DFT及IDFT的定义

DFT及IDFT的定义
DFT及IDFT的定义

2 DFT 及IDFT 的定义

DFT 定义:设()s nT h 是连续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=N n ,这N 个点的宽度为N 的DFT

为:[])1,...,1,0(,)()(10/2-=????

??==?-=π-∑N k NT k H e nT h nT h DFT s N n N nk j s s N

IDFT 定义:设???

? ??s NT k

H 是连续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k , 这N 个点的宽度为N 的IDFT 为:

())1,...,1,0(,110/21-==???

? ??=?????????? ???-=-∑N k nT h e NT k H N NT k H DFT s N k N nk j s s N π N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数,N nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。它们互为共轭。

同样的信号,宽度不同的DFT 会有不同的结果。DFT 正逆变换的对应关系是唯一的,或者说它们是互逆的。

引入N j N e W /2π-=

用途:

正逆变换的核函数分别可以表示为nk N W 和nk N W -。

核函数的正交性可以表示为:())(*10r n N W W kr N N k kn N

-δ=∑-=

DFT 可以表示为:)1,,1,0(,)(10-==???? ??∑-=N k W nT h NT k H N n nk N s s

IDFT 可以表示为:)1,,1,0(,

1)(10-=???? ??=∑-=-N n W NT k H N nT h N k nk N s s

性质:周期性和对称性:

12==π-j N N e W

12/-==π-j N N e W

r N r N N N r N N W W W W ==+

r N r N N N r N N W W W W -=-=+2/2/

)(1Z m W m N ∈?=

),(/2/2Z n m W e e W n N N n j m N m n j m n m N ∈?===π-π-

3 离散谱的性质 离散谱定义:称)(Z k NT k H H S k ∈????

??=?为离散序列)0)((N n nTs h <≤的DFT 离散谱,简称离散谱。

性质:

周期性:序列的N 点的DFT 离散谱是周期为N 的序列。 共扼对称性:如果)0)((N n nTs x <≤为实序列,则其N 点的DFT 关于原点和N /2都具有共轭对

称性。即*k k H H =-;*k k N H H =-;*22k N

k N

H H =±

幅度对称性:如果)0)((N n nTs x <≤为实序列,则其N 点的DFT 关于原点和N /2都具有幅度对称性。即k k H H -=;k k N H H =-;k N

k N

H H 22=±

改写:

简记)(s nT h 为)(n h 简记???

? ??s NT k

H 为)(k H DFT 对简记为:)()(k H n h D FT ?或)()(k H n h ?

()[])1,,1,0(,)()(1

0-===∑-=?N k W n h n h DFT k H N n nk N

[]())1,,1,0(,1)()(1

01-===∑-=--?N n W k H N k H DFT n h N k nk N

正方形的性质和判定定理

《正方形的判定》的教学设计 教学目的:使学生掌握正方形的定义、性质和判定,会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算,理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系和区别,进一步加深对“特殊与一般的认识。 教学重点:正方形的定义. 教学难点:正方形与矩形、菱形间的关系. 教学方法:双边合作如:在教学时可播放转换动画使学生获得生动、形象的可视思维过程,从而掌握判定一个四边形是正方形的方法.为了活跃学生的思维,可以得出下列问题让学生思考: (1)对角线相等的菱形是正方形吗?为什么? (2)对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么? (3)对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?如果不是,应该加上什么条件? (4)能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗?为什么? (5)说“四个角相等的四边形是正方形”,对吗? 教学过程: 让学生将事先准备好的矩形纸片,按要求对折一下,裁出正方形纸片. 问:所得的图形是矩形吗?它与一般的矩形有什么不同? 所得的图形是菱形吗?它与一般的菱形有什么不同? 所得的图形在小学里学习时称它为什么图形?它有什么特点? 由此得出正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. (一)新课 由正方形的定义可以得知:正方形是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形,因此正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质. 请同学们推断出正方形具有哪些性质? 性质1、(1)正方形的四个角都是直角。 (2)正方形的四条边相等。 性质2、(1)正方形的两条对角线相等。 (2)正方形的两条对角线互相垂直平分。 (3)正方形的每条对角线平分一组对角。 例1 求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知:四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O. 求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形. 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD,AC⊥BD,AO=CO=BO=DO (正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分). ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△ BCO≌△CDO≌△DAO. 问:如何判定一个四边形是正方形呢? 正方形的判定方法: 1.先判定四边形是矩形,再判定这个矩形是菱形; 2.先判定四边形是菱形,再判定这个菱形是矩形.

