湖南省对口高考数学知识点整理

高中重要知识点整理

一．集合

1．集合的概念：

（1）集合中元素特征: ，，；

（2）集合的表示法：

①，②，③

（3）数学中一些常用的数集及表示方法：

实数集；有理数集；整数集；自然数集；正整数集．2．两类关系：

（1）元素与集合的关系，用或表示；

（2）集合与集合的关系，用，，表示，

3．空集?的特殊性：

4．集合的运算：A∩B，A∪B，C U A

二．简易逻辑

1.复合命题的真假：

2．四种命题及其关系：

①四种命题的形式：

原命题：逆命题：否命题：逆否命题:

②四种命题的关系：

3.若q p ?，则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件； 若q p ?，则p 叫做q 的 条件，简称为 条件. 如果q p ?且 p q

?，我们称p 为q 的 条件， 如果p q ?且 q p ?，则我们称p 为q 的 条件.

4． 同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法： 命题 全称命题?x ∈M ，p （x ） 特称命题?x ∈M ，p （x ） 表述 方法

①所有的x ∈M ，使p （x ）成立 ①存在x ∈M ，使p （x ）成立 ②对一切x ∈M ，使p （x ）成立 ②至少有一个x ∈M ，使p （x ）成立 ③对每一个x ∈M ，使p （x ）成立 ③对有些x ∈M ，使p （x ）成立 ④任给一个x ∈M ，使p （x ）成立 ④对某个x ∈M ，使p （x ）成立 ⑤若x ∈M ，则p （x ）成立

⑤有一个x ∈M ，使p （x ）成立

5．常见词语的否定如下表所示： 6．含一个量词的命题的否定：

全称命题p ：)(,x p M x ∈?，它的否定p ?： 特称命题p ：)(,x p M x ∈?，它的否定p ?：

三．函数

1．映射：设A 、B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中 元素x ，在集合B 中都有 的元素y 与之对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作 .

2．象与原象：如果f :A →B 是一个从A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做象， 叫做原象。3.函数的概念

（1）定义：设A 、B 是 ，如果按某一确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 与之对应，则称f :A →B 是从集合A 到集合B 的一个函数，记作 ，其中x 叫做 ，x 的取值范围叫

做 ；与x 值对应的y 叫做 ，函数值的集合 做 ．

（2）函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分

别相同时，二者才能称为同一函数。

（3）函数的表示法有 、 、 。（4）求函数定义域的方法：

①如果)(x f 是整式或奇次根式，则 ； ②如果)(x f 是分式，则 ； ③如果)(x f 是偶次根式，则 ； ④如果)(x f 是对数式，则 ； 4.函数的奇偶性

（1）定义：偶函数：如果对于函数)(x f 的定义域内 ，都有 ，那么函数叫做偶函数．

奇函数：如果对于函数)(x f 的定义域内 ，都有 ，那么函数叫做奇函数． （2）图象特征：

奇函数的图象关于 对称；偶函数的图象关于 对称． （3）奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则=)0(f

（4）函数)(x f 、)(x g 在相同定义域上同奇时，)()(x g x f +为

函数)(x f 、)(x g 在相同定义域上同偶时，)()(x g x f +为 函数)(x f 、)(x g 在相同定义域上同奇同偶时，)()(x g x f ?为 函数)(x f 、)(x g 在相同定义域上一奇一偶时，)()(x g x f ?为 5.函数的单调性：

（1）定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ：

①如果对于 ，当21x x <时，都有 ，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数．

②如果对于 ，当21x x <时，都有 ，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数． （2）利用导数：

设函数)(x f 在定义域内可导，若 ，则)(x f 为增函数；若 ，则)(x f 为减函数；若 ，则)(x f 为常数函数． (3)复合函数的单调性：

(4)和、差函数单调性的判别（在相同区间上）

， ， ， (5)奇函数、偶函数在两个对称区间上的单调性

奇函数在其对称区间上具有 的单调性； 偶函数在其对称区间上具有 的单调性； 6.周期性：（1）)()1(x f x f =+ 结论

（2）)()1(x f x f -=+ 结论

（3）)

