2013高三数学辅导资料逻辑联结词与四种命题

（2） 简易逻辑、充要条件及反证法

●知识梳理 1.逻辑联结词

（1）命题：可以判断真假的语句叫做命题. （2）逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.

（3）简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题；由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.

（4）真值表：表示命题真假的表叫真值表.

2.四种命题 （1）四种命题 原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）；逆命题：若q 则p ； 否命题：若?p 则?q ；逆否命题：若?q 则?p .

（2）四种命题之间的相互关系：（如右图）： 这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题. 3.充要条件

（1）充分条件：如果p ?q ，则p 叫q 的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q 是p 的必要条件.

（2）必要条件：如果q ?p ，则p 叫q 的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q 是p 的充分条件.

（3）充要条件：如果既有p ?q ，又有q ?p ，记作p ?q ，则p 叫做q 的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的.

4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法. ●点击双基

1.下列语句是命题的是（ ）

①求证3是无理数；②0442≥++x x ③你是高三的学生吗？④一个正数不是素数就是合数；⑤若R x ∈,则0742>++x x 。

A. ①②③

B. ②③④

C. ②④⑤

D. ③④⑤

2.由“p :8+7=16，q :π＞3”构成的复合命题，下列判断正确的是

A.p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真

B.p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真

C.p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假

D.p 或q 为假，p 且q 为真，非p 为真 3.命题p :若a 、b ∈R ，则|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件；

命题q :函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则

A.“p 或q ”为假

B.“p 且q ”为真

C. p 真q 假

D. p 假q 真

4.（2009四川）已知a ，b ，c ，d 为实数，且d c >，则“b a >”是“d b c a ->-”的（ ）

A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 5.已知a 、b 、c 为非零的平面向量.甲：a ·b =a ·c ，乙：b =c ，则

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分

条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

6.若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.命题“若m＞0，则关于x的方程x2+x－m=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为___________________.

8.设1

(:≤

-

-a

a

q，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范

x

x

-

)(

4

|3

-

:|≤

x

)1

p；0

围是__________；

●典例剖析

【例1】给出命题“已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有

A.0个

B.2个

C.3个

D.4个

深化拓展

若a、b、c∈R，写出命题“若ac＜0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假.

【例2】指出下列复合命题的形式及其构成.

（1）若α是一个三角形的最小内角，则α不大于60°；

（2）一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形；

（3）有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形.

【例3】写出命题“当abc=0时，a=0或b=0或c=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

【例4】 使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分而不必要条件是（ ） A.x ＜0 B.x ≥0 C.x ∈{－1，3，5} D.x ≤－

2

1

或x ≥3 拓展训练

ax 2+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件是__________________.

●闯关训练

1.如果原命题的结论是“p 且q ”形式，那么否命题的结论形式为 A.?p 且?q B.?p 或?q C.?p 或?q D.?q 或?p

2.下列四个命题中真命题是

①“若xy =1，则x 、y 互为倒数”的逆命题 ②“面积相等的三角形全等”的否命题 ③“若m ≤1，则方程x 2－2x +m =0有实根”的逆否命题 ④“若A ∩B =B ，则A ?B ”的逆否命题

A.①②

B.②③

C.①②③

D.③④

3.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 4.在△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数f （x ）=x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 A.a ∈（－∞，1］ B.a ∈［2，+∞） C.α∈［1，2］ D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞） 6.分别用“p 或q ”“p 且q ”“非p ”填空.

（1）命题“15能被3和5整除”是___________________形式； （2）命题“16的平方根是4或－4”是______________形式；

（3）命题“李强是高一学生，也是共青团员”是___________________形式. 7.命题“若ab =0，则a 、b 中至少有一个为零”的逆否命题是_______________. 8.命题A ：两曲线F （x ，y ）＝0和G （x ，y ）=0相交于点P （x 0，y 0），命题B ：曲线F （x ，y ）+λG （x ，y ）＝0（λ为常数）过点P （x 0，y 0），则A 是B 的__________条件.

9.在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p 1

“第一次射击击中飞机”，命题p 2“第二次射击击中飞机”，试用p 1、p 2及联结词“或”“且”“非”表示下列命题：

（1）两次都击中飞机； （2）两次都没击中飞机； （3）恰有一次击中飞机； （4）至少有一次击中飞机.

10.设A 、B 为两个集合.下列四个命题：

①A B ?对任意x ∈A ，有x ?B ；②A B ?A ∩B =?；③A B ?A B ；④A B ?存在x ∈A ，使得x ?B .

其中真命题的序号是______________.（把符合要求的命题序号都填上）

11.命题：已知a 、b 为实数，若x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2－4b ≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假.

.