旋转的概念及性质

旋转的概念及性质 复习:一、平移:是指在同一平面内,将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离, 这样的图形运动叫做图形的平移运动,简称平移。 归纳平移性质:(1)平移前后的两个图形是全等形。 (2)经过平移,对应线段平行(或共线)且相等,对应角相等, (3) 图形平移后,对应点连成的线段平行且相等(或在同一直线上) 1.将如图所示的四边形ABCD平移,使点B的对应点为点D,作出平移后的图形. 二、轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴。 归纳轴对称的性质:(1)成轴对称的两个图形是全等形。 (2)两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。(3)两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。2.如图,已知△ABC和直线L,请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′. 新知:图形的旋转:1、定义_____________________________________________________. 2、旋转四要素:_____________________________________________. 3、旋转中有哪些变量和不变的量:_____________________________________ 4、旋转方向有____________________________________________ 归纳旋转的性质:(1)____________________________________________ (2)______________________________________________________________ (3)_________________________________________________________________ (4)______________________________________________________ 例1.如图,如果把钟表的指针看做三角形OAB,它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF,在这个旋转过程中: (1)旋转中心是什么?旋转角是什么? (2)经过旋转,点A、B分别移动到什么位置? 随堂练习题:1、如图,可以看到点A旋转到点A′,OA旋转到OA′,∠AOB旋转到∠A′OB′,这些都是互相对应的点、线段与角. 那么,点B的对应点是

旋转的定义和性质

E D C B A 旋转的定义和性质 1. 将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90 °后可以得到的图案是( ) A . B . C . D . 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2、如图,P 是正△ABC 内的一点,若将△PBC 绕点B 旋转到△P ’BA ,则∠PBP ’的度数是 ( ) A .45° B .60° C .90° D .120° 3、如图,∠AOB =90°,∠B =30°,△A ’OB ’可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角 度得到的,若点A ’在AB 上,则旋转角α的大小可以是 ( ) A .30° B .45° C .60° D .90° 4、如图所示,在平面直角坐标系中,点A 、B 的坐标分别为(﹣2,0)和(2,0).月牙① 绕点B 顺时针旋转900 得到月牙②,则点A 的对应点A ’的坐标为 ( ) A.(2,2) B.(2,4) C.(4,2) D.(1,2) 5.如图,△ABC 、△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形,BC 和DE 分别是底边,图中△ 与 △ 可以通过以点 为旋转中心,旋转角度为 得到.其中∠BAD =∠ , CE = . 6.如图,将矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转90°,得到矩形FECG ,分别连接AC 、 FC 、AF ,若AB =3,BC =2,则 AF = . 7.如图所示,把△ABC 绕点C 顺时针转35°得到△FEC ,EF 交AC 于点D ,若∠FDC =90°, 则∠A = . (第5题) (第6题) (第7题) (第8题) 8.如图,将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°,得到△DOE ,若点A 坐标为(a ,b ),则点 D 的坐标为 . 9.如图,如果把钟表的指针看做三角形OAB ,它绕O 点按顺时针方向旋转得到△OEF ,在这 个旋转过程中: (1)旋转中心是什么?旋转角是什么? G F E D B A F E D C B A

正方形的性质

课题:正方形(性质) 授课人:冯光军 教学目标 知识目标: 了解正方形的有关概念,理解并掌握正方形的性质. 能力目标: 经历探索正方形有关性质、判定条件的过程,在观察中寻求新知,在探究中发展推理能力,逐步掌握说理的基本方法. 情感目标: 培养合情推理能力和探究习惯,体会平面几何的内在价值. 教学重点、难点、关键 重点:探索正方形的性质. 难点:掌握正方形的性质. 关键:把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容. 教学准备 教师准备:矩形纸片,活动的菱形框架. 学生准备:复习平行四边形、矩形、菱形性质,预习本节课内容. 学法解析 1.认知起点:已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识,?在取得一定的经验的基础上,认知正方形. 2.知识线索: 3.学习方式:采用自导自主学习的方法解决重点,突破难点. 教学过程 一、合作探究,导入新课 显示内容:举出生活中有关正方形例子,展示出正方形图片。 【活动方略】 教师活动:边展示图片,边提出下面的问题: 1.同学们观察的图片后,有什么联想?正方形四条边有什么关系??四个角呢? 2.正方形是矩形吗?是菱形吗?为什么? 3.正方形具有哪些性质呢? 学生活动:观察展示的正方形图片.进行联想.易知:1.?正方形四条边都相等(小学已学过);正方形四个角都是直角(小学学过). 实验活动:教师拿出矩形折叠.然后展开,让学生发现:只要矩形一组邻边相等,这样的特殊矩形是正方形;同样,教师拿出活动菱形框架,运动中让学生发现:只要菱形有一个内角为90°,这样的特殊菱形是正方形. 教师活动:组织学生联想正方形还具有哪些性质,板书画出一个正方形,如下图:

旋转知识点归纳

旋转知识点归纳 知识点1:旋转的定义及其有关概念 在平面内,将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个 角度,这样的图形运动称为旋转,定点O 称为旋转中心,转动的角称为旋转角;如果图形上的点P 经过旋转到点P ',那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB 绕点O 顺时 针转动0 90得到B A '',这就是旋转,点O 就是旋转中 心,A AO B BO '∠'∠,都是旋转角. 说明: 旋转的范围是在平面内旋转,否则有可能旋转为立体图形,因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向. 知识点2:旋转的性质 由旋转的定义可知,旋转不改变图形的大小和形状,这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质: ⑴经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,对应点的排列次序相同. ⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. ⑶对应点到旋转中心的距离相等. ⑷对应线段相等,对应角相等. 例1 、如图2,D 是等腰Rt △ABC 内一点,BC 是斜边,如果将△ADB 绕点A 逆时针方向旋转到△C D A '的位置,则 ADD '∠的度数是( )D A.25 B.30 C.35 D.45 分析:抓住旋转前后两个三角形的对应边相等、对应角相等等性质,本题就很容易解决. 由△C D A '是由△ADB 旋转所得,可知 △ADB ≌△C D A ',∴AD =D A ',∠DAB =∠AC D ',∵∠DAB +∠DAC =090, ∴∠AC D '+∠DAC =090,∴∠045='D AD ,故选D. ' 图1 D 图2

