2016高三数学复习(人教A版)_第4章_第3讲_平面向量的数量积及应用举例教学案及课后作业(含答案)

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第3讲 平面向量的数量积及应用举例

2016高考导航

知识梳理

1.平面向量的数量积 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量|a ||b |cos_θ叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a·b .即a·b =|a ||b |cos_θ,规定0·a =0.

2.向量数量积的运算律 (1)a·b =b·a . (2)(λa )·b =λ(a·b )=a ·(λb ). (3)(a +b )·c =a·c +b·c .

3.平面向量数量积的有关结论

1.(2014·高考湖北卷)设向量a =(3,3),b =(1,-1).若(a +λb )⊥(a -λb ),则实数λ=________.

2.(2014·高考江西卷)已知单位向量e 1,e 2的夹角为α,且cos α=1

3

,若向量a =3e 1-2e 2,则|a

|=________.

要点整合

1.辨明三个易误点

(1)①0与实数0的区别:0a =0≠0,a +(-a )=0≠0,a ·0=0≠0;②0的方向是任意的,并非没有方向,0与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系.

(2)a·b =0不能推出a =0或b =0,因为a·b =0时,有可能a ⊥b . (3)a·b =a·c (a ≠0)不能推出b =c ,即消去律不成立. 2.有关向量夹角的两个结论

(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角,则有a·b >0,反之不成立(因为夹角为0时不成立); (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角,则有a·b <0,反之不成立(因为夹角为π时不成立). [做一做]

3.已知向量a ,b 和实数λ,则下列选项中错误的是( )

A .|a |=a ·a

B .|a ·b |=|a |·|b |

C .λ(a ·b )=λa ·b

D .|a ·b |≤|a

|·|b |

4.(2015·湖北武汉调研)已知向量a ,b 满足|a |=3,|b |=23,且a ⊥(a +b ),则a 与b 的夹角为( )

A .π2

B .2π3

C .3π4

D .5π6

典例剖析

考点一__平面向量数量积的运算______________

(1)(2015·沧州模拟)已知平面向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),若|a |=2,|b |=3,a·b =-6,则

x

1+y 1

x 2+y 2

的值为( )

A .23

B .-23

C .56

D .-56

(2)(2014·高考江苏卷) 如图,在平行四边形ABCD 中,已知AB =8,AD =5,CP →=3PD →,AP →·BP →

=2,则AB →·AD →

的值是________.

[规律方法] 向量数量积的两种运算方法:

(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b =|a ||b |cos 〈a ,b

〉.

(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a·b =x 1x 2+y 1y 2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解. 1.(1)(2013·高考湖北卷)已知点A (-1,1),B (1,2),C (-2,-1),D (3,4),则向量AB →在CD →

方向上的投影为( )

A .322

B .3152

C .-322

D .-3152

(2)(2015·贵阳市适应性考试)如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在

边CD 上,若AB →·AF →=2,则AE →·BF →

的值是( )

A . 2

B .2

C .0

D .1

(3)(2015·广东梅州模拟)已知向量OA →=(2,2),OB →=(4,1),在x 轴上存在一点P 使AP →·BP →

有最小值,则P 点的坐标是( )

A .(-3,0)

B .(2,0)

C .(3,0)

D .(4,0)

考点二__平面向量的夹角与模(高频考点)________

平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容,题型多为选择题、填空题,难度适中,属中档题. 高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下四个命题角度: (1)求两向量的夹角;(2)求向量的模;(3)两向量垂直;(4)求参数值或范围.

(1)(2014·高考重庆卷)已知向量a =(k ,3),b =(1,4),c =(2,1),且(2a -3b )⊥c ,则实数k

=( )

A .-92

B .0

C .3

D .152

(2)(2014·高考江西卷)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α,且cos α=13

,向量a =3e 1-2e 2与b =3e 1-

e 2的夹角为β,则cos β=________.

(3)已知点G 是△ABC 的重心,∠BAC =120°,AB →·CA →=2,则|AB →+AG →+AC →

| 的最小值为________. [规律方法] 1.利用数量积求解长度的处理方法: (1)|a |2=a 2=a ·a ;

(2)|a ±b |2=a 2

±2a ·b +b 2;

(3)若a =(x ,y ),则|a |=x 2+y 2. 2.求两个非零向量的夹角时要注意: (1)向量的数量积不满足结合律;

(2)数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明两个向量的夹角为直角;数量积小于0且两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角.

2.(1)(2015·忻州市高三第一次联考)已知向量a ·(a +2b )=0,|a |=2,|b |=2,则向量a ,b 的夹角为( )

A .π3

B .2π3

C .π6

D .5π6

(2)(2015·云南省昆明三中、玉溪一中统一考试)在△ABC 中,设AC →2-AB →2=2AM →·BC →

,那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的( )

A .垂心

B .内心

C .外心

D .重心

(3)(2015·北京海淀区期中考试)已知△ABC 是正三角形,若a =AC →-λAB →与向量AC →

的夹角大于90°,则实数λ的取值范围是________.

考点三__向量数量积的综合应用______________

(2013·高考辽宁卷)设向量a =(3sin x ,sin x ),b =(cos x ,sin x ),x ∈ [0,π

2

].

(1)若|a |=|b |,求x 的值; (2)设函数f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值.

若本例变为:已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<β<α<π,c =(0,1),若a +b

=c ,求α,β的值.

[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题:

(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.

3.(2015·广州海珠区高三入学摸底考试)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,

c ,向量m =(cos(A -B ),sin(A -B )),n =(cos B ,-sin B ),且m·n =-3

5

.

(1)求sin A 的值;

(2)若a =42,b =5,求角B 的大小及向量BA →在BC →

方向上的投影.

名师讲坛

交汇创新——平面向量与线性规划的交汇

(2013·高考安徽卷)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A ,B 满足|OA →|=|OB →

|=

OA →·OB →=2,则点集{P |OP →=λOA →+μOB →,|λ|+|μ|≤1,λ,μR ∈}所表示的区域的面积是( )

A .22

B .2 3

C .4 2

D .4 3

[名师点评] 由平面向量的模与数量积求解夹角考查了应用意识,由平面向量的分解考查了抽象概括能力和推理能力.

