2016高三数学复习(人教A版)_第4章_第3讲_平面向量的数量积及应用举例教学案及课后作业(含答案)
第3讲 平面向量的数量积及应用举例
2016高考导航
知识梳理
1.平面向量的数量积 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量|a ||b |cos_θ叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a·b .即a·b =|a ||b |cos_θ,规定0·a =0.
2.向量数量积的运算律 (1)a·b =b·a . (2)(λa )·b =λ(a·b )=a ·(λb ). (3)(a +b )·c =a·c +b·c .
3.平面向量数量积的有关结论
1.(2014·高考湖北卷)设向量a =(3,3),b =(1,-1).若(a +λb )⊥(a -λb ),则实数λ=________.
2.(2014·高考江西卷)已知单位向量e 1,e 2的夹角为α,且cos α=1
3
,若向量a =3e 1-2e 2,则|a
|=________.
要点整合
1.辨明三个易误点
(1)①0与实数0的区别:0a =0≠0,a +(-a )=0≠0,a ·0=0≠0;②0的方向是任意的,并非没有方向,0与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系.
(2)a·b =0不能推出a =0或b =0,因为a·b =0时,有可能a ⊥b . (3)a·b =a·c (a ≠0)不能推出b =c ,即消去律不成立. 2.有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角,则有a·b >0,反之不成立(因为夹角为0时不成立); (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角,则有a·b <0,反之不成立(因为夹角为π时不成立). [做一做]
3.已知向量a ,b 和实数λ,则下列选项中错误的是( )
A .|a |=a ·a
B .|a ·b |=|a |·|b |
C .λ(a ·b )=λa ·b
D .|a ·b |≤|a
|·|b |
4.(2015·湖北武汉调研)已知向量a ,b 满足|a |=3,|b |=23,且a ⊥(a +b ),则a 与b 的夹角为( )
A .π2
B .2π3
C .3π4
D .5π6
典例剖析
考点一__平面向量数量积的运算______________
(1)(2015·沧州模拟)已知平面向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),若|a |=2,|b |=3,a·b =-6,则
x
1+y 1
x 2+y 2
的值为( )
A .23
B .-23
C .56
D .-56
(2)(2014·高考江苏卷) 如图,在平行四边形ABCD 中,已知AB =8,AD =5,CP →=3PD →,AP →·BP →
=2,则AB →·AD →
的值是________.
[规律方法] 向量数量积的两种运算方法:
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b =|a ||b |cos 〈a ,b
〉.
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a·b =x 1x 2+y 1y 2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解. 1.(1)(2013·高考湖北卷)已知点A (-1,1),B (1,2),C (-2,-1),D (3,4),则向量AB →在CD →
方向上的投影为( )
A .322
B .3152
C .-322
D .-3152
(2)(2015·贵阳市适应性考试)如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在
边CD 上,若AB →·AF →=2,则AE →·BF →
的值是( )
A . 2
B .2
C .0
D .1
(3)(2015·广东梅州模拟)已知向量OA →=(2,2),OB →=(4,1),在x 轴上存在一点P 使AP →·BP →
有最小值,则P 点的坐标是( )
A .(-3,0)
B .(2,0)
C .(3,0)
D .(4,0)
考点二__平面向量的夹角与模(高频考点)________
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容,题型多为选择题、填空题,难度适中,属中档题. 高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下四个命题角度: (1)求两向量的夹角;(2)求向量的模;(3)两向量垂直;(4)求参数值或范围.
(1)(2014·高考重庆卷)已知向量a =(k ,3),b =(1,4),c =(2,1),且(2a -3b )⊥c ,则实数k
=( )
A .-92
B .0
C .3
D .152
(2)(2014·高考江西卷)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α,且cos α=13
,向量a =3e 1-2e 2与b =3e 1-
e 2的夹角为β,则cos β=________.
(3)已知点G 是△ABC 的重心,∠BAC =120°,AB →·CA →=2,则|AB →+AG →+AC →
| 的最小值为________. [规律方法] 1.利用数量积求解长度的处理方法: (1)|a |2=a 2=a ·a ;
(2)|a ±b |2=a 2
±2a ·b +b 2;
(3)若a =(x ,y ),则|a |=x 2+y 2. 2.求两个非零向量的夹角时要注意: (1)向量的数量积不满足结合律;
(2)数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明两个向量的夹角为直角;数量积小于0且两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角.
