2017届安徽省江南十校高三3月联考数学(理)试卷(带解析)

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2017届安徽省江南十校高三3月联考数学（理）试卷（带解

析）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、选择题

1．若z=2?i

2+i

，则|z|=( )

A. 1

5

B. 1

C. 5

D. 25

2．设集合A={x∈Z||x|≤2}，B={x|3

2x

≤1}，则A∩B ( )

A. {1,2}

B. {-1,-2}

C. {-2,-1,2}

D. {-2,-1,0,2}

3．已知平面向量a=(1,m),b=(2,5),c=(m,3)，且(a+c)//(a?b)，则m=( )

A. ?3+17

2B. 3?17

2

C. ?3±17

2

D. 3±17

2

4．已知tanα=?3

4

，则sinα(si nα?cosα)=( )

A. 21

25B. 25

21

C. 4

5

D. 5

4

5．已知M O D函数是一个求余函数，其格式为M O D(n,m)，其结果为n除以m的余数，例如M O D(8,3)=2.下面是一个算法的程序框图，当输入n的值为36时，则输出的结果为( )

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

6．质地均匀的正四面体表明分别印有0,1,2,3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m,n，且两次结果相互独立，互不影响.记m2+n2≤4为事件A，则事件A发生的概率为( )

A. 3

8B. 3

16

C. π

8

D. π

16

7．《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各德几何.”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，E所得为( )

A. 2

3钱 B. 4

3

钱 C. 5

6

钱 D. 3

2

钱

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )

A. 20

B. 22

C. 24

D. 26

9．设ΔA B C的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若ΔA B C的三个内角大小满足A：B：C=3:4:5，则S1

S2

的值为( )

A. 25

12πB. 25

24π

C. 3+3

2π

D. 3+3

4π

10．若函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式可能是（ )

A. f(x)=e x?1

x?1B. f(x)=e

x

x?1

C. f(x)=x3+x+1

x?1

D. f(x)=x4+x+1

x?1

11．已知球的直径S C=6,A、B是该球球面上的两点，且A B=S A=S B=3，则棱锥S?A B C的体积为( )

A. 32

4B. 92

4

C. 32

2

D. 92

2

12．设?x?表示不小于实数x的最小整数，如?2.6?=3,??3.5?=?3.已知函数f(x)=?x?2?2?x?，若函数F(x)=f(x)?k(x?2)+2在（-1，4]上有2个零点，则的取值范围是( )

A. [?5

2,?1)∪[2,5) B. [?1,?2

3

)∪[5,10) C. (?4

3

,?1]∪[5,10) D. [?4

3

,?1]∪

[5,10)

第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明

二、填空题

13．已知实x ,y 数满足关系{x +y ?2≤0

x ?y +4≥0y ≥0

，则|x ?2y +2|的最大值是__________．

14．若(x +y ?1)3(2x ?y +a )5的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母x 且x 的次数为1的项的系数为__________．

15．已知双曲线x 216?y 2

30=1上一点P (x ,y )到双曲线一个交点的距离是9，则x 2+y 2的值是__________．

16．将函数y =sin 2x ?cos 2x 的函数图像向右平移m 个单位以后得到的图像与y =k sin x cos x (k >0)的图像关于(π3,0)对称，则k +m 的最小正值是__________．

三、解答题

17．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n ?2a n =n ?4.

（Ⅰ）证明{S n ?n +2}为等比数列；

（Ⅱ）求数列{S n }的前n 项和T n .

18．美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：

（Ⅰ）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y （单位：元）与送餐单数n 的函数关系；

（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：

①记百度外卖的“骑手”日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望； ②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.

19．如图，四边形A B C D 是边长为 2的正方形，C G ⊥平面A B C D ，D E //B F //C G ，3

点H，使得G H=3

5

C G.

（Ⅰ）求证：P H⊥平面A E F；（Ⅱ）求多面体A B D E F H的体积.

20．在平面直角坐标系中，直线2x?y+m=0不过原点，且与椭圆y2

4+x2

2

=1有

两个不同的公共点A,B.

（Ⅰ）求实数m取值所组成的集合M；

（Ⅱ）是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线P A,P B的倾斜角互补.若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由.

