《工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案【khdaw_lxywyl】
课后答案网习w题w一w解.答https://www.360docs.net/doc/244479839.html, 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：
(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A{两次出现的面相同} ；
(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A
(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A { 一分钟内呼叫次数不超过3 次}；{ 寿命在2000 到2500 小时之间}。
解(1){( ,), ( ,), ( ,), (, )} ，A{( ,), ( ,)}.
(2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则
{X k | k0,1,2,LL} ， A {X k | k0,1,2,3} .
(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则
{X (0,)} ， A {X(2000,2500)} .
2. 袋中有10 个球，分别编有号码1 至10，从中任取1 球，设A {取得球的号码是偶数}，B {取得球的号码是奇数}，C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：
(1) A U B ；(2) AB ；(3) AC ；(4) AC ；(5) A C；(6) B U C ；(7) A C .
解(1) A U B是必然事件；
(2) AB 是不可能事件；
(3) AC {取得球的号码是2，4}；
(4) AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；
(5) A C{取得球的号码为奇数，且不小于5} {取得球的号码为5，7，9}；
(6) B U C B I C{取得球的号码是不小于5 的偶数} {取得球的号码为6，8，10}；
(7) A C AC {取得球的号码是不小于5 的偶数}={取得球的号码为6，8，10}
3. 在区间[0 , 2] 上任取一数，记A (1) A U B ；(2) ；(3) ；(4) A U B .x
1
x
2
1 ，B x 1 x
4
3
，求下列事件的表达式：
2
解(1) A U B x 1 x 3 ;
4 2
(2) A x 0 x 1
或1 x
2
2 I B x
1
x
4
1
U x1 x
3
;
2 2
(3) 因为A B ，所以AB ；
(4) A U B A U x 0 x 1
或
3
x 2x 0 x
1 1
x 1或
3
x 2 4. 用事件A, B, C 4 2 4 2 2
的运算关系式表示下列事件：
(1) A 出现，B, C都不出现（记为E
1
）；
(2) A, B 都出现，C 不出现（记为E
2
）；
(3) 所有三个事件都出现（记为E
3
）；
(4) 三个事件中至少有一个出现（记为E
4
）；
(5) 三个事件都不出现（记为E
5
）；
(6) 不多于一个事件出现（记为E
6
）；
(7) 不多于两个事件出现（记为E
7
）；
(8) 三个事件中至少有两个出现（记为E
8
）。
解(1) E
1
(3) E
3(5) E
5
AB C；(2) E
2
ABC ；(4) E
4
A B C；(6) E
6
ABC
A U
B U
C ；
A B C U AB C U A B C U A
B C；
(7) E
7ABC A U B U C ；(8) E
8
AB U AC U BC .
5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设A
i
表示事件“第i 次
抽到废品”，i 1,2,3课，试后用
A i 答表示案下列事网件： https://www.360docs.net/doc/244479839.html,
(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品；
(4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。 解 (1) A 1 U A 2 ； (2) A 1 A 2 A 3 ； (3) A 1 A 2 A 3 ；
(4) A 1 U A 2 U A 3 ；
(5) A 1 A 2 A 3 U A 1 A 2 A 3 U A 1 A 2 A 3 .
6. 接连进行三次射击，设 A i ={第 i 次射击命中}， i C {三次射击至少命中二次}；试用
A i 表示
B 和
C 。 1,2,3 ，
B {三次射击恰好命中二次}， 解 B A 1 A 2 A 3 U A 1 A 2 A 3 U A 1 A 2 A 3
C A 1 A 2 U A 1 A 3 U A 2 A 3
习题二解答
1．从一批由 45 件正品、5 件次品组成的产品中任取 3 件产品，求其中恰有 1 件次品的概率。
解 这是不放回抽取，样本点总数 n 50
，记求概率的事件为 A ，则有利于 A 的样本点数
3
45 5
k
. 于是 2 1
P ( A )
k
n
45 5 2 1 50 3
45 44 5 3! 50 49 48 2!