12.写出下列命题非的形式：

（1）p :函数f （x ）=ax 2+bx +c 的图象与x 轴有唯一交点； （2）q :若x =3或x =4，则方程x 2－7x +12=0.

13.已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.

求证：三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根.

14.若x 、y 、z 均为实数，且a =x 2－2y +2π，b =y 2－2z +3π，c =z 2－2x +6

π

，则a 、b 、c 中是否至少有一个大于零？请说明理由.

.

15.(理)已知合函数12cos 32)4

(sin 4)(2--+=x x x f π，且给定条件p ：“

2

4

π

π

≤

≤x ”。

（1）求)(x f 的最大值和最小值； （2）若条件q ：“2|)(|<-m x f ”，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围。

（2） 简易逻辑、充要条件及反证法（教师版）

●知识梳理 1.逻辑联结词

（1）命题：可以判断真假的语句叫做命题. （2）逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.

（3）简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题；由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.

（4）真值表：表示命题真假的表叫真值表. 2.四种命题 （1）四种命题

原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）；逆命题：若q 则p ； 否命题：若?p 则?q ；逆否命题：若?q 则?p . （2）四种命题之间的相互关系

这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题.

3.充要条件

（1）充分条件：如果p ?q ，则p 叫q 的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q 是p 的必要条件.

（2）必要条件：如果q ?p ，则p 叫q 的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q 是p 的充分条件.

（3）充要条件：如果既有p ?q ，又有q ?p ，记作p ?q ，则p 叫做q 的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的.

4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法. ●点击双基

1.下列语句是命题的是（ ）

①求证3是无理数；②0442≥++x x ③你是高三的学生吗？④一个正数不是素数就是合数；⑤若R x ∈,则0742>++x x 。

A. ①②③

B. ②③④

C. ②④⑤

D. ③④⑤ 答案：C

2.由“p :8+7=16，q :π＞3”构成的复合命题，下列判断正确的是

A.p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真

B.p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真

C.p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假

D.p 或q 为假，p 且q 为真，非p 为真 解析：因为p 假，q 真，由复合命题的真值表可以判断，p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真.

答案：A

3.（2004年福建，3）命题p :若a 、b ∈R ，则|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件；

命题q :函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则 A.“p 或q ”为假 B.“p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真 解析：∵|a +b |≤|a |+|b |，

若|a |+|b |＞1，不能推出|a +b |＞1，而|a +b |＞1，一定有|a |+|b |＞1，故命题p 为假. 又由函数y =2|1|--x 的定义域为|x －1|－2≥0，即|x －1|≥2，即x －1≥2或x －1≤－2. 故有x ∈（－∞，－1］∪［3，+∞）.∴q 为真命题. 答案：D

4.（2009四川）已知a ，b ，c ，d 为实数，且d c >，则“b a >”是“d b c a ->-”的（ ）

A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 答案：B

5. （2004年湖北，理4）已知a 、b 、c 为非零的平面向量.甲：a ·b =a ·c ，乙：b =c ，则

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：命题甲:a ·b =a ·c ?a ·（b －c ）=0?a =0或b =c . 命题乙:b =c ，因而乙?甲，但甲乙. 故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 答案：B

6. （2005年春季上海，16）若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任

意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：若a ＞0且b 2－4ac ＜0，则对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0，反之，则不一定成立.如a =0，b =0且c ＞0时，也有对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0.因此应选A.

答案：A

7.命题“若m ＞0，则关于x 的方程x 2+x －m =0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为___________________.

解析：先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断. 答案：2

8.设1|34:|≤-x p ；0)1)((:≤---a x a x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________；

答案：]2

1,0[

●典例剖析

【例1】 给出命题“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a =b ，c =d ，则a +c =b +d ”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有

A.0个

B.2个

C.3个

D.4个 剖析：原命题和逆否命题为真. 答案：B 深化拓展 若a 、b 、c ∈R ，写出命题“若ac ＜0，则ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假.

思路：认清命题的条件p 和结论q ，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假.

解：逆命题“若ax 2+bx +c =0（a 、b 、c ∈R ）有两个不相等的实数根，则ac ＜0”是假命题，如当a =1，b =－3，c =2时，方程x 2－3x +2=0有两个不等实根x 1=1，x 2=2，但ac =2＞0.

否命题“若ac ≥0，则方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c ∈R ）没有两个不相等的实数根”是假命题.这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题.

逆否命题“若ax 2+bx +c =0（a 、b 、c ∈R ）没有两个不相等的实数根，则ac ≥0”是真命

题.因为原命题是真命题，它与原命题等价.

评述：解答命题问题，识别命题的条件p 与结论q 的构成是关键. 【例2】 指出下列复合命题的形式及其构成.

