江苏专用2018版高考数学专题复习专题7不等式第45练基本不等式练习文

江苏专用2018版高考数学专题复习专题7不等式第45练基本不等式练习文
江苏专用2018版高考数学专题复习专题7不等式第45练基本不等式练习文

(江苏专用)2018版高考数学专题复习 专题7 不等式 第45练 基

本不等式练习 文

1.(2016·泰州模拟)定义运算“?”:x ?y =xy (x ,y ∈R ,xy ≠0),当x >0,y >0时,

x ?y +(2y )?x 的最小值为________.

2.若2x +2y

=1,则x +y 的取值范围是____________.

3.已知x >0,y >0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则 a +b

2

cd

的最

小值是________.

4.(2016·长春调研)若两个正实数x ,y 满足2x +1y

=1,且x +2y >m 2

+2m 恒成立,则实数m

的取值范围是________.

5.设正实数a ,b 满足a +b =2,则1a +a

8b

的最小值为________.

6.(2016·盐城模拟)已知关于x 的一元二次不等式ax 2

+2x +b >0的解集为{x |x ≠-1a

},

则a 2+b 2+7a -b

(其中a >b )的最小值为________.

7.(2016·深圳模拟)已知正实数a ,b 满足1a +2

b

=3,则(a +1)(b +2)的最小值是

________________.

8.若实数x ,y ,z 满足x 2

+y 2

+z 2

=2,则xy +yz +xz 的取值范围是____________. 9.已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5,若存在两项a m ,a n 使得a m ·a n =4a 1,则1m +4

n

最小值为________.

10.(2016·苏州模拟)若直线ax +by -1=0(a >0,b >0)过曲线y =1+sin πx (0<x <2)的对称中心,则1a +2

b

的最小值为__________.

11.(2016·苏州、无锡、常州三模)已知常数a>0,函数f(x)=x+a

x-1

(x>1)的最小值为3,则a的值为______.

12.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则PA·PB的最大值是________.

13.已知函数y=x-4+

9

x+1

(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b=________.

14.(2016·南京盐城联考)已知正实数x,y满足等式x+y+8=xy,若对任意满足条件的x,y,不等式(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是______________.

答案精析

1. 2

2.(-∞,-2]

3.4

4.(-4,2) 5.1

解析 依题意得1a +a 8b =a +b 2a +a 8b =12+b 2a +a 8b ≥1

2

+2

b 2a ×a

8b

=1,当且仅当?????

b 2a =a 8b ,a +b =2,

即a =2b =43时取等号,因此1a +a

8b

的最小值是1.

6.6

解析 由不等式ax 2

+2x +b >0的解集为{x |x ≠-1

a }可得?

??

??

a >0,Δ=4-4a

b =0,

即ab =1,a >0,

所以a 2+b 2+7a -b = a -b 2+2ab +7

a -b

=a -b +

9

a -b

≥6, 当且仅当a -b =3时等号成立. 7.509

解析 1a +2b =3?2a +b =3ab ?3ab =2a +b ≥22ab ?ab ≥89

,因此(a +1)(b +2)=ab +2a +

b +2=4ab +2≥4×89+2=509,当且仅当2a =b =43

时,等号成立.

8.[-1,2]

解析 因为x 2

+y 2

+z 2

=2,所以2x 2

+2y 2

+2z 2

=4, 所以4≥2xy +2yz +2xz ,即xy +yz +xz ≤2. 又因为(x +y +z )2

=x 2

+y 2

+z 2

+2xy +2xz +2yz ≥0, 所以xy +yz +xz ≥-1,

所以xy +yz +xz 的取值范围是[-1,2]. 9.32

解析 ∵a 7=a 6+2a 5,∴a 5q 2

=a 5q +2a 5,

又∵{a n }是正项等比数列, ∴a 5≠0,且q >0, ∴q 2

-q -2=0,

∴q =2或q =-1(舍去). 又a m ·a n =4a 1, ∴a m ·a n =16a 2

1,a 21q

m +n -2

=16a 2

1,

又a 2

1≠0,∴m +n -2=4,∴m +n =6, 1m +4n =16(1m +4

n )(m +n ) =16(5+4m n +n m ) ≥1

6

(5+2 4m n ·n m )=32

. 当且仅当4m n =n

m

,即m =2,n =4时取等号.