99 392 2．一口袋中有 5 个红球及 2 个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后， 再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求
(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；
(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。
解 本题是有放回抽取模式，样本点总数 n A , B , C , D . 7 2 . 记(1)(2)(3)(4) 题求概率的事件分别为
2
(ⅰ)有利于 A 的样本点数 k A
52
，故
P ( A )
5
25
7
49 5 2 10 (ⅱ) 有利于 B 的样本点数 k B 5 2 ，故 P ( B )
7 2 49 20
(ⅲ) 有利于C 的样本点数 k C 2 5 2 ，故 P (C )
49
7 5 35 5 (ⅳ) 有利于 D 的样本点数 k D 7 5 ，故 P ( D ) 7 2
. 49 7 3．一个口袋中装有 6 只球，分别编上号码 1 至 6，随机地从这个口袋中取 2 只球，试求：(1) 最 小号码是 3 的概率；(2) 最大号码是 3 的概率。
解 本题是无放回模式，样本点总数 n 6 5 .
(ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6 这四个球中取2 只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为2 3，所求概率为 2 3 1 .
6 5 5
(ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3 号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为2 2 ，
课
15
所求概率为
2 2 6 5 2
.
后答案网 https://www.360docs.net/doc/244479839.html, 4．一个盒子中装有 6 只晶体管，其中有 2 只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取 2 次， 每次取 1 只，试求下列事件的概率：
(1) 2 只都合格；
(2) 1 只合格，1 只不合格； (3) 至少有 1 只合格。
解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为 A , B , C ，则
4
P ( A )
P ( B )
2 4
3 2 2 6 6 5 2 5
2 4 2
1 1 4
2 2 8 6 6 5 15 2
注意到C A U B ，且 A 与 B 互斥，因而由概率的可加性知 P (C ) P ( A )
P ( B )
2 8 14
5 15 15
5．掷两颗骰子，求下列事件的概率： (1) 点数之和为 7；(2) 点数之和不超过 5；(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为 A , B , C ,样本点总数 n 6 2 (ⅰ) A 含样本点 (2,5), (5,2) ,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)
P ( A ) 6 1
6 2
6
(ⅱ) B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
P (B ) 10 5
6 2
18
( ⅲ ) C 含 样 本 点 (1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 个样本点。
P (C )
18 1
36 2
6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到 5 间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住 8 人， 试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解 记求 概率 的 事件 为 A ， 样 本点 总数 为 53 ， 而 有利 A 的 样 本 点数 为 5 4 3 ， 所 以
P ( A ) 5 4 3 53
12 .
25 7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率： (1) 事件 A ：“其中恰有一位精通英语”； (2) 事件 B ：“其中恰有二位精通英语”； (3) 事件C ：“其中有人精通英语”。
解 样本点总数为
5
3
(1)
2 3 1 2 P ( A )
5 3
2 3 3! 6 3 ； 5 4 3 10 5
1 1
2 2
1 5 5
2 2
3 2 9 18
2 课
3 后答案网 https://www.360docs.net/doc/244479839.html,
(2) 2 1 P ( B )
5 3
3 3! 3 ；
5 4 3 10
(3) 因C A U B ，且 A 与 B 互斥，因而
P (C ) P ( A )
P ( B ) 3 3 9 .
5 10 10
8．设一质点一定落在 xOy 平面内由 x 解 记求概率的事件为 A ，则 S A
为图中阴影部分，而| | 1/ 2 ， | S A |
最后由几何概型的概率计算公式可得 P ( A ) | S A | 5 /18 5 . | | 1/ 2 9
9．（见前面问答题 2. 3）
图 2.3 10．已知 A B ， P ( A ) 0.4 ， P ( B ) 0.6 ，求
(1) P ( A , P ( B ；(2) P ( A U B ) ；(3) P ( AB ) ；(4) P ( B A ), P ( A B ) ；(5) P ( A B ) . 解 (1) P ( A ) 1 P ( A ) 1 0.4 0.6 ， P ( B ) 1 P ( B ) 1 0.6 0.4 ； (2) P ( A U B ) (3) P ( AB ) P ( A ) P ( A ) P (B ) 0.4 ；
P ( AB ) P ( A ) P (B ) P ( A ) P ( B ) 0.6 ； (4) P ( B A ) (5) P ( A )
P ( A B ) P (B A )
P ( ) 0.6
0 , 0.4
P ( A B ) 0.2.
