数学必修一综合测试卷(含答案)及解析
必修一综合测试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共15小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)(2009?浙江)设U=R，A={x|x>0}，B={x|x>1}，则A∩?U B=()
A.{x|0≤x<1}
B.{x|0 C.{x|x<0} D.{x|x>1} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】欲求两个集合的交集，先得求集合C U B，再求它与A的交集即可. 【解答】解：对于C U B={x|x≤1}， 因此A∩C U B={x|0 故选 B. 【点评】这是一个集合的常见题，属于基础题之列. 2.(3分)(2013秋?天心区校级期末)设集合A={2，4，6，8，10}，B={1，9，25，49，81，100}，下面的对应关系能构成从A到B的映射的是() A.f：x→(2x﹣1)2 B.f：x→(2x﹣3)2 C.f：x→x2﹣2x﹣1 D.f：x→(x﹣1)2 【考点】映射. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】本题利用映射的定义判断选项中的对应关系能构成从A到B的映射，如不构成映射，可以举反例，正确的加以说明，即可得到本题结论. 【解答】解：根据映射的定义，对于集合A中的任一元素，集合B中有唯一的元素与之对应. 选项A，f：x→(2x﹣1)2，元素10∈A，(2×10﹣1)2=192=361?B，不合题意； 选项B，f：x→(2x﹣3)2，元素10∈A，(2×10﹣3)2=192=289?B，不合题意； 选项B，f：x→x2﹣2x﹣1，元素10∈A，102﹣2×10﹣1=179?B，不合题意； 选项D，f：x→(x﹣1)2， 元素2∈A，(2﹣1)2=1∈B； 元素4∈A，(4﹣1)2=9∈B； 元素6∈A，(6﹣1)2=25∈B； 元素8∈A，(8﹣1)2=49∈B； 元素10∈A，(10﹣1)2=81∈ B. 适合题意. 故选 D. 【点评】本题考查了映射的概念，本题难度不大，属于基础题. 3.(3分)(2014?埇桥区校级学业考试)函数的定义域为() A. B. C. D. 【考点】对数函数的定义域. 【分析】令被开方数大于等于0，且分母不等于0，同时对数的真数大于0；列出不等式组，求出x的范围即为定义域. 【解答】解：要使函数有意义，需 即﹣ 故选： C. 【点评】本题考查求函数的定义域需要开偶次方根的被开方数大于等于0，对数的真数大于0底数大于0且不大于1. 4.(3分)(2013秋?天心区校级期末)下列函数中与y=x有相同图象的一个是() A. B. C. D.y=log a a x 【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】计算题. 【分析】欲寻找与函数y=x有相同图象的一个函数，只须考虑它们与y=x是不是定义域与解析式都相同即可. 【解答】解：对于A，它的定义域为R，但是它的解析式为y=|x|与y=x不同，故错； 对于B，它的定义域为{x|x≠0}，与y=x不同，故错； 对于C，它的定义域为{x|x>0}，与y=x不同，故错； 对于D，它的定义域为R，解析式可化为y=x与y=x同，故正确； 故选 D. 【点评】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，以及函数的概念、函数的定义域等，属于基础题. 5.(3分)(2012?大埔县校级一模)函数y=2﹣的值域是() A.[﹣2，2] B.[1，2] C.[0，2] D.[﹣，] 【考点】函数的值域. 【专题】计算题；函数的性质及应用. 【分析】可知0≤﹣x2+4x≤4，从而求函数的值域. 【解答】解：∵0≤﹣x2+4x≤4， ∴0≤≤2， ∴0≤2﹣≤2， 故函数y=2﹣的值域是[0，2]. 故选： C. 【点评】本题考查了函数的值域的求法，属于基础题. 6.(3分)(2014?北京校级模拟)若0 A.3y<3x B.log x3>log y3 C.log4x>log4y D.()x<()y 【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解. 【解答】解：∵0 ∴3x<3y，故A错误； log x3>log y3，故B正确； log4x ()x>()y，故D错误. 故选： B. 【点评】本题考查两数大小的比较，是基础题，解题时要注意函数的性质的合理运用. 7.(3分)(2013秋?天心区校级期末)函数y=(x2﹣6x+8)的单调递增区间是() A.(3，+∞) B.(﹣∞，3) C.(4，+∞) D.(﹣∞，2) 【考点】对数函数的图象与性质. 【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用. 【分析】欲求得函数y=f(x)的单调递增区间，由于f(t)=是减函数，故要求内层函数 t=x2﹣6x+8是减函数时，原函数才为增函数.问题转化为求t=x2﹣6x+8的单调减区间，但要注意要保证t>0. 【解答】解：根据题意，函数f(x)=分解成两部分： f(t)=是外层函数，t=x2﹣6x+8是内层函数. 根据复合函数的单调性，可得函数y=单调减函数， 则函数y=f(x)的单调递增区间就是函数t=x2﹣6x+8单调递减区间(﹣∞，3)， 由x2﹣6x+8>0可得x>4或x<2，则可得函数的单调递增区间(﹣∞，2) 故选 D. 【点评】本小题主要考查对数函数单调性的应用、二次函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想.属于中档题和易错题. 8.(3分)(2013秋?合肥期末)某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，做出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水() A.10吨 B.13吨 C.11吨 D.9吨 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据条件建立函数解析式，然后利用函数解析式进行求解即可. 