已知x ,y 满足?????y ≥x ,x +y ≤2,x ≥a ,

若OA →=(x ,1),OB →=(2,y ),且OA →·OB →

的最大值是最小值的8倍,

则实数a 的值是( )

A .1

B .13

C .14

D .1

8

知能训练

一、选择题

1.(2014·大纲全国卷)已知a ,b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a -b )·b =( ) A .-1 B .0 C .1 D .2

2.(2014·北京朝阳一模)已知AB →

和AC →

是平面内两个单位向量,它们的夹角为60°,则2AB →

-AC →

与CA →

的夹

角是( )

A .30°

B .60°

C .90°

D .120°

3.(2014·江西七校一联)已知a =(3,-2),b =(1,0),向量λa +b 与a -2b 垂直,则实数λ的值为( ) A .-16

B .16

C .-17

D .17

4.(2014·东北三省二模)已知△ABC 中,|BC →

|=10,AB →·AC →

=-16,D 为BC 边的中点,则|AD →

|等于( )

A .6

B .5

C .4

D .3

5.(2014·陕西宝鸡三模)已知平面向量a ,b 的夹角为120°,且a·b =-1,则|a -b |的最小值为( ) A . 6

B . 3

C . 2

D .1

6.(2014·浙江卷)设θ为两个非零向量a ,b 的夹角.已知对任意实数t ,|b +t a |的最小值为1.( ) A .若θ确定,则|a |唯一确定 B .若θ确定,则|b |唯一确定 C .若|a |确定,则θ唯一确定 D .若|b |确定,则θ唯一确定

7.(2014·益阳模拟)在△ABC 中,∠C =90°,且CA =CB =3,点M 满足BM →

=2MA →

,则CM →·CB →

等于( )

A .2

B .3

C .4

D .6

8.(2014·西宁模拟)已知向量a =(cos α,-2),b =(sin α,1),且a ∥b ,则2sin αcos α等于( ) A .3 B .-3 C .45 D .-4

5

9.(2014·邵阳模拟)已知a =(1,sin 2x ),b =(2,sin2x ),其中x ∈(0,π).若|a·b |=|a ||b |,则tan x 的值等于( )

A .1

B .-1

C . 3

D .22

10.(2014·南昌模拟)若|a |=2sin15°,|b |=4cos15°,a 与b 的夹角为30°,则a·b 的值是( ) A .

3

2

B . 3

C .2 3

D .12

11.函数y =tan ????

π4x -π2的部分图象如图所示,则(OA →

+OB →)·

AB →

=( )

A .4

B .6

C .1

D .2

12.(2014·安庆二模)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对应的三角形的边长,若4aBC →

+2bCA →

+3cAB →

=0,则cos B =( )

A .-1124

B .1124

C .2936

D .-2936

13.(2015·云南省第一次统一检测)设向量a =(-1,2),b =(m ,1),如果向量a +2b 与2a -b 平行,那

么a 与b 的数量积等于( )

A .-72

B .-12

C .32

D .52

14.在△ABC 中,AC →·AB →|AB →|=1,BC →·BA

→|BA →|

=2,则AB 边的长度为( )

A .1

B .3

C .5

D .9

15.已知向量a ,b ,满足|a |=3,|b |=23,且a ⊥(a +b ),则a 与b 的夹角为( )

A .π2

B .2π3

C .3π4

D .5π6

16.[2014·天津]已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E 、F 分别在边BC ,DC 上,BE =λBC ,DF =μDC .若AE →·AF →=1,CE →·CF →

=-23

,则λ+μ=( )

A .12

B .23

C .56

D .712

17.设x ,y R ∈,向量a =(x,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则a +b =( ) A .(3,3) B .(3,-1) C .(-1,3) D .???

?3,3

2 18.[2015·吉林一中调研]已知平面向量a ,b ,|a |=1,|b |=3,且|2a +b |=7,则向量a 与向量a +b 的夹角为( )

A .π2

B .π3

C .π

6

D . π

19.[2015·南京模拟]在△ABC 中,|AB →

|=5,|AC →

|=4,AB →·AC →

=10,则△ABC 的面积是( )

A .5

B .10

C .5 3

D .20

20.在边长为1的正方形ABCD 中,M 为BC 的中点,点E 在线段AB 上运动,则EC ·

EM

的取值范围是( )

A .????12,2

B .????0,32

C .???

?12,3

2 D .[]0,1 21.设A ,B ,C 是圆x 2+y 2=1上不同的三个点,且OA →·OB →=0,若存在实数λ,μ使得OC →=λOA →+μOB →,则实数λ,μ的关系为( )

A .λ2+μ2=1

B .1λ+1

μ

=1 C .λ·μ=1 D .λ+μ=1

22.(2014·郑州市质检)如图所示,点A 、B 、C 是圆O 上的点,线段OC 与线段AB 交于圆内一点P , 若OC →

=mOA →+2mOB →,AP →=λAB →

,则λ=( )

A .56

B .45

C .34

D .23

23.在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ⊥AB ,∠B =45°,AB =2CD =2,M 为腰BC 的中点,则MA →·MD →

=( )

A .1

B .2

C .3

D .4

24.(2014·东营模拟)设a ,b 是不共线的两个向量,其夹角是θ,若函数f (x )=(x a +b )·(a -x b )(x R ∈)在(0,+∞)上有最大值,则( )

A .|a |<|b |,且θ是钝角

B .|a |<|b |,且θ是锐角

C .|a |>|b |,且θ是钝角

D .|a |>|b |,且θ是锐角

25.(2014·山西大学附中二模)过抛物线x 2=2py 的焦点作直线l 交抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△AOB 为( )

A . 锐角三角形

B . 直角三角形

C . 钝角三角形

D .不确定

26.直线ax +by +c =0与圆x 2+y 2=9相交于两点M 、N ,若c 2=a 2+b 2,则OM →·ON →

(O 为坐标原点)等于( )

A .-7

B .-14

C .7

D .14

27.设F 1、F 2为椭圆x 24+y 2

=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点,当四边形

PF 1QF 2面积最大时,PF 1→·PF 2→

的值等于( )

A .0

B .2

C .4

D .-2

28.(2014·江南十校一模)已知向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(2cos θ,2sin θ),实数m ,n 满足m a +n b =c ,则(m -1)2+(n -1)2的最小值为( )

A .2-1

B .1

C .2

D .3-

2

2

29.(2013·安徽)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A ,B 满足|OA →|=|OB →|=OA →·OB →

=2,则点集{P |OP →=λOA →+μOB →

,|λ|+|μ|≤1,μR ∈}所表示的平面区域的面积是( )

A .22

B .23

C .42

D .4 3

30.已知平面向量22(sin ,cos )a x x = ,22

(sin ,cos )b x x =- ,R

是实数集,()cos f x a b x x =?+ .

如果0,x R x R ?∈?∈,0()()f x f x ≤,那么0()f x =( )

A .2

B

.1-

C

.1-D .2-

31.在ABC ?

中,2,2

AB BC A π

==∠=,如果不等式BA tBC AC -≥

恒成立,则实数t 的取值范围

是( )

A .[)1,+∞

B .1,12??????

C .[)

1,1,2

??-∞+∞ ??

?

D .(][),01,-∞+∞

32.已知a ,b ,c 分别为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,向量m =(2cos C -1,-2),n =(cos C ,cos C +1).若m ⊥n ,且a +b =10,则△ABC 周长的最小值为( )

A .10-5 3

B .10+5 3

C .10-2 3

D .10+2 3

33.已知,是单位向量,0=?b a .若向量c

1=--a ,

的最大值为( )

A

1

B

C

1+

D

2+

34.已知圆O 的半径为1,P A 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为两切点,那么PA ·

PB

的最小值为( ) A .-4+ 2 B .-3+ 2 C .-4+2 2

D .-3+2 2

35.已知|a |=2|b |≠0,且关于x 的函数f (x )=13x 3+1

2

|a |x 2+a·bx 在R 上有极值,则a 与b 的夹角范围为( )

A .????0,π6

B .????π6,π

C .????π3,π

D .????π3,2π

3

二、填空题

1.(2014·重庆卷)已知向量a 与b 的夹角为60°,且a =(-2,-6),|b |=10,则

a·b =__________.