10.3+2 2

解析 画出y =1+sin πx (0<x <2)的图象(图略), 知此曲线的对称中心为(1,1), 则直线ax +by -1=0过点(1,1), 所以a +b =1, 又a >0,b >0, 所以1a +2b =(1a +2

b

)(a +b )

=1+b a

+2a

b

+2≥3+22,

当且仅当b a =

2a

b

时取等号. 即(1a +2

b

)min =3+2 2.

11.1

解析 ∵x >1,∴x -1>0,又a >0, ∴f (x )=x +

a x -1=x -1+a

x -1+1≥2a +1,∴2a +1=3,∴a =1, 此时,x -1=1

x -1

,即x =2. 12.5

解析 ∵直线x +my =0与mx -y -m +3=0分别过定点A ,B , ∴A (0,0),B (1,3).

当点P 与点A (或B )重合时,PA ·PB 为零;

当点P 与点A ,B 均不重合时,∵P 为直线x +my =0与mx -y -m +3=0的交点,且易知此两直线垂直,

∴△APB 为直角三角形, ∴AP 2

+BP 2

=AB 2

=10, ∴PA ·PB ≤PA 2+PB 22

=10

2

=5,当且仅当PA =PB 时,上式等号成立.

13.3

解析 y =x -4+

9x +1=x +1+9x +1-5,因为x >-1,所以x +1>0,9x +1

>0,所以由基本不等式,得y =x +1+

9

x +1

-5≥2 x +1 ·

9x +1-5=1,当且仅当x +1=9x +1

,即(x +1)2

=9,即x +1=3,x =2时取等号,所以a =2,b =1,a +b =3. 14.(-∞,65

8

]

解析 因为x +y +8=xy ≤(

x +y

2

)2

即4(x +y )+32≤(x +y )2

, 解得x +y ≥8或x +y ≤-4(舍去).

不等式(x +y )2

-a (x +y )+1≥0恒成立可等价转化为a ≤ x +y 2

+1

x +y

恒成立,

令x +y =t (t ≥8),

且f (t )=t 2+1t =t +1

t

.

函数f (t )在[8,+∞)上单调递增, 所以f (t )min =f (8)=8+18=65

8.

所以实数a 的取值范围为(-∞,65

8].

(完整版)高二数学不等式练习题及答案(经典)

不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a >b,则 ( ) (A )a 2>b 2 (B ) a b <1 (C )lg(a-b)>0 (D )(21)a <(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) (A )lgx+log x 10≥2(x >1) (B )a 1 +a ≥2 (a ≠0) (C ) a 1<b 1 (a >b) (D )a 21+t ≥a t (t >0,a >0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a -b -1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n -n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n )

高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)

专题7.3 基本不等式 【核心素养分析】 1.了解基本不等式的证明过程; 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】 知识点一 基本不等式ab ≤ a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R);(2)b a +a b ≥2(a ,b 同号); (3)ab ≤????a +b 22(a ,b ∈R);(4)????a +b 22≤a 2 +b 2 2(a ,b ∈R); (5)2ab a +b ≤ab ≤a +b 2≤ a 2+ b 2 2 (a >0,b >0). 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为:两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p (简记:积定和最小). (2)如果x +y 是定值q ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是q 2 4(简记:和定积最大). 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频 考点一 利用基本不等式求最值 【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ,则22x y +的最小值是 ▲ .

