Kronecker积及其应用

Kronecker积及其应用
Kronecker积及其应用

矩阵的Kronecker 积及其应用

陈蔚

(集美大学理学院数学系2005届,厦门 361021)

[摘要] 本文主要介绍了矩阵理论中的Kronecker 积,通过对概念的引入,性质、

定理的推导,简单地体现出矩阵的Kronecker 积在求解几类矩阵方程中的应用。

[关键词] Kronecker 积,特征值,拉直,1

t

i i

i A XB F

==∑矩阵方程,AX +F

XB =矩阵方程,X -F AXB =矩阵方程,矩阵微分方程

0、引言

众所周知,我们学习到的矩阵运算中,普遍提及的均是乘积问题,两矩阵可以相乘的条件是:前面矩阵的列数必须等于后面矩阵的行数,如果不满足这个条件,则我们就无法求解这两个矩阵的乘积,但我们却可以求它们的Kronecker 积.对于矩阵的Kronecker 积问题,绝大多数人是陌生的.本文主要介绍了Kronecker 积的定义、性质、应用,让大家一起来领略这个新知识点的风采.文中所用到的符号均可从参考文献[1-11]中找到.

一、 矩阵的Kronecker 积的概念

[1]

1.1

定义 设()m n ij A a C ?=∈, C b B q p ij ?∈=)(,则称如下的分块矩阵

111212122212n n m p nq m m m n B B a a a B a a a B

B B A B

C a a a B

B

B ???

?

?

?=∈ ?

???

为A 与B 的Kronecker 积(也称为直积或张量积).

B

A ?是一个n m ?块的分块矩阵,所以上式还可以简写为

B A ?=()ij a B .

例1.1 设,,(321a a a T

A =, ),(21b b

B T =,求B A ?和A B ?.

解 B A ?=()111221223132123T a B a a b a b a b a b a b a b B

a B

??

?

= ?

???

,,,,,, A B ?=()11121321222312T

b A b a b a b a b a b a b a b A ??= ?

??

,,,,,.

这个例子表明,矩阵的Kronecker 积与乘积一样不满足交换律,即

B

A ?≠ A

B ?.

二、 矩阵的Kronecker 积的性质、定理及推论

由定义1.1,容易证明

性质2.1 )()()(kB A B kA B A k ?=?=?.

性质2.2 设A 1与A 2为同阶矩阵,则(1)1212()A A B A B A B +=+???. (2)1212()B A A B A B A +=+???.

性质2.3 (A ?B )?C =A ?(B ?C ).

性质2.4 设A =)(a ij n m ?,B =)(b ij r l ?,C =)(c ij p n ?,D =)(d ij s r ?,则

(B A ?)(D C ?)=AC ?BD .

证 (B A ?)(D C ?)=()ij a B ()ij c D

=1112112n m m m n a a a B

B

B a a a B

B

B ?? ? ?

???

1112112p n n np c c c D

D

D c c c D

D

D ??

? ?

???

=1112111

1

121

1

1n

n n

k k k k k kp k k k n

n

n m k k m k k m k kp k k k a c a c a c B D B D

B D a c a c a c B D B D

B D ======??

?

?

? ? ???

∑∑∑∑∑∑

=111211

11121

11n n n k k k k k kp k k k n n n m k k m k k m k kp k k k a c a c a c BD BD BD a c a c a c BD

BD BD ======??????

??

? ? ? ???

??

??

?

? ?

??????

? ? ? ?????

????

∑∑∑∑∑∑

=BD AC ?.

推论2.1 (1)()()1212l l A A A B B B ??????

=1122l l A B A B A B ??? .

(2)()()()1122l l A B A B A B ??? =()()1212l l A A A B B B ? .

上面两个式子只要等号右边有意义,则左边也有意义,而且两边相等. 推论2.2 若A 为m 阶矩阵,B 为n 阶矩阵,则

A B ?=()()()()n m m n A E E B

E B A E =????.

利用性质2.1—2.4及推论2.1,可以得到以下常用到的性质. 设A 是m 阶矩阵,B 是n 阶矩阵.

性质2.5 若A 、B 都可逆,则B A ?也可逆,且()

1

11

A B

A B

---=??.

证 根据性质2.4,1111()()m n mn A B A B AA BB E E E ----===????,

1111()()m n mn

A A

B A B A B B E E E ----===????,

∴()

1

11

A B

A B

---=??.

推论2.3 若A i 均为方阵,且A i 均可逆(i =1,2,…),则

()12121

1

11i i A A A A A A ----=????

?? .

证 运用归纳法. 当i =2时,由性质2.5知:等式成立.

设当i =k 时,()121

111

12k k A A A A A A ----=?????? 成立.

则当i =k +1时,根据性质2.5,有:

()1211

k k A A A A +-???? =()121

11k k A A A A --+????

=1111

121k k A A A A ----+???? ,

从而,等式成立.

推论2.4 ()()()()DB CA D C B A 1111----?=??.

证 由性质2.4、2.5知: 1

1

1111()()()()C A B D C A B D ------=???? =()()DB CA D B C A 111111------?=?.

性质2.6 若A 、B 均为上(下)三角矩阵,则B A ?也是上(下)三角矩阵. 性质2.7 若A 、B 均为对角阵,则B A ?也是对角阵.

性质2.8 若A 、B 均为对称矩阵,则B A ?也是对称矩阵.

定义2.1 酉变换在酉空间的标准正交基下的矩阵A 称为酉矩阵,即A 满足:

H H

A A A A E

==.

性质2.9 若A 、B 均为酉矩阵,则B A ?也为酉矩阵.

定义2.2 Hermite 变换在酉空间的标准正交基下的矩阵A 称为Hermite 矩 阵,即A 满足: H A A =.

性质2.10 若A 、B 均为Hermite 矩阵,则B A ?也为Hermite 矩阵. 性质2.11 设A =)(a ij n m ?,B =)(b ij q p ?,则

()

T

T

T

A B

A B =?

?,()

H

H H

A B

A B

=??.

性质2.12 设A =)(a ij n m ?,B =)(b ij q p ?,则rank(B A ?)=rank )(A rank )(B . 证 设rank )(A =r 1,rank )(B =r 2.

对矩阵A ,必存在可逆矩阵M 、N ,使得1N A MA =,其中A 1=???

?

?

?00

01

E r

.

对矩阵B ,必存在可逆矩阵P 、Q ,使得1Q B PB =,其中B 1=???

?

?

?00

02

E r

.

则由性质2.4知:A B ?= 1)(M A N ?1)(PB Q =()M P ?11()B A ?()N Q ?. 由性质2.5知:M P ?、Q N ?仍为可逆矩阵.∵矩阵乘以可逆矩阵后,其秩不变. ∴rank(B A ?)=rank (A 1?B 1)=r 1r 2= rank )(A rank )(B .

[2]

定理2.1

设x x x n ,,,21 是n 个线性无关的m 维列向量,y y y q ,,,21 是q 个

线性无关的p 维列向量,则nq 个mp 维列向量i j y x ?(i =1,2,…,n ;j =1,2,…, q )

线性无关.反之,若向量组i j y x ?(i =1,2,…,n ;j =1,2,…, q )线性无关,则

x x x n ,,,21 和y y y q ,,,21 均线性无关.

证 令),,,(),,,(2121b b b y a a a x pj j j mj j j T

j T j ==,,A =(x x x n ,,,21 )=)(a ij n m ?,

B

=),,,21(y y y q =)(b ij q p ?,则有rank )(A =n , rank )(B =q .

∵B A ?=()1111212,,,,,,,,n n n q q y y y y y y x x x x x x ?????? , ∴rank (B A ?)= )(A rank )(B rank =nq .

又∵B A ?是mp ×nq 矩阵,∴B A ?是列满秩矩阵,即B A ?的列向量组

(1,2,,;1,2,,)i j i n j q y x ==? 是线性无关的.

反之,若列向量组(1,2,,;1,2,,)i j i n j q y x ==? 是线性无关的,则B A ?是列满秩的,∴rank(B A ?)=nq =rank )(A rank )(B .

下证rank ()A =n ,rank )(B =q .