2.(2014·四川卷)平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m R ∈),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =__________.

3.(2014·天津卷)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BC =3BE ,

DC =λDF .若AE →·AF →

=1,则λ的值为__________.

4.(2014·海口模拟)若向量a =????32,sin α,b =????cos α,1

3,且a ∥b ,则锐角α的大小是________. 5.(2014·东北三校一模)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若(3b -c )cos A =a cos C ,S △

ABC =

2,则BA →·AC →

=__________.

6.(2014·北京模拟)已知平面上一定点C (2,0)和直线l :x =8,P 为该平面上一动点,作PQ ⊥l ,垂足为Q ,且?

????PC →

+12PQ →·? ????PC →-12PQ →=0,则点P 到点C 的距离的最大值是__________.

7.(2015·山西省第三次四校联考)圆O 为△ABC 的外接圆,半径为2,若AB →+AC →=2AO →,且|OA →|=|AC →

|,则向量BA →在向量BC →

方向上的投影为________.

8.设集合D ={平面向量},定义在D 上的映射f 满足:对任意x ∈D ,均有f(x)=λx(λ∈R ,且λ≠0).若

|a |=|b |且a ,b 不共线,则[f (a )-f (b )]·(a +b )=________;若A (1,2),B (3,6),C (4,8),且f (BC →)=AB →

,则λ=________.

9.已知向量a =(2,-1),b =(λ,3),若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是________.

10.如下图,在平行四边形ABCD 中,AP ⊥BD ,垂足为P ,且AP =3,则AP →·AC →

________.

11.如图,半圆的直径AB =6,O 为圆心,C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点,若P 为半径OC 上的动点,则(P A →+PB →)·PC →

的最小值为________.

12.(2014·南京盐城二模)已知|OA →|=1,|OB →|=2,∠AOB =2π3,OC →=12OA →+14OB →,则OA →与OC →

的夹角大小

为________.

13.已知M 是△ABC 内的一点,且AB →·AC →

=23,∠BAC =30°,若△MBC 、△MCA 和△MAB 的面积分别为12、x 、y ,则1x +4

y

的最小值是________.

14.过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F (-c ,0)(c >0),作圆x 2+y 2=a 2

4

的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ,若OE →=12

(OF →+OP →

),则双曲线的离心率为________.

15.在平面直角坐标系xOy ,已知向量OA 与OB 关于y 轴对称,向量)0,1(=,则满足不等式

02

≤?+的点),(y x A 组成图形的面积为

16.如图,△ABC 的外接圆的圆心为O ,AB =2,AC =3,则AO ·

BC

等于________.

17.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为120o

. 如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB

上变动.

若,OC xOA yOB =+

其中,x y R ∈,则x y +的最大值是___2_____.

三、解答题

1.(2014·江苏南通高三期末测试)设向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),其中0<β<α<π. (1)若a ⊥b ,求|a +3b |的值;

(2)设向量c =(0,3),且a +b =c ,求α,β的值.

2.(2014·佛山质检)设向量a =(4cos α,sin α),b =(sin β,4cos β),c =(cos β,-4sin β). (1)若a 与b -2c 垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b +c |的最大值;

(3)若tan αtan β=16,求证:a ∥b .

3.(2014·广东揭阳一中摸底)已知向量a =(cos x ,sin x ),b =(-cos x ,cos x ),c =(-1,0). (1)若x =π

6

,求向量a ,c 的夹角;

(2)当x ∈????

π2,9π8时,求函数f (x )=2a·

b +1的最大值. 4.(2014·重庆模拟)已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,

c ,向量m =(a +c ,b -a ),n =(a -c ,b ),且m ⊥n .

(1)求角C 的大小.

(2)若向量s =(0,-1),t =?

???cos A ,2cos 2B

2,试求|s +t |的取值范围.

5.(2014·合肥模拟)如图,A ,B 是单位圆上的动点,C 是单位圆与x 轴的正半轴的交点,且∠AOB =π

6,

记∠COA =θ,θ∈(0,π),△AOC 的面积为S .

(1)若f (θ)=OB →·OC →

+2S ,试求f (θ)的最大值以及此时θ的值.

(2)当A 点坐标为???

?-35,4

5时,求|BC →

|2的值. 6.(2014·吉林模拟)已知点A (-1,0),B (1,0),动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB =2θ,|AM →

|·|BM →

|cos 2θ=3,

过点B 的直线交曲线C 于P ,Q 两点.

(1)求|AM →

|+|BM →

|的值,并写出曲线C 的方程; (2)设直线PQ 的倾斜角是π

4,试求△APQ 的面积.

7.已知|a |=4,|b |=8,a 与b 的夹角是120°. (1)计算:①|a +b |,②|4a -2b |; (2)当k 为何值时,(a +2b )⊥(k a -b )?

8.已知a =(1,2),b =(-2,n ),a 与b 的夹角是45°. (1)求b ;

(2)若c 与b 同向,且a 与c -a 垂直,求c .

9.[2015·徐州模拟]已知向量a =(4,5cos α),b =(3,-4tan α),α∈(0,π

2),a ⊥b ,求:

(1)|a +b |; (2)cos(α+π

4)的值.

10. (2013·衡水中学六模)在平面直角坐标系中,已知点A (12,0),向量e =(0,1),点B 为直线x =-1

2上

的动点,点C 满足2OC →=OA →+OB →,点M 满足BM →·e =0,CM →·AB →

=0.

(1)试求动点M 的轨迹E 的方程;

(2)设点P 是轨迹E 上的动点,点R 、N 在y 轴上,圆(x -1)2+y 2=1内切于△PRN ,求△PRN 的面积的最小值.

11.已知向量→

a =(2,2),向量→

b 与向量→

a 的夹角为4

,且→a ·

→b =-2, (1)求向量→

b ;

(2)若)2

cos

2,(cos ,)0,1(2

C

A c t b t =⊥=→

→→→且,其中C A 、是△ABC 的内角,若三角形的三内角C B A 、、依次成等差数列,试求|→

b +→

c |的取值范围.

第3讲 平面向量的数量积及应用举例参考答案

1.±3 2.3 3.B 4.

D

考点一__平面向量数量积的运算______________

[答案](1)B

(2)22

1. (1)选A. (2)选A(3)选C 考点二

__

答案:(1)B(2)C(3)λ>2

考点三__向量数量积的综合应用______________

[解](1)由|a|2=(3sin x)2+sin2x=4sin2x,

|b|2=cos2x+sin2x=1,及|a|=|b|,得4sin2x=1.

又x∈[0,

π

2],从而sin x=

1

2

,所以x=

π

6.

(2)f(x)=a·b=3sin x·cos x+sin2x

=3

2sin 2x-

1

2cos 2x+

1

2

=sin(2x-

π

6)+

1

2

当x=

π

3

∈[0,

π

2]时,sin(2x-

π

6)取最大值1.

所以f(x)的最大值为3

2.

解:因为a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),

所以

??

?