【解答】解：设用水x吨时，对应的收费为f(x)， 则由题意知，当0≤x≤8，∴f(x)=2x，此时最多缴费16元. 当x>8，超出部分为x﹣8，∴f(x)=2×8+4(x﹣8)=4x﹣16. 即f(x)=. ∵20>16， ∴该职工这个月实际用水x>8， ∴由f(x)=4x﹣16=20， 即4x=36， 解得x=9(吨)， 故选： D. 【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用条件建立函数关系是解决本题的关键. 9.(3分)(2013秋?天心区校级期末)下列函数中在[1，2]内有零点的是() A.f(x)=3x2﹣4x+5 B.f(x)=x3﹣5x﹣5 C.f(x)=lnx﹣3x﹣6 D.f(x)=e x+3x﹣6 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题. 【分析】A：f(1)=4>0，f(2)=9>0且函数f(x)在[1，2]单调递增，可判断； B：f(1)=﹣9<0，f(2)=﹣7<0，且函数在[1，]单调递减，在上单调递增，而f(x) =f()<0，可判断 极大值 C：f(1)=﹣9<0，f(2)=ln2﹣12<0，且函数在[1，2]单调递减可判断； D：f(x)=e x+3x﹣6，f(1)=e﹣3<0，f(2)=e2>0，可判断. 【解答】解：A：f(1)=4>0，f(2)=9>0且函数f(x)在[1，2]单调递增，故不存在零点 B：f(1)=﹣9<0，f(2)=﹣7<0，且函数在[1，]单调递减，在上单调递增，而f()<0，则函数在[1，2]没有零点 C：f(1)=﹣9<0，f(2)=ln2﹣12<0，且函数在[1，2]单调递减，故C没有零点 D：f(x)=e x+3x﹣6，f(1)=e﹣3<0，f(2)=e2>0，函数在[1，2]上至少有一个零点 故选：D 【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，解题中除了要判断函数的端点处的函数值的符号外，还要注意函数在区间上的单调性. 10.(3分)(2010?湖北)已知函数，则=() A. B. C. D. 【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】首先求出的函数值，然后判断此函数值所在范围，继续求其函数值. 【解答】解：因为>0，所以f()==﹣2，又﹣2<0，所以f(﹣2)=2﹣2=； 故选： B. 【点评】本题考查了分段函数的函数值求法；关键是明确自变量所属的范围，代入对应的解析式计算即可. 11.(3分)(2013秋?天心区校级期末)函数f(x)=log a|x|(a>1)的图象可能是下列的() A. B. C. D. 【考点】对数函数的图象与性质. 【专题】作图题；函数的性质及应用. 【分析】对函数分别讨论奇偶性和单调性，结合对数函数的性质，即可得到. 【解答】解：函数f(x)=log a |x|(a>1)， 定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称， f(﹣x)=log a |﹣x|=f(x)，则为偶函数，图象关于y 轴对称， 又x>0时，递增，x<0时递减， 故选A. 【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查对数函数的图象，考查判断能力，属于基础题. 12.(3分)(2013秋?天心区校级期末)若函数f(x)=loga|x ﹣2|(a>0，且a ≠1)在区间(1，2)上是增函数，则f(x)在区间(2，+∞)上( ) A.是增函数且有最大值 B.是增函数且无最大值 C.是减函数且有最小值 D.是减函数且无最小值 【考点】对数函数的图象与性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先求出a 的范围，从而得到f(x)在(2，+∞)递减，且不存在最小值，从而得到答案. 【解答】解：x ∈(1，2)∴|x ﹣2|=2﹣x 是减函数，而f(x)是增函数，∴0 故选： D. 【点评】本题考查了导数函数的性质，考查了函数的单调性，是一道基础题. 13.(3分)(2013秋?天心区校级期末)设定义在R上的函数y=f(x)是偶函数，且f(x)在(﹣∞，0)为增函数.若对于x1<0 A.f(|x1|) B.f(﹣x2)>f(﹣x1) C.f(x1) D.f(﹣x1)>f(x2) 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】证明题. 【分析】x1<0 【解答】解：∵y=f(x)是R上的偶函数， ∴f(﹣x1)=f(x1)=f(|x1|)，f(﹣x2)=f(x2)=f(|x2|)， ∵x1<0 ∴﹣x2 ∵f(x)在(﹣∞，0)为增函数， ∴f(﹣x2) ∴f(﹣x2) 即f(﹣x1)>f(x2)，此即答案 D. 故选 D. 【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，关键在于正确理解与把握偶函数的性质“f(﹣x)=f(x)=f(|x|)”，属于中档题. 14.(3分)(2013?嘉定区一模)设偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)=x3﹣8，则{x|f(x﹣2)>0}=() A.{x|x<﹣2或x>4} B.{x|x<0或x>4} C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<﹣2或x>2} 【考点】其他不等式的解法；函数单调性的性质. 【专题】计算题. 【分析】先利用偶函数的性质解出函数的解析式，然后再解分段不等式，分段不等式特点是分段求解，再求并集. 【解答】解：当x<0时，则﹣x>0，由偶函数f(x)满足f(x)=x3﹣8(x≥0)可得，f(x)=f(﹣x)=﹣x3﹣8， 则f(x)=， ∴f(x﹣2)=， 当x≥3时，(x﹣2)3﹣8>0，解得x>4； 当x<3时，﹣(x﹣2)3﹣8>0，解得x<0； 综上：x>4或x<0， 故选 B. 