sjs3-第三章 离散小波变换(3课时)
小波变换详解
基于小波变换的人脸识别 近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。 具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。 4.1 小波变换的研究背景 法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下： ()()dt e t f F t j ωω-? ∞ -∞ += (4-1) 傅立叶变换的逆变换为： ()()ωωπ ωd e F t f t j ? +∞ ∞ -= 21 (4-2) 从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率
的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。 尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。 因此需要一种如下的数学工具：可以将信号的时域和频域结合起来构成信号的时频谱，描述和分析其时频联合特征，这就是所谓的时频局部化分析方法，即时频分析法。1964年，Gabor 等人在傅立叶变换的基础上引入了一个时间局部化“窗函数”g(t)，改进了傅立叶变换的不足，形成窗口化傅立叶变换，又称“Gabor 变换”。 定义“窗函数”(t)g 在有限的区间外恒等于零或很快地趋于零，用函数(t )g -τ乘以(t)f ，其效果等同于在t =τ附近打开一个窗口，即： ()()()dt e t g t f G t j f ωττω-+∞ ∞--=?, (4-3) 式（4-3）即为函数f(t)关于g(t)的Gabor 变换。由定义可知，信号(t)f 的Gabor 变换可以反映该信号在t =τ附近的频谱特性。其逆变换公式为： ()()()ττωτωπ ωd G t g e d t f f t j ,21 ? ?+∞ ∞ --- = (4-4) 可见()τω,f G 的确包含了信号(t)f 的全部信息，且Gabor 窗口位置可以随着 τ的变化而平移，符合信号时频局部化分析的要求。 虽然Gabor 变换一定程度上克服了傅立叶变换缺乏时频局部分析能力的不
第三章 离散傅立叶变换
第三章 离散傅立叶变换 一、离散傅立叶级数 计算题： 1．如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。把)(~n x 看 作周期为N 的周期序列有)(~ )(~1k X n x ?（周期为N ）；把)(~n x 看作周期为2N 的周期序列有)(~)(~2k X n x ?（周期为2N ）；试用）（k X 1~表示） （k X 2~ 。 二、离散傅立叶变换定义 填空题 2．某DFT 的表达式是∑-==10 )()(N k kl M W k x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。 3．某序列DFT 的表达式是∑-==1 0)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是 （ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。 4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 （ ）。 5．采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1 -z 代表的物理意义是 ），其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是（ ）； )(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是（ ） 。 6．用8kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT 。则频域 抽样点之间的频率间隔f ?为_______,数字角频率间隔w ?为 _______和模拟角频率间隔 ?Ω ______。 判断说明题： 7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。 （ ） 计算题 8．令)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序列。
第三章 离散小波变换
第三章 离散小波变换 3.1 尺度与位移的离散化方法 减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数?? ? ??-= a t a t a τψψτ1)(,的 τ,a 限定在一些离散点上取值。 1. 尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化， 即取m m a a 0=（m 为整数，10≠a ，一般取20=a ）。如果采用对数坐标，则尺度a 的离散取值如图3.1 所示。 图3.1 尺度与位移离散方法 2. 位移的离散化：当120==a 时，()τψψτ-=t t a )(,。 （1）通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。 （2）要求采样间隔τ满足Nyquist 采样定理，即采样频率大于该尺度下频率通带的2倍。 3. )(,t a τψ=？ 当m 增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图2.2），可见采样频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度0=m 时τ的间隔为s T ，则在尺度为m 2时，间隔可取s m T 2。此时)(,t a τψ可表示为 );(2212221 ,t T n t T n t n m s m m m s m m ψψψ记作??? ???-=??? ? ???- Z n m ∈, 为简化起见，往往把t 轴用s T 归一化，这样上式就变为