2.(1)(2015·忻州市高三第一次联考)已知向量a ·(a +2b )=0,|a |=2,|b |=2,则向量a ,b 的夹角为( )
A .π3
B .2π3
C .π6
D .5π6
(2)(2015·云南省昆明三中、玉溪一中统一考试)在△ABC 中,设AC →2-AB →2=2AM →·BC →
,那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的( )
A .垂心
B .内心
C .外心
D .重心
(3)(2015·北京海淀区期中考试)已知△ABC 是正三角形,若a =AC →-λAB →与向量AC →
的夹角大于90°,则实数λ的取值范围是________.
考点三__向量数量积的综合应用______________
(2013·高考辽宁卷)设向量a =(3sin x ,sin x ),b =(cos x ,sin x ),x ∈ [0,π
2
].
(1)若|a |=|b |,求x 的值; (2)设函数f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值.
若本例变为:已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<β<α<π,c =(0,1),若a +b
=c ,求α,β的值.
[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题:
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.
3.(2015·广州海珠区高三入学摸底考试)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,
c ,向量m =(cos(A -B ),sin(A -B )),n =(cos B ,-sin B ),且m·n =-3
5
.
(1)求sin A 的值;
(2)若a =42,b =5,求角B 的大小及向量BA →在BC →
方向上的投影.
名师讲坛
交汇创新——平面向量与线性规划的交汇
(2013·高考安徽卷)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A ,B 满足|OA →|=|OB →
|=
OA →·OB →=2,则点集{P |OP →=λOA →+μOB →,|λ|+|μ|≤1,λ,μR ∈}所表示的区域的面积是( )
A .22
B .2 3
C .4 2
D .4 3
[名师点评] 由平面向量的模与数量积求解夹角考查了应用意识,由平面向量的分解考查了抽象概括能力和推理能力.
已知x ,y 满足?????y ≥x ,x +y ≤2,x ≥a ,
若OA →=(x ,1),OB →=(2,y ),且OA →·OB →
的最大值是最小值的8倍,
则实数a 的值是( )
A .1
B .13
C .14
D .1
8
知能训练
一、选择题
1.(2014·大纲全国卷)已知a ,b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a -b )·b =( ) A .-1 B .0 C .1 D .2
2.(2014·北京朝阳一模)已知AB →
和AC →
是平面内两个单位向量,它们的夹角为60°,则2AB →
-AC →
与CA →
的夹
角是( )
A .30°
B .60°
C .90°
D .120°
3.(2014·江西七校一联)已知a =(3,-2),b =(1,0),向量λa +b 与a -2b 垂直,则实数λ的值为( ) A .-16
B .16
C .-17
D .17
4.(2014·东北三省二模)已知△ABC 中,|BC →
|=10,AB →·AC →
=-16,D 为BC 边的中点,则|AD →
|等于( )
A .6
B .5
C .4
D .3
5.(2014·陕西宝鸡三模)已知平面向量a ,b 的夹角为120°,且a·b =-1,则|a -b |的最小值为( ) A . 6
B . 3
C . 2
D .1
6.(2014·浙江卷)设θ为两个非零向量a ,b 的夹角.已知对任意实数t ,|b +t a |的最小值为1.( ) A .若θ确定,则|a |唯一确定 B .若θ确定,则|b |唯一确定 C .若|a |确定,则θ唯一确定 D .若|b |确定,则θ唯一确定
7.(2014·益阳模拟)在△ABC 中,∠C =90°,且CA =CB =3,点M 满足BM →
=2MA →
,则CM →·CB →
等于( )
A .2
B .3
C .4
D .6
8.(2014·西宁模拟)已知向量a =(cos α,-2),b =(sin α,1),且a ∥b ,则2sin αcos α等于( ) A .3 B .-3 C .45 D .-4
5
9.(2014·邵阳模拟)已知a =(1,sin 2x ),b =(2,sin2x ),其中x ∈(0,π).若|a·b |=|a ||b |,则tan x 的值等于( )
A .1
B .-1
C . 3
D .22
10.(2014·南昌模拟)若|a |=2sin15°,|b |=4cos15°,a 与b 的夹角为30°,则a·b 的值是( ) A .
3
2
B . 3
C .2 3
D .12
11.函数y =tan ????
