________________________ 教案设计 / 精品文档 / 文字可改 八年级:角的平分线 - 初中数学第四册教案(实用文本) Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities.

八年级:角的平分线 - 初中数学第四册教 案(实用文本) 3.9角的平分线 教学目标 1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用. 2.理解原命题和逆命题的概念和关系,会找一个简单命题的逆命题. 3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点. 性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点.

教学过程设计 一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明 1,复习引入课题. (1)提问关于直角三角形全等的判定定理. (2)让学生用量角器画出图3-86中的∠AOB的角 平分线OC. 2.画图探索角平分线的性质并证明之. (1)在图3-86中,让学生在角平分线OC上任取一 点P,并分别作出表示P点到∠AOB两边的距离的线段 PD,PE. (2)这两个距离的大小之间有什么关系?为什么?学生度量后得出猜想,并用直角三角形全等的知识进行证明,得出定理.(3)引导学生叙述角平分线的性质定理(定理1),分析定理的条件、结论,并根据相应图形写出表达式. 3.逆向思维探求角平分线的判定定理. (1)让学生将定理1的条件、结论进行交换,并思考所得命题

(八年级数学教案)角的平分线——初中数学第四册教案

角的平分线一一初中数学第四册教案八年级数学教案 3. 9角的平分线 教学目标 1 .掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用. 2 .理解原命题和逆命题的概念和关系,会找一个简单命题的逆命题. 3 .渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点. 性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点. 教学过程设计 一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明

,复习引入课题. ( 1 )提问关于直角三角形全等的判定定理. ( 2 )让学生用量角器画出图 3 86 中的 / AOB 的角 平分线

OC 2 .画图探索角平分线的性质并证明之. ( 1 )在图 3 86 中,让学生在角平分线 OC 上任取一 点 J、、、

,并分别作出表示P点到 / AOB 两边的距离的线段 PD PE ( 2 )这两个距离的大小之间有什么关系?为什么?学生度量后得出猜想,并用直角三角形全等的知识进行证明,得出定理. ( 3 )引导学生叙述角平分线的性质定理(定理 1 ),分析定理的条件、结论,并根据相应图形写出表达式.

.逆向思维探求角平分线的判定定理. ( 1 )让学生将定理 1 的条件、结论进行交换,并思考所得命题是否成立?如何证明?请一位同学叙述证明过程,得出定理 2—— 角平分线的判定定理. ( 2 )教师随后强调定理 1 与定理

的区别:已知角平分线用性质为定理 1 ,由所给条件判定出角平分线是定理 2 3 )教师指出:直接使用两个定理不用再证全等,可简化解题过程. 4 .理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合. ( 1 )角平分线上任意一点(运动显示)到角的两边的距离都相等(渗透集合的纯粹性).

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