()n t t m m n m -=-- 22)(2 ,ψψ （3.1） 4. 任意函数)(t f 的离散小波变换为 ??=R n m f dt t t f n m WT )()(),(,ψ （3.2） DWT 与CWT 不同，在尺度—位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题： （1）离散小波变换>=<)(),(),(,t t f n m W T n m f ψ是否完全表征函数)(t f 的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数)(t f 。 （2）是否任意函数)(t f 都可以表示为以)(,t n m ψ为基本单元的加权和 ∑∈= Z n m n m n m t C t f ,,,)()(ψ？如果可以，系数n m C ,如何求？ 上述两个问题可以归结为一个。假设条件（1）满足，可合理的选择ψ，并对τ,a 进行适当的离散（即适当的选择s T a ,0），那么一定存在与小波序列n m ,ψ对 应的n m ,~ψ序列，使得问题（1）的重建简单地表示为 ∑∈><= Z n m n m n m f t f ,,,~,)(ψψ （3.3） n m ,~ψ称为n m ,ψ的对偶，它可以由一个基本小波)(~t ψ通过位移和伸缩取得： () n t t m m n m -=--2~2)(~2,ψψ 由上式，若存在)()(2R L t g ∈，则有 ∑>><<=><>= *第三章消解原理 斯柯伦标准形 内容提要 我们约定，本章只讨论不含自由变元的谓词公式(也称语句,sentences)，所说前束范式均指前束合取范式。 全称量词的消去是简单的。因为约定只讨论语句，所以可将全称量词全部省去，把由此出现于公式中的“自由变元”均约定为全称量化的变元。例如A(x)实指xA(x)。 存在量词的消去要复杂得多。考虑xA(x)。 （1）当A(x)中除x外没有其它自由变元，那么，我们可以像在自然推理系统中所做那样，可引入A(e/x)，其中e为一新的个体常元，称e为斯柯伦（Skolem）常元，用A(e/x)代替xA(x),但这次我们不把A(e/x)看作假设,详见下文。 （2）当A中除x外还有其它自由变元y1,…,y n，那么xA(x, y1,…,y n) 来自于y1…y n xA(x, y1,…,y n)，其中“存在的x”本依赖于y1,…,y n的取值。因此简单地用A(e/x, y1,…,y n)代替xA(x, y1,…,y n) 是不适当的，应当反映出x对y1,…,y n的依赖关系。为此引入函数符号f，以A(f(y1,…,y n)/x, y1,…,y n) 代替xA(x, y1,…,y n)，它表示：对任意给定的y1,…,y n, 均可依对应关系f确定相应的x，使x, y1,…,y n满足A。这里f是一个未知的确定的函数，因而应当用一个推理中尚未使用过的新函数符号，称为斯柯伦函数。 定理（斯柯伦定理）对任意只含自由变元x, y1,…,y n的公式A(x, y1,…,y n)，xA(x, y1,…,y n)可满足，当且仅当A(f(y1,…,y n), y1,…,y n)可满足。这里f为一新函数符号；当n = 0时，f为新常元。 定义设公式A的前束范式为B。C是利用斯柯伦常元和斯柯伦函数消去B中量词（称斯柯伦化）后所得的合取范式，那么称C为A的斯柯伦标准形（Skolem normal form）。 以下我们约定：斯柯伦标准形中，各子句之间没有相同的变元。 定义子句集S称为是可满足的，如果存在一个个体域和一种解释，使S中的每一个子句均为真，或者使得S的每一个子句中至少有一个文字为真。否则, 称子句集S是不可满足的。 习题解答 练习 1、求下列各式的斯柯伦标准形和子句集。 （1）┐(xP(x)→y zQ(y, z)) （2）x(┐E(x, 0)→y(E(y, g(x))∧z(E(z, g(x))→E(y, z)))) （3）┐(xP(x)→y P(y)) （4）（1）∧（2）∧（3） 解（1）┐(xP(x)→y zQ(y, z))┝┥┐xP(x)∧y zQ(y, z) ┝┥x┐P(x)∧y zQ(y, z) 斯柯伦标准形：┐P(e1)∧Q(e2, z) 子句集：{┐P(e1)，Q(e2, z)} （2）x(┐E(x, 0)→y(E(y, g(x))∧z(E(z, g(x))→E(y, z)))) ┝┥x y z (E(x, 0)∨(E(y, g(x))∧(┐E(z, g(x))∨E(y, z)))) ┝┥x y z ((E(x, 0)∨E(y, g(x)))∧(E(x, 0)∨┐E(z, g(x))∨E(y, z))) 斯柯伦标准形：(E(x, 0)∨E(f(x), g(x)))∧(E(x, 0)∨┐E(z, g(x))∨E(f(x), z))子句集：{ E(x, 0)∨E(f(x), g(x)), E(x, 0)∨┐E(z, g(x))∨E(f(x), z)} （3）┐(xP(x)→y P(y))┝┥xP(x)∧┐y P(y) ┝┥xP(x)∧y┐P(y) ┝┥x y (P(x)∧┐P(y)) 斯柯伦标准形：P(x)∧┐P(y) 子句集：{P(x),┐P(y) } 第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考 3.1 图P3.1所示的序列()x n %是周期为4的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数()X k %。 