π4x -π2的部分图象如图所示,则(OA →
+OB →)·
AB →
=( )
A .4
B .6
C .1
D .2
12.(2014·安庆二模)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对应的三角形的边长,若4aBC →
+2bCA →
+3cAB →
=0,则cos B =( )
A .-1124
B .1124
C .2936
D .-2936
13.(2015·云南省第一次统一检测)设向量a =(-1,2),b =(m ,1),如果向量a +2b 与2a -b 平行,那
么a 与b 的数量积等于( )
A .-72
B .-12
C .32
D .52
14.在△ABC 中,AC →·AB →|AB →|=1,BC →·BA
→|BA →|
=2,则AB 边的长度为( )
A .1
B .3
C .5
D .9
15.已知向量a ,b ,满足|a |=3,|b |=23,且a ⊥(a +b ),则a 与b 的夹角为( )
A .π2
B .2π3
C .3π4
D .5π6
16.[2014·天津]已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E 、F 分别在边BC ,DC 上,BE =λBC ,DF =μDC .若AE →·AF →=1,CE →·CF →
=-23
,则λ+μ=( )
A .12
B .23
C .56
D .712
17.设x ,y R ∈,向量a =(x,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则a +b =( ) A .(3,3) B .(3,-1) C .(-1,3) D .???
?3,3
2 18.[2015·吉林一中调研]已知平面向量a ,b ,|a |=1,|b |=3,且|2a +b |=7,则向量a 与向量a +b 的夹角为( )
A .π2
B .π3
C .π
6
D . π
19.[2015·南京模拟]在△ABC 中,|AB →
|=5,|AC →
|=4,AB →·AC →
=10,则△ABC 的面积是( )
A .5
B .10
C .5 3
D .20
20.在边长为1的正方形ABCD 中,M 为BC 的中点,点E 在线段AB 上运动,则EC ·
EM
的取值范围是( )
A .????12,2
B .????0,32
C .???
?12,3
2 D .[]0,1 21.设A ,B ,C 是圆x 2+y 2=1上不同的三个点,且OA →·OB →=0,若存在实数λ,μ使得OC →=λOA →+μOB →,则实数λ,μ的关系为( )
A .λ2+μ2=1
B .1λ+1
μ
=1 C .λ·μ=1 D .λ+μ=1
22.(2014·郑州市质检)如图所示,点A 、B 、C 是圆O 上的点,线段OC 与线段AB 交于圆内一点P , 若OC →
=mOA →+2mOB →,AP →=λAB →
,则λ=( )
A .56
B .45
C .34
D .23
23.在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ⊥AB ,∠B =45°,AB =2CD =2,M 为腰BC 的中点,则MA →·MD →
=( )
A .1
B .2
C .3
D .4
24.(2014·东营模拟)设a ,b 是不共线的两个向量,其夹角是θ,若函数f (x )=(x a +b )·(a -x b )(x R ∈)在(0,+∞)上有最大值,则( )
A .|a |<|b |,且θ是钝角
B .|a |<|b |,且θ是锐角
C .|a |>|b |,且θ是钝角
D .|a |>|b |,且θ是锐角
25.(2014·山西大学附中二模)过抛物线x 2=2py 的焦点作直线l 交抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△AOB 为( )
A . 锐角三角形
B . 直角三角形
C . 钝角三角形
D .不确定
26.直线ax +by +c =0与圆x 2+y 2=9相交于两点M 、N ,若c 2=a 2+b 2,则OM →·ON →
(O 为坐标原点)等于( )
A .-7
B .-14
C .7
D .14
27.设F 1、F 2为椭圆x 24+y 2
=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点,当四边形
PF 1QF 2面积最大时,PF 1→·PF 2→
的值等于( )
A .0
B .2
C .4
D .-2
28.(2014·江南十校一模)已知向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(2cos θ,2sin θ),实数m ,n 满足m a +n b =c ,则(m -1)2+(n -1)2的最小值为( )
A .2-1
B .1
C .2
D .3-
2
2
29.(2013·安徽)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A ,B 满足|OA →|=|OB →|=OA →·OB →
=2,则点集{P |OP →=λOA →+μOB →
,|λ|+|μ|≤1,μR ∈}所表示的平面区域的面积是( )
A .22
B .23
C .42
D .4 3
30.已知平面向量22(sin ,cos )a x x = ,22
(sin ,cos )b x x =- ,R
是实数集,()cos f x a b x x =?+ .