2018年高考数学总复习 基本不等式及其应用

第二节基本不等式及其应用 考纲解读 1. 了解基本不等式错误!未找到引用源。的证明过程. 2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容,也是历年高考重点考查的知识点之一,其应用范围涉及高中数学的很多章节,且常考常新,但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题. 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断,求取值范围问题. 本专题知识的考查综合性较强,解答题一般为较难题目,每年分值为58分. 知识点精讲 1. 几个重要的不等式 (1)错误!未找到引用源。 (2)基本不等式:如果错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。(当且仅当“错误!未找到引用源。”时取“”). 特例:错误!未找到引用源。同号. (3)其他变形: ①错误!未找到引用源。(沟通两和错误!未找到引用源。与两平方和错误!未找到引用源。的不等关系式) ②错误!未找到引用源。(沟通两积错误!未找到引用源。与两平方和错误!未找到引用源。的不等关系式) ③错误!未找到引用源。(沟通两积错误!未找到引用源。与两和错误!未找到引用源。的不等关系式) ④重要不等式串:错误!未找到引用源。即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知错误!未找到引用源。. (1)如果错误!未找到引用源。(定值),则错误!未找到引用源。(当且仅当“错误!未找到引用源。”时取“=”).即“和为定值,积有最大值”. (2)如果错误!未找到引用源。(定值),则错误!未找到引用源。(当且仅当“错误!未找到引用源。”时取“=”).即积为定值,和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件,合理选择基本不等式的形式解题,要注意对不等式等号是否成立进行验证. 例7.5“错误!未找到引用源。”是“错误!未找到引用源。”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

基本不等式练习题及答案解析

1.若xy>0,则对x y+ y x说法正确的是() A.有最大值-2B.有最小值2 C.无最大值和最小值D.无法确定 答案:B 2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是() A.400 B.100 C.40 D.20 答案:A 3.已知x≥2,则当x=____时,x+4 x有最小值____. 答案:2 4 4.已知f(x)=12 x+4x. (1)当x>0时,求f(x)的最小值; (2)当x<0 时,求f(x)的最大值. 解:(1)∵x>0,∴12 x,4x>0. ∴12 x+4x≥2 12 x·4x=8 3. 当且仅当12 x=4x,即x=3时取最小值83, ∴当x>0时,f(x)的最小值为8 3. (2)∵x<0,∴-x>0. 则-f(x)=12 -x +(-4x)≥2 12 -x ·?-4x?=83, 当且仅当12 -x =-4x时,即x=-3时取等号. ∴当x<0时,f(x)的最大值为-8 3. 一、选择题 1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是() A.x+1 2x B.x 2-1+ 1 x2-1 C.2x+2-x D.x(1-x) 答案:C 2.函数y=3x2+ 6 x2+1 的最小值是() A.32-3 B.-3 C.6 2 D.62-3

解析:选D.y=3(x2+ 2 x2+1 )=3(x2+1+ 2 x2+1 -1)≥3(22-1)=62-3. 3.已知m、n∈R,mn=100,则m2+n2的最小值是() A.200 B.100 C.50 D.20 解析:选A.m2+n2≥2mn=200,当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程: ①∵a,b∈(0,+∞),∴b a+ a b≥2 b a· a b=2; ②∵x,y∈(0,+∞),∴lg x+lg y≥2lg x·lg y; ③∵a∈R,a≠0,∴4 a+a≥2 4 a·a=4; ④∵x,y∈R,,xy<0,∴x y+ y x=-[(- x y)+(- y x)]≤-2?- x y??- y x?=-2. 其中正确的推导过程为() A.①②B.②③C.③④D.①④解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑. ①∵a,b∈(0,+∞),∴b a, a b∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导 过程正确; ②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lg x是负数,y∈(0,1)时,lg y是负数,∴ ②的推导过程是错误的; ③∵a∈R,不符合基本不等式的条件, ∴4 a+a≥24 a·a=4是错误的; ④由xy<0得x y, y x均为负数,但在推导过程中将全体 x y+ y x提出负号后,(- x y)均 变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确. 5.已知a>0,b>0,则1 a+ 1 b+2ab的最小值是() A.2 B.2 2 C.4 D.5 解析:选 C.∵1 a+ 1 b+2ab≥ 2 ab +2ab≥22×2=4.当且仅当 ?? ? ??a=b ab=1 时, 等号成立,即a=b=1时,不等式取得最小值4. 6.已知x、y均为正数,xy=8x+2y,则xy有()

基本不等式-高考数学知识点总结-高考数学真题复习

§7.4 基本不等式 2014高考会这样考 1.利用基本不等式求最值、证明不等式;2.利用基本不等式解决实际问题. 复习备考要这样做 1.注意基本不等式求最值的条件;2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用. 1. 基本不等式≤ab a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号.2. 几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ).(2)+≥2(a ,b 同号). b a a b (3)ab ≤ 2 (a ,b ∈R ). (a +b 2)(4) ≥2 (a ,b ∈R ). a 2+ b 22 (a +b 2)3. 算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:a +b 2ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4. 利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则

