实验八 连续信号与系统频域分析的MATLAB实现2

实验八 连续时间信号的采样与重构.抽样定理

一、实验目的

1．通过连续时间信号的采样与重构，验证抽样定理。 2．了解队连续时间信号进行取样和恢复的基本方法。 3. 进一步熟悉matlab 中的各种函数。

二、实验原理

1．抽样定理

取样定理（也称抽样定理）论述在一定条件下连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（样本值）来表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以没有失真地恢复原信号。取样定理为连续时间信号与离散时间信号相互转换提供了理论依据。

冲击抽样：

()()

s n s t t nT δ∞

=-∞

=

-∑

1n s

F T =

()()

s

s n S n ωωδωω∞

=-∞

=-∑

1()()()

21

()()1()

s s

s n s n s s n s

F F n F n T F n T ωωωδωωπωδωωωω∞

=-∞

∞

=-∞∞

=-∞

=

*-=

*-=

-∑

∑

∑

抽样定理是信号处理中的重要理论，它主要阐述了对连续信号的抽样频率不能低于信号频率的2倍以上，否则将会发生混叠现象。

2．采样信号的重构

一个带限信号在满足取样定理的情况下，可以通过理想低通滤波器从取样信号f s (t ) 中恢复原来的连续信号f (t ) 。这一结论是从频域中考察取样信号的频谱直观的得到的：由于f (t)的频带有限，而时域取样必导致频域周期。在周期重复时，为保证m ω内为()F ω，则重复周期应满足s m ωω≥,将取样信号通过截止频率为c m ωω>的理想低通滤波器，便能从中恢复()s F ω，也就是说，能从取样信号f s (t )中恢复。

11, ||()()()

0, ||c F

c c c H h t Sa t ωωωωωωωπ-?

()()()s F H F ωωω=??

()()()()()()

c s c s s n f t h t f t Sa t f nT t nT ωωδπ

∞

=-∞

=*=

*

-∑

s i n [()]

()[()]

(

)

()

c c c s

s c s

s n n c s t nT f nT Sa t nT f nT t nT ωωωωπ

π

ω∞

∞

=-∞

=-∞

-=

-=-∑

∑

上式表明f (t)可以展

开为正交的取样函数的无穷级数。且级数的系数等于抽样值f (nT s ),这样，若在取样信号f s (t)的每个抽样值上画一个峰值为f (nT s )的Sa 函数的波形，合成的波形就是f (t).另外，我们知道：Sa 函数的波形就是理想低通滤波

器的冲激响应h (t)，这样，若f s (t)

通过理想低通滤波器，那么每一个取样值产生

一个冲激响应h (t)，这些响应进行叠加便得到f (t)，从而达到恢复信号的目的。

例1．⑴对给定的信号2

()cos()

(040)

3

f t t t π=≤≤：求得其奈奎斯特频率，以

不同的采样频率对该信号进行采样，绘出信号采样前和采样后信号的频谱。对比观察和分析信号临界采样、过采样和欠采样情况下，信号频谱的变化，验证采样定理。

⑵对上面不同采样频率下得到的样本信号重构()f t ，并求两者的误差，分析不同采样频率下的抽样信号()s f t 和原信号()f t 之间的关系。 [仿真程序] %时域采样定理

%绘制有限长余弦信号y=cos(2/3*pi*t) t = 0:0.01:40; y = cos(2/3*pi*t); subplot(221);plot(t,y);

axis([0 6 -1.1 1.1]);xlabel('t 单位：s');title('f(t)');line([0 6],[0 0]);

%数值求解余弦信号的频谱

N = 300;W = 2*pi*5;k = -N:N;w = k*W/N;

Y = 0.01*y*exp(-j*t'*w); %求y(t)的傅里叶变换F1(ω) %数值方式的傅里叶变换. Y = abs(Y);

subplot(222);plot(w/pi,Y)

axis([-2,2,0,pi*7+0.2]);title('F(j\omega)');xlabel('\omega 单位:pi');

display('奈奎斯特周期1.5秒，Ts<1.5，过采样，Ts>1.5，欠采样'); Ts = input('请输入采样周期Ts = '); %采样间隔 %采样后的余弦信号

subplot(223);plot(t,y,'b:'); %绘制包络 hold on

t2=0:Ts:40; %采样时间序列

y2=cos(2/3*pi*t2);

stem(t2,y2);

axis([0 6 -1.1 1.1]);xlabel('t 单位：s');title('fs(t)');

%采样后余弦信号的频谱

Y2 = Ts*y2*exp(-j*t2'*w);

Y2 = abs(Y2);

subplot(224);plot(w/pi,Y,'b') %蓝色绘制原信号频谱xlabel('\omega 单位:pi');title('Fs(j\omega)');

hold on

plot(w/pi,Y2,'r'); %红色绘制采样信号频谱axis([-2,2,0,pi*7+0.2]);

figure

%重构；y=cos(2/3*pi*t)

wm=2*pi/3; %信号带宽

ws=2*pi/Ts; %采样角频率

wc=ws/2; %为了简单，取滤波器截止频率wc=ws/2

fa=y2*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(t2),1)*t-t2'*ones(1,length(t )))); %此步骤较难理解,可直接理解为在频域中用一个门形滤波器

%对取样信号频谱滤波后,将其转换为时域的还原信号.

subplot(211);

plot(t,fa,'b',t,y,'r');xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('信号重构'); error=abs(fa-cos(2/3*pi*t)); %计算原信号和重构信号之间的误差subplot(212);

plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('欠采样信号与原信号的误差error(t)');

仿真结果如下图所示:

三.实验内容

1. 对给定的信号：()52cos(2)cos(4)f t t t ππ=++，重复例1中信号的采样和

重构的分析步骤。

四. 实验报告要求

列出M 文件和运行结果。

总结连续时间信号的采样与重构，抽样定理的matlab 实现方法。