如果0,x R x R ?∈?∈,0()()f x f x ≤,那么0()f x =( )
A .2
B
.1-
C
.1-D .2-
31.在ABC ?
中,2,2
AB BC A π
==∠=,如果不等式BA tBC AC -≥
恒成立,则实数t 的取值范围
是( )
A .[)1,+∞
B .1,12??????
C .[)
1,1,2
??-∞+∞ ??
?
D .(][),01,-∞+∞
32.已知a ,b ,c 分别为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,向量m =(2cos C -1,-2),n =(cos C ,cos C +1).若m ⊥n ,且a +b =10,则△ABC 周长的最小值为( )
A .10-5 3
B .10+5 3
C .10-2 3
D .10+2 3
33.已知,是单位向量,0=?b a .若向量c
1=--a ,
的最大值为( )
A
1
B
C
1+
D
2+
34.已知圆O 的半径为1,P A 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为两切点,那么PA ·
PB
的最小值为( ) A .-4+ 2 B .-3+ 2 C .-4+2 2
D .-3+2 2
35.已知|a |=2|b |≠0,且关于x 的函数f (x )=13x 3+1
2
|a |x 2+a·bx 在R 上有极值,则a 与b 的夹角范围为( )
A .????0,π6
B .????π6,π
C .????π3,π
D .????π3,2π
3
二、填空题
1.(2014·重庆卷)已知向量a 与b 的夹角为60°,且a =(-2,-6),|b |=10,则
a·b =__________.
2.(2014·四川卷)平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m R ∈),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =__________.
3.(2014·天津卷)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BC =3BE ,
DC =λDF .若AE →·AF →
=1,则λ的值为__________.
4.(2014·海口模拟)若向量a =????32,sin α,b =????cos α,1
3,且a ∥b ,则锐角α的大小是________. 5.(2014·东北三校一模)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若(3b -c )cos A =a cos C ,S △
ABC =
2,则BA →·AC →
=__________.
6.(2014·北京模拟)已知平面上一定点C (2,0)和直线l :x =8,P 为该平面上一动点,作PQ ⊥l ,垂足为Q ,且?
????PC →
+12PQ →·? ????PC →-12PQ →=0,则点P 到点C 的距离的最大值是__________.
7.(2015·山西省第三次四校联考)圆O 为△ABC 的外接圆,半径为2,若AB →+AC →=2AO →,且|OA →|=|AC →
|,则向量BA →在向量BC →
方向上的投影为________.
8.设集合D ={平面向量},定义在D 上的映射f 满足:对任意x ∈D ,均有f(x)=λx(λ∈R ,且λ≠0).若
|a |=|b |且a ,b 不共线,则[f (a )-f (b )]·(a +b )=________;若A (1,2),B (3,6),C (4,8),且f (BC →)=AB →
,则λ=________.
9.已知向量a =(2,-1),b =(λ,3),若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是________.
10.如下图,在平行四边形ABCD 中,AP ⊥BD ,垂足为P ,且AP =3,则AP →·AC →
=
________.
11.如图,半圆的直径AB =6,O 为圆心,C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点,若P 为半径OC 上的动点,则(P A →+PB →)·PC →
的最小值为________.
12.(2014·南京盐城二模)已知|OA →|=1,|OB →|=2,∠AOB =2π3,OC →=12OA →+14OB →,则OA →与OC →
的夹角大小
为________.
13.已知M 是△ABC 内的一点,且AB →·AC →
=23,∠BAC =30°,若△MBC 、△MCA 和△MAB 的面积分别为12、x 、y ,则1x +4
y
的最小值是________.
14.过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F (-c ,0)(c >0),作圆x 2+y 2=a 2
4
的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ,若OE →=12
(OF →+OP →
),则双曲线的离心率为________.
15.在平面直角坐标系xOy ,已知向量OA 与OB 关于y 轴对称,向量)0,1(=,则满足不等式
02
≤?+的点),(y x A 组成图形的面积为
16.如图,△ABC 的外接圆的圆心为O ,AB =2,AC =3,则AO ·
BC
等于________.
17.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为120o
. 如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB
上变动.
若,OC xOA yOB =+
其中,x y R ∈,则x y +的最大值是___2_____.
三、解答题
1.(2014·江苏南通高三期末测试)设向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),其中0<β<α<π. (1)若a ⊥b ,求|a +3b |的值;
(2)设向量c =(0,3),且a +b =c ,求α,β的值.