??cos α+cos β=0,

sin α+sin β=1.

由此得,cos α=cos (π-β),由0<β<π,得0<π-β<π.

又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1,

得sin α=sin

β=1

2

,而α>β,所以α=5π

6

,β=π

6.

3. 解:(1)由m·n=-

3

5

得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-3

5

所以cos A=-3

5.

因为0

-3

5

2

=4

5.

(2)由正弦定理,得

a

sin A

=b

sin B

,则sin B=b sin A

a

4

5

42

=2

2

,因为a>b,所以A>B,则B=π

4

,由余弦定

理得()

422=52+c2-2×5c×????

-3

5

,解得c=1.

故向量BA→在BC→方向上的投影为

|BA

|cos B=c

cos B=1×

2

2

=2

2.

名师讲坛

交汇创新——平面向量与线性规划的交汇

[答案]D

选D

知能训练

BCCDA BBDAB BA

二、填空题

1.10 2.2 3.2 4.

π

45.-1 6.6 7.3 8.0 2

9.(-∞,-6)∪????

-6,

3

210.18 11.-

9

212.

π

313.18 14.

10

2

三、解答题

1.解析:(1)因为a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),所以|a|=1,|b|=1.

因为a⊥b,所以a·b=0.于是|a+3b|2=a2+3b2+23a·b=4,故|a+3b|=2.

(2)因为a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,3),

所以

??

?

??cosα+cosβ=0,①

sinα+sinβ= 3.②

由①式得cosα=cos(π-β),由0<β<π,

得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.

代入②式,得sinα=sinβ=3

2.而0<β<α<π,所以α=

3

,β=π

3.

2.解析:(1)因为a与b-2c垂直,所以

a·(b-2c)=4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,

因此tan(α+β)=2.

(2)由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得

|b+c|=(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2=17-15sin2β≤4 2.

又当β=-π

4

时,等号成立,所以|b+c|的最大值为4 2.

(3)由tanαtanβ=16得

4cosα

sinβ

=sinα

4cosβ

,所以a∥b.

3.解析:(1)∵a =(cos x ,sin x ),c =(-1,0), ∴|a |=

cos 2x +sin 2x =1,|c |=

(-1)2+02=1.

当x =π6时,a =???cos π6,sin π6=????32,1

2, a·c =

32×(-1)+12×0=-32,cos 〈a ,c 〉=a·c

|a |·|c |=-32

. ∵0≤〈a ,c 〉≤π,∴〈a ,c 〉=5π6.

(2)f (x )=2a·b +1=2(-cos 2x +sin x cos x )+1

=2sin x cos x -(2cos 2x -1)=sin2x -cos2x =2sin ????2x -π

4. ∵x ∈????π2,9π8,∴2x -π4∈????3π4,2π,故sin ????2x -π4∈????-1,2

2, ∴当2x -π4=3π4,即x =π

2

时,f (x )max =1.

4.解析:(1)由题意得m·n =(a +c ,b -a )·(a -c ,b )=a 2-c 2+b 2-ab =0,即c 2=a 2+b 2-ab .由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =12.因为0<C <π,所以C =π

3

.

(2)因为s +t =???

?cos A ,2cos 2B

2-1=(cos A ,cos B ), 所以|s +t |2=cos 2A +cos 2B =cos 2A +cos 2????2π3-A =-1

2sin ????2A -π6+1. 因为0<A <2π3,所以-π6<2A -π6<7π6,所以-1

2<sin ????2A -π6≤1. 所以12≤|s +t |2<54,故22≤|s +t |<5

2

.

5.解析:(1)S =12

sin θ,OB →=????cos ????θ+π6,sin ????θ+π6,OC →

=(1,0). 则f (θ)=OB →·OC →

+2S =cos ????θ+π6+sin θ=sin ????θ+π3, 因为θ∈(0,π),故θ=π

6

时,f (θ)max =1.

(2)依题cos θ=-35,sin θ=45,在△BOC 中,∠BOC =θ+π

6

.

由余弦定理得:|BC →

|2=1+1-2×1×1×cos ????θ+π

6=2-3cos θ+sin θ=14+335

. 12.解析:(1)设M (x ,y ),在△MAB 中,|AB |=2,∠AMB =2θ,根据余弦定理得|AM →|2+|BM →|2-2|AM →|·|BM →

|cos2θ=4.

即(|AM →

|+|BM →

|)2-2|AM →

|·|BM →

|(1+cos2θ)=4. (|AM →

|+|BM →

|)2-4|AM →

|·|BM →

|cos 2θ=4.而|AM →

|·|BM →

|cos 2θ=3,

所以(|AM →

|+|BM →

|)2-4×3=4.所以|AM →

|+|BM →

|=4.又|AM →

|+|BM →

|=4>2=|AB →

|,

因此点M 的轨迹是以A ,B 为焦点的椭圆(点M 在x 轴上也符合题意),a =2,c =1.所以曲线C 的方程为x 24+y 2

3

=1. (2)由题意得直线PQ 的方程为:y =x -1.

设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),由?

????

y =x -1,

3x 2+4y 2=12得7x 2-8x -8=0,

所以x 1+x 2=87,x 1x 2=-87,y 1+y 2=x 1+x 2-2=-6

7,

y 1y 2=(x 1-1)(x 2-1)=x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-9

7,

因为A (-1,0),B (1,0),所以|AB |=2.

所以S △APQ =S △ABP +S △ABQ =12|AB ||y 1|+1

2|AB ||y 2|=|y 1-y 2|

(y 1+y 2)2-4y 1y 2=

3649+367=127 2.即△APQ 的面积是127

2. 7.解:由已知得,a·b =4×8×???

?-1

2=-16. (1)①∵|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2=16+2×(-16)+64=48,∴|a +b |=4 3. ②∵|4a -2b |2=16a 2-16a ·b +4b 2=16×16-16×(-16)+4×64=768. ∴|4a -2b |=16 3.

(2)∵(a +2b )⊥(k a -b ),∴(a +2b )·(k a -b )=0, k a 2+(2k -1)a ·b -2b 2=0,

即16k -16(2k -1)-2×64=0.∴k =-7.即k =-7时,a +2b 与k a -b 垂直. 8.解:(1)∵a ·b =2n -2,|a |=5,|b |=n 2+4,

∴cos 45°=

2n -2

5·n 2+4=2

2

,∴3n 2-16n -12=0(n >1). ∴n =6或n =-2

3

(舍去),∴b =(-2,6).

(2)由(1)知,a·b =10,|a |2=5.又∵c 与b 同向,故可设c =λb (λ>0).

∵(c -a )·a =0,∴λb·a -|a |2

=0,∴λ=|a |2b·a =510=12∴c =12b =(-1,3).

9.解:(1)因为a ⊥b ,所以a ·b =4×3+5cos α×(-4tan α)=0, 解得sin α=35.又因为α∈(0,π

2

),

所以cos α=45,tan α=sin αcos α=3

4,所以a =(4,4),b =(3,-3),所以a +b =(7,1),

因此|a +b |=

72+12=5 2.

(2)cos(α+π4)=cos αcos π4-sin αsin π4=45×22-35×22=2

10.