解： (1) 1 1 *0 ()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑ %%%%%% 3.2 （1）设()x n %为实周期序列，证明()x n %的傅里叶级数()X k %是共轭对称的，即*()()X k X k =-%。 （2）证明当()x n %为实偶函数时，()X k %也是实偶函数。 证明：（1） 1 01 1 * * ()()()[()]()() N nk N n N N nk nk N N n n X k x n W X k x n W x n W X k --=---==-=-===∑∑∑%%%%%% （2）因()x n %为实函数，故由（1）知有 *()()X k X k =-%或*()()X k X k -=% 又因()x n %为偶函数，即()()x n x n =-%%，所以有 (1) 11*0 ()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-= =-=∑∑∑ %%%%%% 3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()x n %。利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级 数的系数()X k %，确定以下式子是否正确。 （1）()(10)X k X k =+%%，对于所有的k ； （2）()()X k X k =-%%，对于所有的k ； （3）(0)0X =%； 基于Matlab的离散小波变换 lyqmath https://www.360docs.net/doc/291149026.html,/lyqmath 目录 基于Matlab的离散小波变换 (1) 简介 (1) 实例 (2) 结果 (2) 总结 (2) 简介 在数字图像处理中，需要将连续的小波及其小波变换离散化。一般计算机实现中使用二进制离散处理，将经过这种离散化的小波及其相应的小波变换成为离散小波变换（简称DWT）。实际上，离散小波变换是对连续小波变换的尺度、位移按照2的幂次进行离散化得到的，所以也称之为二进制小波变换。 虽然经典的傅里叶变换可以反映出信号的整体内涵，但表现形式往往不够直观，并且噪声会使得信号频谱复杂化。在信号处理领域一直都是使用一族带通滤波器将信号分解为不同频率分量，即将信号f(x)送到带通滤波器族Hi(x)中。 小波分解的意义就在于能够在不同尺度上对信号进行分解，而且对不同尺度的选择可以根据不同的目标来确定。 对于许多信号，低频成分相当重要，它常常蕴含着信号的特征，而高频成分则给出信号的细节或差别。人的话音如果去掉高频成分，听起来与以前可能不同，但仍能知道所说的内容；如果去掉足够的低频成分，则听到的是一些没有意义的声音。在小波分析中经常用到近似与细节。近似表示信号的高尺度，即低频信息；细节表示信号的高尺度，即高频信息。因此，原始信号通过两个相互滤波器产生两个信号。 通过不断的分解过程，将近似信号连续分解，就可以将信号分解成许多低分辨率成分。理论上分解可以无限制的进行下去，但事实上，分解可以进行到细节（高频）只包含单个样本为止。因此，在实际应用中，一般依据信号的特征或者合适的标准来选择适当的分解层数。 第六章部分课后习题参考答案5.确定下列命题是否为真： （1）? ?真 ? （2）? ?假 ∈ （3）} ?真 {? ? （4）} ?真 ∈ {? （5）｛a,b｝?｛a,b,c,｛a,b,c｝｝真 （6）｛a,b｝∈｛a,b,c,｛a,b｝｝真 （7）｛a,b｝?｛a,b,｛｛a,b｝｝｝真 （8）｛a,b｝∈｛a,b,｛｛a,b｝｝｝假 6．设a,b,c各不相同，判断下述等式中哪个等式为真: （1）｛｛a,b｝，c,?｝=｛｛a,b｝,c｝假 （2）｛a ,b,a｝=｛a,b｝真 （3）｛｛a｝，{b}｝=｛｛a,b｝｝假 （4）｛?，｛?｝，a,b｝=｛｛?,｛?｝｝,a,b｝假 8．求下列集合的幂集： （1）｛a,b,c｝P(A)={ ?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} （2）｛1，｛2，3｝｝P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} } （3）｛?｝P(A)={ ?, ｛?｝ } （4）｛?，｛?｝｝P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} } 14．