2.(2014·佛山质检)设向量a =(4cos α,sin α),b =(sin β,4cos β),c =(cos β,-4sin β). (1)若a 与b -2c 垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b +c |的最大值;
(3)若tan αtan β=16,求证:a ∥b .
3.(2014·广东揭阳一中摸底)已知向量a =(cos x ,sin x ),b =(-cos x ,cos x ),c =(-1,0). (1)若x =π
6
,求向量a ,c 的夹角;
(2)当x ∈????
π2,9π8时,求函数f (x )=2a·
b +1的最大值. 4.(2014·重庆模拟)已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,
c ,向量m =(a +c ,b -a ),n =(a -c ,b ),且m ⊥n .
(1)求角C 的大小.
(2)若向量s =(0,-1),t =?
???cos A ,2cos 2B
2,试求|s +t |的取值范围.
5.(2014·合肥模拟)如图,A ,B 是单位圆上的动点,C 是单位圆与x 轴的正半轴的交点,且∠AOB =π
6,
记∠COA =θ,θ∈(0,π),△AOC 的面积为S .
(1)若f (θ)=OB →·OC →
+2S ,试求f (θ)的最大值以及此时θ的值.
(2)当A 点坐标为???
?-35,4
5时,求|BC →
|2的值. 6.(2014·吉林模拟)已知点A (-1,0),B (1,0),动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB =2θ,|AM →
|·|BM →
|cos 2θ=3,
过点B 的直线交曲线C 于P ,Q 两点.
(1)求|AM →
|+|BM →
|的值,并写出曲线C 的方程; (2)设直线PQ 的倾斜角是π
4,试求△APQ 的面积.
7.已知|a |=4,|b |=8,a 与b 的夹角是120°. (1)计算:①|a +b |,②|4a -2b |; (2)当k 为何值时,(a +2b )⊥(k a -b )?
8.已知a =(1,2),b =(-2,n ),a 与b 的夹角是45°. (1)求b ;
(2)若c 与b 同向,且a 与c -a 垂直,求c .
9.[2015·徐州模拟]已知向量a =(4,5cos α),b =(3,-4tan α),α∈(0,π
2),a ⊥b ,求:
(1)|a +b |; (2)cos(α+π
4)的值.
10. (2013·衡水中学六模)在平面直角坐标系中,已知点A (12,0),向量e =(0,1),点B 为直线x =-1
2上
的动点,点C 满足2OC →=OA →+OB →,点M 满足BM →·e =0,CM →·AB →
=0.
(1)试求动点M 的轨迹E 的方程;
(2)设点P 是轨迹E 上的动点,点R 、N 在y 轴上,圆(x -1)2+y 2=1内切于△PRN ,求△PRN 的面积的最小值.
11.已知向量→
a =(2,2),向量→
b 与向量→
a 的夹角为4
3π
,且→a ·
→b =-2, (1)求向量→
b ;
(2)若)2
cos
2,(cos ,)0,1(2
C
A c t b t =⊥=→
→→→且,其中C A 、是△ABC 的内角,若三角形的三内角C B A 、、依次成等差数列,试求|→
b +→
c |的取值范围.
第3讲 平面向量的数量积及应用举例参考答案
1.±3 2.3 3.B 4.
D
考点一__平面向量数量积的运算______________
[答案](1)B
(2)22
1. (1)选A. (2)选A(3)选C 考点二
__
答案:(1)B(2)C(3)λ>2
考点三__向量数量积的综合应用______________
[解](1)由|a|2=(3sin x)2+sin2x=4sin2x,
|b|2=cos2x+sin2x=1,及|a|=|b|,得4sin2x=1.
又x∈[0,
π
2],从而sin x=
1
2
,所以x=
π
6.
(2)f(x)=a·b=3sin x·cos x+sin2x
=3
2sin 2x-
1
2cos 2x+
1
2
=sin(2x-
π
6)+
1
2
,
当x=
π
3
∈[0,
π
2]时,sin(2x-
π
6)取最大值1.
所以f(x)的最大值为3
2.
解:因为a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),
所以
??
?
??cos α+cos β=0,
sin α+sin β=1.
由此得,cos α=cos (π-β),由0<β<π,得0<π-β<π.
又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1,
得sin α=sin
β=1
2
,而α>β,所以α=5π
6
,β=π
6.
3. 解:(1)由m·n=-
3
5
,
得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-3
5
,
所以cos A=-3
5.