广东省揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试理数试题
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揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试
数学(理科)
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.
4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
（1）已知集合{|3}A x x =<，
{|B y y ==
，则A B =I
（A ）(,3)-∞ （B ）(3,)+∞ （C
） （D
）(-∞
（2）已知复数()2
3z i =+，则z =
（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10 （3）已知向量(),1a x =，()1,2b =-，若a b ⊥，则a b +=
（A ）(2,0) （B ）(3,1)- （C ）(3,1) （D ）(1,3)-
（4）一个圆柱形水桶，底面圆半径与高都为2（桶底和桶壁厚度不计），装满水后，发现桶中有一
个随处悬浮的颗粒，用一个半径为1的半球形水瓢（瓢壁厚度不计）从水桶中舀满水，则该颗粒被捞出的概率为 （A ）
112 （B ）16 （C ）14 （D ）1
3
（5）已知()sin cos f x x x =-，实数α满足()()3f f
αα'= ，则tan 2α=
（A ）43-
（B ）34- （C ）34 （D ）43
（6）与中国古代数学著作《算法统宗》中的问题类似，有这样一个问题：“四百四十一里关，初步
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正视图
图1
健步不为难，次日脚痛减一半，六朝得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天行走的路程为
（A ）3.5里 （B ）7里 （C ）14里 （D ）28里 （7）函数||ln x x y =的部分图象大致为
（8）已知两条直线1:20l x +=与2:60l x -=被圆C 截得的线段长均为2，则圆C
的面积为
（A ）5π （B ）4π （C ）3π （D ）2π （9）某几何体三视图如图1示，则此几何体的表面积为
（A ）164+π
（B ）16)22(2++π
（C ）84+π
（D ）8)22(2++π
（10）已知F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，P 是C 上一点，线段1PF
的垂直平分线经过点F 2，且6
21π
=∠F PF ，则此双曲线C 的
离心率为
（A ）13+ （B ）213+
（C ）3 （D ）2
1
3+ （11）某地铁站有A 、B 、C 、D 、E 五个自动检票口，有4人一同进站，恰好2人通过同一检票口
检票进站，另2人各自选择不同的检票口检票进站，则不同的检票进站方式的种数为 （A ）60 （B ）180 （C ）360 （D ）720 （12）已知0x 是函数()sin
2
x
f x π=的极值点，且满足()
0020182018f x x -<-，则符合要求
的0x 的个数为
（A ）2015 （B ）2016 （C ）2017 （D ）2018
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图3
P
F
C
B
D
A
E 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题 卡相应的横线上．
（13）图2是一个算法流程图，若输入x 的值为2log 3，则输出的
y 的值是 .
（14）已知实数,x y 满足约束条件2
11
y x y x y ≤??
+≤??-≤?
，则3x y +的取值范围为是 ．
（15）已知数列}{n a 满足1212+=+++n n a a a ，设数列{前n 项和为n S ，则
n S 163
=___________. （16）已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，抛物线上的动点P （不在原点）在y 轴上的投影为E ，
点E 关于直线PF 的对称点为E '，点F 关于直线PE 的对称点为F '，当E F ''最小时，三角形PEF 的面积为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1)cos(sin 3=+-C B A ，
8
sin sin sin 7
B C A +=，7=a .
（Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）求△ABC 的面积．
（18）（本小题满分12分）
如图3，在三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，△ABC 和 △PAC 都是正三角形，2=AC ，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，且 PD ⊥AB 于D .
（Ⅰ）证明：平面PEF ⊥平面PED ； （Ⅱ）求二面角D PA E --的正弦值． （19）（本小题满分12分）
某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 100元，在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个250
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元.用期内更换的易损零件数，得图4
的条形图：记x 表示1台机器在三年使用期 内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在 购买易损零件上所需的费用（单位：元）,
n 表示购机的同时购买的易损零件数.