10.[解析] (1)设M (x ,y ),B (-12,m ),则BM →

=(x +12,y -m ),

∵2OC →=OA →+OB →=(1

2,0)+(-12,m )=(0,m ),∴C (0,m 2),

e =(0,1),CM →

=(x ,y -m 2

),AB →=(-1,m ),

由BM →·e =0,CM →·AB →

=0得?????

y =m ,x =m 22,消去m 得y 2=2x .所以动点M 的轨迹E 的方程为y 2=2x .

(2)设P (x 0,y 0),R (0,b ),N (0,c ),且b >c ,∴l PR :y =y 0-b

x 0x +b ,

即l PR :(y 0-b )x -x 0y +x 0b =0, 由直线PR 与圆相切得,

|y 0-b +x 0b |(y 0-b )2+x 20

=1,注意到x 0>2,化简得(x 0-2)b 2+2y 0b -x 0=0,

同理得(x 0-2)c 2+2y 0c -x 0=0,所以b ,c 是方程(x 0-2)x 2+2y 0x -x 0=0的两根, 所以|b -c |=

4y 20+4x 0(x 0-2)|x 0-2|=2x 0

x 0-2

有S △PRN =12·2x 0x 0-2·x 0=(x 0-2)+4

x 0-2

+4≥8,当x 0=4时△PRN 的面积的最小值为8.

平面向量的数量积与应用举例专题训练

平面向量的数量积与应用举例专题训练 A组基础题组 1.已知向量a=(2,1),b=(1,m),c=(2,4),且(2a-5b)⊥c,则实数m=( ) A.- B.- C. D. 2.已知向量a=(1,0),|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d方向上的投影为( ) A. B.- C.1 D.-1 3.向量a,b满足|a+b|=2|a|,且(a-b)·a=0,则a,b的夹角的余弦值为( ) A.0 B. C. D. 4.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记 I1=·,I2=·,I3=·,则( ) A.I1

10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. B组提升题组 1.已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是( ) A.[3,] B.[3,5] C.[3,4] D.[,5] 2.非零向量m,n的夹角为,且满足|n|=λ|m|(λ>0),向量组x1,x2,x3由一个m和两个n排列而成,向量组 y1,y2,y3由两个m和一个n排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3的所有可能值中的最小值为4|m|2,则λ = . 3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.

平面向量数量积练习题

平 面 向 量 数 量 积 练 习 题 一.选择题 1.下列各式中正确的是 ( ) (1)(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), (2)|a ·b |= | a |·| b |, (3)(a ·b )· c = a · (b ·c ), (4)(a +b ) · c = a ·c +b ·c A .(1)(3) B .(2)(4) C .(1)(4) D .以上都不对. 2.在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-= ,则ΔABC 为 ( ) A .正三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .无法确定 3. 已知|a |=6,|b |=3,a·b =-12,则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A .-4 B .4 C .-2 D .2 4.已知||=1,||=2,且(-)与垂直,则与的夹角为 ( ) A .60° B .30° C .135° D .45° 5.设||= 4,||= 3,夹角为60°,则|+|等于 ( ) A .37 B .13 C .37 D .13 6.设x ,y ∈R ,向量a =(x,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则|a +b |等于( ) A. 5 B.10 C .2 5 D .10 7. 已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c 等于( ) A.????79,73 B.????-73,-79 C.????73,79 D.????-79,-73 二.填空题 8.已知e 是单位向量,∥e 且18-=?e a ,则向量a =__________. 9.已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |=1,|2a -b |=10,则|b |=________. 10. 已知a =(2,-1),b =(λ,3),若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是__________. 三.解答题 11. (10分)已知a =(1,2),b =(-2,n ) (n >1),a 与b 的夹角是45°. (1)求b ; (2)若c 与b 同向,且a 与c -a 垂直,求c .

平面向量的数量积及运算律测试题

平面向量的数量积及运算律同步练习 一、选择题: 1. 若|a |=|b |=1,a ⊥b ,且2a +3b 与k a -4b 也互相垂直,则k 的值为( ) A.-6 B.6 C.3 D.-3 2.若AP 31 = PB ,AB λ=BP ,则λ的值为 ( ) A .41 B .43 C .34 D .3 4- 3.设a 和b 的长度均为6,夹角为 120?,则-|a b|等于 ( ) A .36 B .12 C .6 D .36 4.若| |=2sin15°,| |=4cos375°、 , 夹角为30°,则 · 为( ) A . 2 3 B .3 C .32 D .21 5.若|a |=|b |=|a -b |,则b 与a +b 的夹角为 ( ) A .30° B .60° C .150° D .120° 6.已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值,最小值分别( ) A .0,24 B .24,4 C .16,0 D .4,0 7.已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+ 3| = ( ) A .7 B .10 C .13 D .4 8.已知,,为非零的平面向量. 甲:则乙,:,=?=? ( ) A .甲是乙的充分条件但不是必要条件 B .甲是乙的必要条件但不是充分条件 C .甲是乙的充要条件 D .甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件 9.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b) ⊥a ,(b -2a ) ⊥b ,则a 与b 的夹角是( ) A .6π B .3π C .32π D .6 5π 10.若向量a 与b 的夹角为60,||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为( ) A .2 B .4 C .6 D .12 11.设)4 1,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθb a ,且,2 0,||π θ<

平面向量数量积运算专题附答案

. 平面向量数量积运算平面向量数量积的基本运算题型一DCBCEFABCDBAD,,=120°,点的边长为2,∠1 例(1)(2014·天津)已知菱形分别在边→→AFDFAEBCBEDC________. .若λ·上,的值为=3=,1=λ,则→→PBPAPAOPBAB) · (2)已知圆为切点,的半径为1,, 那么为该圆的两条切线,的最小值为,( 2 -43+2 +B.A.-2 3+2C.-4+D.22 -→→→→→OBOAOAABOA________. ·=|=1 变式训练(2015·湖北)已知向量3⊥,则,| 利用平面向量数量积求两向量夹角题型二 22babaababab与+(|,且2-(1)(2015·重庆例2 )若非零向量,则,)⊥(3满足||)=|3的夹 角为( ) ππ3πA. B. C. D.π424πabababab的夹角2-+与=|2,|,则|=32(2)若平面向量与平面向量,的夹角等于|3的余弦值等于( ) 1111A. B.- C. D.-262612121→→→→ABCOAOABACAB与)=(+,则上的三点,若2 变式训练(2014·课标全国Ⅰ)已知,,为圆2→AC的夹角为________. 教育资料. . 利用数量积求向量的模题型三 baababab等于+的夹角为|120°,则|=2,且例3 (1)已知平面向量|2和与,|||=1,) ( B.4 A.2 D.6 5 C.2ABCDADBCADCADBCPDC上的动点,则是腰=,∠1=90°,,=(2)已知直角梯形2中,,∥→→PAPB|的最小值为________. +3|1eeeebbe·.是平面单位向量,且若平面向量·满足变式训练3 (2015·浙江)已知,=beb|=,则=|·________. 112212 =12

平面向量数量积

第三节平面向量数量积及应用重点: 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 2.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 3.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 难点: 1.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 教学过程: 1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos__θ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a =0. (2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角. (1)数量积:a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2. (2)模:|a|=a·a=x21+y21.学-科网 (3)夹角:cos θ=a·b |a||b|= x1x2+y1y2 x21+y21·x22+y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0?x1x2+y1y2=0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2+y1y2|≤ x21+y21·x22+y22. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).