假设rank ()A <n ,则rank )(B 必>q ,矛盾.∴有rank ()A =n . 同理,得:rank )(B =q .即A 、B 为列满秩的矩阵. ∴x x x n ,,,21 和y y y q ,,,21 是线性无关的.

性质2.13 设A 为m 阶矩阵,B 为n 阶矩阵,则有B A ?相似于A B ?.

三、矩阵的Kronecker 积的特征值

考虑由变量x 、y 组成的复系数多项式

(),0

,l

j

i

ij i j f

x y y

c x ==∑和mn 阶矩阵

(),0

,l

i j ij i j f

A B c A B ==∑? 其中,A 为m 阶矩阵,B 为n 阶矩阵.

例3.1 设y x x y x f 2),(+=,把),(y x f 写成:),(y x f =y x y x 2

101+,于是,

2(,)n f A B A E A B =+??.

特别地,若),(y x f =xy ,则有B A B A f ?=),(.

定理3.1 设λλλm ,,,21 是m 阶矩阵A 的特征值,x x x m ,,,21 为A 的对应

于λλλm ,,,21 的特征向量;μμμn ,,,21 是n 阶矩阵B 的特征值,y y y n ,,,21 是B 的对应于μμμn ,,,21 的特征向量,则mn 个数),(μλs r f (1,2,,;1,r m j == 2,…,)n 为),(B A f 的特征值,r s y x ?是对应于),(μλs r f 的特征向量.

证 由y y x x s s s r r r B A μλ==,知:y y B x x A s i

s s i r i r r i μλ==,. ∴),(B A f )(r s x y ?=,0()l i j ij i j c A B =?∑)(r s x y ?=()B A c j i l

j i ij ?∑=0

,)(r s x y ?

=())(0

,0

,y x c y B x A c s j

s r i r l

j i ij s j

r i

l

j i ij μλ?=?∑∑==

=),(μλs r f )(r s x y ?.

推论3.1 B A ?的特征值是mn 个值μλs r ),,2,1;,,2,1(n j m r ==,

μλs r 对应的特征向量是 r s y x ? ),,2,1;,,2,1(n j m r ==.

推论3.2 m n A E B E +??的特征值是μλs r +,其对应的特征向量是

r s y x ? ),,2,1;,,2,1(n j m r ==.

推论3.3(推论3.2的推广) ()()n m A E E B αβ+??的特征值为

μλβαs r +,其对应的特征向量为x y r s ?),,2,1;,,2,1(n j m r ==.

类似的,()()m n A E B E αβ+??的特征值为μλβαs r +,其对应的特征向 量为r s y x ?),,2,1;,,2,1(n j m r ==.

注意:对矩阵m n A E B E +??,我们将其称为矩阵A 和B 的Kronecker 和(或

称为直和),记作B A ⊕.

性质3.1 设A 为m 阶矩阵,特征值为λλλm ,,,21 ;B 为n 阶矩阵,特征 值为μμμn ,,,21 ,则det()(det )(det )n m A B A B ?=.

证一 由推论3.1知:

=?)det(B A ??

?

?

?

∏=∏??? ??∏=∏∏∏======n j j m

m

i n i m

i n j j n i j m

i n

j i 111111μλμλμλ

=()()()()B A m

n

m

n m

m

n

m n n det det 2121=μμμλλλ .

证二 由性质2.4知:()()()m n A B A E B E =???,且

()

()det det m

m B B

E =?,

又由性质2.13知:n A E ?相似于n E A ?,即

()()()det det det n

n n A E A E A

==??,

∴()()det()det det n

m

A B A B ?=.

性质3.2 设A 为m 阶矩阵,特征值为λλλm ,,,21 ;B 为n 阶矩阵,特征 值μμμn ,,,21 ,则tr ()A B ?=tr ()A tr ()B .

证 ∵tr ??

? ?

?

??? ??==?∑∑∑∑====n

j j m

i i j m

i n

j i B A 1

1

11)(μλμλ=tr )(A tr )(B .

对于矩阵的Kronecker 积也存在幂的定义.

定义3.1 记[]k A A A A =??? ,称为Kronecker 积的幂. 设A =)(a ij n m ?,B =)(b ij q p ?,则()B A AB k k k ][][]

[=.

四、 矩阵的Kronecker 积的应用

定义4.1 设A =()a ij n m ?,记()12,,,(1,2,,)i i mi T i i n a a a a == ,令vec()A =????

?

?

?

??a a a n 21,

则vec()A 称为矩阵A 的列拉直(列展开).

定义4.2 设A =()a ij n m ?,记()),,2,1(,,,,21m i a a a a in i i T

i ==

令)(vec _____A ????

?

?

? ??=a a a m 21,则称)(vec _____

A 为矩阵的行拉直(行展开).

定理4.1 设C C C q p p n n m B X A ???∈∈∈,,,则

(1)vec()AXB =()T

B A ?vec()X .(2)__________

vec ()()vec ()T

AXB A B X =?.

证(1)记()12,,,p x x x X = ,(1,2,,)n i i p x C ∈= ;

()12,,,q b b b B = ,(1,2,,)p

j j q b C ∈= ,则

vec()AXB =12

12vec(,,,)q q AXb AXb AXb AXb AXb AXb ?? ?

?= ? ???

. 而121212(,,,)p i

i i pi i i pi AXb

b b b b b b AX AX AX A A A =

+++= vec()X ,

∴112111222212vec()vec()()vec()p p T

q q pq A A A A A

A AX

B X X A

A A b b b b b b A

B b b b ??

?

?

=

= ? ?

????

.

(2)设A =()a ij n m ?,()112212,,,,,vec T

T T

n T n n X X x x x x x x x X x x ???? ? ?

?

?=== ? ? ? ? ?

????

)(XB A AXB ==11112

112

1

2

1

2T

j

n T i i ij

in T

j m m m j m n T n x B a a a a x B a a a a x B a a a a x B ???? ? ? ?

? ?

?

? ? ? ?

?

? ???

??

?

=()()111111

11()T j T j T j n n T T

j j j j j n n T T

ij j ij j j n n T T m j j m j j j B a x a x B B a x a x B B a x a x B ======??????∑∑ ? ??? ? ?

? ? ? ???=∑∑ ? ??? ? ?

? ? ? ??? ? ?

∑∑?

????? ,

即11__________11vec ()(vec ()

n T j j j n T T

ij j j n T

m j j j a x B AXB X a x B A B a x B ===??∑ ? ?

?

?==∑? ? ?

? ?

?∑??

).

推论4.1 αβα=+)vec(B A )vec(A +β)vec(B . 推论4.2 )(vec vec((vec )vec(_____

_____

A A A A T

T

==));.

推论4.3 设A 为m 阶矩阵,B 为n 阶矩阵,∈C M n m ?,则

(1)_____

_____

vec()()vec()vec ()()vec ()n n AX X AX X A A E E ==??,.

(2))(vec ()(vec )vec()()vec(_____

_____

X XB X XB B E E B T

m n T

),?=?=.

(3)vec()()vec()T n m AX XB X A E B E +=+??,

_____

_____

vec ()(vec ()

T

m n AX XB X A E B E +=+??).

证(1)vec()vec()n AX AXE =

∴根据定理4.1知:vec()()vec()()vec()T n n AX X X A A E E ==?? 同理可证)(vec _____

AX . (2)仿(1)可证得.

(3)∵)vec()vec()vec(XB AX XB AX +=+,

∴根据(1)、(2)知:)vec(XB AX +=()vec()n X A E ?()vec()T n X B E ? =()vec()T n m X A E E B +??. 同理可证)(vec _____

XB AX +.

推论4.4 设C C q p n m B A ??∈∈,,则

_____

_____

vec()vec(),vec ()vec ()A B A B A B A B

?=?=.

接下来,我们就用矩阵Kronecker 积和拉直概念相结合,看看它们在其它领域的

运用.在系统控制等工程领域,经常遇到两类特殊的线性矩阵方程:AX +F XB =和

X

-F AXB =.它们在系统稳定性、控制性问题中有着基本的作用,广泛的应用.而

这两个方程又是1

t

i i i A XB F ==∑型矩阵方程的特殊情况.