(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2.(简记:积定和最p 小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是.(简记:和定积最大)p 2 4[难点正本 疑点清源] 1. 在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为 正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误. 2. 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a 2+b 2≥2ab 逆用 就是ab ≤ ;≥ (a ,b >0)逆用就是ab ≤ 2 (a ,b >0)等.还要注意“添、 a 2+ b 2 2 a +b 2ab (a +b 2)拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 3. 对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数y =x +(m >0)的单调性. m x 1. 若x >0,y >0,且x +y =18,则xy 的最大值是________. 答案 81 解析 由于x >0,y >0,则x +y ≥2, xy 所以xy ≤ 2 =81, (x +y 2)当且仅当x =y =9时,xy 取到最大值81. 2. 已知t >0,则函数y = 的最小值为________. t 2-4t +1 t 答案 -2

高中数学不等式练习题

1、设恒成立的c的取值范围是 A.B.C.D. 2、设,且(其中),则M的取值范围是A.B.C.D. 3、若实数、满足,则的取值范围是 A.B.C.D. 4、已知,,,则的最小值是() (A)(B)4(C)(D) 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是()

A.B.C.D. 7、已知正实数满足,则的最小值为。 8、如图,目标函数可行域为四边形(含边界),若是该目标函数的最优解,则的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 的最大值与最小值之和为 9、函数,当时,恒成立,则 D. 10、已知正数满足,则的最小值为 A.3B.C.4D. 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。(1)证明:;(2)证明:; (3)若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件,若目标函数的最大值为10,则的最小值为.

13、已知对任意实数x,二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负,且a

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三:高考数学不等式问题的题型与方法(理科) 一、考点回顾 1.高考中对不等式的要求是:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式;掌握简单不等式的解法;理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2.不等式这部分内容在高考中通过两面考查,一是单方面考查不等式的性质,解法及证明;二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高学生数学素质及创新意识. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.在近几年全国各省市的高考试卷中,不等式在各种题型中都有出现。在解答题中,不等式与函数、数列与导数相结合,难度比较大,使用导数解决逐渐成为一般方法6.知识网络

其中:指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式,不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1.有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中,一般与函数的值域,最值与比较大小等常结合在一起 例1.(xx 年江西卷)若a >0,b >0,则不等式-b <1 x 1b D.x <1b -或x >1a 解析:-b <1x 1 a 答案:D 点评:注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.(xx 年北京卷)如果正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,那么( ) A.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 B.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 C.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 D.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 解析:正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,∴ 4=a b +≥,即4ab ≤,当且仅当a =b =2时,“=”成立;又4=2 ( )2 c d cd +≤,∴ c+d ≥4,当且仅当c =d =2时,“=”成立;综上得ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值都为2 答案:A 点评:本题主要考查基本不等式,命题人从定值这一信息给考生提供了思维,重要不等式可以完成和与积的转化,使得基本不等式运用成为现实。 例3.(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)a <-1 (B)a ≤1 (C) a <1 (D )a ≥1 解析:若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,当x ≥0时,x ≥ax ,a ≤1,当x <0时,

2014届高考数学知识点总复习教案一元二次不等式及其解法

第2讲 一元二次不等式及其解法 A 级 基础演练 (时间:30分钟 满分:55分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.(2012·南通二模)已知f (x )=????? x 2 ,x ≥0, -x 2+3x ,x <0, 则不等式f (x )2,因此x <0. 综上,x <4.故f (x )

3.设a >0,不等式-c 0,∴-b +c a 0的解集是 ( ). A .(0,1)∪(2,+∞) B .(-2,1)∪(2,+∞) C .(2,+∞) D .(-2,2) 解析 原不等式等价于??? x 2-2>0,log 2x >0或??? x 2 -2<0, log 2x <0. ∴x >2或00的解集为? ???? -13,12,则不 等式-cx 2+2x -a >0的解集为________. 解析 由ax 2+2x +c >0的解集为? ???? -13,12知a <0,且-13,12为方程ax 2+2x +c =0的两个根,由根与系数的关系得-13+12=-2a ,-13×12=c a ,解得a =-12,c =2,∴-cx 2+2x -a >0,即2x 2-2x -12<0,其解集为(-2,3). 答案 (-2,3) 6.在实数集上定义运算?:x ?y =x (1-y ),若不等式(x -a )?(x +a )<1对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是________.