正方形的性质和应用

正方形的性质和应用 教学目标 (1)理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间联系和区别. (2)能用正方形的定义、性质和判定进行推理与计算. 学情分析 八年级学生在小学已经接触过正方形,对正方形的特征有所了解,同时在前面的学习中,学生已初步具有了研究平行四边形和特殊平行四边形的性质和判定的能力,掌握了研究几何图形性质和判定的一般思路和方法. 但是,各种特殊平行四边形的概念、性质容易混淆,在应用性质和判定的时候,会出现条件用错,少用等错误. 基于以上分析,确定本节课的教学难点是:正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系. 3重点难点 正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间联系和区别. 教学活动 活动1【导入】1. 创设情境,引入新课 问题1 前面我们学习了哪些特殊的四边形? 它们的概念是什么? 追问:平行四边形与矩形、菱形有什么联系? 问题2 在我们的生活中,除了矩形和菱形,还有什么特殊的平行四边形吗? 问题3 怎样研究这类图形?我们是怎样研究矩形和菱形的? 正方形与矩形、菱形之间又有什么联系呢? 活动2【讲授】2. 观察思考,得出概念 问题4 用一张长方形的纸片(如图1)折出一个最大的正方形吗? 说说折出的四边形是正方形的依据. 问题5 某一拉门在完全关闭时(如图2),其相应的菱形变成正方形. 请说明图中∠1的变化过程. 追问1: 什么样的矩形是正方形? 什么样的菱形是正方形? 追问2: 你能给正方形下个定义吗? 现在你对正方形有哪些新的认识? 活动3【活动】3. 类比学习,探索新知评论 问题6 正方形是特殊的矩形,特殊的菱形,正方形有哪些性质?(完成学习单中表格) 问题7 正方形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? 它有几条对称轴? 问题8 如何判定一个四边形是正方形?并和同伴交流你的想法. 追问:你能解决刚才的折纸问题和拉门在关闭时菱形变成正方形的问题了吗? 活动4【练习】4. 尝试运用,解决问题 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质( ) (A)四条边相等(B) 对角线相等 (C)对角线平分一组对角(D)对角线互相垂直平分 2.下列命题正确的是( ) (A)四个角都相等的四边形是正方形 (B)四条边都相等的四边形是正方形 (C)对角线垂直相等的四边形是正方形 (D)对角线互相垂直的矩形是正方 形

正方形的定义性质判定

正方形的定义性质判定 执笔:陈振华课型:新课审稿:八年级数学组 教学目标:理解正方形的定义,掌握正方形的性质和判定方法 预习导航 一、理解定义 1、如何将长方形纸片折叠后得到正方形图形,折一折 2 由上面的操作可给正方形定义为______________的矩形叫正方形 3、如何将顶点不固定的棱形变为正方形 因此,我们还可以把_____________的棱形叫正方形 二、找性质 1、因为正方形是特殊的矩形,所以它具有矩形的性质,对边_________,四角都 是__________,对角线_______________ 2、因为正方形是特殊的棱形,所以它具有棱形的性质,四边_____,对角线___ ___且_________ 讲例与探究 探究一、(1)求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个全等的等腰直角三角形 (2)若边长为a,求BO的长 D 探究二、 边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30度到正方形AB 1C 1 D 1 的位置,则图 中阴影部分的面积是

1、求证:对角线互相垂直的矩形是正方形 2、在边长为12cm 的正方形纸片ABCD 的BC 边上有一点P ,已知PB =5cm ,如果将纸折起,使点A 落在点P 上,试求折痕的长度。 3、设P 是正方形ABCD 内的一点,满足PA ∶PB ∶PC =1∶2∶3,求∠APB . 4、 ABCD 为正方形,MN ∥AB 且MN 分别交OA 、OB 于M 、N , 求证:BM =CN 。

2、如图,正方形ABCD 中,△BEC 为等边三角形,求∠EAD 的度数 3、四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 上任一点,∠AEF=90°,且EF 交正方形的外角的平分线CF 于点F ,求证:AE=AF 1.如图(5),在AB 上取一点C ,以AC 、BC 为正方形 的一边在同一侧作正方形AEDC 和BCFG 连结AF 、BD 延长BD 交AF 于H 。 试猜想AF 与BD 的关系并证明 B A