向量数量积专题(总)

平面向量的数量积 【知识点精讲】 一、平面向量的数量积 (1)已知两个非零向量a r 和b r ,记为OA a OB b ==u u u r r u u u r r ,,则)0(πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a r 与b r 的夹角,记作,a b <>r r ,并规定[],0,a b π<>∈r r 。如果a 与b 的夹角是2 π,就称a r 与b r 垂直,记为.a b ⊥r r (2)cos ,a b a b <>r r r r 叫做向量a r 与b r 的数量积(或内积),记作a b ?r r ,即b a ? cos ,a b a b <>r r r r . 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 两个非零向量a r 与b r 垂直的充要条件是0.a b ?=r r 两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是.a b a b ?=±r r r r 二、平面向量数量积的几何意义 数量积a b ?r r 等于a r 的长度a r 与b r 在a r 方向上的投影cos b θr 的乘积,即cos a b a b θ ?=r r r r (b r 在a r 方向上的投影为cos a b b a θ?=r r r r );a r 在b r 方向上的投影为 cos .a b a b θ?=r r r r 三、平面向量数量积的重要性质 性质1 cos .e a a e a θ?=?=r r r r r 性质2 0.a b a b ⊥??=r r r r 性质3 当a r 与b r 同向时,a b a b ?=r r r r ;当a r 与b r 反向时,a b a b ?=-r r r r ;22a a a a ?==r r r r 或 a =r 性质4 cos (00)a b a b a b θ?=≠≠r r r r r r r r 且 性质5 a b a b ?≤r r r r 注:利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题;利用性质3可以求向量长度;利用性质4可以求两向量夹角;利用性质5可解决不等式问题。 四、平面向量数量积满足的运算律 (1)a b b a ?=?r r r r (交换律);

(完整版)平面向量的数量积练习题.doc

平面向量的数量积 一.选择题 1. 已知 a ( 2,3), b ( 1, 1),则 a ?b 等于 ( ) A.1 B.-1 C.5 D.-5 r r r r r r r r 2.向量 a , b 满足 a 1, b 4, 且 a b 2 ,则 a 与 b 的夹角为( ) A . B . 4 C . D . 2 6 3 r r 60 0 r r ) 3.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 ,那么 a 3b ( A . 7 B . 10 C . 13 D . 4 4 .若平面向量 与向量 的夹角是 ,且 ,则 ( ) A . B . C . D . 5. 下面 4 个有关向量的数量积的关系式① 0 ?0 =0 ②( a ?b ) ?c = a ?( b ? c ) ③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | ≦ a ?b ⑤ | a ?b | | a | ?| b | 其中正确的是( ) A . ① ② B 。 ① ③ C 。③ ④ D 。③ ⑤ 6. 已知 | a |=8 , e 为单位向量,当它们的夹角为 时, a 在 e 方向上的投影为( ) 3 A . 4 3B.4 C.4 2 3 D.8+ 2 7. 设 a 、 b 是夹角为 的单位向量,则 2a b 和 3a 2b 的夹角为( ) A . B . C . D . 8. 已知 a =(2,3) , b =( 4 ,7) , 则 a 在 b 上的投影值为( ) A 、 13 B 、 13 C 、 65 D 、 65 5 5 9. 已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b 与 a 3b 垂直时 k 值为 ( ) A 、 17 B 、 18 C 、 19 D 、 20

专题二 培优点9 平面向量数量积的最值问题

培优点9 平面向量数量积的最值问题 平面向量部分,数量积是最重要的概念,求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义,从不同角度对数量积进行转化. 例 (1)已知AB →⊥AC →,|AB →|=1t ,|AC →|=t ,若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP →=AB →|AB →|+4AC → |AC →|,则PB →·PC → 的最大值等于( ) A .13 B .15 C .19 D .21 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则B ????1t ,0,C (0,t ),AB →=????1t ,0,AC →=(0,t ), AP →=AB →|AB →|+4AC →| AC →|=t ????1t ,0+4t (0,t )=(1,4),∴P (1,4), PB →·PC →=????1t -1,-4· (-1,t -4) =17-????1t +4t ≤17-21t ·4t =13, 当且仅当t =12 时等号成立. ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图,已知P 是半径为2,圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点,若AB →=2BC →,则PC →·P A →的最小值为________. 答案 5-213 解析 以圆心为坐标原点,平行于AB 的直径所在直线为x 轴,AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系(图略),则A (-1,3),C (2,3),

设P (2cos θ,2sin θ)????π3≤θ≤2π3, 则PC →·P A →=(2-2cos θ,3-2sin θ)·(-1-2cos θ,3-2sin θ)=5-2cos θ-43sin θ=5-213sin(θ+φ), 其中0

平面向量数量积及运算基础练习题

精品 平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题: 1、下列各式中正确的是 ( ) (1)(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), (2)|a ·b|= | a |·| b |, (3)(a ·b)· c= a · (b ·c), (4)(a+b) · c = a ·c+b ·c A .(1)(3) B .(2)(4) C .(1)(4) D .以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=,则ΔABC 为 ( ) A .正三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .无法确定 3、若| a |=| b |=| a -b |, 则b 与a+b 的夹角为 ( ) A .30° B .60° C .150° D .120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a -b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为 ( ) A .60° B .30° C .135° D .45° 5、若2AB BC AB 0?+=,则ΔABC 为 ( ) A .直角三角形 B .钝角三角形 C .锐角三角形 D .等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 ( ) A .37 B .13 C .37 D .13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa -b ,若c ⊥d,则实数λ的值为( ) A . 74 B .75 C .47 D .5 7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是 ( ) ① (a ·b)·c -(c ·a)·b=0 ② | a | -| b |< | a -b | ③ (b ·c)·a -(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a -2b)= 9| a | 2-4| b | 2 A .①② B .②③ C .③④ D .②④ 9.(陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???且12AB AC AB AC ?=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文)点O 是ABC △所在平面内的一点,满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?,则点O 是ABC △的 .A 三个内角的角平分线的交点 .B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11.已知向量a =(x +z,3),b =(2,y -z ),且a ⊥b ,若x ,y 满足不等式|x |+|y |≤1,则z 的取值范围为( ). A .[-2,2] B .[-2,3] C .[-3,2] D .[-3,3]

专题03 “三法”解决平面向量数量积问题(第二篇)-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析

一.方法综述 平面向量的数量积是高考考查的重点、热点,往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体,借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题;也易同三角函数、解析几何等知识相结合,以工具的形式出现.由于命题方式灵活多样,试题内容活泼、新颖,因此,在高考试卷中备受青睐,是一个稳定的高频考点.解决这类问题有三种基本方法:投影法、基底法和坐标法.“三法”的准确定位应是并举!即不应人为地、凭主观划分它们的优劣,而应具体问题具体分析. 本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧. 二.解题策略 类型一投影定义法 【例1】【2018届河南省中原名校高三上第一次考评】已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点,则·(+)=_________. 【答案】6 【解析】设BC的中点为D,则AD⊥BC, 【指点迷津】