高三不等式练习题

高三数学不等式练习题(理) 一、选择题 1、以下命题正确的是( ) A 若b a >,d c >,则bd ac > B 若 bc ac >,则b a < C 若 22c b c a <, 则b a < D 若b a >,d c >,则d b c a ->- 2、不等式 1 1x ≤的解集是( ) A .(1,+∞) B .[1,+∞) C .(-∞,0)∪[1,+∞) D .(-∞,0)∪(1,+∞) 3、在的条件下,,00>>b a 三个结论:①22b a b a ab +≤+,②,222 2b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+2 2,其中正确的个数是 ( ) A .0 B .1 C .2 D .3 4、已知p :存在01,2≤+∈mx R x ;q :对任意01,2 >++∈mx x R x ,若p 或q 为假,则实数m 的取 值范围为( ) A. 2-≤m B. 2≥m C. 22-≤≥m m 或 D. 22≤≤m - 5、若+ ∈R b a ,,且4=+b a ,则b a 22log log +的最大值是( ) A .0 B .1 C .2 D .4 6.如果方程02)1(2 2 =-+-+m x m x 的两个实根一个小于?1,另一个大于1,那么实数m 的取值范围是 A .)22(,- B .(-2,0) C .(-2,1) D .(0,1) 7、已知()f x =1ln 0 10 x x x x ?>??? ?-的解集为( ) A .(1) (0)e ∞-,-, B .(1)()e ∞∞-,-,+ C .(1,0)()e ∞-,+ D .(1,0)(0)e -, 8、下列结论正确的是( ) A .当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时 B .10,2x x x >+≥当时 C .x x x 1,2+ ≥时当的最小值为2 D .当1 02,x x x <≤-时无最大值 9、在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇,现有4辆甲型货车和8辆乙型货车 可供使用,每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台,若每辆至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为( ) A .2000元 B .2200元 C .2400元 D .2800元

2020年高考数学复习题:基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 [基础训练] 1.下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0,则a 2 +1 a 的最小值是2a ; ②函数f (x )=sin 2x 3+cos 2x 的最大值是2; ③函数f (x )=x +1 x 的值域是[2,+∞); ④对任意的实数a ,b 均有a 2+b 2≥-2ab ,其中等号成立的条件是a =-b . A .0 B .1 C .2 D .3 : 答案:B 解析:①错误:设f (a )=a 2 +1 a ,其中a 是自变量,2a 也是变化的,不能说2a 是f (a )的最小值; ②错误:f (x )=sin 2x 3+cos 2 x ≤sin 2x +3+cos 2x 2 =2, 当且仅当sin 2x =3+cos 2x 时等号成立,此方程无解, ∴等号取不到,2不是f (x )的最大值; ③错误:当x >0时,x +1 x ≥2 x ·1x =2, 当且仅当x =1 x ,即x =1时等号成立; 当x <0时,-x >0,x +1 x =-? ?? ??-x +1-x ≤-2 -x ·1 -x =-2, ¥ 当且仅当-x =-1 x ,即x =-1时等号成立. ∴f (x )=x +1 x 的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞); ④正确:利用作差法进行判断.

∵a 2+b 2+2ab =(a +b )2≥0,∴a 2+b 2≥-2ab , 其中等号成立的条件是a +b =0,即a =-b . 2.[2019河北张家口模拟]已知a +2b =2,且a >1,b >0,则 2 a -1+1 b 的最小值为( ) A .4 B .5 C .6 D .8 答案:D 解析:因为a >1,b >0,且a +2b =2, \ 所以a -1>0,(a -1)+2b =1, 所以2a -1+1b =? ????2 a -1+1 b ·[(a -1)+2b ] =4+4b a -1 +a -1b ≥4+2 4b a -1·a -1 b =8, 当且仅当4b a -1=a -1 b 时等号成立, 所以2a -1 +1b 的最小值是8,故选D. 3.若2x +2y =1,则x +y 的取值范围是( ) A .[0,2] B .[-2,0] C .[-2,+∞) D .(-∞,-2] ! 答案:D 解析:∵2x +2y ≥22x ·2y =22x +y (当且仅当2x =2y 时等号成立), ∴2 x +y ≤12,∴2x +y ≤14, 得x +y ≤-2.故选D. 4.已知x >0,y >0,且4xy -x -2y =4,则xy 的最小值为( ) B .2 2 D .2 答案:D 解析:∵x >0,y >0,x +2y ≥22xy , ∴4xy -(x +2y )≤4xy -22xy , ∴4≤4xy -22xy ,