P (
1 P ( A U B )
1 0.6
0.4 ; 11．设 A , B 是两个事件，已知 P ( A ) 0.5 ，P ( B ) 0.7 ，P ( A U B ) 0.8 ，试求 P ( A B ) 及 P ( B A ). 解 注 意 到 P ( A U B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ) ， 因 而 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A U B ) 0.5 0.7 0.8 0.4 . 于是， P ( A B ) P ( A AB ) P ( A ) P ( A B ) 0.5 0.4 0.1 ； P ( B A ) P ( B AB ) P ( B ) P ( AB ) 0.7 0.4 0.3 .
习题三解答
1．已知随机事件 A 的概率 P ( A ) 试求 P ( A B ) 及 P ( A B
0.5 ，随机事件 B 的概率 P ( B ) 0.6 ，条件概率 P ( B | A ) 0.8 ， 解 P ( AB ) P ( A )P (B | A ) 0.5 0.8 0.4
P ( A B P ( A U B ) 1 P ( A U B ) 1 P ( A ) P ( B )
P ( AB )
1 0.5 0.6 0.4 0.3
2．一批零件共 100 个，次品率为 10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正 品的概率。
解 p 10 9 90 81 9 .
100 99 98 99 98 1078
3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为 0.58，购买股票的概率为 0.28，两项投资都做的概 率为 0.19
(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？
(2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
解记A {基金}，B {股票}，则P( A)0.58, P(B) 0.28, P( A B) 0.19
课后
答
(1)
(2)
P ( B | A )
P ( A | B )
P ( AB ) P ( A ) P ( AB ) P ( B ) 0.19
0.58 0.19
0.28
案0.32网7.
0.678 . https://www.360docs.net/doc/244479839.html, 4．给定 P ( A ) 0.5 ， P ( B ) 0.3 ， P ( AB ) 0.15 ，验证下面四个等式：
P ( A | B ) P ( A ), P ( A | B ) P ( A ), P ( B | A ) P ( B ) ，
P ( B | A P ( B ).
解 P ( A | B ) P ( AB ) P ( B ) 0.15 0.3 1 P ( A )
2
P ( A | B P ( AB ) P (B ) P ( A ) 1 P ( AB ) P ( B ) 0.5 0.15 0.7 0.35 0.7
0.5 P ( A )
P ( B | A ) P ( AB ) P ( A ) 0.15
0.5
0.3
P ( B )
P ( B | A P ( A ) P ( A ) P ( B ) 1 P ( AB ) P ( A ) 0.3 0.15 0.5 0.15 0.5
P (B )
5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车， 迟到的概率是 0.25，若坐船，迟到的概率是 0.3，若坐汽车，迟到的概率是 0.1，若坐飞机则不会迟 到。求他最后可能迟到的概率。
解 B {迟到}，A 1
且按题意
{坐火车}，A 2
{坐船}，A 3 {坐汽车}，A 4
{乘飞机}，则 B
4
U B A i
，
i 1
由全概率公式有： P ( B | A 1 )
4
0.25 ， P ( B | A 2 ) 0.3 ， P ( B | A 3 ) 0.1 ， P ( B | A 4 ) 0 .