（1）若α是一个三角形的最小内角，则α不大于60°；

（2）一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形； （3）有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形. 解：（1）是非p 形式的复合命题，其中p :若α是一个三角形的最小内角，则α＞60°. （2）是p 且q 形式的复合命题，其中p :一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，q :一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形.

（3）是p 或q 形式的复合命题，其中p :有一个内角为60°的三角形是正三角形，q ：有一个内角为60°的三角形是直角三角形.

【例3】 写出命题“当abc =0时，a =0或b =0或c =0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

剖析：把原命题改造成“若p 则q ”形式，再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否

命题.在判断真假时要注意利用等价命题的原理和规律.

解：原命题：若abc =0，则a =0或b =0或c =0，是真命题. 逆命题：若a =0或b =0或c =0，则abc =0，是真命题. 否命题：若abc ≠0，则a ≠0且b ≠0且c ≠0，是真命题. 逆否命题：若a ≠0且b ≠0且c ≠0，则abc ≠0，是真命题.

【例4】 使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分而不必要条件是 A.x ＜0 B.x ≥0

C.x ∈{－1，3，5}

D.x ≤－

2

1

或x ≥3 剖析：∵2x 2－5x －3≥0成立的充要条件是x ≤－21或x ≥3，∴对于A 当x =－3

1时2x 2－5x －3≥0.同理其他也可用特殊值验证. 答案：C 拓展训练

求ax 2+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件. 证明：必要性：

（1）方程有一正根和一负根，等价于

???

?

?

?<=>-=010

4421a x x a Δa ＜0. （2）方程有两负根，等价于

?????

?????

><-≥-=0102044a a a Δ0＜a ≤1.

综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或0＜a ≤1.

充分性：由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤1时，方程有两负根.故a ＜0或0＜a ≤1是方程ax 2+2x +1=0至少有一负根的充分条件.

答案：a ＜0或0＜a ≤1.

●闯关训练 夯实基础

1.如果原命题的结论是“p 且q ”形式，那么否命题的结论形式为 A.?p 且?q B.?p 或?q C.?p 或?q D.?q 或?p 解析：p 且q 的否定为?p 或?q . 答案：B

2.下列四个命题中真命题是

①“若xy =1，则x 、y 互为倒数”的逆命题 ②“面积相等的三角形全等”的否命题 ③“若m ≤1，则方程x 2－2x +m =0有实根”的逆否命题 ④“若A ∩B =B ，则A ?B ”的逆否命题

A.①②

B.②③

C.①②③

D.③④

解析：写出满足条件的命题再进行判断.

答案：C

3.（2004年重庆，7）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：依题意有p?r，r?s，s?q，∴p?r?s?q.但由于r p，∴q p.

答案：A

4.（2005年海淀区第一学期期末练习）在△ABC中，“A＞B”是“cos A＜cos B”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：在△ABC中，A＞B?cos A＜cos B（余弦函数单调性）.

答案：C

5.（2004年北京，5）函数f（x）=x2－2ax－3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是

A.a∈（－∞，1］

B.a∈［2，+∞）

C.α∈［1，2］

D.a∈（－∞，1］∪［2，+∞）

解析：∵f（x）=x2－2ax－3的对称轴为x=a，∴y=f（x）在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］?（－∞，a］或［1，2］?［a，+∞），即a≥2或a≤1.

答案：D

6.分别用“p或q”“p且q”“非p”填空.

（1）命题“15能被3和5整除”是___________________形式；

（2）命题“16的平方根是4或－4”是______________形式；

（3）命题“李强是高一学生，也是共青团员”是___________________形式.

答案：（1）p且q（2）p或q（3）p且q

7.命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题是_______________.

答案：若a≠0且b≠0，则ab≠0

8.命题A：两曲线F（x，y）＝0和G（x，y）=0相交于点P（x0，y0），命题B：曲线F（x，y）+λG（x，y）＝0（λ为常数）过点P（x0，y0），则A是B的__________条件.

答案：充分不必要

9.在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p1“第一次射击击中飞机”，命题p2“第二次射击击中飞机”，试用p1、p2及联结词“或”“且”“非”表示下列命题：（1）两次都击中飞机；

（2）两次都没击中飞机；

（3）恰有一次击中飞机；

（4）至少有一次击中飞机.

解：（1）两次都击中飞机是p1且p2；

（2）两次都没击中飞机是?p1且?p2；

（3）恰有一次击中飞机是p1且?p2，或p2且?p1；

（4）至少有一次击中飞机是p1或p2.

