数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案

数列通项公式的求法10种

求数列的通项公式的方法非常众多，而且这个问题基本上都是高考试卷中的第一问，也就是说这一问题做不出来或没有思路，那么即使后面的问题比如求前N 项和的问题，会做也是无济于事的。

我们逐个讲解一下这些重要的方法。

递推公式法：递推公式法是指利用11,1,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?，这样的问题有两种类型，（1）题目中给出的是()n S f n =的形式，也就是n S 的表达式是一个关于n 的函数，要将n 改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。这种情况是比较简单的，但是也有值得我们注意的地方，那就是求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下1a 和1S 是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式，只要题中涉及到角标n 不能从n=1开始取值的，都需要检验。

（2）第二种情况是非常常见的，即11(,)n n n a a a -+与n S (1n S -,1n S +)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n 改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。

累加法（迭、叠加法）：累加法是在教材上推导等差数列通项公式和前n 项和公式的时候使用的一种方法，其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的，我们可以总结为，只要适合：1()n n a a f n -=+的形式，都是可以使用累加法的，基本的书写步骤是：

21324312,(2)

3,(3)

4,(4)......

,()

n n n a a f n a a f n a a f n n a a f n -=-==-==-==-=

将上述展开后的式子左边累加后总是得到1(2)(3)(4)......()n a a f f f f n -=++++

所以重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列的前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。

累乘法：累乘法的使用条件是，凡是适合1()n n a a f n -=?形式的求通项公式问题，都可以使用累乘法，它的基本书写步骤格式是：

2132431

2,

(2)3,

(3)4,

(4)......

,()n n a n f a a n f a a n f a a n n f n a -======== 等式左边相乘，总是得到1n

a a ，等式右边相等总是得到(2)(3)(4)......()f f f f n ????，特别需要注意的一点就是，很

多同学把右边当成了相加。右边相乘的这个式子，绝大部分有两种情况，第一种情况是一个等比数列的前n-1项的乘积，这时候可以利用指数运算公式m n m n a a a +?=，变成指数部分进行累加的式子运算；再有一种情况就是这部分累乘的式子能够互相消掉，类似于等差数列的第三种情况。

构造法：这是一种非常常见的方法，它的使用条件是：1n n a pa q -=+，这里的,p q 都是常数，p 也不可能是1，因为如果是1的话，那么数列n a 直接就是一个等差数列了，也不需要使用构造法再来求通项公式了。我们要将这种形式的式子构造成1()n n a m p a m -+=+，即1n n a m p a m

-+=+，也就是{}n a m +是一个以p 为公比，以1a m +为首项的等比数列，即()11n n a a m p m -=+?-，那么肯定很多同学会有一个疑问，1n n a pa q -=+为什么能够构造成1()n n a m p a m -+=+呢？假如能够写成这个式子，那么该式子应该还能够整理回去，我们看下面的过程： 111;

;(1);

n n n n n n a m pa pm a pa pm m a pa m p ---+=+=+-=+-

如果能和原来给出的式子相等，则需要使(1)m p -=q ，也就是说1q m p =-，看来只要1p ≠，这个m 总是能够存在的，对于m 的计算式，考生最好要熟记。

取倒数法：取倒数法求通项公式，适用于分式型的数列求通项公式，但也有一些非分式型的数列可以整理为分式型的，需要考生多加考虑，有时出题者不是给我们现成的式子，需要我们稍作处理。 第一种可以使用取倒数法的形式是：11n n n pa a qa p --=+，取完倒数之后变成了111n n q a a p --=，1n

a 是一个以q p 为公差，以11a 为首项的等差数列，即1n a =1

1a +（n-1）q p 所以n a =

11

11q n a p +-（），整理成较简洁形式。 第二种是形如11n n n xa a ya z

--=+这样的式子，也需要使用取倒数法，注意和第一种形式的不同点是x z ≠，这种形式的要先取倒数，然后还要再使用构造法解决，具体过程如下：

11111

1;1111,n n n n n n n n n xa a ya z

ya z y z a xa x x a z y a x a x

z y p q x x ------=++==+?=?+==令