21．已知函数f(x)=e x?1+a，函数g(x)=a x+ln x,a∈R.

（Ⅰ）若曲线y=f(x)与直线y=x相切，求a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f(x)≥g(x)+1；

（Ⅲ）若函数f(x)与函数g(x)的图像有且仅有一个公共点P(x0,y0)，证明：x0<2. 22．选修4-4：坐标系与参数方程

已知P为曲线C1:x2

12+y2

4

=1上的动点，直线C2的参数方程为{

x=3+3

2

t

y=3?1

2

t

（t为参数）

求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标.

23．选修4-5：不等式选讲

已知关于x的方程log

2

(x2?2x+5)?|2a?1|=0在x∈[0,3]上有解.（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；

（Ⅱ）若t2?a t?3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围.

参考答案1．B

【解析】因为z=(2?i)2

5=3?4i

5

，所以|z|=|3

5

+4

5

i|=9

25

+16

25

=1，应选答案B。

2．C

【解析】因为A={?2,?1,0,1,2},B={x|x<0或x≥3

2

}，则A∩B={?2,?1,2}，应选答案C。3．D

【解析】因为a=(1,m),b=(2,5),c=(m,3)，所以a+c=(1+m,m+3),a?b=(?1,m?5)，

由题设可得m+1

?1=m+3

m?5

，即m2?3m?2=0，解之得m=3±17

2

，应选答案D。

4．A

【解析】因为tanα=?3

4，所以设sinα=3t,cosα=?4t?25t2=1，即t2=1

25

，由题设可得

sin2α?sinαcosα=9t2+12t2=21t2=21×1

25=21

25

，应选答案A。

5．D

【解析】由题设中提供的算法流程图可知当i≥36时，运算程序结束，由于i,j每次都是递加1，因此在2～36中的35个数中，能被36整除的数有2,3,4,6,9,12,18,36，共8个数，所以当i=36时，运算程序结束，此时i=7，应选答案D。

6．A

【解析】两次点数分别为(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(0,3),(3,0),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3)，共有16种情形，其中满足题设条件的有(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(0,2)，共6种情形，所

以由古典概型的计算公式可得事件A发生的概率为P(A)=6

16=3

8

，应选答案A。

7．A

【解析】设A、B、C、D、E每人所得依次为a1,a2,a3,a4,a5，由题设a1+a2+a3+a4+a5=5

且a1+a2=a3+a4+a5，即{5a1+5×4

2

d=5

2a1+d=3a1+9d ?{

d=?1

6

a1=4

3

，故a5=a1+4d=2

3

，应选答案

A。

8．C

【解析】由题设提供的三视图可知这是由24个边长为1的正方体累成的几何体，其体积为V=24，应选答案C。

9．D

【解析】设三角形的三内角分别为3x,4x,5x，外接圆的半径为R，由三角形内角和定理可

得三内角分别为A=π

4,B=π

3

,C=5π

12

，则由正弦定理可得a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C，

故S1=1

2a b sin C=1

2

(2R)2×6+2

4

=3+3

4

R2，即S1

S2

=3+3

4π

，应选答案D。

10．B

【解析】对于答案A，因为f(0)=0与题设中的图像不符，故应排除；对于答案C，由于

f(?2)=?8?2+1

3<0，也与题设图像不符，故应排除；对于答案D，由于f(?2)=16?2+1

3

=

5,f(?3)=81?3+1

8=79

8

，显然f(?2)

B。

点睛：本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图像信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征，独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解。

11．D

【解析】

如图，由题设可知ΔA B S是边长为3等边三角形，设球心为O，点O在面A B S内的射影是M，则M是

ΔA B S的中心，则M B=2

3×3

2

×3=3,O B=3，故O M=9?3=6，则点C到平面ΔA B S的距

离是d=26，而SΔA B S=3

4×32=93

4

，则棱锥S?A B C的体积为V=1

3

SΔA B S d=1

3

×93

4

×

26=92

2

，应选答案D。12．C

【解析】

由题设可知方程f(x)=k(x?2)?2有两个实数根，则问题转化为过定点P(2,?2)的动直线y=k(x?2)?2与已知函数的图像有两个交点的问题。依据题设中的定义容易算得：当?1