【点评】本题以函数为载体，主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，考查分段函数的性质. 15.(3分)(2011?南昌模拟)设函数g(x)=x2﹣2(x∈R)，f(x)=，则f(x)的值域是() A.[﹣，0]∪(1，+∞) B.[0，+∞) C.[，+∞) D.[﹣，0]∪(2，+∞) 【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题；函数的性质及应用. 【分析】当x 【解答】解：当x f(x)=g(x)+x+4=x2﹣2+x+4=x2+x+2=(x+0.5)2+1.75， ∴其最小值为f(﹣1)=2，其最大值为+∞， 因此这个区间的值域为：(2，+∞). 当x≥g(x)时，﹣1≤x≤2， f(x)=g(x)﹣x=x2﹣2﹣x=(x﹣0.5)2﹣2.25 其最小值为f(0.5)=﹣2.25，其最大值为f(2)=0 因此这区间的值域为：[﹣2.25，0]. 综合得：函数值域为：[﹣2.25，0]U(2，+∞)， 故选 D. 【点评】本题考查f(x)的值域的求法.解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用. 二、填空题(本大题共5小题，请把正确答案填在题中横线上) 16.(3分)(2014秋?资阳期末)已知幂函数y=f(x)的图象过点，则f(x)=. 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y=f(x)的图象过点(2，)，构造方程求出指数的值，即可得到函数的解析式. 【解答】解：设幂函数的解析式为y=x a， ∵幂函数y=f(x)的图象过点(2，)， ∴=2a， 解得a=， ∴f(x)=. 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法. 17.(3分)(2013秋?天心区校级期末)lg25+lg2﹣lg=. 【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题；函数的性质及应用. 【分析】运用对数的运算法则，计算即可得到. 【解答】解：原式=lg52+lg2﹣lg0.1 =lg5+lg2﹣ =lg10+=1+=. 故答案为： 【点评】本题考查对数的运算性质，考查运算能力，属于基础题. 18.(3分)(2013秋?天心区校级期末)函数f(x)是定义在R上的函数，且，当2≤x≤3时，f(x)=x，则f(2013)=﹣. 【考点】函数的值. 【专题】计算题；函数的性质及应用. 【分析】由，知f(x)=﹣，故f(x+2)=﹣=f(x﹣2)，所以函数f(x)周期为4.再由当2≤x≤3时，f(x)=x，能求出f(2013). 【解答】解：∵， ∴f(x)=﹣， ∴f(x+2)=﹣=f(x﹣2)， 所以函数f(x)周期为4. ∵当2≤x≤3时，f(x)=x， ∴f(2013)=f(4×503+1)=f(1)=﹣=﹣. 故答案为：﹣. 【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的周期性、奇偶性的灵活运用. 19.(3分)(2013秋?天心区校级期末)函数y=()|2﹣x|﹣m的图象与x轴有交点，则m的取值范 围为(0，1]. 【考点】指数型复合函数的性质及应用. 【专题】计算题；函数的性质及应用. 【分析】函数y=()|2﹣x|﹣m的图象与x轴有交点可化为方程()|2﹣x|﹣m=0有解，从而可得 m=()|2﹣x|，从而求函数的值域即可. 【解答】解：由题意，∵()|2﹣x|﹣m=0有解， ∴m=()|2﹣x|， ∵|2﹣x|≥0， ∴0<()|2﹣x|≤1， 故0 故答案为：(0，1]. 【点评】本题考查了函数的图象与函数的零点及方程的根之间的关系，属于基础题. 20.(3分)(2013?雁塔区校级四模)已知函数f(x)满足：x≥4，则f(x)=；当x<4时 f(x)=f(x+1)，则f(2+log23)=. 【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题. 【分析】判断的范围代入相应的解析式求值即可 【解答】解：∵2+log23<4， ∴f(2+log23)=f(3+log23)=f(log224)== 故应填 【点评】本题考查分段函数求值及指数对数去处性质，对答题者对基本运算规则掌握的熟练程度要求较高 三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(2012秋?十堰期末)已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|2 (1)求A∩B，(?R A)∩B； (2)若A∩C≠?，求a的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】(1)由A与B求出两集合的交集，找出A的补集，求出A补集与B的交集即可； (2)根据A与C交集不为空集，求出a的范围即可. 【解答】解：(1)∵A={x|3≤x<7}，B={x|2 ∴A∩B={x|3≤x<7}，?R A={x|x<3或x≥7}， 则(?R A)∩B={x|2 (2)∵A∩C≠?，A={x|3≤x<7}，C={x|x ∴a>3. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 22.(2013秋?天心区校级期末)已知函数f(x)=kx﹣，且f(1)=1. (1)求实数k的值及函数的定义域； (2)判断函数在(0，+∞)上的单调性，并用定义加以证明. 【考点】函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)由f(1)=1，代入求出即可；(2)由(1)求出函数的表达式，利用定义法证出即可. 【解答】(1)解：∵f(1)=1， ∴k﹣1=1，k=2， ∴f(x)=2x﹣，定义域为：{x|x≠0}； (2)证明：设?0 f(x1)﹣f(x2) =2x1﹣﹣(2x2﹣) =(x1﹣x2)(2+)， ∵x1﹣x2<0， ∴f(x1) ∴f(x)在(﹣∞，0)上是增函数， 同理可证：f(x)在(0，+∞)上是增函数. 