4.1 1

t

i i i A XB F ==∑型矩阵方程

一般的线性矩阵方程可表示为:1122t t F A XB A XB A XB +++= (1)其中,A i 为

m 阶矩阵,B i 为n 阶矩阵(i =1,2,…, t )F C n m ?∈均是已知矩阵,X C n m ?∈是未知

矩阵.

利用矩阵的Kronecker 积和拉直,可以给出该线性矩阵方程的可解性及其解法.

[3]

定理4.2

矩阵X C n m ?∈是矩阵方程(1)的解的充分必要条件为x =vec(X )

是该线性方程组()

1vec()i t T i i x F A B =??=∑?????

的解. 证 对(1)两边同时列拉直,得:vec (F )=1

1

vec()vec()

t t

i i i i i i A XB A XB ===∑∑.

又根据定理4.1知:1

vec()()vec()t

T i i F X A B ==∑?,

∴该矩阵方程组与矩阵方程(1)等价,即解相同.

定理4.3 矩阵X C

n

m ?∈是矩阵方程(1)的解的充分必要条件为x =_____

vec ()X

是该线性方程组1

[()]t

T

i i

i B A =∑?)(vec _____

F x =的解.

例4.1求解矩阵方程1122A XB A XB F +=.其中1

22

201,2121A

A ????

== ? ?---????

1210024

6,,1

11

33

6B B F -??????

=== ? ? ?--??????

. 解 设1

234x x X x x ??=

???

,则根据定理4.2知:()

1vec()vec()

i t T i i X F A B =??=∑?????. 1

21101,012

3T

T

B

B --????== ? ????? 12122

222000*********,0

0220203002142

6

3T T A A B B ---????

? ?-- ? ?== ? ? ? ?-----????

??∴.

12122223210202254

2

4

4T T A A B B --?? ?- ?= ? ?----??

??+.则1324222342

1023022564

2

4

46x x x x --?????? ? ? ?- ?

? ?=

? ? ?- ? ? ?----????

??

得:,

,

,

1

2

3

4

.

0121x x x x ===-=-∴???

?

??--=0121X

.

推论4.5 由定理4.2和线性方程组的可解性条件知:矩阵方程(1)有解 的充分必要条件为:系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即:

rank(G )=rank[G vec(F )]

有唯一解的充分必要条件为G (G =1t

T i i i A B =∑?)可逆.

4.2 AX +F XB =矩阵方程

矩阵方程AX +F XB =中A 为m 阶矩阵,B 为n 阶矩阵,F C n m ?∈.下面运 用矩阵的Kronecker 积和拉直来给出该方程的求解过程及其解.

首先,对方程的两边列拉直,得:vec(AX +XB )=vec(F ). 由推论4.3(3)知:有vec()()vec()T n m F X A E E B =+??. (2) 再由推论4.5知:方程有解的充分必要条件为:

rank ()T n m A E E B +??=rank [()vec()]T n m F A E E B +?? .

且方程有唯一解的充分必要条件为:矩阵()T n m A E E B +??可逆.

类似的,若是对方程两边行拉直,则方程有解的充分必要条件为: rank (T

m n A E B E +??)=rank[_____

(vec ()T

m n F A E B E +?? ].

注意到:(T m n A E B E +??)即为矩阵A 和T B 的Kronecker 和,所以上式也可

以写为:rank (T

A B ⊕)=rank[_____

(vec ()T

F A B ⊕ )

]且方程有唯一解的充分必要条件为:矩阵(T A B ⊕)可逆.

例4.2 求解矩阵方程AX +F XB = 其中,1

1340

5,,0

20

12

9A

B F --??????

=== ? ? ?--??????

.

解 设123

4x x X x x ??=

???

.110030000

2000300,001140100

20

4

1T n m A E E B --????

? ?- ? ?== ? ?-- ? ?-????

??

∴2100010040010

4

1T n m

A E E

B --?? ?- ?= ?- ????+?,则??????

?

??-=??????? ????????? ??----952010

4

01004

0010

00124231x x x x .

得:,

,

,

.

1

2

3

4

1221x x x x ==-=-=-∴???

?

?

?---=1221X

.

定理4.4 设λλλm ,,,21 是m 阶矩阵A 的特征值, μμμn ,,,21 是n 阶矩阵

B

的特征值,则AX +F XB =矩阵方程有唯一解的充分必要条件为:0≠+μλj i

),,2,1;,,2,1(n j m i ==,即A

和-B 没有共同的特征值.

证 ∵AX +F XB =矩阵方程等价于线性方程组(2),则由推论3.2知: 矩阵()T n m A E E B +??的特征值是μλj i +),,2,1;,,2,1(n j m i ==.

又∵AX +F XB =矩阵方程有唯一解的充分必要条件为矩阵()T n m A E E B +?? 可逆,∴其特征值均非零,即0≠+μλj i .

定理4.5设A 为m 阶矩阵,B 为n 阶矩阵,且A 、B 为稳定矩阵,即A 、B 的特征值均具有负实部,则AX +F XB =矩阵方程有唯一解,且解X C n m ?∈可表示成:X =dt F e e Bt At ?+∞

-0.

推广(1)设λλλm ,,,21 是m 阶矩阵A 的特征值, μμμn ,,,21 是n 阶矩阵B 的特征值,则齐次方程AX +=XB 0有非零解的充分必要条件为:存在j i 00,, 使得j i o μλ+0=0.

(2)设A 为m 阶矩阵, 则齐次方程AX -0=XB 一定有非零解. 4.3 X -F AXB =矩阵方程

X

-F AXB =矩阵方程常出现在系统稳定性研究中,对于它的求解我们同

样可以运用矩阵的Kronecker 积和拉直来解决.

设A 为m 阶矩阵,B 为n 阶矩阵,F C n m ?∈.首先对方程两边进行列拉直, 得:)vec()vec()(T m n X F E A B -=?.则根据推论4.5知:X -F AXB =矩阵方

程有解的充分必要条件为rank )(T m n E A B -?=rank[)vec()(T m n F E A B -? ],且 有唯一解的充分必要条件为:矩阵)(T m n E A B -?可逆.

定理4.6 设λλλm ,,,21 是m 阶矩阵A 的特征值, μμμn ,,,21 是n 阶矩阵B 的特征值,则X -F AXB =矩阵方程有唯一解的充分必要条件为:

1

≠μλj i 1,i =(2,,;1,2,,)m j n = . 证明同定理4.4,此略. 4.4矩阵微分方程

运用Kronecker 积性质和拉直定义,可将矩阵微分方程的求解转化为常系数 齐次线性微分方程组初值问题的求解,从而变为我们所熟悉的解法.再进一步求 出矩阵微分方程的初值问题.

[5]

定理4.7矩阵微分方程??

???=+=X X B

t X t AX dt

t dX 0)0()()()

(的解为e X e Bt At t X 0)(=

其中,A 为m 阶矩阵,B 为n 阶矩阵,X C n m ?∈.

证 对矩阵微分方程的两边进行行拉直,得:

__________

__________0(vec ())(vec ()vec ((0))vec ()T m n d X t X A E B E dt X X ??=+?

???

?

=??

), 则问题就转化为求解常系数齐次线性微分方程组初值问题.再根据满足初始条件的矩阵微分方程解的定理及定理4.1(2)知:

))((vec _____

t X (00vec()()vec()T T

m n A E B E B At t e e e X X ??+=?=??)

00vec[]vec()()T t B T

At At Bt e e e X X e ==, ∴矩阵微分方程初值问题的解为e X e Bt At t X 0)(=.

例4.3 求解矩阵微分方程的初值问题

???

???

????? ??-=????

?

?-+???? ??-=1102)0(1001

)()(2011)(X t X t X dt t dX .

解 令A =???

?

??-2011,B =???

?

??-1001,X 0=???

?

??-1102.

∵A 的特征值为1,2.其中,特征值1的基础解系为???

?

??01,特征值2的基础解系为???

?

??-11,

∴存在可逆矩阵M =???

?

??-1011,使得:

M e

At

=???

?

?

?e t e

t

200M

1

-=??

?

?

??-

=???? ?????? ?????? ?

?-e

e

e

e e t

t t

t t e

t

2220

1011001011.

又∵B 是对角矩阵,∴=e

Bt

???

? ?