出函数y=f(x)的图像如上图，容易算得k A P=?2

3,k O P=?1,k B P=8+2

3?2

=10,k C P=10

2

=5，借

助函数的图像可知当?1

3

或5≤k<10时，方程f(x)=k(x?2)?2有两个实数根，应选答案B。

点睛：解答本题的关键是如何将函数的零点等价转化为方程的根的问题，进而将其转化为一动直线与定曲线的交点的个数问题。求解时充分利用题设中定义的新概念，运用描点法准确地画出函数的图像，再运用数形结合的数学思想，巧妙地构建不等式组，从而使得问题简捷、巧妙获解。

13．5

【解析】

画出不等式组{x +y ?2≤0x ?y +4≥0y ≥0

表示的区域如图，结合图形可知当动直线y =12x +1?12z 分别经过点A (?1,3),B (2,0)时，z =x ?2y +2分别取最小值和最大值，即z min =?1?6+2=?5,z max =2+2=4，此时|x ?2y +2|取最大值|z |max =5，应填答案5。

点睛：本题旨在考查线性规划的有关知识的综合运用，以及化归转化的数学思想及数形结合的思想和意识。求解本题时，充分借助题设中的条件，数形结合，综合运用所学知识分析问题和解决问题，从而使得问题简捷、巧妙地获解。

14．-7

【解析】由题设令x =y =1可得(1+a )5=32，即1+a =2?a =1。由题设只含字母x 且系数是1的项分别是2×(?5)x (y ?1)3(1?y )4=?10x (y ?1)7,?3x (y ?1)2(1?y )5=3x (y ?1)7，则其系数是?10+3=?7，应填答案?7。

15．139

【解析】由题设e = 464，则由双曲线的定义可得ex ?4=9，即ex =13?x =

13e = 46，x 2=

16×16946=8×16923，代入双曲线方程中可得y 2=30(116×8×169

23?1)=30(12×16923?1)=15×16923?30，故x 2+y 2=8×16923+15×16923?30=169?30=139，应填答案139。

点睛：解答本题的关键是运算能力要过关，本题采用的方法是巧妙地运用双曲线的定义来求解的，如果建立方程组来求解运算量可能还要大，这里就不在冗述。

16．5π12+2

【解析】因为函数y =sin 2x ?cos 2x 可化为y =f (x )=?cos 2x =sin (2x +π2)=sin 2(x +

π4),y =g (x )=k

2sin 2x ，所以函数y =sin 2x ?cos 2x 的函数图像向右平移m 个单位以后得到的函数解析式为y = (x )=f (x +m )=sin (2x +2m +π2)=sin 2(x +m +π

4)，由题设可知

m+π

4=2×π

3

?m=5π

12

，同时k

2

=1?k=2，即m+k=5π

12

+2，应填答案5π

12

+2。

点睛：解答本题的难点是先运用三角变换公式将函数的形式进行变形，进而依据中心对称图

形的特点，借助坐标之间的关系建立方程求出m+π

4=2×π

3

?m=5π

12

，再将两个函数进行比

对求出k

2=1?k=2，最后求出m+k=5π

12

+2使得问题获解。

17．（I）详见解析；（II）T n=2n+3+n2?3n?8

2

.

【解析】试题分析：（1）运用等比数列的定义进行推证；（2）先列成两个特殊数列（等比数列、等差数列），再运用特殊数列的求和公式求解：

试题解析：

解：（I）原式转化为：S n=2(S n?S n?1)=n?4(n≥2)，

即S n=2S n?1?n+4，

所以S n?n+2=2[S n?1?(n?1)+2]

注意到S1?1+2=4，所以{S n?n+2}为首项为4，公比为2等比数列.

（II）由（1）知：S n?n+2=2n+1，

所以S n=2n+1+n?2，

于是T n=(22+23+...+2n+1)+(1+2+...+n)?2n

=4(1?2n)

1?2

+

n(n+1)

2

?2n

=2n+3+n2?3n?8

2

.

18．（I）y={100(n≤45,n∈N?)

6n?170(n>45,n∈N?)

；（II）详见解析.【解析】试题分析：

试题解析：

解：（I）y={100(n≤45,n∈N?)

6n?170(n>45,n∈N?)

