毕业论文9

本科生毕业设计（论文）对称性在积分中的应用

二级学院：数学与计算科学学院

专业：数学与应用数学

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对称性在积分中的应用

专业名称：数学与应用数学

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目录

1 引言 (1)

2 对称性在积分中的应用 (1)

2.1 对称性在定积分中的应用 (1)

2.2 对称性在重积分中的应用 (2)

2.2.1 二重积分 (2)

2.2.2 三重积分 (4)

2.3 对称性在曲线积分中的应用 (4)

2.3.1 第一型曲线积分 (4)

2.3.2 第二型曲线积分 (5)

2.4 对称性在曲面积分中的应用 (7)

2.4.1 第一型曲面积分 (7)

2.4.2 第二型曲面积分 (8)

3 结束语 (9)

对称性在积分中的应用

摘 要: 本文总结并借助实例说明对称性在定积分、重积分、曲线和曲面积分中的应用. 关键词: 对称性; 积分; 应用

The application of symmetry in integral

Abstract: With the examples of symmetry ，some applications of symetry in the definite integral, re-integration, integration curves and surfaces are summarized.

Key words: symmetry ; integration ; application

1 引言

数学是一个充满美的世界，对称是数学美的重要特征.不仅在中学函数中存在着对称，在大学的积分中也非常普遍.数学对称法是一种探索性的发现方法，它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能．因此掌握和运用对称法，对于开拓我们的创造性思维，提高判断解题能力，探讨解题方法是十分有益的．

积分在数学分析中是相当重要的内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有对称性的题型.在学习的过程中，我们发现对称性可以运用于积分的计算中，将复杂的积分计算过程简单化.如果我们能在解题中发掘或者注意到问题的对称性，并巧妙的把他们应用到积分的计算过程中去，往往可以简化计算过程，收到意想不到的效果.

2 对称性在积分中的应用

积分在数学分析中具有很重要的地位，本文总结并借助实例说明对称性在定积分、重积分、曲线和曲面积分中的应用.

2.1 对称性在定积分中的应用

(ⅰ)设函数()f x 在[],a a -连续，则

()()()

()00,

2,.a

a a

f x f x dx f x dx f x -??

=????

?若是奇函数，若是偶函数

（ⅱ）设函数()f x 在[],a a -连续，则

()()()02.a

a

a

f x dx f x f x dx -=+-???

??

? 例1

求积分21=I ?

解 由于区间[]-1,1关于原点对称，则被积函数可通过拆项，分解为一个奇函数，一个偶函数来简化积分计算

.

21

1

12I I --+=+?

?

原积分I=.

2

所以

1=0I ，

(

22

1

1

22

10+=44x I I dx x ==?

?

10

=44dx -??.

由定积分的几何意义知04?是单位圆的面积π，得

4I π=-.

定积分计算中，当一个函数在对称区间上积分时，先设法将它分解为一个奇函数 和一个偶函数，这样可使计算大大简化.

2.2 对称性在重积分中的应用

2.2.1 二重积分

（ⅰ） 如果积分域D 关于x 轴对称，则

()()()()()()1

0,,,,2,,,,.D

D f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y -=-??

=?-=????

??若，若 其中1D D x 为在轴的上半平面部分.

（ⅱ） 如果积分域D 关于y 轴对称,则

()()()()()()2

0,

,,,2,,,,.D

D f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y -=-??

=?-=????

??若，若 其中2D D 为在y 轴的右半平面部分.

（ⅲ） 如果积分域D 关于原点对称，(),f x y y 同时为x,的奇偶函数，则二重积分

()()()()()()1

0,

,,,2,,,,.D

D

f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y --=-??

=?--=????

??若，若 其中1D D 为的上半平面部分.

（ⅳ） 如果积分域D 关于直线y x =轴对称，则二重积分

()(),,D

D

f x y dxdy f y x dxdy =????.

例2 计算积分(

)

2

x D

x ye d σ+??，其中D 由曲线1x y +=所围成.

分析 不难看出该积分域关于两个坐标轴都对称.被积函数也有奇偶性，因此，应利用对称性和奇偶性计算.

解 由于2

x ye y 关于是奇函数，而积分域D 关于x 轴对称，则

2

0x

D

ye d σ=??. 而,x x y 关于都是偶函数，且积分域关于,x y 轴都对称，则

1

1

44,D

D D x d x d xd σσσ==??????

其中1D D 为在第一象限的部分.

又 1

1

100

1,6

x

D xd dx xdy σ-==????

则有 ()

22

.3x D

x ye d σ+=??

2.2.2 三重积分

设空间有界闭区域1212=+xoy ΩΩΩΩΩ，与关于坐标面对称，函数(),,f x y z Ω

在

上连续，那么

()()()()1

0,,,,2,,,,,f x y z f x y z d f x y z d f x y z ννΩ

Ω??