?-e e t t 00. 则由定理4.7知:e X e

Bt At

t X 0)(==????

?

?-e e e e t t t t

220

???

? ?

?-1102

???

? ??-e e t t

00

=?

??

? ?

?-

-

-e

e e e

e

t t

t

t

t

3321.

致谢语

本文在撰写过程中得到黄朝霞副教授的悉心指导,在此表示衷心的感谢!

参考文献

[1] 程云鹏.《矩阵论》[M].西北工业大学出版社,1999

[2] 史荣昌.《矩阵分析》[M].北京理工大学出版社,1996 [3] 戴华.《矩阵论》[M].科学出版社,2001

[4] 陈公宁.《矩阵理论与应用》[M].高等教育出版社,1990

[5] 董增福.《矩阵分析教程》[M].哈尔滨工业大学出版社,2003 [6] 李乔.《矩阵论八讲》[M].上海科学技术出版社,1988 [7] 李俊杰.《矩阵分析》[M].机械工业出版社,1995

[8] 张凯院.《矩阵论 导教.导学.导考》[M].西北工业大学出版社,2004

[9] 张凯院.《矩阵论 典型例题解析及自测试题》[M].西北工业大学出版社,2001 [10]黄廷祝.《矩阵理论》[M].高等教育出版社,2003

[11]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.《高等代数》[M]. 高等教育出版社,2001

The Kronecker Product Of A Matrix And Its Applications

Chen wei

(Mathematics Department, Science school, Jimei University , Xiamen 361021)

Abstract: In this paper,the Kronecker product about matrix theories is introduced.By the introduction of the concept and the deduction of the properties and the theorems,the application of the Kronecker product in matrix equation is given.

Keywords: Kronecker product 、characteristic value 、straight-line method 、1t

i i i A XB F ==∑matrix

equation 、AX +F XB = matrix equation 、X -F AXB =matrix equation 、matrix differential equation

溶度积的计算

学习情景五硫酸钡溶度积常数的测定 学习要点 1、溶度积与溶解度 2、溶度积规则 3、影响多相离子平衡移动的因素 4、分步沉淀与沉淀分离法 链接 沉淀反应是一类广泛存在的反应,常用于对混合物的分离,在日常生活及生物技术的研究中有着重要作用。沉淀现象在工业生产中常用来提取物料,得到产品;在生物工程中常用于对发酵液的分离提纯,以得到生物制品。沉淀在日常保健中也有应用,如利用沉淀- 溶解平衡原理可通过使用含氟牙膏来预防龋齿。 必备知识点一溶度积规则 极性溶剂水分子和固体表面粒子相互作用,使溶质粒子脱离固体表面成为水合离子进入溶液的过程叫溶解。 溶液中水合离子在运动中相互碰撞重新结合成晶体从而成为固体状态并从溶液中析出的过程叫沉淀。 溶解和沉淀两个相互矛盾的过程使一对可逆反应在某一时刻(溶解与沉淀速率相等)达平衡状态,此平衡称为沉淀溶解平衡。 一、难溶电解质的溶度积常数 1、难溶电解质 在水中溶解度小于0.01g/100g的电解质称为?。 如AgCl 的沉淀溶解平衡可表示为: AgCl (s) Ag (aq) Cl (aq) 平衡常数 K Ag Cl 2、溶度积 对于一般难溶电解质

一定温度下难溶电解质的饱和溶液中各组分离子浓度系数次幕的乘积为一 常数,称为溶度积常数,简称溶度积;符号为K sp 。 沉淀溶解平衡是在未溶解固体与溶液中离子间建立的, 溶液中离子是由已溶 解的固体电离形成的。由于溶解的部分很少,故可以认为溶解部分可完全电离。 3、K sp 的物理意义 (1) K sp 的大小只与反应温度有关,而与难溶电解质的质量无关; (2) 表达式中的浓度是平衡时离子的浓度,此时的溶液是饱和溶液; (3) 由K sp 可以比较同种类型难溶电解质的溶解度的大小; 不同类型的难溶电解质不能用 K sp 比较溶解度的大小。 对于AB 型难溶电解质: 定温度下饱和溶液的浓度,也就是该溶质在此温度下的溶解度。 ^B n s ? mA n aq nB m aq 溶解度s 的单位均为mol/L ,计算时注意单位换算,g/L=mol/L*g/mol 例 1:已知 2K Q p 时,[并&2陽04的溶解度是nS.2\o nS /foOgnC 求S m p (Ag 2CrO 4)。 解: 2 Ag 2CrO 4 ? 2Ag CrO 4 2s s 离子积:某难溶电解质的溶液中任一状态下有关离子浓度的乘积,用 J 表示。 J i 与K sp 的区别:K sp 是J i 的一个特例 1、溶度积规则: 当J>K sp 时,过饱和溶液,将生成沉淀,直至溶液饱和为止。 当J=K sp 时,饱和溶液,处于沉淀溶解平衡状态。 平衡常数 AmBm(s) K sp [A n ]m [B m ]n mA n (aq) nB m (aq) 溶度积与溶解度都可' 力、 e 3 质 的 K ° ,但它们是既有区别又有联系的 不同概念。 三、溶度积规则 4 喙聾 3]2 4[噓打° 332 4S 3 12 1.1 10 12 对于A 2B 或AB 2

积的变化规律

课程解读 一、学习目标: 1. 会根据积的变化规律直接写出得数。 2. 掌握乘法的估算方法。在解决具体问题的过程中,能应用合适的方法进行估算,养成估算的习惯。 二、重点、难点: 1. 根据积的变化规律直接写出得数。 2. 在解决具体问题的过程中,能应用合适的方法进行估算。 三、考点分析: 1. 根据积的变化规律直接写出得数。 2. 在解决具体问题的过程中,能应用合适的方法进行估算。 知识梳理 典型例题 [方法应用题] 例1. 根据15×42=630,直接写出下面各题的得数。 思路分析: (1)题意分析:本题考查根据积的变化规律直接写出得数。 (2)解题思路:首先将各式与已知式子相比较,看看因数有什么变化,然后根据积的变化规律直接写出得数。 解答过程:

解题后的思考: 先找到不变的因数,再观察另一个因数的变化情况,就可以判断积的情况了。变化的一个因数乘几,积也乘几;变化的一个因数除以几,积也跟着除以几。 例2. 市政府前面的广场上有一个边长是40米,面积是1600平方米的正方形草坪,现在扩大草坪面积,把边长扩大为原来的2倍,扩宽后的草坪面积是多少平方米? 思路分析: (1)题意分析:本题考查应用积的变化规律。 (2)解题思路:正方形的面积=边长×边长 边长扩大为原来的2倍 面积扩大为原来的4倍 解答过程: 1600×2×2=6400(平方米) 答:扩宽后的草坪面积是6400平方米。 解题后的思考: 两个因数相乘,一个因数扩大为它的m倍,另一个因数也扩大为它的m倍,则积就扩大为它的m×m倍。 例3.红旗广场有一块长方形绿地,面积是480平方米,现在把这块绿地的长和宽分别增加为原来的4倍和3倍,扩大后的绿地面积是多少? 思路分析: (1)题意分析:本题考查应用积的变化规律。 (2)解题思路:长方形的面积=长×宽 长扩大为原来的4倍 宽扩大为原来的3倍 面积扩大为原来的12倍 解答过程: 4×3=12

矩阵理论中的矩阵分析的实际应用论文

矩阵分析在同步捕获性能研究新应用 摘要:该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法,通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵,仅需知道一步转移概率矩阵,利用现代计算机编程语言(如MAPLE,MATLAB等)的符号运算功能,即可得到捕获系统的传输函数:通过对传输函数求导,可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数,可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项;可纠正流程图方法在分 析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。 关键词:CDMA;矩阵分析;传输函数;流程图;捕获 A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix Analysis Abstract:A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis.Given the first step transition probability matrix,the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE,MATLAB and so on,and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function.The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis,it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme.