（II）

E(X)=100×0.2+106×0.3+118×0.4+130×0.1=112（元）?美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45

所以美团外卖“骑手”日平均工资为：70+45×1=115（元）

由知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元. 故推荐小明去美团外卖应聘. 19．（I）详见解析；（II）43

3

.

【解析】试题分析：（1）运用线面垂直的判定定理推证；（2）借助等价转化的数学思想分析探求：

试题解析：

解：（I）连接A C,B D交于点O，连接O P，则O为B D中点，

∴O P⊥D E∴O P⊥平面A B C D，

∴∠P A O为A P与平面A B C D所成角，∴∠P A O=60°.

R tΔA O P中，A O=1,O P=3,A P=2∴C G=53

3,C H=23

3

.

R tΔA H C中，A H=AC2+CH2=43

3

.

梯形O P H C中，P H=23

3

.

∴AP2+PH2=AH2∴A P⊥P H.

又E H=F H∴P H⊥E F.

又A P∩E F=P∴P H⊥平面A E F.

（II）由（1）知，O P⊥平面A B C D∴O P⊥A C.又A C⊥B D，B D∩O P=O∴A C⊥平面B D E F.

∴V A?B F E D=1

3×S B F E D×|A O|=23

3

.

∵C G//B F,B F?平面B F E D，C G?平面B F E D，

∴C G//平面B F E D∴点H到平面B F E D的距离等于点C到平面B F E D的距离，

∴V H?B F E D=1

3×S B F E D×|C O|=23

3

.

V=V A?B F E D+V H?E F B D=43

3

.

20．（I）(?22,0)∪(0,22)；（II）P(1,2)或P(?1,?2).

【解析】试题分析：（1）联立直线与椭圆的方程运用二次方程的判别式建立不等式进行求解；（2）充分利用题设条件建立方程，借助坐标之间的关系进行运算求解、推理论证：

试题解析：

解：（I）因为直线2x?y+m=0不过原点，所以m≠0，

将2x?y+m=0与y2

4+x2

2

=1联立，消去y得：

4x2+22m x+m2?4=0，

因为直线与椭圆有两个不同的公共点A,B，

所以Δ=8m2?16(m2?4)>0，解得?22

（II ）假设存在定点P (x 0,y 0)使得任意的m ∈M ,都有直线P A ,P B 的倾斜角互补， 即k P A +k P B =0，令A (x 1, 2x 1+m ),B (x 2, 2x 2+m ),

所以 2x 1+m

?y 0x 1?x 0+ 2x 2+m ?y 0x 2?x 0=0，

整理得：2 2x 1x 2+(m ? 2x 0?y 0)(x 1+x 2)2x 0(y 0?m

)=0?， 由（1）知x 1,x 2是4x 2+2 2m x +m 2?4=0的两个根，

所以x 1+x 2=? 2m 2,x 1x 2=

m 2?44， 代入(?)化简得( 22y 0?x 0)m +2(x 0y 0? 2)=0，

由题意{ 22y 0?x 0=0

x 0y 0? 2=0解得{x 0=1y 0= 2或{x 0=?1y 0=? 2 所以定点的坐标为P (1, 2)或P (?1,? 2)，

经检验，满足题意，

所以存在定点P 使得任意的m ∈M ,都有直线P A ,P B 的倾斜角互补，

坐标为P (1, 2)或P (?1,? 2).

点睛：椭圆是典型的圆锥曲线代表之一，也高考必考的重要考点之一。本题的设置旨在考查椭圆的标准方程及几何性质等基础知识和基本技能，同时检测转化化归能力、运算求解能力及数形结合思想函数方程思想等数学思想和方法。求解第一问的思路是联立直线与椭圆的位置关系的方程运用二次方程的判别式建立不等式进行求解；第二问的求解过程则充分利用题设条件进行运算求解、推理论证从而使得问题获证。

21．（I ）a =0；（II ）详见解析；（III ）详见解析.

【解析】试题分析：（1）借助题设条件，运用导数的几何意义建立方程；（2）先将不等式进行等价转化，再构造函数，运用导数的知识进行推证；（3）可构造函数运用求导法则进行求导，然后综合运用导数等知识进行分析探求。

试题解析：

解：（Ⅰ）设曲线y =f (x )在Q (x 1,y 1)点处切线是y =x ，则{y 1=x 1f ′(x 1)=1

由于f ′(x 1)=e x 1?1所以x 1=1,y 1=1，

由题意知：y 1=e x 1?1?a ，于是a =0.