=??????

???， 若关于z 为奇函数,若关于z 为偶函数. 其中(){}1=,,|0x y z z Ω∈Ω≥.

同时，若yoz Ω关于坐标面对称，函数(),,f x y z x 关于为奇或偶函数；或者若Ω关于xoz 坐标面对称，函数(),,f x y z y 关于为奇或偶函数，同样有类似结论.

例3 计算()2

x y z dxdydz Ω

++???，其中Ω是由曲面22z x y =+与2222x y z ++=所

围成的空间区域．

解 由于()()2

2222222x y z x y z xy yz xz ++=+++++，其中xy yz +是关于y 的奇

函数，且Ω关于yoz 坐标面对称，故

20xzdxdydz Ω

=???.

由对称性又易知

22

x dxdydz y dxdydz Ω

Ω

=??????. 在柱面坐标系下，Ω

表示为：202,01,r r z θπ≤≤≤≤≤≤ ()()2

222

2x y z dxd x y z xy yz xz dxdydz Ω

Ω

??++=+++++???????? ()(

)()

2221

2220

2

22cos 89.

60

x z dxdydz

d dr r z dz πθθπ

Ω

=+=+=

?????

2.3 对称性在曲线积分中的应用

2.3.1 第一型曲线积分

设平面分段光滑曲线L 关于x 轴对称，则

()()()()()()1

0,,,,2,,,,.L

L f x y f x y f x y ds f x y ds f x y f x y ?-=-?

=?-=???

?若，

若

（其中曲线1L 是曲线L 被x 轴分成两部分的上半部分，即(){}1,|0L x y L y =∈≥）.

同理，平面分段光滑曲线L 关于y 轴或原点O 对称，而被积函数(),f x y 为关于相应变量的奇、偶函数，亦有相应的结论.

例4 求曲线积分

()

()()22

cos 2sin 2x y C

e

xy dx xy dy -++?????

之值.其中C 是单位圆周221x y +=，方向是逆时针的.

解 积分曲线C 可分为上、下两个对称的部分.在对称点()(),,x y x y -与上，函数()

()22

cos 2x y e

xy -+的大小相等，符号相同，但投影元素dx 在上半圆上为负，下半圆

上为正（如图1）.

图1

因此，作为二者的乘积()

()22

cos 2x y e

xy dx -+在上、下半圆上，大小相等，符号相

反，两部部分上的积分彼此抵消，故

()

()22

cos 20x y C

e

xy dx -+=?

类似可知

()

()22

sin 20x y C

e

xy dy -+=?

因此原积分为零. 2.3.2 第二型曲线积分

设L 为平面上分段光滑的定向曲线,()(),,,P x y Q x y 连续， ⅰ）当L 关于x 轴对称时：

102,L L P Pdx Pdx P ??=?????，若关于y 为偶函数，

若关于y 为奇函数.

1

02,L L Qdx Qdx ??=?????，若Q 关于y 为奇函数，

若Q 关于y 为偶函数.

其中1L L 是在上半平面的部分. ⅱ）当L 关于y 轴对称时：

10,

2,L L P x Pdx Pdx P x ??=?????若关于为奇函数，若关于为偶函数.

1

02,L L x Qdx Qdx x ??=?????，若Q 关于为偶函数,

若Q 关于为奇函数.

其中1L L 是在右半平面的部分.

ⅲ)当L 关于原点对称时：

()()1

0,,2,,L

L P Q x y Pdx Qdy Pdx Qdy P Q x y ??

+=?+????，若关于为偶函数，，若关于为奇函数. 其中1L L 是在上半平面或右半平面的部分.

例 5 计算()()2

22sin .L

I x y dx x y y dy =+-+?其中L 为()2220x y a a +=>按逆时

针方向从点(),0A a 到点(),0B a -的上半圆周.

解 可将原式改写为3个曲线积分的代数和，即

()()2222+2sin L

L

L

I x y dx xydx x y y dy =+-+???

又因为

()()1

222

2=2L

L x y dx x

y dx ++??

; =0L

xydx ?; ()22sin =0L

x y y dy +?.

所以

()()()1

22222223222L

L a

I x y dx x y dx x a x dx a =+=+=+-=-???

其中，1:L y =x 从点a 变到点0.

2.4 对称性在曲面积分中的应用

2.4.1 第一型曲面积分

（ⅰ）若积分曲面S 可以分成对称的两部分12=S S S +,在对称点上被积函数的绝对值相等，则有：

()()()()1

0,

,,,,,2,,,,S

S f x y z f x y z dS f x y z dS f x y z ??

=?????