1、数量积与投影的关系(数量积的几何定义): 向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ?=,可变形为()cos a b a b θ?=?或() cos a b b a θ?=?,进而与向量投影找到联系 (1)数量积的投影定义:向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影,即a b a b b λ→?=?(记a b λ→为a 在b 上的投影) (2)投影的计算公式:由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解: a b a b b λ→?= 即数量积除以被投影向量的模长 2、数量积投影定义的适用范围:作为数量积的几何定义,通常适用于处理几何图形中的向量问题 (1)图形中出现与所求数量积相关的垂直条件,尤其是垂足确定的情况下(此时便于确定投影),例如:直角三角形,菱形对角线,三角形的外心(外心到三边投影为三边中点)学科&网 (2)从模长角度出发,在求数量积的范围中,如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值,则可以考虑利用投影,从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 【举一反三】 已知圆M 为直角三角形ABC 的外接圆,OB 是斜边AC 上的高,且6,22AC OB ==,AO OC <,点P 为线段OA 的中点,若DE 是 M 中绕圆心M 运动的一条直径,则PD PE ?=_________ M C A O B P D E Q 【答案】-5 【解析】思路:本题的难点在于DE 是一条运动的直径,所以很难直接用定义求解.考虑到DE 为直径,所以延长EP 交圆M 于Q ,即可得DQ QE ⊥,则PD 在PE 上的投影向量为PQ .所求 PD PE PE PQ ?=-?,而由PE PQ ?联想到相交弦定理,从而PE PQ AP PC ?=?.考虑与已知条 件联系求出直径AC 上的各段线段长度.由射影定理可得:2 8AO CO OB ?==,且

(完整版)平面向量的数量积练习题(含答案)

平面向量的数量积 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分,共20分) 1. (2012·辽宁)已知向量a =(1,-1),b =(2,x ),若a ·b =1,则x 等于 ( ) A .-1 B .-12 C.12 D .1 2. (2012·重庆)设x ,y ∈R ,向量a =(x,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则|a +b |等于( ) A. 5 B.10 C .2 5 D .10 3. 已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c 等于( ) A.? ????79,73 B.? ????-73,-79 C.? ????73,79 D.? ?? ??-79,-73 4. 在△ABC 中,AB =3,AC =2,BC =10,则AB →·AC →等于 ( ) A .-32 B .-23 C.23 D.32 二、填空题(每小题5分,共15分) 5.已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |=1,|2a -b |=10,则|b |=________. 6.在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB →·AC →=________. 7. 已知a =(2,-1),b =(λ,3),若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是__________. 三、解答题(共22分) 8. (10分)已知a =(1,2),b =(-2,n ) (n >1),a 与b 的夹角是45°. (1)求b ; (2)若c 与b 同向,且a 与c -a 垂直,求c . 9. (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1、e 2的夹角为60°,若向量2t e 1+7e 2与 向量e 1+t e 2的夹角为钝角,求实数t 的取值范围.

平面向量的数量积运算

考点71 平面向量的数量积运算 1.(13天津T12)在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ?∠=, E 为CD 的中点. 若1AC BE = , 则AB 的长为 . 【测量目标】向量的线性运算,平面向量的数量积运算. 【难易程度】简单 【参考答案】 12 【试题解析】用,AB AD 表示AC 与BE ,然后进行向量的数量积运算. 由已知得AC =AD AB + ,12 BE BC CE AD AB =+=- , ∴AC BE =221122 AD AB AD AB AD AB -+- 211122AB AD AB =+- 2111cos 60122AB AD AB ? =+-= ,(步骤1) ∴1 2 AB = .(步骤2) jxq59 2.(13新课标Ⅰ T13)已知两个单位向量,a b 的夹角为60 ,c =t a +(1-t )b 若b c =0,则t =__________. 【测量目标】平面向量的数量积. 【难易程度】容易 【参考答案】2t = 【试题解析】∵c =t a +(1-t )b ,∴b c =t a b +(1-t )|b |2.(步骤1) 又∵|a |=|b |=1,且a 与b 夹角为60 ,b ⊥c ,∴0=t |a | |b |cos 60 +(1-t ), 0= 1 2 t +1-t .∴t =2.(步骤2) 3.(13江西T12)设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为π 3 ,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________. 【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】 52

平面向量的数量积及其应用

06—平面向量的数量积及其应用 突破点(一) 平面向量的数量积 1.向量的夹角;2平面向量数量积的运算 1.第一步,根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标,求解过程要注意方程思想的应用; 第二步,根据数量积的坐标公式进行运算即可. 2.根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算. (2)根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量,然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解. [典例] (1)设向量a =(-1,2),b =(m,1),如果向量a +2b 与2a -b 平行,那么a 与b 的数量积等于( ) A .-72 B .-12 (2)在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE =23BC ,DF =16 DC ,则AE ·AF 的值为________. [解析] (1)a +2b =(-1,2)+2(m,1)=(-1+2m,4),2a -b =2(-1,2)-(m,1)=(-2-m,3),由题 意得3(-1+2m )-4(-2-m )=0,则m =-12,所以b =? ????-12,1,所以a ·b =-1×? ?? ??-12+2×1=52. (2)取BA ,BC 为一组基底,则AE =BE -BA =23 BC -BA ,AF =AB +BC +CF =-BA +BC +512BA =-712BA +BC ,∴AE ·AF =? ????23 BC -BA ·? ????-712 BA +BC =712 |BA |2-2518BA ·BC +23|BC |2=712×4-2518×2×1×12+23=2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.(2)两向量a ,b 的数量积a ·b 与代数中a ,b 的乘积写法不同,不能漏掉其中的“·”. 突破点(二) 平面向量数量积的应用 的关系 平面向量的垂直问题 1.第一,计算出这两个向量的坐标; 第二,根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可. 2.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数. [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB =2a ,AC =2a +b ,则下列结论正确的是( ) A .|b |=1 B .a ⊥b C .a ·b =1 D .(4a +b )⊥BC (2)已知向量a =(k,3),b =(1,4),c =(2,1),且(2a -3b )⊥c ,则实数k =( ) A .-92 B .0 C .3 [解析] (1)在△ABC 中,由BC =AC -AB =2a +b -2a =b ,得|b |=2,A 错误.又AB =2a 且|AB |=2,所以|a |=1,所以a ·b =|a ||b |cos 120°=-1,B ,C 错误.所以(4a +b )·BC =(4a +b )·b =4a ·b +|b |2 =4×(-1)+4=0,所以(4a +b )⊥BC ,D 正确,故选D. (2)∵(2a -3b )⊥c ,∴(2a -3b )·c =0.∵a =(k,3),b =(1,4),c =(2,1),∴2a -3b =(2k -3,- 6).