【点评】本题考查了函数的单调性，利用定义证明是判断函数的单调性的方法之一，本题是一道基础题. 23.(2013秋?天心区校级期末)设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x，当x>2时，y=f(x)的图象是顶点为P(3，4)，且过点A(2，2)的抛物线的一部分. (1)求函数f(x)在(﹣∞，﹣2)上的解析式； (2)在如图的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图. 【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数图象的作法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)设顶点为P(3，4)且过点A(2，2)的抛物线的方程为y=a(x﹣3)2+4，把(2，2)代入可得a.当x<﹣2时，即﹣x>2，又f(x)为偶函数，f(x)=f(﹣x)即可得出. (2)先画出y轴右侧的图象，再利用偶函数的对称性即可得出左侧的图象. 【解答】解：(1)设顶点为P(3，4)且过点A(2，2)的抛物线的方程为y=a(x﹣3)2+4， 把(2，2)代入可得a=﹣2，则y=﹣2(x﹣3)2+4. 当x<﹣2时，即﹣x>2， 又f(x)为偶函数，f(x)=f(﹣x)=﹣2×(﹣x﹣3)2+4，即f(x)=﹣2×(x+3)2+4. ∴函数f(x)在(﹣∞，﹣2)上的解析式为f(x)=﹣2×(x+3)2+4. (2)函数f(x)的图象如图， 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、函数的奇偶性等基础知识与基本方法，属于中档题. here24.(2015秋?宜春期末)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)=(万元).当年产量不小于80千件 时，C(x)=51x+(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的 商品能全部售完. (Ⅰ)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (Ⅱ)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【考点】函数最值的应用. 【专题】应用题；函数的性质及应用. 【分析】(Ⅰ)分两种情况进行研究，当0 C(x)=51x+，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段 函数的形式，从而得到答案； (Ⅱ)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 【解答】解：(Ⅰ)∵每件商品售价为0.05万元， ∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元， ①当0 ∴L(x)=(0.05×1000x)﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250； ②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本， ∴L(x)=(0.05×1000x)﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣(x+). 综合①②可得，L(x)=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，， ①当0 ∴当x=60时，L(x)取得最大值L(60)=950万元； ②当x≥80时，L(x)=1200﹣(x+)≤1200﹣2=1200﹣200=1000， 当且仅当x=，即x=100时，L(x)取得最大值L(100)=1000万元. 综合①②，由于950<1000， ∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元. 【点评】考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力. 25.(2006?重庆)已知定义域为R的函数是奇函数. (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)若对任意的t∈R，不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立，求k的取值范围. 【考点】指数函数单调性的应用；奇函数. 【专题】压轴题. 【分析】(Ⅰ)利用奇函数定义，在f(﹣x)=﹣f(x)中的运用特殊值求a，b的值； (Ⅱ)首先确定函数f(x)的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围. 【解答】解：(Ⅰ)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0， 即 又由f(1)=﹣f(﹣1)知. 所以a=2，b=1. 经检验a=2，b=1时，是奇函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)知， 易知f(x)在(﹣∞，+∞)上为减函数. 又因为f(x)是奇函数， 所以f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 等价于f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2)， 因为f(x)为减函数，由上式可得：t2﹣2t>k﹣2t2. 即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k>0， 从而判别式. 所以k的取值范围是k<﹣. 【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略. 考点卡片 1.交、并、补集的混合运算 【知识点的认识】 集合交换律A∩B=B∩A，A∪B=B∪A. 