??当对称点上取相反的符号，当对称点上上取相同的符号.

所谓S 的两部分1S 与2S 对称，可以是关于点的对称，也可以是关于平面的对称.

例6 设()f z 为奇函数，试求积分

()()()22;

;

.S

S

S

I f z dS J f z dS K yf z dS ===??????

其中S 为锥面22z xy =位于球面2222x y z a ++=内的部分.

解 经讨论已知22z xy =是以原点为顶的双叶锥面，对称轴是xy 平面上1、3象限的分角线.我们看到S 关于xy 平面上、下对称，在对称点上()f z 的大小相等，符号相反，因此积分()=0S

I f z dS =??.又曲面S 在1、3卦限内的部分，与它在7、5卦限

内的部分关于原点对称，在对称点上()2yf z 的大小相等，符号相反，所以积分

y =x

图2

()2=0S

K yf z dS =??.

除了上、下对称，原点对称之外，S 还关于y x =平面（前后）对称.在对称点上()2f z 大小相等符号相同.因此

()1

28,S J f z dS =??

其中1S 表示S 位于第一卦限内夹于0y y x ==与之间的部分.

（ⅱ） 若积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性，则： ()()(),,,,,,f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑

∑

∑

==??????

()()()1

,,,,,,.3f x y z f y z x f z x y ds ∑

=

++?? 例7 求第一型曲面积分()422262,S

x x y z d σ++??

其中，S 为222 3.x y z ++= 解 因为积分曲面S 关于,,x y z 具有轮换对称性，有

222

,S

S

S

x d y d z d σσσ==??????

()4

222S

x

y z d σ+=

?? ()4

222S

y

z x d σ+=

?? ()4

222S

z

x y d σ+??

原式=()()()()222

422422422

122223S

S

x y z d x y z y z x z x y d σσ??++++++++????

?? =()()2222

222123S

S

x y z d x y z d σσ+++

++???? =9S

d σ??

=108π.

2.4.2 第二型曲面积分

（ⅰ）若积分曲面S 可分成对称的两部分12S S 、(12S S S =+),在对称点上f 的值相等，则有

()()+

1

0,

,,2,,,.S S fdxdy f x y z dxdy f x y z dxdy fdxdy +

??

=?????

??当对称点上取相反的符号，在对称点上的符号相等 对于积分()(),,,,,S S f x y z dydz f x y z dzdx +

+

????也有类似地结论.

（ⅱ）若积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性，则：

()()(),,,,,,P x y z dydz P y z x dzdx P z x y dxdy ∑

∑

∑

==??????

()()()1

,,,,,,3P x y z dydz P y z x dzdx P z x y dxdy ∑

=

++?? 例8 设()f t 为奇函数,S +为1x y z ++=的外侧.试利用对称性求出或简化

下列积分：

1）;S I dxdy dydz dzdx +

=++?? 2）()2;S J f z dxdy +

=??

3）()2;S K xf z dxdy +

=?? 4）();S L f z dxdy +

=??

5）()()23.S M x y z f x y z dxdy +

=++++??

解 S 关于xy 平面上、下对称（见图3），0z >的部分外法线方向与z 轴成锐角，

0z <部分外法线与z 轴成钝角.

故 dxdy 、 ()2f z dxdy 、 ()2xf z dxdy

都在上下对称点上异号，因此它们的积分为0.同理，由S 关于yz 、zx 平面的对称性，可知

图3

0.S S dydz dzdx +

+

==???? 所以0.I J K ===

由于S 对三个坐标面都有对称性，对称点上()f z dxdy 的大小相等符号相同，故

()()8,S S L f z dxdy f z dxdy +

+

==????

其中1S +是S +在第一卦限的部分.

最后由于S 还关于原点对称，且,,x y z 同时反号时()()23x y z f x y z ++++不变，而dxdy 在对称点上反号.故积分0M =.

3 结束语

应用对称性计算积分时应注意以下几点：

(ⅰ) 必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面都具有某种对称

性时才能利用，如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，再考虑利用上述结论.

(ⅱ) 对第二型曲线积分和第二型曲面积分利用对称性时，尚需考虑积分路线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重.

(ⅲ) 有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答.

本文主要从四个方面论述了对称性在积分中的应用，并通过具体实例说明利用对称性可以简化其计算过程，尤其对于第二型曲线积分和第二型曲面积分来说，给积分的运算带来了便捷.在以后的学习中，只要我们能把对称性这个重要的特点结合在实际中，相信一定会达到事半功倍的效果.

参考文献

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[]9刘富贵，鲁凯生.利用对称性计算第二类曲线积分和曲面积分的方法[J].武汉理工大学学报，2006.1069-1072.

湛江师范学院本科生毕业设计（论文）开题报告