2019届高三化学一轮复习溶度积常数及其应用

一、考纲要求: 了解难溶电解质的沉淀溶解平衡。理解溶度积(K sp)的含义,能进行相关的计算。 二、考点归纳 1.沉淀溶解平衡常数——溶度积 (1)溶度积(K sp): 在一定温度下,难溶电解质的饱和溶液中,离子浓度幂的乘积。 (2)表达式: 对于沉淀溶解平衡:M m N n(s) m M n+(aq)+n N m-(aq),K sp=c m(M n+)·c n(N m-)。 (3)意义: 反映了难溶电解质在水中的溶解能力。 (4)影响因素: 在一定的温度下,它是一个常数,只受影响,不受溶液中物质浓度的影响。 2.溶度积规则 (1)离子积(Q c): 难溶电解质溶液中离子浓度幂的乘积,如Mg(OH)2溶液中Q c=。 (2)溶度积规则: Q c K sp——溶液不饱和,无沉淀析出。 Q c K sp——溶液饱和,沉淀与溶解处于平衡状态。 Q c K sp——溶液过饱和,有沉淀析出。 三、考点练: 【高考回顾一】 1.【2015新课标1卷28题节选】 (2)上述浓缩液中主要含有I-、Cl-等离子,取一定量的浓缩液,向其中滴加AgNO3溶液,当AgCl 开始沉淀时,溶液中c I- c Cl- 为________________。已知K sp(AgCl)=×10-10,K sp(AgI)=×10-17。2.【2016新课标1卷27题节选】 (3)在化学分析中采用K2CrO4为指示剂,以AgNO3标准溶液滴定溶液中Cl-,利用Ag+与CrO42-生成砖红色沉淀,指示到达滴定终点。当溶液中Cl-恰好沉淀完全(浓度等于×10-5mol·L-1)时,溶液中c(Ag+)为mol·L-1,此时溶液中c(CrO42-)等于mol·L-1。(已知Ag2CrO4、AgCl的K sp分别为×10-12和×10-10) 3.【2017新课标1卷27题节选】

高中化学复习知识点:溶度积规则及其应用

高中化学复习知识点:溶度积规则及其应用 一、单选题 1.T℃时,分别向10mL浓度均为0.1mol·L-1的CuCl2和ZnCl2溶液中滴加0.1mol·L -1的Na2S溶液,滴加过程中-lgc(Cu2+)和-lgc(Zn2+)与Na2S溶液体积(V)的关系如图所示[已知:K sp(ZnS)>K sp(CuS),lg3≈0.5]。下列有关说法错误的是( )。 A.a~b~d为滴定ZnCl2溶液的曲线 B.对应溶液pH:a<b<e C.a点对应的CuCl2溶液中:c(Cl-)<2[c(Cu2+)+c(H+)] D.d点纵坐标约为33.9 2.25 ℃时有关物质的颜色和溶度积(K sp)如下表: 下列叙述中不正确的是() A.向AgCl的白色悬浊液中加入0.1 mol/L KI溶液,有黄色沉淀产生 B.25 ℃时,利用表中的溶度积(K sp),可以计算AgCl、AgBr、AgI、Ag2S饱和水溶液中Ag+的浓度 C.25 ℃,AgCl固体分别在等物质的量浓度NaCl、CaCl2溶液中溶解达到平衡,两溶液中,c(Ag+)和溶度积均相同 D.在5 mL 1.8×10-6 mol/L NaCl溶液中,加入1滴(20滴约为1 mL)1×10-3 mol/L AgNO3溶液,不能产生白色沉淀 3.下列实验中根据现象得出的结论错误的是()

A.A B.B C.C D.D 4.下列有关化学实验操作,现象和结论均为正确的是 A.A B.B C.C D.D

5.一定温度下,向含有AgCl(s)的饱和AgCl溶液中加水,下列叙述正确的是()A.AgCl的溶解度增大B.AgCl的溶解度增大,K sp不变 C.c(Ag+)增大D.AgCl的溶解度、K sp均不变 6.下表是三种难溶金属硫化物的溶度积常数(25℃): 下列有关说法中正确的是 A.25℃时,CuS的溶解度大于MnS的溶解度 B.除去某溶液中的Cu2+,可以选用FeS作沉淀剂 C.因为H2SO4是强酸,所以反应CuSO4+H2S = CuS↓+H2SO4不能发生 D.25℃时,饱和CuS溶液中,Cu2+的浓度为1.3×10-36mol·L-1 7.某温度下,向10mL0.1mol/L CuCl2溶液中滴加0.1mol/L的Na2S溶液,滴加过程中溶液中-lgc(Cu2+)与Na2S溶液体积(V)的关系如图所示,下列有关说法不正确 的是 (已知:K sp(ZnS)=3×10-25mol2/L2) A.a、b、c三点中,水的电离程度最大的为b点 B.Na2S溶液中:2c(S2-)+2c(HS-)+2c(H2S)=c(Na+) C.该温度下K sp(CuS)=10-35.4mol2/L2 D.向100mL Zn2+、Cu2+浓度均为10-5mol/L的混合溶液中逐滴加入10-4mol/L的Na2S溶液,Cu2+先沉淀 8.已知25℃时,K sp(AgCl)=1.8×10-10,K sp(AgI)=8.3×10-17,将AgCl与AgI的饱和溶液 等体积混合,再向混合液中加入足量的浓硝酸银溶液,充分反应,下列说法正确的是()A.混合液中只有AgI沉淀生成 B.常温下,AgCl在NaCl溶液中的溶解度与在纯水中的溶解度相同 C.混合液中生成AgCl沉淀物质的量多于AgI沉淀

高考难点:溶度积常数及其应用

高考难点:溶度积常数 及其应用 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考难点:溶度积常数及其应用 一、沉淀溶解平衡中的常数(K sp)——溶度积 1. 定义:在一定温度下,难溶电解质(S<0.01g)的饱和溶液中,存在沉淀溶解平衡,其平衡常数叫做溶度积常数(或溶度积) 2. 表示方法:以M m A n(s) mM n+(aq) + nA m-(aq)为例(固体物质不列入平衡常数), K sp=[c(M n+)]m·[c(A m-)] n,如AgCl(s)Ag+(aq) + Cl-(aq),K sp=c(Ag+)·c(Cl -)。 3. 影响溶度积(K sp)的因素:K sp只与难容电解质的性质、温度有关,而与沉淀的量无关,并且溶液中的离子浓度的变化只能使平衡移动,并不改变溶度积。 4. 意义:①K sp反映了难溶电解质在水中的溶解能力,当化学式所表示的阴、阳离子个数比相同时,K sp数值越大的难溶电解质在水中的溶解能力相对越强;②可以用K sp来计算饱和溶液中某种离子的浓度。 二、判断沉淀生成与否的原则——溶度积规则 通过比较溶度积与溶液中有关离子浓度幂的乘积——离子积(Q c)的相对大小,可以判断难溶电解质在给的条件下沉淀能否生成或溶解: 1.Q c>K sp,溶液过饱和,既有沉淀析出,直到溶液饱和,达到新的平衡; 2.Q c=K sp,溶液饱和,沉淀与溶解处于平衡状态; 3.Q c<K sp,溶液未饱和无沉淀析出,若加入过量难溶电解质,难溶电解质溶解直至溶液饱和。 三、对溶度积的理解 1. 溶度积和溶解度都可以用来表示物质的溶解能力,只与温度有关,而与难溶电解质的质量无关。 2. 用溶度积直接比较不同物质的溶解性时,物质的类型应相同。对于化学 的大小来确定式中阴、阳离子个数比不同的难溶电解质,不能通过直接比较K sp 其溶解能力的大小(要分析溶解时所需最小浓度决定)。 3. 溶液中的各离子浓度的变化只能使沉淀溶解平衡移动,并不改变溶度积。 4. 当表达式中的浓度是表示平衡时的浓度时,要用[]符号表示,且此时的溶液为饱和溶液。 5.当溶液中存在多种离子时且加入沉淀剂均可产生沉淀,沉淀生成的先后顺序按离子积大于溶度积的先后顺序,此时为分步沉淀,一般认为沉淀离子浓度小于10-5mol/L时,离子沉淀完全。 【例题1】下列对沉淀溶解平衡的描述正确的是 A. 反应开始时溶液中个离子浓度相等 B. 沉淀溶解达到平衡时,沉淀的速率和溶解的速率相等 C. 沉淀溶解达到平衡时,溶液中溶质的离子浓度相等,且保持不变 D. 沉淀溶解达到平衡时,如果再加入难溶性的该沉淀物,将促进溶解 解析:A项反应开始时,各离子的浓度没有必然的关系,因此错误;B项正确;C项沉淀溶解达到平衡时,溶液中溶质的离子浓度保持不变,但不一定相等;D项沉淀溶解达到平衡时,如果再加入难溶性的该沉淀物,由于固体的浓度为常数,故平衡不发生移动。