P ( B )
P ( A i )P ( B | A i ) i 1
0.3 0.25 0.2 0.3 0.1 0.1 0.145
6．已知甲袋中有 6 只红球，4 只白球；乙袋中有 8 只红球，6 只白球。求下列事件的概率：
(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。 解 (1) 记 B {该球是红球}， A 1 {取自甲袋}， A 2 {取自乙袋}，已知 P ( B | A 1 ) 6 /10 ，
P ( B | A 2 )
P ( B ) 8 /14 ，所以 P ( A )P ( B | A )
P ( A ) P (B | A ) 1 6 1 8 41
(2) 1 1 2
P ( B )
14 7
24 12
2 2 10 2 14 70 7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的 25%，35%， 40%，各车间产品的次品率分别为 5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
解 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02
0.0125 0.0140 0.008 0.0345 3.45%
8．发报台分别以概率 0.6，0.4 发出" " 和" " ，由于通信受到干扰，当发出" " 时，分别以概 率 0.8 和 0.2 收到" " 和" " ，同样，当发出信号" " 时，分别以 0.9 和 0.1 的概率收到" " 和" " 。 求(1) 收到信号" " 的概率；(2) 当收到" " 时，发出" " 的概率。
解 记 B {收到信号" " }， A {发出信号" " }
(1) P ( B ) P ( A ) P (B | A ) P A )P (B | A )
0.6 0.8 0.4 0.1 0.48 0.04 0.52
P ( A ) P ( B | A ) 0.6 0.8 12
P(B) 0.52 13
9．设某工厂有A, B, C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次
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品，求它依次是车间 A , B , C 生产的概率。
解 为方便计，记事件 A , B , C 为 A , B , C 车间生产的产品，事件 D {次品}，因此 P ( D ) P ( A )P ( D | A ) P (B ) P (D | B ) P (C )P ( D | C )
0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 0.0125 0.014 0.008 0.0345
P ( A | D ) P ( A ) P (D | A ) 0.25 0.05
0.362
P ( D ) 0.0345
P ( B | D ) P ( B ) P (D | B ) 0.35 0.04
0.406
P ( D ) 0.0345
P (C | D ) P (C )P ( D | C ) 0.4 0.02
0.232
P (D ) 10．设 A 与 B 独立，且 P ( A ) 0.0345
p , P ( B ) q ，求下列事件的概率：P ( A U B ) ，P ( A U B ，P ( A U B ) .
解 P ( A U B ) P ( A U B ) P ( A ) P ( A ) P (B ) P ( B P ( A )P ( B ) P ( A ) P (B ) p q pq p 1 q
p (1 q ) 1 q pq
P ( A U B
P ( AB )
1 P ( A )P ( B ) 1 pq 11．已知 A , B 独立，且 P ( A B 1/ 9, P ( AB P ( A ) ，求 P ( A ), P (B ) .
解 因 P ( AB ) P ( A B ) ，由独立性有 P ( A )P ( B
P ( A P (B ) 从而 P ( A ) P ( A )P ( B ) P (B ) P ( A )P ( B ) 导致 P ( A ) P (B )
再由 P ( A B 1/ 9 ，有 1/ 9 P P (B (1 P ( A ))(1 P ( B )) (1 P ( A )) 2 所以 1 P ( A ) 1/ 3 。最后得到 P ( B ) P ( A ) 2 / 3.
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为 1/3，1/2，2/3，求目标 被命中的概率。
解 记 B {命中目标}， A 1
而 {甲命中}， A 2
{乙命中}， A 3 {丙命中}，则 3
B
U A
i
，因
i 1
P ( B ) 3
1 P A 1 P P P 1
2 1 1 1 1 8
I i 1 2 3 i 1
3 2 3 9 9. 13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为 p ，求这 解 记 A {通达}，
A i {元件i 通达}，i 1,2,3,4,5,6
则 A A 1 A 2 U A 3 A 4 U A 5 A 6 ， 所以
P ( A ) P ( A 1 A 2 ) P ( A 3 A 4 ) P ( A 5 A 6 )
P ( A 1 A 2 A 3 A 4 ) P ( A 3 A 4 A 5 A 6 ) 1 2 5 6 1 2 3 4 5 6 3(1 p ) 2 3(1 p ) 4 (1 p ) 6
14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五 个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生 3 次故障的概率。
解 p
5 3
(0.2) 3 (0.8) 2
0.0512 . 15．灯泡耐用时间在 1000 小时以上的概率为 0.2，求三个灯泡在使用 1000 小时以后最多只有 一个坏了的概率。
解p 3
3
(0.2) 3
3
0.8
2
(0.2) 20.008 0.096 0.104 .
