考点1 等差数列的判定与证明

考点2 等差数列的判定与证明

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥．

2.等差数列的通项公式

已知等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，求n a ．

由等差数列的定义：21a a d -=，32a a d -=，43a a d -=，……

∴21a a d =+，3212a a d a d =+=+，413a a d =+，……

所以，该等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-．

3.等差中项

若a ，b ，c 三个数按这个顺序排列成等差数列，那么b 叫a ，c 的等差中项

4.等差数列的前n 项和公式 2)(1n n a a n S += 2)1(1d n n na S n -+=

公式二又可化成式子： n )2d a (n 2d S 12n -+=

，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 5. 性质：

等差数列{an}中，公差为d ，

若d ＞0，则{an}是递增数列；

若d=0，则{an}是常数列；

若d ＜0，则{an}是递减数列．

{}（）是等差数列，若1a m n p q n +=+

?+=+a a a a m n p q

?+=+==+--+a a a a a a n n r n r 1211…

（）若，，成等差数列，，，也成等差数列。2p q r a a a p q r {}（）公差为的等差数列中，其子系列，，，…也32d a a a a m N n k k m k m ++∈()

成等差数列，且公差为md 。

{}（）公差为的等差数列中，连续相同个数的项的和也成等差数列，4d a n 即，，，…也成等差数列，其公差为。S S S S S m d m m m m m 2322--

6. 充要条件的证明：

{}a a a d a a a a dn c n S an bn a b n d d d n n n n n n n n 为等差数列（关于的一次函数）（、为常数，是关于的常数项为的二次函数）递增数列常数列

递减数列?-==+=+=+>?=?

?????+++11

2220000 考法1 等差数列的判定和证明

（1）定义法：对于n 》=2的任意自然数，a n -a n-1为同一个常数

（2）等差中项法：2a n-1=a n +a n-2 判定

（3）通项公式法 判定

（4）前n 项和公式法:Sn=An 2+Bn 判定

考法2 等差数列的基本运算

等差数列{a n }中，a 1

和d 是基本的两个量，可以确定等差数列的通项公式和前n 项和公式，与等差数列有关的基本计算问题，主要围绕着通项公式和前n 项和公式，在两个公式中共有五个量：a 1、d ，n ，a n ，s n

例1：(2013浙江)( 14分)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．

(1)求d ，a n ；

(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.

例2：(2013四川)(本小题满分12分)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n 项和．

考法3 等差数列的性质（首项、项数、公差）

例3：在等差数列}{n a 中，a 2=1，a 4=5,则}{n a 的前5项和5S =B

A.7

B.15

C.20

D.25

(二)解题方法指导

例1．设{a n }是等差数列，前n 项和为S n .

(1)已知a 6=5，a 3+a 8=5，求a 9；

(2)已知a 1+a 2+a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11+a 12+a 13；

(3)已知a 10=10，S 10=70，求公差d ；

(4)已知S 3=9，S 6=36，求a 7+a 8+a 9．

例2．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且

3457++=n n B A n n ，则使n n b a 得为整数的正整数n 的个数是( )

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

例3．已知函数:2

44)(+=x x

x f (Ⅰ)若x 1+x 2=1，求f (x 1)+f (x 2)的值；

(Ⅱ)设)2011

(n f a n =，求数列{a n }的前2010项的和．

例4．数列{a n}的前n项和为S n=npa n(n∈N*)且a1≠a2，

(Ⅰ)求常数p的值；(Ⅱ)证明：数列{a n}是等差数列．

例 题 解 析

等差数列

例1分析：等差数列的基本量a 1，d 的应用及通项公式、前n 项和公式是解决问题的基本方法和思路. 解：(1)由a 6＝5，a 3＋a 8＝5，得(5－3d )＋(5＋2d )＝5，所以d ＝5.a 9＝a 6＋3d ＝5＋3×5＝20.

(2)由a 1＋a 2＋a 3＝15，得a 2＝5.又a 1a 2a 3＝80，即(5－d )×5×(5＋d )＝80.

∴d ＝±3.

当d ＝3时，a 11＋a 12＋a 13＝(a 1＋a 2＋a 3)＋30d ＝15＋3×30＝105；

当d ＝－3时，a 11＋a 12＋a 13＝(a 1＋a 2＋a 3)＋30d ＝15＋(－3)×30＝－75.

(3)由a 10＝10，S 10＝70，得2)10(10701+=

a ，所以a 1＝4.故?=-=-=3

294109110a a d (4)由于数列{a n }成等差数列，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等差数列，

∴a 7＋a 8＋a 9＝2(S 6－S 3)－S 3＝2S 6－3S 3＝72－27＝45. 小结：(1)灵活运用等差数列中的公式a n ＝a m ＋(n －m )d 及其变形公式)(n m m n a

a d m n =/--=解决问题； (2)数列{a n }成等差数列，∴S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也成等差数列.

例2分析：由等差数列的前n 项和的特点，知其常数项为零，可设出相应和的形式或利用等差数列的中项性质解决.

解－：由题意，设A n ＝(7n ＋45)nk ，B n ＝(n ＋3)nk ，则a n ＝A n －A n －1＝14nk ＋38k ，b n ＝B n －B n －1＝2nk ＋2k ，

1

1271197++=++=∴n n n b a n n ，要使n n b a 为整数，则正整数n ＝1，2，3，5，11，故选D ． 解二：2

)12(2)12(22121121121121----+?-+?-=++=n n n n n n b b n a a n b b a a b a 3)12(45)12(71212+-+-==

--n n B A n n 1

197++=n n 下同法一. 小结：本题解法颇多，对通项与前n 项和的关系进行必要的考查.

例3分析：利用题(Ⅰ)，寻找规律.

解：(Ⅰ)由x 1＋x 2＝1，得x 2＝1－x 1.

f (x 1)＋f (x 2)＝f (x 1)＋f (1－x 2)

.124224424444

2

442442*********

111111=+++=+++=+++=--x x x x x x x x x x (Ⅱ))2011

2010()20112009()20112()20111(2010f f f f S ++++= )]2011

1006()20111005([)]20112009()20112([)]20112010()20111(

[f f f f f f ++++++= ＝1005

小结：本题求和体现了等差数列的求和公式的推导方法：倒序相加.

例4分析：(1)注意讨论p 的可能取值. (2)运用公式???≥-==-.2,11

1n S S n S a n n n 求a n .

解：(Ⅰ)当n ＝1时，a 1＝pa 1，若p ＝1时，a 1＋a 2＝2pa 2＝2a 2， ∴a 1＝a 2，与已知矛盾，故p ≠1.则a 1＝0. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝2pa 2. ∴(2p －1)a 2＝0. ∵a 1≠a 2，故?=

21p (Ⅱ)由已知.0,2

11==a na S n n n ≥2时，?--=-=--11)1(2

121n n n n n a n na S S a ?--=∴-2

11n n a a n n 则,12,,322321=--=--a a n n a a n n 12

-=∴n a a n .∴a n ＝(n －1)a 2，a n －a n －1＝a 2. 故{a n }是以a 2为公差，以a 1为首项的等差数列. 小结：本题为“知S n 与a n 的关系，求a n ”的问题，体现了数列的一般性质的应用.