化简下列集合表达式： （1）（A B） B ）-（A B） （2）（（A B C）-（B C）） A 解: (1)（A B） B ）-（A B）=（A B） B ） ～（A B） =（A B） ～（A B）) B=? B=? （2）（（A B C）-（B C）） A=（（A B C） ～（B C）） A =（A ～（B C）） （（B C ） ～（B C）） A =（A ～（B C）） ? A=（A ～（B C）） A=A Matlab实现小波变换 本文来自: 高校自动化网(https://www.360docs.net/doc/291149026.html,) 详细出处参考(转载请保留本链接)：https://www.360docs.net/doc/291149026.html,/html/matlab/7709.html MATLAB 小波变换2010-01-11 20:51 3. 图像小波变换的Matlab 实现函数fft、fft2 和fftn 分析 3.1 一维小波变换的Matlab 实现 (1) dwt 函数Matlab 功能：一维离散小波变换 格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname') [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)别可以实现一维、二维和N 维DFT 说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数'wname' 对信号X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组Lo_D、Hi_D 对信号进行分解。 (2) idwt 函数 功能：一维离散小波反变换 格式：X=idwt(cA,cD,'wname') X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt(cA,cD,'wname',L)函数fft、fft2 和fftn 分 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 说明：X=idwt(cA,cD,'wname') 由近似分量cA 和细节分量cD 经小波反变换重构原始信号X 。 'wname' 为所选的小波函数 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) 用指定的重构滤波器Lo_R 和Hi_R 经小波反变换重构原始信号X 。 X=idwt(cA,cD,'wname',L) 和X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 指定返回信号X 中心附近的L 个点。 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现 3.2 二维小波变换的Matlab 实现 二维小波变换的函数别可以实现一维、二维和N 维DFT ------------------------------------------------- 函数名函数功能 --------------------------------------------------- dwt2 二维离散小波变换 wavedec2 二维信号的多层小波分解 idwt2 二维离散小波反变换Matlab waverec2 二维信号的多层小波重构 wrcoef2 由多层小波分解重构某一层的分解信号 upcoef2 由多层小波分解重构近似分量或细节分量 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现 detcoef2 提取二维信号小波分解的细节分量 第三章习题一解答 一、求下列集合的幂集 1、{杨,李,石} 解：P({杨,李,石}) ={Φ, {石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}} 2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}} 解：原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只含一个元素，故其幂集只有2 个元素： P={Φ,{1,2}} 二、利用包含排斥原理，求解以下各题。 1、对60 人调查，25 读《每周新闻》，26 读《时代》，26 人读《财富》，9 人读《每周新闻》和《财富》，11 读《每周新闻》和《时代》，8 人读《时代》与《财富》，还有 8 人什么都不读，请计算： (1) 阅读全部三种杂志的人数。 (2) 分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。 解：记A={《每周新闻》的读者}，B={《时代》的读者}，C={《财富》的读者}。 由于8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即 |A ∪B ∪C|=52。已知 |A|=25，|B|=26，|C|=26 |A ∩C|=9，|A ∩B|=11，|B ∩C|=8 （1）由包含排斥原理可知 |A ∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩C|-|A ∩B|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|， 故 52=25+26+26-9-11-8+| A ∩B ∩C|，即有 | A ∩B ∩C|=3， 所以同时读三种杂志的人为3 人。 （2）注意到 |S ∩T| = |S|-|S ∩T|，故 只读《每周新闻》的人数为： | )()(||||)(||||)(|||C A B A A C B A A C B A C B A ???-=??-=??=?? =|A|-|A ∩B|-|A ∩C|+| A ∩B ∩C|=25-9-11+3=8； 只读《时代》人数为：=??||C A B |B|-|B ∩A|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|=26-11-8+3=10 ； 只读《财富》的人为：=??||B A C |C|-|C ∩A|-|C ∩B|+| A ∩B ∩C|=26-9-8+3=12。 2、某班25个学生，14人会打篮球，12人会打排球，6人会篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球，已知6人会网球的都会篮球或排球，求不会打球的人。 解：先求出会打球的人，25-会打球的人=不会打球的人。 |篮|=14, |排|=12, |篮∩排|=6, |篮∩网|=5, |篮∩排∩网|=2，|网|=6， 又 6= |网∩(篮?排)| = |网∩篮|+|网∩排|-|网∩篮∩排|, 故 5+ |网∩排|-2=6， 故 | 网∩排|=3, 由包含排斥原理可知会打球的人数为 第三章离散傅里叶变换 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 § 3-1 引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。 二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。 傅氏变换 § 3-2 傅氏变换的几种可能形式 一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换 对称性： 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。 二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数 时域信号 频域信号 连续的 非周期的 非周期的 连续的 t ? ∞ ∞ -Ω-= Ωdt e t x j X t j )()(:? ∞ ∞ -ΩΩ Ω= d e j X t x t j )(21 )(:π 反 *时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp 三.离散时间、连续频率的傅氏变换 --序列的傅氏变换 p T 0= Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的 非周期的 离散的 ? -Ω-= Ω2 /2 /00)(1 )(:p p T T t jk p dt e t x T jk X 正∑ ∞ -∞ =ΩΩ= k t jk e jk X t x 0)()(:0反 由于小波变换的知识涵盖了调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论，所以没有一定的数学基础很难学好小波变换．但是对于我们工科学生来说，重要的是能利用这门知识来分析所遇到的问题．所以个人认为并不需要去详细学习调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论等数学知识．最重要是的理解小波变换的思想！从这个意义上说付立叶变换这一关必需得过！因为小波变换的基础知识在付立叶变换中均有提及，我觉得这也就是很多小波变换的书都将付立叶分析作为其重要内容的原因．所以我认为学习小波应从＜数字信号处理＞中的付立叶分析开始．当然也可从＜信号与系统＞这本书开始．然后再看杨福生老师的小波变换书．个人觉得他的书最能为工科学生所接受． ２信号的分解 付立叶级数将周期信号分解为了一个个倍频分量的叠加，基函数是正交的，也就是通常所说的标准正交基．通过分解我们就能将特定的频率成分提取出来而实现特定的各种需要，如滤波，消噪等．付立叶变换则将倍频谱转换为了连续谱，其意义差不多．小波变换也是一种信号分解思想：只不过它是将信号分解为一个个频带信号的叠加．其中的低频部分作为信号的近似，高频部分作为信号的细节．所谓的细节部分就是一组组小波分量的叠加，也就是常说的小波级数． ３小波变换的时频分析思想 付立叶变换将信号从时域变换到了频域，从整体上看待信号所包含的频率成分．对于某个局部时间点或时间段上信号的频谱分析就无能为力了，对于我们从事信号的奇异性检测的人来说，付立叶变换就失去了意义（包括加窗付立叶变换）．因为我们要找的是信号的奇异点（时域方面）和奇异点处所包含的频带（频域方面）也就是说需要一种时频分析方法．当然能有纯时域的分析方法更好！（据说数学形态学能达到这种效果）．小波变换之所以可以检测信号的奇异点，正在于它的＂小＂．因为用小的波去近似奇异信号要比正弦波要好的多． ４小波变换的实质 小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的．它要求的就是一个个小波分量的系数也就是＂权＂．其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地＂量＂信号，也就是去比较信号与小波的相似程度．信号局部与小波越相似，则小波变换的值越大，否则越小！当一步比较完成后，再将尺子拉长一倍，又去一步步地比 第3章作业 班级学号姓名成绩 8.