积的变化规律

积的变化规律教学设计 一、内容分析: 《积的变化规律》主要引导学生探索当一个因数不变时,另一个因数与积的变化情况,从中归纳出积的变化规律。通过这个过程的探索,不但让学生理解两数相乘时积的变化随其中一个因数的变化而变化,同时体会事物间是密切联系的,培养学生迁移类推的能力。 例题的设计分为三个层次: 1、研究问题:教材设计了两组既有联系又有区别的乘法算式,引导学生在观察、计算、对比的基础上自主发现因数变化引起积的变化规律。 2、归纳规律:引导学生广泛交流自己发现的规律,在小组交流的基础上尝试用简洁的语言说明积的变化规律。 3、应用规律:引导学生应用规律解决实际问题。 二、学生分析 1.学生已有知识基础:学生已经有了乘法为前提,并且能够准确而熟练地计算。 2.学生学习该内容可能出现的情况会很多,因此教师要给学生多一点时间思考。 3.在探索过程中利用小组合作学习方式,一定要建立在独立思考的基础上4.我的思考:学生是学习活动的主体。这堂课在设计时,至始至终体现了让学生主动参与学习的基本理念。课中让学生通过观察、比较推理得出结论。以及如何将新知与旧知及相互之间如何转化,更是把学生推到了前台,让他们自己来推导出结果并解决实际问题。

三.学习目标: 知识与技能: 1、让学生探索并掌握一个因数不变,另一个因数乘(或除以)几,积也乘(或除以)几的变化规律;能将这规律恰当地运用于实际计算和解决简单的实际问题。 2、使学生经历积的变化规律的发现过程,初步获得探索和发现 数学规律的基本方法和经验。 3、培养学生从正反两个方面观察事物的辨证思想。 教学目标: 1、使学生经历积的变化规律的发现过程,感受发现数学中的规律是一件十分有趣的事情。 2、尝试用简洁的语言表达积的变化规律,培养初步的概括和表达能力。 3、初步获得探索规律的一般方法和经验,发展学生的推理能力。 4、在学习过程中培养学生的探究能力、合作交流能力和归纳总结能力,初步培养学生严谨的治学态度。 教学重点难点: 掌握积的变化规律。 过程与方法: 通过学习活动的参与,培养学生的探究能力、合作交流能力和归纳总结能力,使学生获得成功的乐趣,增强学习的兴趣和自信心。 情感态度与价值观: 使学生经历积的变化规律的发现过程,感受发现教学中的规律是一件有趣

溶解度与溶度积的关系(推荐文档).doc

溶解度与溶度积 联系:溶度积与溶解度均可表示难溶电解质的溶解性,两者之间可以相互换算。区别:溶度积是一个标准平衡常数,只与温度有关。而溶解度不仅与温度有关,还与系统的组成、 pH 值的改变及配合物的生成等因素有关。 在溶度积的计算中,离子浓度必须是物质的量的浓度,其单位为 而溶解度的单位有 g/100g 水, g·L-1, mol·L-1。计算时一般要先将难溶电解质的溶解度 S 的单位换算为 mol·L-1。对于难溶物质饱和溶液浓度极稀,可作近似处理: (xg/100gH2O)×10/M mol ·L-1。 几种类型的难溶物质溶度积、溶解度比较 物质类型难溶物质溶度积 Ksp 溶解度 /mol ·L-1 换算公式 AB AgCl 1.77 ×10-10 1.33 ×10-5 Ksp =S2 BaSO4 1.08 ×10-10 1.04 ×10-5 Ksp =S2 AB 2 CaF2 3.45 ×10-11 2.05 ×10-4 Ksp =4S3 A 2 B Ag 2CrO4 1.12 ×10-12 6.54 ×10-5 Ksp =4S3 对于同种类型化合物而言,Ksp , S 。 但对于不同种类型化合物之间,不能根据Ksp 来比较 S 的大小。 mol·L -1;

例 1、25℃时, AgCl 的溶解度为 1.92 ×10-3g ·L -1,求同温度下 AgCl 的溶度积。 例 2、25℃时,已知 Ksp(Ag 2 4 -12 4) -1 。 ×10 ,求同温度下 S(Ag 2 · CrO )=1.1 CrO /g L 例 3、查表知 PbI 2 的 Ksp 为 1.4 ×10-8,估计其溶解度 S(单位以 g ·L -1 计)。 溶度积规则 在难溶电解质溶液中,有关离子浓度幂的乘积称为浓度积,用符号 Q C 表 示 ,它表示任一条件下离子浓度幂的乘积。 Q C 和 Ksp 的表达形式类似,但其 含义不同。 Ksp 表示难溶电解质的饱和溶液中离子浓度幂的乘积, 仅是 Q C 的一 个特例。 对某一溶液,当 (1)Q C = Ksp ,表示溶液是饱和的。 这时溶液中的沉淀与溶解达到动态平衡, 既无沉淀析出又无沉淀溶解。 (2)Q C < Ksp ,表示溶液是不饱和的。溶液无沉淀析出, 若加入难溶电解质,则会继续溶解。 (3)Q C > Ksp ,表示溶液处于过饱和状态。有沉淀析出。 以上的关系称溶度积规则 (溶度积原理 ),是平衡移动规律总结,也是判断沉淀生成和溶解的依据。 当判断两种溶液混合后能否生成沉淀时,可按下列步骤进行: (1)先计算出混合后与沉淀有关的离子浓度; (2) 计算出浓度积 Qc ; (3) 将 Qc 与 Ksp 进行比较,判断沉淀能否生成。 溶度积规则的应用 (1)判断是否有沉淀生成 原则上只要 Qc >Ksp 便应该有沉淀产生,但是只有当溶液中含约 10-5g ·L -1 固体时,人眼才能观察到混浊现象, 故实际观察到有沉淀产生所需的离子浓度往往要比理论计算稍高些。 (2)判断沉淀的完全程度 没有一种沉淀反应是绝对完全的,通常认为溶液中某离子的浓度小于 -5 -1

积的变化规律练习题

一、想一想,填一填。 12×20=240 (12×6)×(20×5)=() (12÷3)×(20÷4)=() (12×)×(20×)=4800 (12÷)×(20÷)=40 二、选择 1、一个因数扩大5倍,另一个因数不变,积()。 A、缩小5倍 B、不变 C、扩大5倍 2、一个因数扩大5倍,另一个因数缩小5倍,积()。 A、缩小5倍 B、不变 C、扩大5倍 3、两数相乘,一个因数扩大2倍,另一个因数扩大3倍,那么积()。 A、不变 B、扩大5倍 C、扩大6倍 4、两个因数的积是60,这时一个因数缩小4倍,另一个因数不变,现在的积是() A、240 B、60 C、15 5、一个长方形的面积为12平方米、把长扩大到原来的3倍,宽不变,扩大后的面积是()

6两个因数的积是100,把其中一个因数扩大到原来的3倍,另一个因数不变,积是() 7一个正方形的面积为12平方米、把边长扩大到原来的3倍,,扩大后的面积是() 8、两个因数的积是100,把其中一个因数扩大到原来的3倍,另一个因数也扩大到原来的3倍,积是() 9、两个因数的积是100,把其中一个因数扩大到原来的3倍,另一个因数也缩小到原来的3倍,积是() 10、一个因数不变,把其中另一个因数扩大到原来的3倍,积是90,原来两个因数的积() 11、一个因数扩大到原来的3倍,另一个因数也扩大到原来的3倍,积是90,原来两个因数的积是() 12、一个因数扩大到原来的3倍,另一个因数缩小到原来的3倍,积是90,原来两个因数的积是()。