集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C). 集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C). 集合的摩根律Cu(A∩B)=CuA∪CuB，Cu(A∪B)=CuA∩Cu B. 集合吸收律A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A. 集合求补律A∪CuA=U，A∩CuA=Φ. 【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答. 【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题. 2.判断两个函数是否为同一函数 【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域. 所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样. 【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同. 【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同函数命题比较少. 3.函数的定义域及其求法 【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围. 求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零； ②根式(开偶次方)被开方式≥0； ③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1； ④指数为零时，底数不为零. ⑤实际问题中函数的定义域； 【解题方法点拨】 求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组.(1)当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义(如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等).(3)若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为空集，则函数不存在.(4)抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g(x)中的自变量是x，所以求g(x)的定义域应求g(x)中的x的范围. 【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题. 4.函数的值域 【知识点的认识】函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.A是函数的定义域. 【解题方法点拨】(1)求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等. 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域. (2)函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目. 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力. 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强. (3)运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力. 【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型. 5.函数解析式的求解及常用方法 【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解. 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1、换元法； 2、待定系数法； 3、凑配法； 4、消元法； 5、赋值法等等. 【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法. 例1：已知曲线y=x2+2x在点(1，f(1))处的切线为l.求l的方程. 解：∵y=x2+2x， ∴y'=2x+2，当x=1时，y'=4得切线的斜率为4，所以k=4； 所以曲线在点(1，3)处的切线方程为： y﹣3=4×(x﹣1)，即4x﹣y﹣1=0. 故l的方程为：4x﹣y﹣1=0 我们从这个题当中可以发现求直线方程的一般规律，第一：求出函数的斜率，切线的斜率就是该点的导数，如果是两个点的情况则可以用两点法求出斜率；第二：找到直线必过的一个点，用点斜式即可求出.(当然还有其他的，比方说截距式) 例2：若函数y=f(x)与y=e x+1的图象关于直线y=x对称，则f(x)= 解：函数y=e x+1的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称， 所以f(x)是y=e x+1的反函数， x=lny﹣1(y>0) 即f(x)=lnx﹣1，(x>0) 故答案为：lnx﹣1，(x>0) 本例题体现了根据函数图象或者两条曲线的关系来求另一条直线的途径，这里面根据关于y=x对称，推知要求的是该函数的反函数，这也是常考的题型，望重视. 【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考.是基础题. 6.函数图象的作法 【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤(1)列表；(2)描点；(3)连线. 【解题方法点拨】一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线(平滑曲线). 【命题方向】一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题. 7.