（I ）若n =19，求y 与x 的函数解析式；
（II ）以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件发生的概率． （ⅰ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的概率不小于0.5，求n 的最小值；
（ⅱ）假设n 取19或20，分别计算1台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望，以此 作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
（20）（本小题满分12分）
已知A 是椭圆22
:
+14
x T y =上的动点，点1(0,)2P ，点C 与点A 关于原点对称. （I ）求△P AC 面积的最大值；
（II ）若射线AP 、CP 分别与椭圆T 交于点B 、D ，且AP mPB =，CP nPD =，证明：
m n +为定值．
（21）（本小题满分12分）
已知0a ≠，函数()x x
f x e e e ax =-++.
（I ）讨论()f x 的单调性；
（II ）已知当a e <-时，函数()f x 有两个零点1x 和2x （12x x <），求证：e a x x f +>)(21． 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为?
?
?=+-=kt y t x 2
4（t 为参数），直线l 2的参数方
程为??
???=-=k m y m x 2（m 为参数），当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．
（I ）以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （II ）设曲线C 上的点A 的极角为
6
π
，射线OA 与直线022)sin (:3=-+?θρl )2
0(π
?<
<的交点为B ，且||7||OA OB =，求?的值．
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数|1
||1|)(x
a x a x f -++
=，a 为实数． （I ）当1=a 时，求不等式3)(>x f 的解集；
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（II ）求)(a f 的最小值．
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数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．
合体，其表面积222
=522122S ππ?++?-表2)16π=+.
（10）不妨设点P 在第一象限，依题意有112||2||cos3023PF FF ==，122||||F F PF =，又由12||||2PF PF a -=得22c a -=c e a ?==（11）212
454360C C A =；
（12）法1：由0x 是函数()sin 2x
f x π=的极值点可得0'()0f x =，即0cos
02
x π=，故01,3,5,
x =±±±因()
[]020181,1f x -∈-，当01,3,,2015
x =±±±时，020182x -≥，
()0020182018f x x -<-成立；当02017,2019x =±±时，()0020182018f x x -=-；
当02021,2023,x =±±时，020183x -≤-，()
0020182018f x x ->-；综上知，满
足题意的01,3,,2015x =±±±时，共2016个．
【法:2：由题意知
ππ
πk x +=
2
2
，得120+=k x (k Z ∈)；由)(x f 图象得x x f <)(的解为
01<<-x 或1>x ，即0||201810<-<-x 或1||20180>-x ，即02018||2019
x <<或0||2017x <，因120+=k x (k Z ∈)故02018||2019x <<无解，由0||2017x <得
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01,3,,2015x =±±±时，共2016个．
】
解析（16
）显然1E F PF PE PF PE ''''≥-=-=，即E F
''的最小值为1，仅当P 、E '、F '
共线且点E '在P 、
F '之间时取等号，此时120E PF FPE
EPF ''∠=∠=∠=，即直线PF 的斜率为（取
也可），联立)2
14y x y x ?=-?
?=??