一个小猪储钱罐有100个相同的5角和80个1元的硬币，从中选出8个硬币有多少种方式。 11.设x1，x2，x3是非负整数，不等式x1+x2+x3 11有多少种解。 13.使用MISSISSIPPI中的所有字母可以构成多少个不同的串？使用ABRACADABR中的所有字母可以构成多少个不同的串？ 15.把一副标准的52张扑克牌发给5个人，每人得7张，有多少种不同的方式，把一副标准的52张扑克牌平均发给4个人，有多少种不同的方式？ 16.有多少种不同的方式把5个不同的物体放到3个不同的盒子里？有多少种不同的方式把5个相同的物体放到3个不同的盒子里？ 17找出按照字典顺序跟在下面每个排列后面的下一个更大的全排列。 （1）1432（2）54123（3）12453（4）45231(5)6714235(6)31528764 18.按照字典顺序排列下述{1,2,3,4,5,6}的排列：234561,231456,165432,156423,543216,541236,231465, 314562,432561,654321,654312,435612。 20.使用算法3.3.2列出集合{1,2,3,4}的所有子集。 21.使用算法3.3.3列出集合{1,2,3,4,5}的所有3-组合。 38.一个碗里有10个红球和10个蓝球。一位女士不看球而随机地选取。 （1）她必须选多少个球才能保证至少有3个球是同色的？ （2）她必须选多少个球才能保证至少有3个球是蓝色的？ 39.一个计算机网络有6台计算机组成，每台计算机至少连接1台其他计算机。证明，网络中至少有2台计算机直接连接相同数目的其他计算机。 离散小波变换 长期以来，离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了广泛的应用。各种快速傅氏变换(FFT)和离散小波变换(DWT)算法不断出现，成为数值代数方面最活跃的一个研究领域，而其意义远远超过了算法研究的范围，进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。本章分别对FFT 和DWT 的基本算法作了简单介绍，若需在此方面做进一步研究，可参考文献[2]。 1.1 离散小波变换DWT 1.1.1 离散小波变换DWT 及其串行算法 先对一维小波变换作一简单介绍。设f (x )为一维输入信号，记)2(2)(2/k x x j j jk -=--φφ， )2(2)(2/k x x j j jk -=--ψψ，这里)(x φ与)(x ψ分别称为定标函数与子波函数，)}({x jk φ与 )}({x jk ψ为二个正交基函数的集合。记P 0f =f ，在第j 级上的一维离散小波变换DWT(Discrete Wavelet Transform)通过正交投影P j f 与Q j f 将P j -1f 分解为： ∑∑+=+=-k k jk j k jk j k j j j d c f Q f P f P ψφ1 其中：∑=-=-+10 12)(p n j n k j k c n h c ，∑=-=-+1 12)(p n j n k j k c n g d )12,...,1,0,,...,2,1(-==j N k L j ，这里，{h (n )}与{g (n )}分别为低通与高通权系数，它们由基函数)}({x jk φ与)}({x jk ψ 来确定，p 为权系数 的长度。}{0 n C 为信号的输入数据，N 为输入信号的长度，L 为所需的级数。由上式可见，每级一维DWT 与一维卷积计算很相似。所不同的是：在DWT 中，输出数据下标增加1时， 权系数在输入数据的对应点下标增加2，这称为“间隔取样”。 算法22.3 一维离散小波变换串行算法 输入：c 0=d 0(c 00, c 10,…, c N-10) h=(h 0, h 1,…, h L-1) g=(g 0, g 1,…, g L-1) 输出：c i j , d i j (i=0, 1,…, N/2j-1, j ≥0) Begin (1)j=0, n=N (2)While (n ≥1) do (2.1)for i=0 to n-1 do (2.1.1)c i j+1=0, d i j+1=0 3、9解: 符号化: p:a就是奇数、q:a就是偶数、r:a能被2整除 前提:(p→?r),(q→r) 结论:(q→?p) 证明: 方法2(等值演算法) (p→?r)∧(q→r)→(q→?p) ?(?p∨?r)∧(?q∨r) →(?q∨?p) ?(p∧r) ∨(q∧?r) ∨?q∨?p ?((p∧r) ∨?p)∨((q∧?r) ∨?q) ?(r∨?p) ∨(?r∨?q) ??p∨(r∨?r) ∨?q ? 1 即证得该式为重言式,则原结论正确。 方法3(主析取范式法) (p→?r)∧(q→r)→(q→?p) ?(?p∨?r)∧(?q∨r) →(?q∨?p) ?(p∧r) ∨(q∧?r) ∨?q∨?p ?m0+ m1+ m2+ m3+ m4+ m5+ m6+ m7 可知该式为重言式,则结论推理正确。 3、10、解: 符号化:p:a就是负数、 q:b就是负数、r:a、b之积为负前提: r→(p∧?q) ∨(?p∧q) 结论:?r→(?p∧?q) 方法1(真值法) 由上表可知,存在r→(p∧?q) ∨(?p∧q)为真,结论?r→(?p∧?q)为假的情况,因此推理不正确。 