13、一个正方形的边长扩大到原来的5倍,面积扩大到原来的()倍。 14、一个长方形的长扩大到原来的5倍,宽不变,面积扩大到原来的()倍。 15、一个长方形的长扩大到原来的5倍,宽扩大到原来的2倍,面积扩大到原来的()倍。 16、一个因数缩小5倍,另一个因数不变,积()。 A、缩小5倍 B、不变 C、扩大5倍

矩阵变换及应用开题报告

鞍山师范学院 数学系13届学生毕业设计(论文)开题报告 课题名称:浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名:李露露 专业:数学与应用数学 班级:10级1班 学号:30 指导教师:裴银淑 2013年12月26日

一、选题意义 1、理论意义: 矩阵是数学中的一个重要内容,是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算,它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解决的问题。因此,矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义: 矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性,并起着不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述: 矩阵不仅是个数学学科,而且也是许多理工学科的重要数学工具,因此国内外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词,他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年,凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后,国内外有了许多关于矩阵的研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中,就有关于矩阵变换的内容,在第一章中有关于矩阵初等变换的内容,并有初等变换在矩阵方程中的应用,在第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的CharlesR.Johnson联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容,此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展,为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价:

积的变化规律

积的变化规律 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

教学内容:积的变化规律学情与教材分析: 积的变化规律是人教版四年级上册第三单元的内容。它是学生在掌握乘法运算的基本技能的基础上进行教学的。在乘法运算中探索积的变化规律是整数四则运算中的一个重要方面,它将为学生今后学习小数乘法奠定基础,教材中以两组乘法算式为载体,引导学生探究一个因数不变,另一个因数和积的变化情况,从中归纳出积的变化规律。通过这个探究过程,让学生体会到两数相乘时积会随着其中一个(或两个)因数的变化而变化,同时受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。 设计理念: 新课程标准提出:要让学生“经历、体验、探索”。作为一名数学教师,我想不仅要传授给学生数学知识,更重要的是要传授给学生数学思想、方法、技能和意识,因此在本节课的设计上我力图从学生已有生活经验出发,赋予学生尽可能多的思考、交流和发现的机会,给学生广阔的参与空间。为了提高课堂教学的有效性,在教学积的变化规律这节课中,我采用了先学后导的教学方式,让学生在自学提纲的引导下,自主进行探索规律,然后小组交流,最后全班总结完善规律。通过这样的学习,每位学生都参与其中,真正做到了面向全体学生,。学生通过观察、探索、交流、总结等方式,经历积的变化规律的探索过程,初步获得探索规律的一般方法和经验,体验发现规律是一件很愉快的事情,在这样的学习过程中学生的能力提高了,思维活跃了,自信心增强了。 教学目标:

1、在教师适当的引导下,让学生亲身经历探索一个因数不变,另一个因数乘(或除以)几(0除外),积也乘(或除以)几的变化规律,并能准确地运用于实际计算和解决简单的实际问题。 2、通过探究积的变化规律的活动,使学生获得探究规律的基本方法,培养学生的自学能力,推理能力、合作交流能力和概括总结能力。 3、让学生亲身经历探究过程,体验成功的快乐,增强学习的兴趣和自信心,并受到辩证唯物主义观点的教育。 教学重点: 掌握并运用积的变化规律。 教学难点: 初步掌握探究规律的一般方法。 教学准备:多媒体课件 教学过程: 一、游戏导入,提出问题 师:青蛙是庄稼的好朋友,你能把青蛙的外貌给大家描述一下吗? 生:青蛙有一张大大的嘴巴,两只鼓鼓的眼睛。 生:青蛙有一个雪白的肚皮,还有四条腿。 师:今天我们就以青蛙为题作一个游戏-------“对对子”。老师说前半句(一只青蛙一张嘴),大家说后半句(两只眼睛,四条腿)。比比谁对的又对又快。 (师生对对子) 师:谁来介绍一下,你为什么对的这么快其实在刚才的游戏中就有数学问题,你发现了吗

矩阵分解及其应用

《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名:****** 专业:******* 学号:******* 指导教师:******** 2015年12月

Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015

中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法,它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分,在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此,本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词:等价分解,三角分解,奇异值分解,运用

Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words:Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application

高考难点:溶度积常数及其应用

高考难点:溶度积常数及其应用 一、沉淀溶解平衡中的常数(K sp)——溶度积 1. 定义:在一定温度下,难溶电解质(S<)的饱和溶液中,存在沉淀溶解平衡,其平衡常数叫做溶度积常数(或溶度积) 2. 表示方法:以M m A n(s) mM n+(aq) + nA m-(aq)为例(固体物质不列入平衡常数), K sp=[c(M n+)]m·[c(A m-)] n,如AgCl(s)Ag+(aq) + Cl-(aq),K sp=c(Ag+)·c(Cl-)。 3. 影响溶度积(K sp)的因素:K sp只与难容电解质的性质、温度有关,而与沉淀的量无关,并且溶液中的离子浓度的变化只能使平衡移动,并不改变溶度积。 4. 意义:①K sp反映了难溶电解质在水中的溶解能力,当化学式所表示的阴、阳离子个数比相同时,K sp数值越大的难溶电解质在水中的溶解能力相对越强;②可以用K sp来计算饱和溶液中某种离子的浓度。 二、判断沉淀生成与否的原则——溶度积规则 通过比较溶度积与溶液中有关离子浓度幂的乘积——离子积(Q c)的相对大小,可以判断难溶电解质在给的条件下沉淀能否生成或溶解: >K sp,溶液过饱和,既有沉淀析出,直到溶液饱和,达到新的平衡; =K sp,溶液饱和,沉淀与溶解处于平衡状态; <K sp,溶液未饱和无沉淀析出,若加入过量难溶电解质,难溶电解质溶解直至溶液饱和。 三、对溶度积的理解 1. 溶度积和溶解度都可以用来表示物质的溶解能力,只与温度有关,而与难溶电解质的质量无关。 2. 用溶度积直接比较不同物质的溶解性时,物质的类型应相同。对于化学式中阴、阳离子个数比不同的难溶电解质,不能通过直接比较K sp的大小来确定其溶解能力的大小(要分析溶解时所需最小浓度决定)。 3. 溶液中的各离子浓度的变化只能使沉淀溶解平衡移动,并不改变溶度积。 4. 当表达式中的浓度是表示平衡时的浓度时,要用[]符号表示,且此时的溶液为饱和溶液。 5.当溶液中存在多种离子时且加入沉淀剂均可产生沉淀,沉淀生成的先后顺序按离子积大于溶度积的先后顺序,此时为分步沉淀,一般认为沉淀离子浓度小于10-5mol/L时,离子沉淀完全。 【例题1】下列对沉淀溶解平衡的描述正确的是 A. 反应开始时溶液中个离子浓度相等 B. 沉淀溶解达到平衡时,沉淀的速率和溶解的速率相等 C. 沉淀溶解达到平衡时,溶液中溶质的离子浓度相等,且保持不变 D. 沉淀溶解达到平衡时,如果再加入难溶性的该沉淀物,将促进溶解 解析:A项反应开始时,各离子的浓度没有必然的关系,因此错误;B项正确;C项沉淀溶解达到平衡时,溶液中溶质的离子浓度保持不变,但不一定相等;D项沉淀溶解达到平衡时,如果再加入难溶性的该沉淀物,由于固体的浓度为常数,故平衡不发生移动。 答案:B 点拨:沉淀平衡是化学平衡中的一种,在学习这部分知识时要注意化学平衡移动原理的应用。 四、影响沉淀平衡的因素 1. 内因:难溶电解质本身的性质。

矩阵分析试题中北大学33

§9. 矩阵的分解 矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积,这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式,一方面反映了原矩阵的某些数值特性,如矩阵的秩、特征值、奇异值等;另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据,因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便,这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。 这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。 一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。 将一个矩阵分解为酉矩阵(或正交矩阵)与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积,这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手,进而讨论任意矩阵的三角分解。 定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数,()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵 1112 1222000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复(实)矩阵,特别当1(1,2,,)ii a i n == 时,R 称为单位上三角复(实)矩阵。