，可得1()3P ，故113
3
23PEF S ?=?=
．
三、解答题
（17）解：（Ⅰ）由已知及A C B cos )cos(-=+，
得1cos sin 3=+A A ，-------------------------------------------------------------------------------2分 即1)6sin(2=+π
A ，得2
1
)6
sin(=
+π
A -----------------------------------------------------------4分 又
676
6
ππ
π
<
+
56ππ=+A ， 即3 2π = A ；-----------------------------------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由已知及正弦定理得87 8 == +a c b ，--------------------------------------------------------------7分 由余弦定理A bc c b a cos 22 2 2 -+=， 得bc bc bc c b -=+-+=642)(492 ， -----------------------------------------------------------9分 解得15=bc ，-------------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴△ABC 的面积为 4 3 15sin 21= A bc ．-----------------------------------------------------------12分 （18）解：（Ⅰ）∵E 、F 分别是AC 、BC 的中点， ∴EF //AB ，----------------------------------------------------------------------------------------------------1分 在正三角形PAC 中，PE ⊥AC ， 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第 B 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ， ∴PE ⊥平面ABC ，----------------------------------------------------------------------------------------3分 ∴PE ⊥AB ， 又PD ⊥AB ，PE ∩PD =P ， ∴AB ⊥平面PED ， --------------------------------------------------------------------------------------5分 又EF //AB ，∴EF ⊥平面PED ， 又?EF 平面PEF ，∴平面PEF ⊥平面PED .------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）解法1：∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ， ∴BE ⊥平面PAC ，----------------------------------------------------------------------------------------7分 以点E 为坐标原点，EA 所在的直线为x 轴，EB 所在 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图示， 则(000)E ，，,(100), (030),A B ，，，,(003)P ，，,--------8分 (0EB = ,(103),(1PA AB =-=-，，，, 设(, ,),m a b c =为平面PAB 的一个法向量， 则由,m AB m AP ⊥⊥得 a a ?=?? -=??，令1c =，得1a b ==，即(3,1,1),m =------------------------------10分 设二面角 E PA D --的大小为 θ，则cos ||||5m EB m EB θ?= ==?, sin θ== 即二面角E PA D -- ---------------------------------------------------------12分】 【解法2：由（Ⅰ）知EF ⊥平面PED ，∴EF ⊥ED ， 以点E 为坐标原点，ED 所在的直线为x 轴，EF 所在的直线为y 建立空间直角坐标系如图示， ∵AE=1，∠EAD=60°，∴AD= 12,2 DE =,32DB =, 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第8页（共14页） G E A D B C F P 又PE = ∴1300),0),0)22 D A B -，，， ,(00P , 则1 (2 AP =- ，，,1(0,0),2AD =，33(0)2EB =，， , -------------------------------------8分 ∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ， ∴BE ⊥平面PAE ，故33( 0)22 EB =，，为平面PAE 的法向量，----------------------------------9分 设(,,),m a b c =为平面PAD 的一个法向量，则由,m AD m AP ⊥ ⊥得 102102 b b ?++=??? ?=??，令1c =得2a =，故(2,0,1),m =---------------------------------10分 设二面角E PA D - -的大小为θ ，则cos 5||||5m EB m EB θ?= = =?, sin 5 θ== ， 即二面角E PA D -----------------------------------------------------------12分】 【解法3：二面角E PA D --即二面角C -PA -B ， 在平面PAB 内过点B 作BG PA ⊥于G ，连结GE, ∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ， ∴BE ⊥平面PAC ，∴BE PA ⊥, 又BG PA ⊥，BE BG B =, ∴PA ⊥平面BEG ，∴PA ⊥GE ， ∴∠EGB 为二面角C -PA -B 的平面角，----------------------------8分 ∵3=BE ,3sin 602 GE AE == ， 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第9页（共14页） 21522= +=GE BE BG ，5 52sin ==∠BG BE EGB ，--------------------------------11分 即二面角E PA D -- 的正弦值为 5 . --------------------------------------------------------12分】 （19）解：（I ）依题意得1900, 19,()2502850,19, x y x N x x *≤?=∈? ->?------------------------------------------3分 （Ⅱ）（ⅰ）由条形图知,(16)0.06P n ==，(17)0.16P n ==，(18)0.24P n ==， (19)0.24P n ==， 故(18)(16)(17)(18)0.46P n P n P n P n ≤==+=+==，------------------------------------5分 (19)(18)(19)0.460.240.70P n P n P n ≤=≤+==+=，--------------------------------------6分 由上可知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46, 不大于19的概率为0.7,故n 的最小值为19.