方法2(主析取范式法) 证明:(r→(p∧?q) ∨(?p∧q))→(?r→(?p∧?q)) ?? (?r∨(p∧?q) ∨(?p∧q))∨(r∨(?p∧?q)) ?r∨(?p∧?q) ?m0+m2+m4+m6+m7 只含5个极小项,课件原始不就是重言式,因此推理不正确 3、11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 解: ③:①②析取三段论 ⑤:③④析取三段论 ⑦:⑤⑥假言推理 3、12、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 解: ②:①化简规则 ③:①化简规则 ⑤:②④假言推理 ⑥:③⑤假言推理 ⑧:③⑦假言推理 ⑨:⑥⑧假言推理 3、13、证明: ∵前提?(p→q)∧q ??(? p∨q)∧q ?p∧?q∧q ?0为矛盾式 ∴以(?(p→q)∧q)∧(p∨q)∧(r→s) →B、(B为任何结论)的推理的前件在任何赋值下均为假 ∴无论结论如何,推理总正确 3、1 4、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明: (1)前提: p →(q →r), p, q 结论: r ∨s (2)前提: p →q, ? (q ∧r), r 结论: ? p (3)前提: p →q 结论: p →(p ∧q) (4)前提: q →p, q?s, s?t, t ∧r 结论: p ∧q (5)前提: p →r, q →s, p ∧q 结论: r ∧s (6)前提: ? p ∨r, ? q ∨s, p ∧q 结论: t →(r ∨s) (1)证明: ①p →(q→r) 前提引入 实验目的：通过编程实现离散快速小波变换Mallat 算法，从而加深理解二维 小波变换的分解与合成，同时，提高编程能力和matlab 的应用，为以后的学习打下基础。 实验原理： 1、Mallat 快速算法 本实验使用离散快速小波变换快速算法Mallat 算法，算法原理如下 1(2)j j k n n c h n k c -=-∑ （1） 1(2)j j k n n d g n k c -=-∑ （2） 重构算法： 1 (2)(2)j j j n k k n n c h n k c g n k d -=-+-∑∑ （3） 对于（1）、（2）等效于1 j n c -经过冲击响应为[]h n -和[]g n -的数字滤波器，然后再分别进行“二抽取”，Mallat 分解算法的滤波器表示形式如下图 C j-1 d j (k) C j (k) 用滤波器表示如下图 d j C j C j-1(k) 2、 255*255 10lg PSNR MSE = '2 11 ()*M N ij ij i j f f MSE M N ==-= ∑∑ {}ij f '{}ij f 分别表示原始图像和重建后的图像，1,1i M j N ≤≤≤≤。 3、边界延拓方法有零延拓、周期延拓、对称周期延拓、常数连续延拓等，本实验采用以上四种方法进行原图像的1/8延拓，并进行重构，各种延拓方法所对应的函数为yan0(x)、yancir （x ）、yan(x)、yanc(x),在主程序中，需要某种延拓，便调用某种函数。 实验编程思路： 为使程序易于理解，在不考虑算法复杂度的情况下，分解程序采用简洁的循环计算出下一级的分解系数，程序采用的编程思想如下 [][][]11100[0][1][2][3][4][5] 001[1]00[0][1][2][3]00[1][2][3][4][5]00[0][1]12j j j j j j c c h h h h h h c c h h h h n c n h h h h h h c ---?? ??????????????? ???=??? ???????????--????????????? ? 以上矩阵等式左面是进行二抽样的结果，[0][1]2 j j n c c -是j 分解的低频部分。同理，对 于j 分解的高频部分有如下矩阵形式： [][][]11 100[0][1][2][3][4][5]0 01[1]00[0][1][2][3]0 0[1][2][3][4][5]00[0][1]12j j j j j d d g g g g g g d d g g g g n d n g g g g g g d ---???? ????????????????=? ?? ???? ???????--???? ? ?????? ??? 分解程序： lenx=size(x,2);%x 为一维向量 lenh=size(h,2); h=[h,zeros(1,(lenx-lenh))]; g=[g,zeros(1,(lenx-lenh))]; r1(1)=sum(h.*x); r2(1)=sum(g.*x); 集合论部分 第三章、集合的基本概念和运算 3.1 集合的基本概念集合的定义与表示 集合与元素 集合没有精确的数学定义 理解：一些离散个体组成的全体组成集合的个体称为它的元素或成员集合的表示 列元素法A={ a, b, c, d } 谓词表示法B={ x | P(x) } B 由使得P(x) 为真的x构成常用数集 N, Z, Q, R, C 分别表示自然数、整数、有理数、 实数和复数集合，注意0 是自然数. 元素与集合的关系：隶属关系 属于∈，不属于? 实例 A={ x | x∈R∧x2-1=0 }, A={-1,1} 1∈A, 2?A 注意：对于任何集合A 和元素x (可以是集合)， x∈A和x?A 两者成立其一，且仅成立其一. 集合之间的关系 包含（子集）A?B??x (x∈A→x∈B) 不包含A?B??x (x∈A∧x?B) 相等A = B?A?B∧B?A 不相等A≠B 真包含A?B?A?B∧A≠B 不真包含A?B 思考：≠和?