高考数学百大经典例题——不等式解法

典型例题一 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或 0)(-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 , 0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分. ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--

①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 (1)解:原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 (2)解法一:原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二:原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习:专题1_第2讲_不等式与线性规划(含答案)

第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题.基本不等式主要考查求最值问题,线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题. 2.多与集合、函数等知识交汇命题,以选择、填空题的形式呈现,属中档题. 1.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2+bx +c >0(a ≠0),再求相应一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f (x )g (x )>0(<0)?f (x )g (x )>0(<0);②变形?f (x ) g (x )≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时,a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x );②当0a g (x )?f (x )1时,log a f (x )>log a g (x )?f (x )>g (x )且f (x )>0,g (x )>0; ②当0log a g (x )?f (x )0,g (x )>0. 2.五个重要不等式 (1)|a |≥0,a 2 ≥0(a R ∈). (2)a 2+b 2≥2ab (a 、b R ∈). (3)a +b 2≥ab (a >0,b >0). (4)ab ≤(a +b 2)2 (a ,b R ∈. (5) a 2 +b 22≥a +b 2≥ab ≥2ab a +b (a >0,b >0). 3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等. (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据线性目标函数的几何意义确定最优解;③求出目标函数的最大值或者最小值. 4.两个常用结论 (1)ax 2+bx +c >0(a ≠0)恒成立的条件是???? ? a >0,Δ<0. (2)ax 2 +bx +c <0(a ≠0)恒成立的条件是? ???? a <0, Δ<0. 热点一 一元二次不等式的解法 例1 (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为? ?? ? ??x |x <-1或x >12,则f (10x )>0的解集为( ) A .{x |x <-1或x >-lg 2} B .{x |-1-lg 2} D .{x |x <-lg 2} (2)已知函数f (x )=(x -2)(ax +b )为偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则f (2-x )>0的解集为( ) A .{x |x >2或x <-2} B .{x |-24} D .{x |00.(2)利用f (x )是偶函数求b ,再解f (2-x )>0. 思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识,也是高考的热点,“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法. (1)不等式x -1 2x +1 ≤0的解集为( ) A .(-12,1] B .[-1 2 ,1] C .(-∞,-12)∪[1,+∞) D .(-∞,-1 2 ]∪[1,+∞) (2)已知p :?x 0R ∈,mx 20+1≤0,q :?x R ∈,x 2+mx +1>0.若p ∧q 为真命题,则实数m 的取值范围是( ) A .(-∞,-2) B .[-2,0) C .(-2,0) D .[0,2] 热点二 基本不等式的应用 例2 (1)(2014·湖北)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为F =76 000v v 2+18v +20l . ①如果不限定车型,l =6.05,则最大车流量为________辆/时; ②如果限定车型,l =5,则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时. (2)(2013·山东)设正实数x ,y ,z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0,则当xy z 取得最大值时,2x +1y -2 z 的最大值为( )

高考数学复习+不等式选讲大题-(文)

专题十五不等式选讲大题 (一)命题特点和预测: 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题,发现8年8考,主要考查绝对值不等式的解法(出现频率太高了,应当高度重视)、不等式恒成立或有解求参数的范围,考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式,难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法(出现频率太高了,应当高度重视)、不等式恒成立或有解求参数的范围,考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式,难度为基础题. (二)历年试题比较: . 时,求不等式 时不等式成立,求的取值范围. 已知函数, 的解集; 的解集包含

已知函数 ?并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 (2018年)【解析】(1)当时,,即 故不等式的解集为. (2)当时成立等价于当时成立.若,则当时;

若,的解集为,所以,故. 综上,的取值范围为. (2017年)【解析】 x>时,①式化为,从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题. (2016年)【解析】(I) y=的图像如图所示. f ) (x

(II )由)(x f 的表达式及图像,当1)(=x f 时,可得1=x 或3=x ; 当1)(-=x f 时,可得3 1 = x 或5=x , 故1)(>x f 的解集为{} 31<x f 的解集为 . 【名师点睛】不等式选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写成集合的形式. 以△ABC 的面积为22 (1)3 a +. 由题设得 22 (1)3 a +>6,解得2a >.