-----------------------------------------------------------7分 （ⅱ）n 取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为1y 元和2y 元, 则1y 的可能取值为：1900,2150,2400. 且1(1900)0.7P y ==,1(2150)0.2P y ==,1(2400)0.1P y ==， 故119000.721500.224000.12000Ey =?+?+?= (元) -----------------------------------9分 2y 的可能取值为：2000,2250. 且2(2000)0.9P y ==，2(2250)0.1P y ==， 故220000.922500.12025Ey =?+?=（元） ------------------------------------------------11分 12Ey Ey <，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件. --------------------------------12分 （20）解：（Ⅰ）设()11,A x y ，依题意得点()11,C x y --,------------------------------------------------1分 则1111 ||2||||22 PAC S OP x x ?= ?=----------------------------------------------------------------------2分 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第10页（共14页） ∵点A 在椭圆22 :+14 x T y =上，∴1||2x ≤，------------------------------------------------------3分 ∴11 ||12 PAC S x ?= ≤（当且仅当12x =±时等号成立） ∴△PAC 面积的最大值为1. -----------------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）证法1：当直线AP 的斜率存在时，设其方程为12 y kx =+ ， 由2 21412x y y kx ?+=????=+??，消去y ，得()22 1+4430k x kx +-=，----------------------------------------5分 设()22,B x y ，由韦达定理，得122 122414314k x x k x x k -? +=??+? -?=?+? ① ② ， 而由AP mPB =，得112211, ,22x y m x y ? ?? ?--=- ? ?? ?? ?，故12x mx -=，12x x m =-， 代入①、②，得122 12 1411+431+4k x m k x m k ?-??-= ?????? -?-=??③ ④ 两式相除，得()1 314m k x -= ，代入④，整理得22 19304+90m m x -+=；-----------------7分 对于射线CP ，同样的方法可得22 19304+90n n x -+=， 故,m n 是方程2219304+90x x x -+=的两个根， ------------------------------------------------9分 由韦达定理，10 3 m n += ； --------------------------------------------------------------------------10分 当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为（0,1）时，则B 、C 重合于点（0.-1），D 、A 重合， 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第11页（共14页） 由AP mPB =，CP nPD =，得1,3,3m n = =这时10 3 m n +=；--------------------------11分 若点A 为椭圆T 的下顶点（0,-1），同理可得10 3 m n +=； 综上可知m n +为定值，该值为10 3 .-------------------------------------------------------------------12分 【证法2：当直线AP 的斜率存在时，这时点A 不在y 轴上，即x 1≠0， 设其方程为12y kx =+由2 2141 2 x y y kx ?+=????=+??，消去y ，得()22 1+4430k x kx +-=，------------5分 设()22,B x y ，由韦达定理，得2 21413 k x x +-= ，----------------------------------------------------6分 又1 121 x y k -= ，代入上式得2 12 11 2 )2 1 (43-+-= y x x x ，----------------------------------------------7分 由AP mPB =，得112211, ,22x y m x y ??? ?--=- ? ???? ?，故12x mx -=， 得3 )21(42 12 121-+=-=y x x x m ，-----------------------------------------------------------------------8分 对于射线CP ，同样的方法可得3 )21(43)21(4)(2 12 12121++=--+-= y x y x n ，----------9分 ∴3 10 32)4(22 12 1=++=+y x n m ．-------------------------------------------------------------------10分 当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为（0,1）时，则B 、C 重合于点（0.-1），D 、A 重合， 由AP mPB =，CP nPD =，得1,3,3m n = =这时10 3 m n +=；---------------------------11分 若点A 为椭圆T 的下顶点（0,-1），同理可得10 3 m n +=； 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第12页（共14页） 综上可知m n +为定值，该值为 10 3 .--------------------------------------------------------------12分】 （21）解：（Ⅰ） (),12,1x x x ax e x f x e e e ax e ax e x + 12,1x a x f x e a x ， ①若0a >，显然()0f x '>恒成立，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；-----------------------2分 ②若20e a -≤<，当1x <时，()0f x a '=<，当1x ≥时，()20x f x e a '=+≥， 故()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增；----------------------------------------4分 ③若2a e <-，当1x <时，()0f x a '=<， 当1x ≥时，由20x e a +<，得1ln 2a x ??