(1

)1(x f x f -

=+ 结论 （4）)1()1(-=+x f x f 结论

7。常见函数 一次函数：

二次函数：

指数函数：

反比例函数：

对数函数：

幂函数：

8.指数： (1) 规定：

① a 0＝ (a ≠0)； ② a -p ＝ ； ③ (0,m

n m n

a a a m => . (2) 运算性质：

① a a a a s

r s r ,0(>=?+ (a>0, r 、∈s Q ) ② a a a s r s r ,0()(>=? (a>0, r 、∈s Q ) ③ >>?=?r b a b a b a r

r r ,0,0()( (a>0, r

、∈s Q ) 注：上述性质对r 、∈s R 均适用.

9.对数： (1) 基本性质：

① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ． (2) 运算性质：

① log a (MN)＝___________________________； ② log a N

M ＝____________________________；

③ log a M n

＝ (n ∈R).

④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)

⑤ log m n

a a n

b b m = .

10.函数零点的判断：

如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是 的一条曲线，并且有 。那么，函数)(x f y =在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程0)(=x f 的根。

11.常见函数的导数： 四．三角

1.特殊角的度与弧度间的相互转化

2．弧长公式：l＝；

扇形面积公式：S＝

3.任意角的三角函数

设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r （r= ）．那么sinα= cosα= tanα=

4．特殊角的三角函数值：

5.同角三角函数的基本关系式

①平方关系；②商数关系．

6.诱导公式

7.两角和与差的三角函数公式

二倍角公式

降次公式（降次扩角） 升幂公式（升幂缩角） 8.正弦定理 ①

=A

a

sin = = ②A R a sin 2=， ， ③=c b a :: = = 9.余弦定理

①A bc c b a cos 22

2

2

?-+= ②bc

a c

b A 2cos 2

22-+=

10.面积公式：

==?=

?absinC 2

1

21高底ABC S =

11.三角函数的图象和性质

五．向量之间的关系

（1）相等向量：

（2）相反向量：

（3）两个向量平行（共线）的充要条件

①定义

②充要条件

字母表示（向量式）

坐标表示

③),(A 11y x ，),(B 22y x ,),(C 33y x 三点共线，则 。 （4）两个非零向量的夹角（?≤≤?1800θ）

①当?=0θ时，a 与b ；当?=180θ时，a 与b

当?=90θ时，a 与b

②夹角公式： （5）两个非零向量垂直的充要条件

①字母表式（向量式）：b a

⊥?

②坐标表示：),(11y x a =

，),(22y x b = ，则b a ⊥?

（6）平面向量基本定理：

如果1e 、2e

是 的两个 向量，那么对于这一平面内的 向

量a ，有 一对实数1λ、2λ使 （1e 、2e

是一组 ）

设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，

＝2212e y e x +，则与共线的充要条件是 ． 六．数列

1.前n 项和S n 与通项a n 的关系为：

=n a ??

???

≥==2

1n n a n

2.等差数列：

（1）等差数列的定义： － ＝d （d 为常数）．（2）等差数列的通项公式：① a n ＝a 1＋ ×d

② a n ＝a m ＋ ×d

（3）等差数列的前n 项和公式：

S n ＝ ＝ ．

（4）等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 与c 的等差中项，即b ＝ ．

（5）数列{a n }是等差数列的两个充要条件是：

①数列{a n }的通项公式可写成a n ＝pn ＋q(p, q ∈R)

②数列{a n }的前n 项和公式可写成S n ＝an 2＋bn (a, b ∈R)（6）等差数列{a n }的两个重要性质：

①m, n, p, q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ．

② 数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列．3.等比数列

（1）等比数列的定义：

)

(

)

(＝q （q 为不等于零的常数）． （2）等比数列的通项公式：

①a n ＝ ②a n ＝

（3）等比数列的前n 项和公式： S n ＝ ????

?