的定义 注意∈和?是不同层次的问题 空集?不含任何元素的集合 实例{x | x2+1=0∧x∈R} 就是空集 定理空集是任何集合的子集 ??A??x (x∈?→x∈A) ?T 推论空集是惟一的. 证假设存在?1和?2，则?1??2 且?1??2，因此?1=?2全集E 相对性 在给定问题中，全集包含任何集合，即?A (A?E ) 幂集定义P(A) = { x | x?A } 实例 P(?) = {?}， P({?}) = {?,{?}} P({1,{2,3}})={?,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} 计数 如果|A| = n，则|P(A)| = 2n 3.2 集合的基本运算 集合基本运算的定义??-~⊕ 并A?B = { x | x∈A∨x∈B } 交A?B = { x | x∈A∧x∈B } 相对补A-B = { x | x∈A∧x?B } 对称差A⊕B = (A-B)?(B-A) = (A?B)-(A?B) 绝对补~A = E-A 文氏图（John Venn） 3.6从1到300的整数中 （1）同时能被3、5、和7这3个数整除的数有A个。 （2）不能被3、5，也不能被7整除的数有B个。 （3）可以被3整除，但不能被5和7整除的数有C个。 （4）可被3或5整除，但不能被7整除的数有D个。 （5）只能被3、5和7之中的一个数整除的数有E个。 供选择的答案 A、B、C、D、E：①2；②6；③56；④68；⑤80；⑥102；⑦120；⑧124；⑨138；⑩162。 解：设1到300之间的整数构成全集E，A、B、C分别表示其中可被3、5或7整除的数的集合。文氏图如下图： 在A∩B∩C中的数一定可以被3、5和7的最小公倍数105整除，即 ∣A∩B∩C∣=?300/105?=2，同样可得 ∣A∩B∣=?300/15?=20， ∣A∩C∣=?300/21?=14， ∣B∩C∣=?300/35?=8. 然后将20-2=18，14-2=12，8-2=6分别填入邻近的3块区域. 再计算∣A∣=?300/3?=100， ∣B∣=?300/5?=60， ∣C∣=?300/7?=42. 所以 ∣A∪B∪C∣=162. 所以本题的答案是：A=①2；B=⑨138；C=④68；D=⑦120；E=⑧124. 3.10列元素法表示下列集合。 （1）A={ x | x ∈N ∧x2 ≤7}. （2）A={ x | x ∈N ∧|3-x|<3}. （3）A={ x | x ∈R ∧(x+1)2≤0}. （4）A={ 实验六一维离散小波变换 一．函数介绍 1.单尺度 [cA,cD]=dwt(X,’wname’),单尺度一维小波变换，返回低频和高频系数，其中X――信号名字，wname――小波名字选择 X=idwt(cA,cD,’wname’)，单尺度一维小波逆变换。其中cA,cD为小波变换所返回的系数。 2.多尺度 [C,L]=wavedec(X,N,’wname’)，多尺度一维小波分解，返回各层低频高频系数，其中X――信号名字，N――分解层数，wname――小波名字选择。 X=wavrec(C,L,’wname’), 一维多尺度小波重构，其中C,L为小波分解所返回的系数 X=Wrcoef(‘type’,C,L,’wname’,N),由一维小波系数进行单支重构。其中C,L为小波分解所返回的系数，重构第N层，’type’=’a’,重构低频，’type’=’d’，重构高频。 Y=Upcoef(O,X,’wname’,N),一维小波系数直接重构。O=’a’,重构低频，O=’d’，重构高频，X――分解时返回系数，N――向上重构层数 A=Appcoef(C,L,’wname’,N),提取一维近似系数。其中C,L为小波分解所返回的系数，N 提取层数。 二．举例 ％单尺度 >> load noisbloc; >> s=noisbloc(1:1024); >> [cA1,cD1]=dwt(s,'db4'); >> A1=upcoef('a',cA1,'db4',1); >> D1=upcoef('d',cD1,'db4',1); >> subplot(4,1,1);plot(s);title('原始信号') >> subplot(4,1,2);plot(A1);title('低频') >> subplot(4,1,3);plot(D1);title('高频') >> s0=idwt(cA1,cD1,'db4'); >> subplot(4,1,4);plot(s0);title('重构信号') ％多尺度 >> s0=idwt(cA1,cD1,'db4'); >> [C,L]=wavedec(s,3,'db4'); >> cA5=appcoef(C,L,'db4',3); >> A3=wrcoef('a',C,L,'db4',3); >> D1=wrcoef('d',C,L,'db4',1); >> D2=wrcoef('d',C,L,'db4',2); >> D3=wrcoef('d',C,L,'db4',3); >> figure(2); >> subplot(4,1,1);plot(A3);title('第三层低频') >> subplot(4,1,2);plot(D3);title('第三层高频') >> subplot(4,1,3);plot(D2);title('第二层高频')离散数学第三章消解原理
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