平面向量数量积运算专题(附标准答案)

平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BC =3BE ,DC =λDF .若AE →·AF →=1,则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1,P A ,PB 为该圆的两条切线,A ,B 为切点,那么P A →·PB →的最小值为( ) A.-4+ 2 B.-3+ 2 C.-4+2 2 D.-3+2 2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →,|OA →|=3,则OA →·OB →=________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ,b 满足|a |=22 3 |b |,且(a -b )⊥(3a +2b ),则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3,|a |=2,|b |=3,则2a -b 与a +2b 的夹角的余弦 值等于( )

A.126 B.-126 C.112 D.-1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若AO →=12(AB →+AC →),则AB → 与 AC → 的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ,|a |=1,|b |=2,且a 与b 的夹角为120°,则|2a +b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ADC =90°,AD =2,BC =1,P 是腰DC 上的动点,则|P A →+3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2=1 2.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2 =1,则|b |=________.

平面向量的数量积导学案

平面向量的数量积导学案 监利县长江高中 祝磊 考纲要求:掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂 直问题,掌握向量垂直的条件. 高考预测:(1)客观题---- 考查数量积的定义、性质及运算律,难度较低. (2)主观题---以平面向量的数量积为工具,考查其综合应用,多与函数、三角函数、不等 式联系,难度中等. 教学目标: (i)知识目标: (1)掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用. (ii)能力目标: (1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算. 教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义. 2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算. 教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教 具:多媒体. 教材教法分析: 本节课是高三第一轮平面向量数量积复习课,重点掌握平面向量数量积及几何意义.用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.渗透化归思想以及数形结合思想. 教学过程: 一、追溯 1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积,记作a ?b ,即a ?b = |a ||b |cos θ,(0)θπ≤≤并规定0 与任何向量的 数量积为0 2.平面向量的数量积的几何意义:数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积. 3.两个向量的数量积的性质 设a 、 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量 1?e ?a = a ?e =|a |cos θ; 2?a ⊥b ? a ?b = 0 3?当a 与b 同向时,a ?b = |a ||b |;当a 与b 反向时,a ?b = -|a ||b |,特别地a ?a = |a |2 4?cos θ =| |||b a b a ? ; 5?|a ?b | ≤ |a ||b | 4.平面向量数量积的运算律 ① 交换律:a ? b = b ? a ② 数乘结合律:(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb )

平面向量数量积练习题

平面向量数量积练习题 .选择题 1?下列各式中正确的是 ( ) (1)(入a) b=X a ()=a - b), (2) |a b |= | a | | -b |, (3) (a b) c= a (b c), (4) (a+b) c = a c+b c A ? (1) (3) B ? (2) (4) C . (1) (4) D ?以上都不对? LUU/ UUV LUU/ UUU 2. 在 A ABC 中若(CA CB)?(CA CB) 0,则 A ABC 为 ( ) A ?正三角形 B ?直角三角形 C ?等腰三角形 D ?无法确定 3. 已知|a|= 6, |b|= 3, a b =- 12,则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A . - 4 B . 4 C .- 2 D . 2 4. 已知|a |=1,|b |= 2, 且(a — b )与a 垂直,则a 与b 的夹角为 ( ) A . 60° B . 30° C . 135° D . 45° 5. 设 4, |b |= 3,夹角为 60°,则 |a + b | 等于( ) A . 37 B . 13 C . .37 D . .13 6 .设 x , y € R ,向量 a = (x,1), b = (1, y), c = (2, — 4),且 a 丄c , b // c ,则 |a + b|等于( ) A. .5 B. .10 C . 2 , 5 D . 10 7. 已知向量 a = (1,2), b = (2, — 3).若向量 c 满足(c + a) / b , c ± (a + b),贝U c 等于( ) 7 二.填空题 8.已知e 是单位向量,a // e 且a e 18,则向量a = _____________ 9 .已知向量 a , b 夹角为 45 °,且 |a|= 1, |2a — ,贝U |b|= _____ . 10. ____________________________________________________________________________ 已知a = (2, — 1), b =(入3),若a 与b 的夹角为钝角,贝U 入的取值范围是 ______________________ 三.解答题 11. (10 分)已知 a = (1,2), b = (— 2, n) (n>1), a 与 b 的夹角是 45 ° (1) 求 b ; 7 一 9 - D 7 一 9 7 一 3 G 7 一 9 - 7 一 3? - B

平面向量数量积运算的解题方法与策略

平面向量数量积运算的解题方法与策略 平面向量数量积运算一直是高考热点内容,它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法 上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键,同时平面向量数 量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举 数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。 1.利用数量积运算公式求解 在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛, 即(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2,(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2 上述两公式以及(a +b )(a -b )=a 2-b 2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中 可以直接应用. 例1 已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,求|a +b |,|a -b |. 解析:∵|a +b |2=(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=22+2×(-3)+52=23 ∴|a +b |=23,∵(|a -b |)2=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=22-2×(-3) ×52=35, ∴|a -b |=35. 例2 已知|a |=8,|b |=10,|a +b |=16,求a 与b 的夹角θ(精确到1°). 解析:∵(|a +b |)2=(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2|a |·|b |co sθ+|b | 2 ∴162=82+2×8×10cosθ+102, ∴cosθ=40 23,∴θ≈55° 例3 已知a =(3,4),b =(4,3),求x ,y 的值使(xa +yb )⊥a ,且|xa +yb |=1. 分析:这里两个条件互相制约,注意体现方程组思想. 解:由a =(3,4),b =(4,3),有xa +yb =(3x +4y ,4x +3y ) 又(xa +yb )⊥a ?(xa +yb )·a =0?3(3x +4y )+4(4x +3y )=0 即25x +24y =0 ① 又|xa +yb |=1?|xa +yb |2=1?(3x +4y )2+(4x +3y )2=1 整理得:25x 2+48xy +25y 2=1即x (25x +24y )+24xy +25y 2=1 ② 由①②有24xy +25y 2=1 ③ 将①变形代入③可得:y =±7 5 再代回①得:??? ????=-=???????-==75 3524753524y x y x 和

平面向量的数量积习题(精品绝对好)

平面向量的数量积(20131119)作业 姓名 成绩 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分,共20分) 1. (2012·辽宁)已知向量a =(1,-1),b =(2,x ),若a ·b =1,则x 等于 ( ) A .-1 B .-1 2 C.12 D .1 2. (2012·重庆)设x ,y ∈R ,向量a =(x,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则|a +b |等于( ) A. 5 B.10 C .2 5 D .10 3. 已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c 等于( ) A.???? 79,73 B.????-73,-79 C.????73,79 D.????-79 ,-7 3 4. 在△ABC 中,AB =3,AC =2,BC =10,则AB →·AC → 等于 ( ) A .-3 2 B .-23 C.23 D.3 2 二、填空题(每小题5分,共15分) 5.已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |=1,|2a -b |=10,则|b |=________. 6.在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB →·AC →=________. 7. 已知a =(2,-1),b =(λ,3),若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是__________. 三、解答题(共22分) 8. (10分)已知a =(1,2),b =(-2,n ) (n >1),a 与b 的夹角是45°. (1)求b ; (2)若c 与b 同向,且a 与c -a 垂直,求c . 9. (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1、e 2的夹角为60°,若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的 夹角为钝角,求实数t 的取值范围.