映射 【知识点的认识】 设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A 到集合B的一个映射.函数是数集到数集映射，象集A称做函数的定义域，象集C(C?B)称做函数的值域. “映射”是比函数更广泛一些的数学概念，它就是一个集合到另一个集合的一种确定的对应关系. 【解题方法点拨】 映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，对应包括“一对多”、“多对一”、“一对一”等情况，而映射是“象”惟一的这种特殊的对应，它包括“多对一”、“一对一”等情形，至于一一映射，它则是一种特殊的映射，应该指出，一一映射在数学中有着特殊重要的意义，对很多问题的研究都是通过﹣一映射将问题转化，并获得解决的.注意原像集A称做函数的定义域，像集B称做函数的值域. 【命题方向】 映射通常与集合、排列组合相联系，也常考新定义题目，新课标地区要求比较浅，属于了解范畴. 8.函数单调性的判断与证明 【知识点的认识】 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 【解题方法点拨】 证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论. 利用函数的导数证明函数单调性的步骤： 第一步：求函数的定义域.若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域. 第二步：求函数f(x)的导数f′(x)，并令f′(x)=0，求其根. 第三步：利用f′(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表. 第四步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性；求极值、最值. 第五步：将不等式恒成立问题转化为f(x)max≤a或f(x)min≥a，解不等式求参数的取值范围. 第六步：明确规范地表述结论 【命题方向】 从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力. 9.函数单调性的性质 【知识点的认识】 所谓单调性一般说的是单调递增或单调递减，即在某个定义域内，函数的值域随着自变量的增大而增大或者减小，那么我们就说这个函数具有单调性.它是求函数值域或者比较大小的常用工具. 【解题方法点拨】 定义法、导数法、性质法 ①定义法：在满足定义域的某区间内任意两个自变量的值x1、x2，当x1 ②导数法：(当函数在所考察区间内可微(可导)时，才能利用导数研究它的单调性)若f'(x)>0则f(x)单调上升，则函数严格单调递增(如果存在有限个孤立的点的导函数为0仍为递增函数). ③性质法：n个单调递增(递减)的函数的和仍为递增(递减)函数 【命题方向】函数单调性的应用. 作为一个工具，凡是涉及到最值问题、大小比较问题都应立马联想到它的单调性，并对一般常见函数的单调性有清醒的认识，这里面的一个扩展是一些数列问题也可以转化为函数来求解. 10.奇函数 【知识点的认识】 如果函数f(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f(﹣x)=﹣f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数，其图象特点是关于(0，0)对称. 【解题方法点拨】 ①如果函数定义域包括原点，那么运用f(0)=0解相关的未知量； ②若定义域不包括原点，那么运用f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数； ③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=x2+x 那么当x<0时，﹣x>0，有f(﹣x)=(﹣x)2+(﹣x)?﹣f(x)=x2﹣x?f(x)=﹣x2+x 【命题方向】 奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式. 11.奇偶性与单调性的综合 【知识点的认识】 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用. 在重复一下它们的性质①奇函数f(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f(﹣x)=﹣f(x)，其图象特点是关于(0，0)对称.②偶函数f(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f(﹣x)=f(x)，其图象特点是关于y轴对称. 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有： ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f(0)=0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f(x)=f(﹣x)这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 例题：如果f(x)=为奇函数，那么a=. 解：由题意可知，f(x)的定义域为R， 由奇函数的性质可知，f(x)==﹣f(﹣x)?a=1 【命题方向】奇偶性与单调性的综合. 不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点. 12.函数的值 【知识点的认识】 函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域.函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点.其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围. 