2020高考数学不等式知识复习汇总

2020高考数学不等式知识复习汇总 高考是人生道路上的重要转折点,会对考生的未来发展产生重要的影响作用,甚至改变命运。想要在高考中取得好成绩,自然是要付出努力的,只有努力才能获得回报。这里给大家分享一些2020高考高频考点知识归纳,希望对大家有所帮助。 2020高考数学不等式知识复习汇总 高中数学不等式知识点总结: 1.用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。 2.性质: ①如果xy,那么yy;(对称性) ②如果xy,yz;那么xz;(传递性) ③如果xy,而z为任意实数或整式,那么x+zy+z;(加法原则,或叫同向不等式可加性) ④如果xy,z0,那么xzyz;如果xy,z0,那么xz ⑤如果xy,mn,那么x+my+n;(充分不必要条件) ⑥如果xy0,mn0,那么xmyn; ⑦如果xy0,那么x的n次幂y的n次幂(n为正数),x的n次幂。或者说,不等式的基本性质有: ①对称性; ②传递性; ③加法单调性,即同向不等式可加性;

④乘法单调性; ⑤同向正值不等式可乘性; ⑥正值不等式可乘方; ⑦正值不等式可开方; ⑧倒数法则。 3.分类: ①一元一次不等式:左右两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 ②一元一次不等式组: a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式组。 b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。 4.不等式考点: ①解一元一次不等式(组) ②根据具体问题中的数量关系列不等式(组)并解决简单实际问题 ③用数轴表示一元一次不等式(组)的解集 注:不等式两边相加或相减同一个数或式子,不等号的方向不变。(移项要变号) 不等式两边相乘或相除同一个正数,不等号的方向不变。(相当系数化1,这是得正数才能使用) 不等式两边乘或除以同一个负数,不等号的方向改变。(÷或×1个负

(完整)高中数学不等式练习题

高中数学不等式练习题 一.选择题(共16小题) 1.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是() A.a+<<log2(a+b))B.<log2(a+b)<a+ C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b))<a+< 2.设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则() A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 3.若x,y满足,则x+2y的最大值为() A.1 B.3 C.5 D.9 4.设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是()A.﹣15 B.﹣9 C.1 D.9 5.已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是()A.0 B.2 C.5 D.6 6.设x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为() A.0 B.1 C.2 D.3 7.设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是()A.[﹣3,0]B.[﹣3,2]C.[0,2]D.[0,3] 8.已知变量x,y满足约束条件,则z=x﹣y的最小值为()A.﹣3 B.0 C.D.3

9.若变量x,y满足约束条件,则目标函数z=﹣2x+y的最大值为()A.1 B.﹣1 C.﹣ D.﹣3 10.若a,b∈R,且ab>0,则+的最小值是() A.1 B.C.2 D.2 11.已知0<c<1,a>b>1,下列不等式成立的是() A.c a>c b B.a c<b c C.D.log a c>log b c 12.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则的最小值是() A.2 B.2 C.4 D.2 13.设a>0,b>2,且a+b=3,则的最小值是() A.6 B.C.D. 14.已知x,y∈R,x2+y2+xy=315,则x2+y2﹣xy的最小值是() A.35 B.105 C.140 D.210 15.设正实数x,y满足x>,y>1,不等式+≥m恒成立,则m的最大值为() A.2 B.4 C.8 D.16 16.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为()A.B.C.D. 二.解答题(共10小题) 17.已知不等式|2x﹣3|<x与不等式x2﹣mx+n<0的解集相同. (Ⅰ)求m﹣n; (Ⅱ)若a、b、c∈(0,1),且ab+bc+ac=m﹣n,求a+b+c的最小值. 18.已知不等式x2﹣2x﹣3<0的解集为A,不等式x2+x﹣6<0的解集为B.(1)求A∩B;

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