（Ⅱ）令F (x )=f (x )?g (x )=e x ?1?ln x ,F ′(x )=e x ?1?1

x (x >0)，

当x ∈(0,1)时，0

即F ′(x )=e x ?1?1x <0，当x ∈(1,+∞)时，11>1x ，

即F ′(x )=e x ?1?1x >0，于是F (x )=f (x )?g (x )=e x ?1?ln x

在（0,1）单调递减，(1,+∞)单调递增，

其最小值是F (1)=1，所以F (x )=f (x )?g (x )≥1，于是原不等式成立.

（Ⅲ）令G (x )=e x ?1?ln x ?a x +a (x >0)，

则函数f (x )与函数g (x )的图像有且仅有一个公共点P (x 0,y 0)等价于函数G (x )有且只有一个零点x 0，G ′(x )=e x ?1?1x ?a ，

注意到G ′(x )=e x ?1?1x ?a 为(0,+∞)上的增函数且值域为R ，

所以G ′(x )=e x ?1?1x ?a 在(0,+∞)上有唯一零点x 1，

且G ′(x )在(0,x 1)上为负，(x 1,+∞)上为正，所以G (x 1)为极小值，

又函数G (x )有唯一零点x 0，结合G (x )的单调性知x 1=x 0，

所以{G ′(x 0)=0G (x 0)=0，即{e x 0?1?1x 0?a =0e x 0?1?l n x 0?ax 0+a =0， 即e x 0?1?(e x 0?1?1x 0)x 0?ln x 0+(e x 0?1?1

x 0)=0， 即(2?x 0)e x 0?1+x 0?1x 0?ln x 0=0.令H (x )=(2?x )e x ?1+x ?1x

?ln x ， 显然，x 0是H (x )的零点，

H ′(x )=(1?x )e x ?1+1?x

x =(1?x )[e x ?1+1

x ](x >0)， H ′(x )在（0,1）上为正，(1,+∞)上为负，于是H (x )在(1,+∞)上单调递减，

注意到H (1)=1>0,H (2)=12?ln 2=12(1?ln 4)<0 ,

所以H (x )在（1,2）内有一个零点，在[2,+∞)内无零点，

所以H (x )的零点一定小于，从而函数f (x )与函数g (x )的图像有且仅有一个公共点P (x 0,y 0)时一定有x 0<2.

点睛：本题以含参数的两个函数解析式为前提条件，精心设置了两个问题，旨在考查导数在研究函数的单调性与极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，充分借助题设条件，运用导数的几何意义建立方程使得问题获解；第二问的求解则是将不等式进行等价转化，再构造函数，运用导数的知识进行推证从而获解；第三问求解时先构造函数，进而运用求导法则进行求导，然后综合运用导数等知识进行分析探求，进而使得问题获解。

22．P (? 6,? 2),最大值为 6+3.

【解析】试题分析：依据题设条件借助圆锥曲线的参数方程建立目标函数求解： 试题解析：

解：由条件：y ? 3

x ?3=3?C 2:x + 3y ?6=0. 设点P (2 3cos θ,2sin θ)，点P 到C 2之距离，

d =|2 3cos θ?2 3sin θ?6|2=| 6sin (θ+π

4)?3|. d |max = 6+3.

此时点P (? 6,? 2).

23．（I ）A ={a |32≤a ≤2}；（II ）t ≤ 57?34或t ≥3.

【解析】试题分析：试题解析：

解：（I）当x∈[0,3]时log

2(x2?2x+5)=log

2

[(x?1)2+4]∈[2,3].

2≤|2a?1|≤3且a>0?3

2≤a≤2,∴A={a|3

2

≤a≤2}.

（II）由（I）知：3

2≤a≤2，设g(a)=t?a+t2?3，则{

g(3

2

)≥0

g(2)≥9

?{

t≥57?3

4

t≥1或t≤?3

或

t≤57?3

4

t≤57?3

4

或t≥3.