正方形的性质与判定

主讲:叶良国 课题:正方形的性质与判定(1) 课型:新授课 教学目标: 1.了解正方形概念,理解并掌握正方形的性质和判定方法,通过由一般到特殊的研究方法,分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系.并形成文本信息与图形信息相互转化的能力. 2.在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质和判定定理过程中,发展合情推理能力,进一步培养自己的说理习惯与能力 3.培养学生勇于探索、团结协作交流的精神.激发学生学习的积极性与主动性. 教学重难点: 重点:探索正方形的性质与判定。 难点:掌握正方形的性质和判定的应用方法。 关键:把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节内容教学过程 教学过程: 一、回忆童年,情境引入 想一想:什么是矩形?是菱形? 做一做:大家小时候都做过风车吗?在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片,大家来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形. 设计意图:学生在动手中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系. 猜一猜:什么样的平行四边形是正方形? 正方形定义:有一组邻边相等 .....叫做正方形. .......的平行四边形 ......并且有一个角是直角 看一看:几何画板演示动画 设计意图:从学生的生活实际出发,从制作、动画中,提出问题,创设情境,激发学生强烈的好奇心和求知欲。 我们这节课就来研究正方形.板书课题【正方形的性质与判定】

二、实践探究,交流新知 师:其定义包括了两层意:⑴有一组邻边相等的平行四边形(菱形)⑵有一个角是直角的平行四边形(矩形),所以说正方形既是菱形又是矩形. 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系?你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗?与同伴交流. 生:画图展示 设计意图:锻炼学生文本信息图形化的能力.构建他们之间的逻辑关系;重建学生的认知结构. 师:正方形都具有什么性质呢? 生:由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.所以它应该具备菱形和矩形的所有性质.(多媒体补充显示性质)正方形性质 ①正方形的四个角都是直角,四条边都相等. ②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分. 师:同学们从正方形定义中能尝试口述这两个命题的证明过程吗? 生:学生独立完成,并相互交流 师:正方形有几条对称轴? 生:思考或者画图验证 师:什么样的矩形是正方形?什么样的菱形是正方形?(多媒体演示) 设计意图:通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系,明确正方形的判定。 生:回答正方形判定(多媒体补充显示判定) 正方形的判定 ①有一组邻边相等的矩形是正方形. ②有一个角是直角的菱形是正方形.

正方形的定义和性质探究

正方形性质教学设计 梁镇辉 2017年3月28日 课题:正方形的定义与性质探究 科目:数学教学对象:初二年级课时: 1课时 提供者:梁镇辉单位:广州市第十六中学 一、教学内容分析 本教学设计通过展示生活中的正方形,回忆关于正方形定义,对正方形定义从矩形、菱形角度再次理解分析后,重新定义正方形,并在重新定义过程中自主探究获取正方形性质。 正方形的性质探究是在已学矩形和菱形的基础上,在研究它们的特殊情况,教材给出了正方形的概念,让学生自己研究正方形的性质定理。 观整个教材,《正方形的性质》是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、矩形、菱形等有关知识及简单图形的平移和旋转等平面几何知识,并且具备有初步的观察、操作等活动经验的基础上出现的。目的在于让学生通过探索正方形的性质,进一步学习、掌握说理和进行简单推理的数学方法。这一节课既是前面所学知识的延续,又是对平行四边形、菱形、矩形进行综合的不可缺少的重要环节。教材从学生年龄特征、文化知识实际水平出发,先让学生动手做,动脑思考,然后与同伴交流、探索、总结归纳,升华得出正方形的概念,再由概念去探索正方形的性质。这样的安排使学生在整个学习过程中真正享受到探索的乐趣。 二、教学目标: (一)知识目标: 1、要求学生掌握正方形的概念及性质; 2、能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证; (二)能力目标: 1、通过本节课培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力; 2、发展学生合情推理意识,主动探究的习惯,通过对正方形性质推理论证的过程,逐步掌握说理的基本方法; (三)情感目标: 1、让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风; 2、培养学生互相帮助、团结协作、相互讨论的团队精神; 三、学习者特征分析 学生已经历平行四边形、矩形、菱形性质与判定的探究,具有正方形性质研究的基础,即从边长、角、对角线角度研究正方形性质就顺理成章。 学生可能对平行四边形、矩形、菱形的性质有所混乱(6班更容易混乱,4班稍好) 四、教学策略选择与设计

图形的旋转及其性质

§8.3 平面图形的旋转(1) 学习目标 1. 了解平面图形旋转基本性质; 2. 能通过具体实例认识平移,理解旋转的基本内涵,理解平面图形的旋转性质 学习重点:旋转的基本内涵与基本性质。 学习难点:平面图形的旋转性质的应学习过程 一、课前准备 P13,找出疑惑之处,并记录下来 二、回顾: 1、平移的概念:在平面内,将一个图形 (),这样的图形运动称为平移。 平移不改变图形的()和()。只改变图形的() 2、、平移的性质:经过平移,对应点所连的线段()且(),对应线段()且(),()相等。 二、新课导学 ※学习探究 探究任务(一):1、平面图形旋转的定义: 在平面内,将一个图形 这样的图形运动称为旋转。 注:(1)这个定点称为 (2)转动的角称为 (3)旋转不改变图形的 只是发生变化。 2、举一些生活中旋转的实例 (二)、探索旋转的基本性质: 1、想一想: 如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕点O按顺时针方向旋转得到四边形DOEF,在这个旋转过程中: ①旋转中心是什么?旋转角是什 么? ②经过旋转,点A、B分别移动到 什么位置? ③AO、DO的长有什么关系?BO、 EO呢? ④∠AOD与∠BOE有什么大小关系?