=≠)

1()

1(q q

（4）等比中项：如果a ，b ，c 成等比数列，那么b 叫做a 与c 的等比中项，即b 2＝ （或b ＝ ）．

（5）等比数列{a n }的几个重要性质：

①m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ．

②S n 是等比数列{a n }的前n 项和且S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列． 4.数列求和

①裂项相消法：把一个数列的通项裂成两项，通过项与项相消求和．

②错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 七．不等式

1．实数的大小比较法则：

设a ，b ∈R ，则a>b ? ；a ＝b ? ；a

实数的大小比较法则，它是比较两个实数大小的依据，要比较两个实数的大小，只要考察

它们的就可以了.

实数的大小比较法则与实数运算的符号法则一起构成了证明其它不等式性质的基础.

2．不等式的基本性质。

（1）反身性：

（2）传递性：

（3）对一个不等式施加运算：

①同加原理：

②同乘原理：

③乘方原理：

④开方原理：

（4）对两个不等式施加运算：

①同向相加原理：

②同向相乘原理：

（5）倒数原理：

八．算术平均数与几何平均数

1．a>0，b>0时，称为a，b的算术平均数；称为a，b的几何平均数．2．如果a、b∈R，那么a2＋b22ab（当且仅当时取“＝”号）对于任意正实数a,b，都有a+b 2ab，当且仅当时，等号成立。

对于任意正实数a,b当且仅当时，等号成立。

对于任意正实数a,b，都有ab

4)

(2

b

a+

，当且仅当时，等号成立。九．复数的有关概念

1．复数：形如)

,

(R

b

a∈的数叫做复数，其中 a , b分别叫它的和．

i的周期性：i4n+1= ，i4n+2= ，i4n+3= ，i4n=

2．分类：设复数 (,)

z a bi a b R

=+∈：

(1) 当时，z为实数；

(2) 当时，z为虚数；

特别的：当且时，z为纯虚数.

3．复数相等：如果两个复数相等且相等就说这两个复数相等.

4．共轭复数：当两个复数实部 ，虚部 时．这两个复数互为共轭复数，记为 ．虚部不等于零的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

5．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做 ， 叫虚轴．

6．复数z ＝a ＋bi(a, b ∈R)与复平面上的点 建立了一一对应的关系．向量OZ 的模r （O ，Z 两点间的距离）叫做复数z a bi =+的模，记作z =22b a bi a +=

+

7．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就 比较它们的大小。十．推理与证明

（一）合情推理与演绎推理1. 推理一般包括合情推理和演绎推理；

2.合情推理包括 和 ；

归纳推理：从个别事实中推演出 ，这样的推理通常称为归纳推理； 归纳推理的思维过程是： 、 、 .

类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也 或 ，这样的推理称为类比推理，

类比推理的思维过程是： 、 、 .

3.演绎推理：演绎推理是 ，按照严格的逻辑法则得到的 推理过程，三段论是演绎推理的一般模式。三段论常用格式为：①M 是P ，② ，③S 是P ；其中①是 ，它提供了一个一般性原理；②是 ，它指出了一个特殊对象；③是 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.（二）直接证明与间接证明

1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种基本方法——分析法和综合法

⑴ 综合法 —— ；⑵分析法 —— ；

2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证法即从 开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）.

3.用数学归纳法证明数学问题的步骤：

十一.立体几何

（一）平面的基本性质

公理1 如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内(证明直线在平面内的依据)．

公理2过不在的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．

推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．

推论2经过两条直线，有且只有一个平面．

推论3 经过两条直线，有且只有一个平面．

公理3如果两个不重合的平面有个公共点，那么它们有且只有

（二）线线、线面、面面平行的判定及性质

1、线线平行的判定：

2、线面平行的判定：

3、面面平行的判定：

（三）线线、线面、面面垂直的判定及性质。

1、线线垂直的判定：

2、线面垂直的判定：

3、面面垂直的判定

（四）空间角、点到平面的距离

1、异面直线所成的角：

2、直线与平面所成的角：

3、平面与平面所成的角（二面角）

4、点到平面的距离：

十二。解析几何

（一）直线

1.直线的斜率与直线的方程

（1）倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按

旋转到和直线重合时所转的叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．

斜率：当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．

（2）过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．