【解题方法点拨】 求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种： ①基本不等式法：如当x>0时，求2x+的最小值，有2x+≥2=8； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x=5和x=3的距离之和，易知最小值为2； ③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较 例题：求f(x)=lnx﹣x在(0，+∞)的值域 解：f′(x)=﹣1= ∴易知函数在(0，1]单调递增，(1，+∞)单调递减 ∴最大值为：ln1﹣1=﹣1，无最小值； 故值域为(﹣∞，﹣1) 【命题方向】 函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主. 13.指数型复合函数的性质及应用 【知识点归纳】 指数型复合函数性质及应用： 指数型复合函数的两个基本类型：y=f(a x)与y=a f(x) 复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理 U=g(x) y=a u y=a g(x) 增增增 减减增 增减减 减增减. 14.指数函数单调性的应用 【知识点的认识】 1、指数函数y=a x(a>0，且a≠1)的图象和性质： ①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0 ②底数对函数值的影响如图. ③当a>0，且a≠l时，函数y=ax 与函数y=的图象关于y轴对称. 3、利用指数函数的性质比较大小： 若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较； 若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值. 15.对数的运算性质 【知识点的认识】 对数的性质：①=N；②log a a N=N(a>0且a≠1). log a(MN)=log a M+log a N；log a=log a M﹣log a N； log a M n=nlog a M；log a=log a M. 16.对数函数的定义域 【知识点归纳】 一般地，我们把函数y=log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)，值域是R. 17.对数函数的图象与性质 【知识点归纳】 18.幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【知识点归纳】 幂函数的定义：一般地，函数y=x a叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数. 解析式：y=x a= 定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 1.如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数； 2.如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数. 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 1.在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数. 2.在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数. 而只有a为正数，0才进入函数的值域. 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的. 19.函数零点的判定定理 【知识点的知识】 1、函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)?f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c 也就是f(x)=0的根. 特别提醒： (1)根据该定理，能确定f(x)在(a，b)内有零点，但零点不一定唯一. (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x)=x2﹣3x+2有f(0)?f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点. (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a).f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有唯一的零点. 2、函数零点个数的判断方法： (1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 特别提醒： ①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1=0在[0， 2]上有两个等根，而函数f(x)=x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点； ②函数的零点是实数而不是数轴上的点. (2)代数法：求方程f(x)=0的实数根. 20.函数最值的应用 【函数最值的应用】 函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值.在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题.另外，最值可分为最大值和最小值. 【函数最值得应用】 这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视.这里我们以具体的例题来讲解. 例：城关中学要建造一个长方形游泳池，其容积为4800立方米，深为3米，如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍，怎样设计水池才能使总造价最低？设池壁造价为每平方米m元，则最低造价为多少？ 解：设水池底面的长为x米，宽为4800÷3x米，总造价为y，则 =2400m+6()m…(6分)