2、旋转的基本性质: (1)经过旋转,图形上的每一点都绕沿 转动了,任意一对的连线所成的角都是; (2)对应点到旋转中心的。 (3)旋转前后的两个图形是。(4)旋转前后的两个图形的是 ※典型例题 例1.(钟表问题中的旋转) 钟表的分针旋转一周需要60分钟。 (1)指出它的旋转中心, (2)经过20分钟,分针转了多少度?时针呢? 3、旋转图形与基本图形 1、现实生活中许许多多的图形是由一些基本图形经过旋转后得到的。如: 这三个图形分别是由 基本图形经过 旋转后得到的。 2、作课本P12页的做一做 ※学习小结 写出本节课你有哪些收获? 学习评价 ※当堂检测(时量:5分钟满分:100 分)计分: 1、下列说法正确的是() A. 平移不改变图形的形状和大 小,而旋转则改变图形的形状和大小 B. 平移和旋转的共同点是改变图 形的位置 C. 图形可以向某方向平移一定距 离,也可以向某方向旋转一定距离 D. 在平移和旋转图形中,对应角 相等,对应线段相等且平行 2、下图是一个旋转对称图形,要使 它旋转后能与自身重合,至少应将它 绕中心点旋转的度数是() A. 30° B. 60° C. 120° D. 180° 3、如图8,把三角形△ABC绕着点 C顺时针旋转35°,得到△A'B'C, A'B'交AC于点D,若∠A’DC=90°, 则∠A的度数是__________。 4、如图5,在正方形ABCD中,E 为DC边上的点,连结BE,将△BCE 绕点C顺时针方向旋转90°得到△ DCF,连结EF,若∠BEC=60°,则 ∠EFD的度数为() A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°

正方形的定义和性质

八年级下数学导学稿 18.2.3正方形的定义和性质 、学习目标 1. 掌握正方形的概念,理解它具有矩形和菱形一切性质,并会应用它们计算和证明。 2. 掌握正方形、矩形和菱形间的概念、性质的区别和联系。 3. 学会用正方形的性质解决一些问题,进一步发展学生的推理能力。 二、 学习重点、难点 1 ?学习重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的性质的联系. 2 ?学习难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质的灵活运用. 三、 学习过程 (一)知识回顾 1 ?做一做:用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形. 学生在动手做中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系?问题:什么样的四边形是正方 形? 2. 分别说说平行四边形、矩形、菱形的定义和性质。 (二) 自主学习 (1) . 正方形有什么特点?它是矩形吗?它是菱形吗? (2) . 正方形和矩形、菱形相比有什么特殊的地方 (3) . 正方形如何定义?它有什么性质? (4) . 命题的证明包括几个步骤? (三) 创设情景一 创设情景二 (四)正方形的定义 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系用图如何表达 (五)正方形有什么性质? 它是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形 由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形. 所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质. 1个僮

学生分组讨论,得出正方形的性质 (六)、例习题分析 例1 (教材P111的例4)求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知:四边形ABCD是正方形,对角线AC BD相交于点0 (如图). 求证:△ ABO △ BCO △ CDO △ DAO 是全等的等腰直角三角形. 例2 (补充)已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O, E是OB上的一点,DGLAE于G, DG 交OA于F. 求证:OE=OF 分析:要证明OE=OF只需证明厶AEO^^ DFO由于正方形的对角线垂直平分且相等,可以得到/ AOE= / DOF=90°, AO=DO再由同角或等角的余角相等可以得到/ EAO2 FDQ根据ASA可以得到这两个三角形 全等,故结论可得. 证明:???四边形ABCD是正方形, ???/ AOE M DOF=90 , AO=D(正方形的对角线垂直平分且相等). 又DGL AE ?- / EAO# AEO N EDG£AEO=90 . / EAO# FDO ?△ AEO ◎△ DFO ?OE=OF . 四、尝试练习 1、正方形具有而矩形不定具有的性质是() A 、四个角相等? B 、对角线互相垂直平分 C、对角互补? D 、对角线相等? ) 2、正方形具有而菱形不 A 、四条边相等? 定具有的性质( B 、对角线互相垂直平分? C 、对角线平分一组对角? D 、对角线相等? 3. 一个正方形的面积等于8,则其对角线的长为________ D U

旋转的定义和性质 优秀课教案

3.2图形的旋转 第1课时旋转的定义和性质 1.掌握旋转的概念,了解旋转中心, 旋转角,旋转方向,对应点的概念及其应用; 2.掌握旋转的性质,应用概念及性质 解决一些实际问题.(重点,难点) 一、情境导入 飞行中的飞机的螺旋桨、高速运转中的 电风扇等均属于旋转现象.你还能举出类似 现象吗? 二、合作探究 探究点一:旋转的定义 【类型一】旋转的认识 如图,将左边叶片图案旋转180° 后,得到的图形是() 解析:将叶片图案旋转任何角度和A、 B中的图案均不重合;不旋转或旋转360° 后和C中的图案重合,不合要求;顺时针或 逆时针旋转180°后只和D中的图案重合, 故选D. 【类型二】旋转图形的识别 下列图形:线段、等边三角形、 正方形、等腰梯形、正五边形、圆,其中是 旋转对称图形的有哪些? 解析:由旋转对称图形的定义逐一判断 求解. 解:线段、等边三角形、正方形、正五 边形、圆都是旋转对称图形. 方法总结:判断一个图形是否是旋转对 称图形,其关键是要看这个图形能否找到一 个旋转中心,且图形能绕着这个旋转中心旋 转一定角度与自身重合. 【类型三】旋转角的判断 如图,点A、B、C、D都在方格 纸的格点上,若△AOB绕点O按逆时针方 向旋转到△COD的位置,则旋转的角度为 ( ) A.30° B.45° C.90° D.135° 解析:对应点与旋转中心的连线的夹 角,就是旋转角,∠BOD,∠AOC都是旋 转角.由图可知,OB、OD是对应边,∠BOD 是旋转角,所以,旋转角∠BOD=90°.故 选C. 探究点二:旋转的性质 【类型一】旋转性质的理解 如图,四边形ABCD是边长为4 的正方形且DE=1,△ABF是△ADE旋转 后的图形. (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转了多少度?