≤<- ???，由20x e a +>，得ln 2a x ??>- ??? ， 故()f x 在,ln 2a ?? ??-∞- ? ?????上单调递减，在ln ,2a ????-+∞ ? ????? 上单调递增；-----------------6分 （Ⅱ）证法1：∵a e <-，故()10f a e =+<，结合()f x 的单调性知， ()f x 的两个零点1x 和2x 满足10ax e +=以及2220x e ax e +-=，且121x x <<，----7分 ∴2 2 2x e e a x -=，2212x ex e x a e e =-=-，于是22 2122x ex x x e e =-，-------------------------8分 令()2 2x ex g x e e =-，（1x >） 则()()() () () 22 2 2222222x x x x x x ex e e ex e ex e e xe g x e e e e --?--'= = --，----------------------------9分 记()2x x h x e e xe =--，1x >， 则()'0x x h x e xe =-<，∴()h x 在(1,)+∞上单调递减，()()10h x h <=，故()0g x '<， 即函数 ()g x 在(1,)+∞上单调递减，∴()()11g x g <=， ∴121x x <，----------------------------------------------------------------------------------------11分 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第13页（共14页） 又()f x 在 ∞（-,1)上单调递减， ∴()12f x x a e >+---------------------------------------------------------------------------------12分 【证法2：∵a e <-，故()10f a e =+<，结合()f x 的单调性知， ()f x 的两个零点1x 和2x 满足10ax e +=以及2220x e ax e +-=，且121x x <<，----7分 要证明()12f x x a e >+，只需证121x x <，即证12 1 x x < ，--------------------------8分 注意到1x 、 ()2 1 ,1x ∈-∞，且()f x 在 ∞（-,1)上单调递减， 故只需证()12 1f x f x ?? > ??? ，即证210f x ?? < ??? ，--------------------------------------9分 而222 22 2222221121x x e e ex e e f a e e x x x x x ??-+-=?+=?+= ??? ， 记()22x g x e e ex =-+，()1,x ∈+∞，()22x g x e ex '=-+， 记()()22x h x g x e ex '==-+，()1,x ∈+∞，则()220x h x e e '=-+<， 故()h x 即()g x '单调递减，()()10g x g ''<=，-------------------------------------11分 故()g x 单调递减，()()10g x g <=， 于是210f x ?? < ??? 成立，原题得证．----------------------------------------------------------12分】 选做题： （22）解：（Ⅰ）直线l 1的普通方程为)2(4-=-x k y ，----------------------------------------------1分 直线l 2的普通方程为k x y 2 += ，-----------------------------------------------------------------------2分 联立两方程消去k ，得4422-=-x y ，即曲线C 的普通方程为4422=+y x ，--------3分 由? ? ?==θρθρsin cos y x 得曲线C 的极坐标方程为4)sin 4(cos 2 22=+θθρ；---------------------4分 化简得2 2 (13sin )4ρθ+=-------------------------------------------------------------------------------5分 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第14页（共14页） （Ⅱ）把6π θ= 代入22(13sin )4ρθ+=，得4)4 1443 (2 =?+ρ， ∴7162 =ρ，得7 4=A ρ， --------------------------------------------------------------------------7分 由已知得47==A B ρρ，------------------------------------------------------------------------------8分 把6 π θ= ，4=ρ代入方程l 3得2 2)6 sin( = +?π ， 又2 0π ?<<，∴ 26 6 3 π π π ?< +< ---------------------------------------------------------------------9分 ∴ 64ππ ?+= ，12 π ?= ．--------------------------------------------------------------------------------10分 （23）解：（Ⅰ）当1=a 时，不等式3)(>x f 即3| || 1||1|)(>-++= x x x x f ，-------------------1分 ①当1- |2 )(>=x x f ， 解得2||3x < ，得3 2 32<<-x ；-------------------------------------------------------------------------3分 ③当1>x 时，得32)(>=x f ，无解；---------------------------------------------------------------4分 综上知，不等式3)(>x f 的解集为)3 2 ,32(- .-----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）|||1||1|)(22a a a a f -++=| || 1|122a a a -++= ，--------------------------------------------------6分 ①当1-a 时，2||2| |2)(2 >==a a a a f ，-----------------------------------------------8分 ②当11≤≤-a 时，2| |2 )(≥= a a f ，-------------------------------------------------9分 综上知，)(a f 的最小值为2．-----------------------------------------------------------10分