【南方新课堂】2016-2017年高中学业水平测试·数学 学业水平考试模拟试卷(一) Word版含解析

学业水平考试模拟试卷(一)

(时间：90分钟满分：100分)

一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分) 1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝1＋i，则z1z2＝()

A．－2B．2C．1－i D．1＋i

解析：由题意，得z1＝1＋i，z2＝1－i，则z1z2＝(1＋i)(1－i)＝2；故选B.

答案：B

2．若集合M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，则M∩N＝() A．{0，－1} B．{0} C．{1} D．{－1，1}

解析：M∩N＝{1}，故选C.

答案：C

3．已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()

A．－3 B．－1 C．1 D．3

解析：本题考查函数的奇偶性．令x＝－1可得f(－1)－g(－1)＝1?f(1)＋g(1)＝1，故选C.

答案：C

4．直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于()

A．2 5 B．2 3 C. 3 D．1

解析：利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．

∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝

|0＋3×0－2|12

＋（3）

2

＝1，半径

r ＝2，∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3.

答案：B

5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是( )

A.32 B ．2 C.5

2

D ．3 解析：该几何体为底面是等腰梯形的直四棱柱，其体积为V ＝12×

(1＋3)×1×1＝2，故选B.

答案：B

6．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( )

A. 2

B. 3 C ．2 D ．4

解析：(2a －b )·b ＝(3，x )·(－1，x )＝x 2－3＝0， ∴x ＝±3，∴|a |＝2. 答案：C

7．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a

D ．a >b >－a >－b

解析：∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0.∴－a <0，b >－a . ∴－a

8．若α∈? ????0，π2，且cos 2

α＋sin ? ????π2＋2α＝12

，则tan α＝( )

A ．1 B.33 C.3

6

D. 3

解析：cos 2

α＋sin ? ??

??

α2＋2α＝cos 2α＋cos 2α＝2cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝2－tan 2α1＋tan 2α＝1

2

，

即tan 2

α＝1. 又α∈? ?

?

??0，α2，tan α＞0，∴tan α＝1.

答案：A

9．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c

解析：本题考查了对数的运算性质．∵a ＝log 36＝1＋log 32；b ＝log 510＝1＋log 52；

c ＝log 714＝1＋log 72.∵log 32>log 52>log 72，∴a >b >c . 答案：D

10．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )

A ．7

B ．5

C ．－5

D ．－7

解析：法一利用等比数列的通项公式求解．由题意得

?????a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6

＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21

q 9＝－8， ∴?????q 3＝－2，a 1＝1

或???q 3

＝－1

2，a 1＝－8，

∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.

11．2lg 2－lg 1

25的值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：2lg 2－lg 1

25＝lg ? ??

??22÷125＝lg 100＝2，故选B.

答案：B

12．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2

3

，则b ＝( )

A. 2

B. 3 C ．2 D ．3

解析：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋22－524b ＝2

3，∴b

＝3，答案选D.

答案：D

13．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )

A.15

B.25

C.825

D.9

25

解析：从5人中选2人共有10种选法，其中有甲的有4种选法，所以概率为410＝25

.

答案：B

14．设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞1”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件

D ．既非充分也非必要条件

解析：a ＞1可以推出a 2＞1，但反过来由a 2＞1，不能推出故答案为A.

15．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )

A.710

B.58

C.38

D.310

解析：本题是几何概型至少等15秒的概率为40－1540＝2540＝58.答

案选B.

答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)

16．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．

解析：由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.

答案：15

17．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是________米．

解析：由小到大排列为1.69，1.72，1.75, 1.77，1.78, 1.80.中位数是1.75＋1.77

2

＝1.76.

答案：1.76

18．已知过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双

曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．

解析：由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即b

a <1，

∴c 2－a 2a 2<1，∴c 2

a 2<2，即e 2<2，∵e >1，∴1

答案：(1，2)

19．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________． 解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴a －35－4＝5－36－4，∴a ＝4.

答案：4

三、解答题(本大题共2个题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)

20．(12分)已知函数f (x )＝－cos 2x －sin x ＋1. (1)求函数f (x )的最小值； (2)若f (α)＝

5

16

，求cos2α的值． 解：(1)∵f (x )＝－cos 2x －sin x ＋1＝sin 2x －sin x ＝? ??

??sin x －122

－1

4，

又sin x ∈[－1，1]，

∴当sin x ＝12时，函数f (x )的最小值为－1

4

.

(2)由(1)得? ????sin α－122

－14＝5

16，

∴? ??

??sin α－122

＝9

16.

于是sin α＝54(舍)或sin α＝－1

4

.

故cos2α＝1－2sin 2

α＝1－2? ??

??－142

＝78.

21．(12分)已知四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，E 是PA 的中点．

求证：(1)PC ∥平面EBD ； (2)平面PBC ⊥平面PCD .

证明：(1)连接AC 交BD 与O ，连接EO ，

∵E ，O 分别为PA ，AC 的中点， ∴EO ∥PC .

∵PC ?平面EBD ，EO ?平面EBD ， ∴PC ∥平面EBD . (2)∵PD ⊥平面ABCD BC ?平面ABCD ∴PD ⊥BC ∵ABCD 为正方形 ∴BC ⊥CD 又∵PD ∩CD ＝D ∴BC ⊥平面PCD ∵BC ?平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PCD .