第1课时 旋转的概念与性质(教案)

第二十三章旋转 23.1图形的旋转 第1课时旋转的概念与性质 【知识与技能】 通过观察具体实例认识旋转,探索它的基本性质. 【过程与方法】 在发现、探索的过程中完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变,发展学生直观想象能力,分析、归纳,抽象概括的思维能力. 【情感态度】 学生在实验探究、知识应用等数学活动中,能体验数学的具体、生动、灵活,增强数学应用意识,调动学生学习数学的主动性. 【教学重点】 归纳图形的旋转特征. 【教学难点】 旋转概念的形成过程及性质的探究过程. 一、情境导入,初步认识 问题 1 以前我们学过图形的平移、轴对称等变换,它们有哪些特征呢?想想看,并与同伴交流. 问题2 请观察下列图形的变化(教师展示实物或图片或用课件展示): (1)时钟针面上时针的转动(顺时针方向旋转和逆时针方向转动); (2)风车的转动; (3)电扇上扇叶的转动; (4)小朋友荡秋千; (5)汽车雨刷的转动; 以上图形的转动有什么共同特点呢?你还能举出这样类似的生活中的情境吗?

【教学说明】问题1的回顾,可让学生感受到现实生活中存在着平移,轴对称变换,结合问题2,可进一步感受生活中存在着旋转变换,增强探究欲望,进而导入新课.对于问题2,应鼓励学生通过观察、思考、讨论,用自己的语言来描述这个现象的共同特征,初步感受到旋转的基本性质是绕某一固定点转动一定的角度. 二、思考探究,获取新知 探究1 如图,用一根细线一端拴住小球,另一端固定在支架上(教师事先准备好实物),当小球绕点O由A摆动至B,由B摆动至A的过程中,试问:小球绕着哪个点转动?它们转动方向如何?转动的角度是哪个角? 探究2 如图,用一根较长细线系住木棒AB的两端,再将细线固定于支架上的点O(教师事先准备好实物),再将木棒提取使之自然摆动至A′B′位置.试问:在转动过程中,木棒AB绕着哪一点在转动?木棒AB的长度发生了变化吗?A和A′到点O的距离发生了变化吗?B和B′点呢?由此你能发现哪些重要结论? 【教学说明】 1.在演示探究2中,应将细线缠绕在支架上点O处,使之不能滑动. 2.引导学生认真观察,独立思考过程中,教师可适时予以点拨,从而引出旋转的相关定义,并初步感受旋转的性质,最后师生共同总结. 旋转:把一个平面图形绕着平面内某一个点(如点O)旋转一个角度,就叫做图形的旋转.点O称为旋转中心,转动的角度称为旋转角.(注意突出旋转的三个要素:旋转中心、旋转角和旋转方向)

《正方形的性质及判定》教学设计2

A D C B F E M 图3 A N M F E D C B 备课教师备课年级八年级下册课型新授课 备课内容正方形学生 学习目标 1.知道正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算 2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别 教学重点正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系 教学难点正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用 教学准备多媒体课件、矩形纸片、菱形学具 教学过程: 题组训练一 1.请同学们口述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质。 平行四边形矩形菱形定义 边 角 对角线

图3

1、探究正方形的性质:(用符号语言填写) 正方形是特殊的平行四边形,既是矩形,又是___________ 边:______________________________________________ 角:________________________________________________ 对角线:_______________________________对称性:_________________________ 2、例:在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在AB ,AD 上,且BE =AF ,连接CE ,BF 相交于点G 。求证:BF ⊥CE 设计意图:课前学习微视频认识正方形,让学生用类比的方法从边、角、对角线三个角度总结正方形的性质,用文字语言叙述并用几何语言表示。在此基础上观察正方形是不是轴对称图形,并思考对称轴的条数。小组讨论的过程中教师要给与指导,并且重点关注学生能否用几何语言准确表示正方形的性质。教学中渗透转化思想,让学生理解几何语言、文字语言、图形语言三者之间的关系。 合作探究 精讲点拨 课堂升华 E 、 F 、M 、N 是正方形ABCD 四边上的点,AE=BF=CM=DN ,求证:四边形EFMN 是正方形。 设计意图: 练习题设置简单,基础,让学生进一步了解正方形的性质,并熟悉正方形常用的判定方法,教师重点关注学生的思维过程,对学生的答案及时评价,给学生充分的肯定和鼓励。同时注意总结应用的知识点及帮助学生完善思维过程。 B A D C 图1 O A N M F E D C B