定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数,()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵 11212212000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a L a a a 称为正线下三角复(实)矩阵,特别当1(1,2,,)ii a i n == 时,L 称为单位下三角复(实)矩阵。 定理1设,?∈n n n A C (下标表示秩)则A 可唯一地分解为 1=A U R 其中1U 是酉矩阵,R 是正线上三角复矩阵;或者A 可唯一地分解为 2=A LU 其中2U 是酉矩阵,L 是正线下三角复矩阵。 推论1设,?∈n n n A R 则A 可唯一地分解为 1=A Q R 其中1Q 是正交矩阵,R 是正线上三角实矩阵;或者A 可唯一地分解为 2=A LQ 其中2Q 是正交矩阵,L 是正线下三角实矩阵。 推论2 设A 是实对称正交矩阵,则存在唯一的正线上三角实矩阵R ,使得 =T A R R 推论3设A 是正定Hermite 矩阵,则存在唯一的正线上三角复矩阵R ,使得 =T A R R

溶度积的计算

学习情景五 硫酸钡溶度积常数的测定 学习要点 1、溶度积与溶解度 2、溶度积规则 3、影响多相离子平衡移动的因素 4、分步沉淀与沉淀分离法 链接 沉淀反应是一类广泛存在的反应,常用于对混合物的分离,在日常生活及生物技术的研究中有着重要作用。沉淀现象在工业生产中常用来提取物料,得到产品;在生物工程中常用于对发酵液的分离提纯,以得到生物制品。沉淀在日常保健中也有应用,如利用沉淀-溶解平衡原理可通过使用含氟牙膏来预防龋齿。 必备知识点一 溶度积规则 极性溶剂水分子和固体表面粒子相互作用,使溶质粒子脱离固体表面成为水合离子进入溶液的过程叫溶解。 溶液中水合离子在运动中相互碰撞重新结合成晶体从而成为固体状态并从溶液中析出的过程叫沉淀。 溶解和沉淀两个相互矛盾的过程使一对可逆反应在某一时刻(溶解与沉淀速率相等)达平衡状态,此平衡称为沉淀溶解平衡。 一、难溶电解质的溶度积常数 1、难溶电解质 在水中溶解度小于0.01g/100g 的电解质称为~。 如AgCl 的沉淀溶解平衡可表示为: ) aq (Cl )aq (Ag )s (AgCl -++?→← 平衡常数 2、溶度积 对于一般难溶电解质 )aq (nB )aq (mA )AmBm(s m n -++?→← K Ag Cl +-????=?????

平衡常数 一定温度下难溶电解质的饱和溶液中各组分离子浓度系数次幂的乘积为一常数,称为溶度积常数,简称溶度积;符号为K sp 。 沉淀溶解平衡是在未溶解固体与溶液中离子间建立的,溶液中离子是由已溶解的固体电离形成的。由于溶解的部分很少,故可以认为溶解部分可完全电离。 3、K sp 的物理意义 (1)K sp 的大小只与反应温度有关,而与难溶电解质的质量无关; (2)表达式中的浓度是平衡时离子的浓度,此时的溶液是饱和溶液; (3)由K sp 可以比较同种类型难溶电解质的溶解度的大小; 不同类型的难溶电解质不能用K sp 比较溶解度的大小。 对于AB 型难溶电解质: 对于A 2B 或AB 2型难溶电解质: 不同概念。 一定温度下饱和溶液的浓度,也就是该溶质在此温度下的溶解度。 溶解度s 的单位均为mol/L ,计算时注意单位换算,g/L=mol/L*g/mol 例1:已知25℃时,Ag 2CrO 4的溶解度是2.2×10-3g /100g 水,求K sp (Ag 2CrO 4)。 解: 2s s 三、溶度积规则 离子积:某难溶电解质的溶液中任一状态下有关离子浓度的乘积,用J i 表示。 [][]n m m n sp K A B +-=?s =()3θ θsp 4K s c =?()2θ sp K s =s =22442Ag CrO Ag CrO +-+223 4[][]4sp K Ag CrO S +-=?=33312122.210444291.410 1.110332s ---???=?=??=? ??? ()()()n m m n A B s mA aq nB aq +-+()()[][]m n n m m n m n m n sp K A B mS nS m n S +-+=?=?=?

溶度积常数及其应用

溶度积常数及其应用 制作:审核: 【学习目标】 1、巩固溶度积的概念,熟练掌握难溶电解质溶解平衡表达式和溶度积常数的意义 2、会运用溶度积常数进行相关计算 【学习过程】 一、溶度积常数Ksp(或溶度积) 1、表达式: 难溶固体在溶液中达到沉淀溶解平衡状态时,离子浓度保持不变(或一定)。各离子浓度幂的乘积是一个常数,这个常数称之为溶度积常数简称为溶度积,用符号Ksp表示。 即:AmBn(s)mA n+(aq)+nB m-(aq)Ksp = 例如:常温下沉淀溶解平衡:AgCl(s)Ag+(aq)+Cl-(aq), Ksp(AgCl)= 常温下沉淀溶解平衡:Ag2CrO4(s)2Ag+(aq)+CrO42-(aq), Ksp(Ag2CrO4)= 2、溶度积K SP的性质 (1)溶度积K SP的大小和平衡常数一样,它与难溶电解质的性质和温度有关,与浓度无关,离子浓度的改变可使溶解平衡发生移动,而不能改变溶度积K SP的大小。 (2)溶度积K SP反映了难溶电解质在水中的溶解能力的大小。相同类型的难溶电解质的Ksp越小,溶解度越小,越难溶于水;反之Ksp越大,溶解度越大。 如:Ksp(AgCl)= 1.8×10-10;Ksp(AgBr) = 5.0×10-13;Ksp(AgI) = 8.3×10-17. 溶解度: 。 不同类型的难溶电解质,不能简单地根据Ksp大小,判断难溶电解质溶解度的大小。 例1:Ksp[Mg(OH)2]= 4×10-12,Ksp(AgCl) =1×10-10,请比较cMg2+、cAg+的大小。 3、溶度积规则 某难溶电解质的溶液中任一情况下离子积Qc和溶度积Ksp的关系: ①Qc > Ksp时,析出沉淀。 ②Qc=Ksp时,饱和溶液,沉淀溶解平衡状态。 ③Qc < Ksp时,溶液未饱和。沉淀的生成和溶解这两个相反的过程,它们相互转化的条件是离子浓度的大小,控制离子浓度的大小,可以使反应向所需要的方向转化。 4、溶度积的应用 (1)已知溶度积求离子浓度 例2:25 ℃,Ksp(AgBr)=4.9×10-9, Ksp(Mg(OH)2) =4×10-12,分别求以上饱和溶液中:c(Ag+)、c(Br-)、 c(Mg2+)、c(OH-) 。 例3:常温下,Cr(OH)3的溶度积Ksp=10-32,要使c(Cr3+)除去,溶液的pH应调至多少? 【练习】1、如果溶液中Fe3+和Mg2+的浓度均为0.10 mol L-1,使Fe3+定量沉淀而使Mg2+不沉淀的pH条件是什么? 已知K sp(Fe(OH)3)=1.0×10-38,K sp((Mg(OH)2)=1×10-11 2、向硫酸钡沉淀中加入碳酸钠溶液,沉淀发生转化,计算所需碳酸钠的最小浓度。 Ksp(BaCO3)=5.1×10-9,Ksp(BaSO4)=1.0×10-10 (2)已知离子浓度求溶度积 例4:25℃,AgCl的溶解度是1.435×10-3g/L,求它的溶度积。(AgCl的摩尔质量143.5g/mol) (3)利用溶度积判断离子共存 例5:在含有0.01mol·L-1[I-]和0.01mol·L-1[Cl-]的溶液中,滴加AgNO3溶液时,哪种离子最先沉淀?当第二种离子刚开始沉淀时,溶液中的第一种离子浓度为多少?(忽略溶液体积的变化)。Ksp(AgCl)= 1.8×10-10;Ksp(AgI) = 7.2×10-17. 例6:某温度时,AgCl (s)Ag+(aq)+Cl-(aq)在水中的沉淀 溶解平衡曲线如图所示。下列说法正确的是 A.加入AgNO3可以使溶液由c点变到d点 B.加入固体NaCl则AgCl的溶解度减小,Ksp也减小 C.c点对应的Ksp小于a点对应的Ksp D.d点有AgCl沉淀生成

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