选修4-5：《不等式选讲》全套教案系列3

课 题： 第3课时 含有绝对值的不等式的证明

三维目标：

重点难点：

教学设计：

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤-

（3）b a b a ?=? （4）)0(≠=b b a

b a

请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质b a b a ?=?和)0(≠=b b a

b a

可以从正负数和零的乘法、除法

法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？ 显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。在0

二、范例分析：

例1、证明 （1）b a b a +≥+， （2）b a b a -≥+。 证明（1）如果,0≥+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+≥+

如果,0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以

b a b a b a b a +=+-=-+-≥+)()(

（2）根据（1）的结果，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。 所以，b a b a -≥+。

例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。

例3、证明 c b c a b a -+-≤-。

思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？

（设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c ＝0（即C 为原点），就得到例2的后半部分。）

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式b a b a +≥+的几何解释？ 含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。

例4、已知 2,2c

b y c

a x <-<-，求证 .)()(c

b a y x <+-+

证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x -+-≤ （1）

2,2c

b y c

a x <-<- ， ∴

c c

c

b y a x =+<-+-22 （2）

由（1），（2）得：c b a y x <+-+)()(

例5、已知.6,4a y a x <

<

求证：a y x <-32。 证明 6,4a y a x << ，∴23,22a y a x <<， 由例1及上式，a a

a

y x y x =+<+≤-223232。

注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

三、小结：

四、练习：

1、已知.2,2c b B c a A <-<

-求证：c b a B A <---)()(。 2、已知.6,4c b y c a x <-<

-求证：c b a y x <+--3232。 五、作业：