正方形的性质与判定优秀教案精选版

正方形的性质与判定优 秀教案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

课题:1.3.1正方形的性质与判定 课型:新授课年级:九年级 教学目标: 1.理解正方形的概念,通过由一般到特殊的研究方法,分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系.并形成文本信息与图形信息相互转化的能力. 2.在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质定理过程中,发展合情推理能力,进一步培养自己的说理习惯与能力 3.培养学生勇于探索、团结协作交流的精神.激发学生学习的积极性与主动性. 教学重、难点: 重点:理解正方形的定义和性质. 难点:选择适当的方法解决有关正方形的问题. 教学过程: 一、回忆童年,情境引入 师:大家小时候都做过风车吗?在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片,大家再来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形. 学生在动手中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系. 师:结合菱形和矩形的定义想一想什么样的四边形是正方形? 学生思考回答

正方形定义:有一组邻边相等......并且有一个角是直角.......的平行四边形.....叫做正方形. 其定义包括了两层意:⑴有一组邻边相等的平行四边形(菱形)⑵有一个角是直角的平行四边形(矩形) 所以说正方形既是菱形又是矩形. (几何画板演示动画) 我们这节课就来深入了解正方形. 【板书课题1.3.1正方形的性质与判定】 设计意图:从学生的生活实际出发,创设情境,提出问题,激发学生强烈的好奇心和求知欲.学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程. 二、实践探究,交流新知 师:正方形都具有什么性质呢? 生:由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.所以它应该具备菱形和矩形的所有性质. 设计意图:通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系;同时,把思维兴奋点集中到要研究的正方形上来,为下面学习新知识创造了良好开端. 师:你能详细说一说吗? 生:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分. (多媒体显示)

旋转的概念和性质

A D F C E B 旋转的概念和性质 【预习引领】 1、旋转定义:在平面内,将一个图形绕一个定点旋转一定的角度, 这样的图形运动叫做 。这个定点叫 。旋转 的角度称为 。 2、△ABO 绕点O 旋转的过程中,你有什么发现? 点B 的对应点是点_______; 线段OB 的对应线段是线段_________; ∠A 的对应角是___ _;旋转中心是点_______; 若∠AOA′=45°,旋转的角度______。 【探究】 例1如图:如果旋转中心在△ABC 的外面点O 处,逆时针转动60°,将整个△ABC 旋转到△A′B′C′的位置.那么这两个三角形的顶点,边与角是如何对应的呢? 讨论:1.在上面两个探索中,△ABC 在旋转过程中,哪些发生了变化? 哪些没有改变? 2.你还可得出哪些结论? 归纳:图形旋转的性质: (1) 旋转前、后的图形 。 (2) 对应点到旋转中心的距离 。 (3) 每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此 。 例2如图,画出△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转900后的对应三角形; (1)如果点D 是AC 的中点,那么经过上述旋转后,点D 旋转到什么位置?请在图中将点D 的对应点D ′表示出来. (2)如果AD=1cm,那么点D 旋转过的路径是多少? 例3已知,如图边长为1的正方形EFOG 绕与之边长相等的正方形ABCD 的中心O 旋转任意角度,求图中阴影部分的面积. 例4如图,四边形ABCD 是正方形, △ ADE 经顺时针旋转后与△ABF 重合.请按图回答: (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转了多少度? (3)如果连结EF,那么△ AEF 是怎样的三角形? 【课堂操练】 1.下列现象属于旋转的是( ) (A )空中飞舞雪花.(B )摩托车在急刹车时向前滑动. (C )幸运大转盘转动的过程.(D )飞机起飞后冲向空中的过程. 2 .下列图案中,不能由一个图形通过旋转而构成的是( ) (A ) (B ) (C ) (D ) 第(3)题 第(4)题 3.如图,△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转到△EBD 的位置,若∠A =15o ,∠C =10o ,E ,B ,C 在同一直线上,则∠ABC =____________,旋转角度是____________. 4.如图,将一个正三角形绕其中心O 至少旋转____________可与自身重合. 5.在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫做格点). (1)画出△ABC 向平移4个单位后的△A 1B 1C 1; (2)画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90o 后的△A 2B 2C 2. C