培养能力

10.（2004年湖北，15）设A、B为两个集合.下列四个命题：

①A B?对任意x∈A，有x?B；②A B?A∩B=?；③A B?A B；④A B?存在x∈A，使得x?B.

其中真命题的序号是______________.（把符合要求的命题序号都填上） 解析：A B ?存在x ∈A ，有x ?B ，故①错误；②错误；④正确. 亦或如下图所示.

③反例如下图所示.

A B ?A B .反之，同理.

答案：④

11.命题：已知a 、b 为实数，若x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2－4b ≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假.

分析：原命题中，a 、b 为实数是前提，条件是x 2+ax +b ≤0有非空解集（即不等式有解），结论是a 2－4b ≥0，由四种命题的关系可得出其他三种命题.

解：逆命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b ≥0，则x 2+ax +b ≤0有非空解集. 否命题：已知a 、b 为实数，若x 2+ax +b ≤0没有非空解集，则a 2－4b ＜0. 逆否命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b ＜0，则x 2+ax +b ≤0没有非空解集. 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题. 12.写出下列命题非的形式：

（1）p :函数f （x ）=ax 2+bx +c 的图象与x 轴有唯一交点； （2）q :若x =3或x =4，则方程x 2－7x +12=0. 解：（1）函数f （x ）=ax 2+bx +c 的图象与x 轴没有交点或至少有两个交点. （2）若x =3或x =4，则x 2－7x +12≠0. 13.已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.

求证：三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根.

证明：反证法：

假设三个方程中都没有两个相异实根，

则Δ1=4b 2－4ac ≤0，Δ2=4c 2－4ab ≤0，Δ3=4a 2－4bc ≤0. 相加有a 2－2ab +b 2+b 2－2bc +c 2+c 2－2ac +a 2≤0， （a －b ）2+（b －c ）2+（c －a ）2≤0. ①

由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立.

∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.

14.若x 、y 、z 均为实数，且a =x 2－2y +

2π，b =y 2－2z +3π，c =z 2－2x +6

π

，则a 、b 、c 中是否至少有一个大于零？请说明理由.

解：假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a +b +c ≤0.

而a +b +c =x 2－2y +

2π+y 2－2z +3π+z 2－2x +6

π

=（x －1）2+（y －1）2+（z －1）2+π－3， ∵π－3＞0，且无论x 、y 、z 为何实数，

（x －1）2+（y －1）2+（z －1）2≥0，

∴a +b +c ＞0.这与a +b +c ≤0矛盾.因此，a 、b 、c 中至少有一个大于0. 15.(理)已知合函数12cos 32)4

(sin 4)(2--+=x x x f π，且给定条件p ：“

2

4

π

π

≤

≤x ”。

（1）求)(x f 的最大值和最小值； （2）若条件q ：“2|)(|<-m x f ”，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围。 解：（1）1)3

2sin(4)(+-=πx x f ，又∵

2

4

π

π

≤

≤x ,∴

323

26

ππ

π

≤

-

≤x ,此时51)3

2sin(43≤+-≤π

x ，∴)(x f 的最大值为5，最小值为3.

（2）∵2)(22|)(|+<<-?<-m x f m m x f ，且p 是q 的充分条件

∴53523

2<

?

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探究创新

9.小李参加全国数学联赛，有三位同学对他作如下的猜测.

甲：小李非第一名，也非第二名；乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名而是第一名.竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，问：小李得了第几名？

解：（1）假设小李得了第三名，则甲全猜对，乙全猜错，显然与题目已知条件相矛盾，故假设不可能.

（2）假设小李得了第二名，则甲猜对一半，乙猜对一半，也与已知条件矛盾，故假设不可能.

（3）假设小李得了第一名，则甲猜对一半，乙全猜错，丙全猜对，无矛盾.

综合（1）（2）（3）知小李得了第一名.

●思悟小结

1.有的“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p或q”还是“p且q”形式.一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”.

2.原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证），我们可通过对与它同真假的（具有逆否关系的）命题来判断（或推证）.

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教学点睛

1.有的“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p或q”还是“p且q”形式.一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”.

2.要明确原命题、否命题、逆命题、逆否命题之间的关系.

拓展题例

【例1】写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.

（1）若x、y都是奇数，则x+y是偶数；

（2）若xy=0，则x=0或y=0；

（3）若一个数是质数，则这个数是奇数.

解：（1）命题的否定：x、y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题.

原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题.

（2）命题的否定：xy=0则x≠0且y≠0，为假命题.

原命题的否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题.

（3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题.

原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题.

【例2】有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.

A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，

B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，

C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.

如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？

解：若苹果在A盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.

若苹果在B盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内.

同样，若苹果在C盒内，则B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意.

综上，苹果在B盒内.