最新人教版高中数学选修4-5《一般形式的柯西不等式》达标训练

更上一层楼

基础·巩固

1.已知a,b 是给定的正数，则α

α22

22cos sin b a +的最小值为（ ） A.a 2+b 2 B.2ab C.(a+b)2 D.4ab

思路分析：我们可利用平均不等式处理本题，利用三角函数sinα,cosα分别与cscα,secα的倒数关系去掉分母，再利用平方关系1+tan 2α=sec 2α,1+cot 2α=csc 2α变形，最后利用平均不等式. 如果利用柯西不等式处理起来更方便,我们可以依照二维形式的柯西不等式进行构造. α

α2222cos sin b a +=(sin 2α+cos 2α)(αα22

22cos sin b a +) ≥(sinα·αsin a +cosα·α

cos b )2 =(a+b)2.

答案：C

2.设x,y,m,n ∈(0,+∞)，且y

n x m +=1，则x+y 的最小值是（ ） A.m+n B.4mn C.(n m +)2 D.2

2

2n m + 思路分析：很容易误选，原因就是没注意等号成立的条件.利用二维的柯西不等式及其等号成立的条件，直接从x+y 入手有点困难，所以把x+y 看成(x+y)·1=(x+y)·(

y n x m +)，进而可使条件、结论、选择支有机结合起来.

答案：C

3.设a>b>0，则b

b a )(1-的最小值为_______________. 思路分析：

b b a )(1-=(a-b)+b b a )(1-+b≥3)(1)(3b b b a b a ?-?-,当且仅当a-b=b=b b a )(1-即a=2,b=1时等号成立.关键在把a+b b a )(1-拆分成(a-b)+b

b a )(1-+b. 答案：3 4.若0＜a,b,

c ＜1满足条件ab ＋bc ＋ca ＝1，则

c b a -+-+-111111的最小值是_________. 思路分析：设S=c b a -+-+-111111，则S≥)

(3911132c b a c b a ++-=-+-+-.

由a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca ，在这不等式两边同时加上2(ab+bc+ca)，可得

(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)，所以a+b+c≥3.

于是S≥2

)33(3339)(39+=-≥++-c b a . 这里，当且仅当a=b=c=

33时，S 取得最小值. 答案：2

)33(3+ 5.已知a,b ∈R ，求证：a 2+b 2≥2ab.

证明：∵(a 2+b 2)2=(a 2+b 2)(b 2+a 2)≥(ab+ba)2=4(ab)2，

∴a 2+b 2≥2|ab|≥2ab.

6.已知a,b,c,x,y,z ∈R ，求证：(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)≥(ax+by+cz)2.

思路分析：该不等式比二维形式的柯西不等式多了一对变量c 、z,如果我们把22c b +,22z y +看成一对，也一样可以应用柯西不等式来证明.

证明：(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)≥［a 2+(22c b +)2］［x 2+(22z y +］ ≥(|a||x|+22c b +·22z y +)2=［(|ax|+22222))((z y c b ++］

≥［|ax|+2|)||(|cz by +］2=|ax|+|by|+|cz|)2≥(ax+by+cz)2.

综合·应用

7.设x 1,x 2,…,x n ∈R +，定义S n =

∑=?-+n i i i x n

n x 12)11(2,在x 1+x 2+…+x n =1条件下，则S n 的最小值为______________.

思路分析：因为［∑=?-+?n i i

i x n n x 12)11(1］2≤(∑=n i 121)·∑=?-+n i i i x n n x 12)11(2, 所以S n =∑=?-+n i i i x n n x 12)11(2≥n 1［∑=?-+n i i i x n n x 12)11(］2≥n 1［1+21n n -·n 2］2=n. 当x 1=x 2=…=x n =

n

1时，取到最小值n. 答案：n 8.求证：2222112

2212221)()(y x y x y y x x +++≥+++. 思路分析：有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的.

证明：

∵(22212221y y x x +++)2=(x 12+x 22)+(y 12+y 22)+)()(22

2212121y y y x +?+, 由柯西不等式得

(x 12+x 22)·(y 12+y 22)≥(x 1y 1+x 2y 2)2.

其中等号当且仅当x 1=ky 1，x 2=ky 2时成立. ∴)()(222212221y y x x +?+≥x 1y 1+x 2y 2,

∴(2

2212221y y x x ++

+)2≥(x 12+x 22)+(y 21+y 22)+2(x 1y 1+x 2y 2)=(x 1+y 1)2+(x 2+y 2)2, ∴22212221y y x x +++≥)()(222222121y x y x +?+. 其中等号当且仅当x 1=ky 1，x 2=ky 2时成立.

9.已知2211a b b a -+-=1,求证：a 2+b 2=1.

思路分析：利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证.

证明：由柯西不等式，得

2211a b b a -+-≤［a 2+(1-a 2)］

［b 2+(1-b 2)］=1, 当且仅当a b a b

2

211-=-时，上式取等号， ∴ab=2211b a -?-,

a 2

b 2=(1-a 2)(1-b 2),

于是a 2+b 2=1.

回顾·展望

10.(2006全国

高中数学联赛浙江预赛试题) 函数f(x)=x x x x x x x x x x x x x x x x cot sin cot tan cot cos cos sin tan cos cot tan tan sin cos sin +++++++++++在x ∈(0,2

π)时的最小值为（ ）

A.2

B.4

C.6

D.8

思路分析：f(x)=(sinx+cosx)(

x

x x x cot cos 1tan sin 1+++) +(tanx+cotx)(x

x x x cot sin 1tan cos 1+++) ≥(sinx+cosx)(x x x x cot cos tan sin 4+++)+(tanx+cotx)(x x x x cot cos tan sin 4+++) =4.

要使上式等号成立，当且仅当?

??+=++=+)2(,sin cot cos tan )1(,cot cos tan sin x x x x x x x x ①-②得到sinx-cosx=cosx-sinx ，即得sinx=cosx.因为x ∈(0,2

π)，

所以当x=4π时，f(x)=f(4π)=4. 所以f(x)min =4.

答案：B