正方形的性质说课稿

《正方形性质》说课稿 一、说教材(教材分析) 《正方形的性质》这节课是九年义务教育华师大版数学教材初二年级上册第十六章第二节的内容。纵观整个教材,《正方形的性质》是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、矩形、菱形等有关知识及简单图形的平移和旋转等平面几何知识,并且具备有初步的观察、操作等活动经验的基础上出现的。目的在于让学生通过探索正方形的性质,进一步学习、掌握说理和进行简单推理的数学方法。这一节课既是前面所学知识的延续,又是对平行四边形、菱形、矩形进行综合的不可缺少的重要环节。 教材从学生年龄特征、文化知识实际水平出发,先让学生动手做,动脑思考,然后与同伴交流、探索、总结归纳,升华得出正方形的概念,再由概念去探索正方形的性质。这样的安排使学生在整个学习过程中真正享受到探索的乐趣。 本节课的重点是正方形的概念和性质,难点是理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的内在联系。根据大纲要求及本班学生的实际情况,本节课制定了知识、能力、情感三方面的目标。 (一)知识目标: 1、要求学生掌握正方形的概念及性质; 2、能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证; (二)能力目标: 1、通过本节课培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力; 2、发展学生合情推理意识,主动探究的习惯,逐步掌握说理的基本方法; (三)情感目标: 1、让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风; 2、培养学生互相帮助、团结协作、相互讨论的团队精神; 3、通过正方形图形的完美性,培养学生品格的完美性。 二、说学生:(学生分析) 这节几何课是在初二年级上的一节课。该班学生基础一般,但上课很积极,有很强的表现欲,通过前一阵子的培养,具有一定的独立思考和探究的能力。但该班学生的口头语言表达能力方面稍有欠缺,所以在本节课的教学过程中,设计了让学生自己组织语言培养说理能力,让学生们能逐步提高。 三、说教法(教法分析) 针对本节课的特点,采用"实践--观察--总结归纳--运用"为主线的教学方法。 通过学生动手,采取几种不同的方法构造出正方形,然后通过和平行四边形、矩形、菱形的性质引导学生探究正方形的概念。通过观察、讨论、归纳、总结出正方形性质定理,最后以课堂练习加以巩固定理,并通过一道拔高题对定义、性质理解、巩固加以升华。

旋转的定义和性质

3.2 图形的旋转 第1课时 旋转的定义和性质 【学习目标】 通过具体事例认识旋转,理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质. 【学习方法】自主探究与合作交流相结合。 【学习重难点】 重点:掌握旋转的定义和基本性质,并利用数学知识解释生活中的旋转现象. 难点:探索旋转的不变性.旋转角的性质,对应点到旋转中心的距离相等. 【学习过程】 模块一 预习反馈 一、学习准备 1、确定一个图形平移后的位置,除需要原来的位置外,还需要的条件是平移的____________. 2、平移作图的步骤:①确定平移的___________,②找出_________,③确定关键点的_______,④按原图顺序连接对应点 3、阅读教材:P75—P76第3节《图形的旋转》 二、教材精读 4、旋转的定义 在平面内,将一个图形绕着一个_____沿_________转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为_________,转动的角称为________.旋转不改变图形的___________. 实践练习:日常生活中,我们经常见到以下情景:①钟表指针的转动;②汽车方向盘的转动; ③打气筒打气时,活塞的运动;④传送带上瓶装饮料的移动.其中属于旋转的是 ___ . 5、如图所示,如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕O 点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF 。在这个旋转过程中: (1)旋转中心是什么?旋转角是什么? (2)经过旋转,点A 、B 分别移到什么位置? (3)AO 与DO 的长有什么关系?BO 与EO 呢? (4)∠AOD 与∠BOE 有什么大小关系?再找一个具有这种关系的角。 归纳:选择图形的性质:旋转不改变图形的 和 ,但图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的 。旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离 __ ;对应点与旋转中心的连线所成的角都等于 ;对应线段________,对应角___________. 实践练习:判断题 F

正方形的性质与判定经典例题练习题

正方形第一课时 一、自主学习 ●目标导学 1、理解并掌握正方形的性质。 2、通过自学、合作、交流培养自己分析问题解决问题的能力。 ●合作探究 【探究一】正方形的定义 1、正方形的定义: 2、正方形与矩形和菱形的关系是 【探究二】正方形的性质 1、归纳正方形的性质:边 角 对角线 对称性 2、用几何语言叙述正方形的性质: 【探究三】正方形的周长与面积 边讲边练: ①正方形与等腰三角形(等边三角形)结合 1. 如图,E是正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,则∠ACE=° 2. 如图,四边形ABCD是正方形,延长CD到E,使CE=CB,则∠DBE=°. 3. 如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE平分∠DAC,则下列结论:(1)∠E=22.5°;(2) ∠AFC=112.5°;(3) ∠ACE=135°;(4)AC=CE;(5) AD∶CE=1∶ 2. 其中正确的有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 4. 如图,等边△EDC在正方形ABCD内,连结EA、EB,则∠AEB=°;∠ACE =°.

5.已知正方形ABCD,以CD为边作等边△CDE,则∠AED的度数是°. ②正方形与旋转结合 1.如图1,四边形ABCD是正方形,E是边CD上一点,若△AFB经过逆时针旋转角θ后与△AED重合,则θ的取值可能为() A.90° B.60° C.45° D.30° 2.已知正方形ABCD中,点E在边DC上,DE = 2,EC = 1(如图2所示)把线段AE 绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F、C两点的距离为___________. 3. 如图3,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证:DE+BF=EF. ③正方形对角线的对称性 1. 如图:正方形ABCD中,AC=10,P是AB上任意一点,PE⊥AC于 E,PF⊥BD于F,则PE+PF= .可以用一句话概括:正方形边上的 任意一点到两对角线的距离之和等于 . 思考:如若P在AB的延长线时,上述结论是否成立?若不成立,请写出 你的结论,并加以说明. 2.如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF给出下列五个结论:①AP =EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰三角形; ④∠PFE=∠BAP;⑤PD= 2EC.其中正确结论的序号是.

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