16．设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，求事件A 在每次试验中出现的概率P( A) .
10 1 10 63
5 2 25
6 3 2 1 2 27
4 4 128
3 1 解 记 A i 19 { A 课在第后i 次试答验中案出现}网，i 1,w 2,3w . w p .k P (h A )
https://www.360docs.net/doc/244479839.html,
U i 1 2 3
依假设 P A 27 i 1
1 P ( A A A ) 1 (1 p ) 3
所以， (1 p ) 3 8 ， 此即 p 27
1/ 3 .
17．加工一零件共需经过 3 道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 2%、3%、5%. 假 设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解 注意到，加工零件为次品，当且仅当 1-3 道工序中至少有一道出现次品。记 A i {第i 道工 序为次品}，i 3
1,2,3. 则次品率 p P U A i
i 1 1 P ( A 1 ) P ( A 2 )P ( A 3 ) 1 0.98 0.97 0.95 1 0.90307 0.097
18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为 0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出 的概率。
解 记 A {译出密码}， A i {第i 人译出}，i
3
1,2,3. 则
P ( A ) P U A i
i 1
1 P ( A 1 ) P ( A
2 ) P ( A
3 )
1 0.75 0.65 0.6 1 0.2925 0.7075
19．将一枚均匀硬币连续独立抛掷 10 次，恰有 5 次出现正面的概率是多少？有 4 次至 6 次出 现正面的概率是多少？
解 (1) ；
(2) 6 10 10
.
k 4 k
2 20．某宾馆大楼有 4 部电梯，通过调查，知道在某时刻T ，各电梯正在运行的概率均为 0.75， 求：
(1) 在此时刻至少有 1 台电梯在运行的概率； (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。
解 (1) 1 (1 0.75) 4
1 (0.25) 4 255
256 (2) 4 (0.75) 2 (0.25) 2 6
2
4
(3) (0.75)
4
3
4
81 256
习题四解答
1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。 （1） p i i , i 15 2
0,1,2,3,4,5 ；
（2） p i 5 i , i 6
0,1,2,3 ；
（3）p
i 1
,i
4
2,3,4,5；
（4）p
i i 1
i
25
1,2,3,4,5 。
i
解 要说明题中课给出后的数答列，是案否是网随机变w 量w 的w 分.布k 律，h 只d 要a 验w 证.p c i 是o 否m 满足下列二个条件： 其一条件为 p i
0, i 1,2,L ，其二条件为 p i
1。
i
依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，
因为 p 3 5 9 4 6 6 5
20
0 ；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，
这是因为 p i 1。
i 1
25 2. 试确定常数c ，使 P X i c , i 2i
0,1,2,3,4 成为某个随机变量 X 的分布律，并求：P X 2 ； P 1 X 5 。 2 2
4
解 要使 c 2i
成为某个随机变量的分布律，必须有 c i 0 2
1 ，由此解得 c 16 ； 31 （2） P X
2 P X 0 16 1 1 P X 1 P X 2
1 28
（3） P 1
X
31 2 4 31 5 P X 1 P X 2 16 1 1 12 。 2 2 31 2 4 31 3. 一口袋中有 6 个球，在这 6 个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2 这样的数字。从这袋中任取 一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字 X 的分布律与分布函数。
解 X 可能取的值为-3，1，2，且 P X 3 1 , P X 1 3 1 , P X 2 2 1 ，即 X 的分布律为 6
X -3 1 2
X 的分布函数 概率 1 1 1 3 2 6
0 x 3
F x P X x =
1
3
5
6
3 x 1
1 x 2
1 x 2
4. 一袋中有 5 个乒乓球，编号分别为 1，2，3，4，5，从中随机地取 3 个，以 X 表示取出的 3 个球中最大号码，写出 X 的分布律和分布函数。
解 依题意 X 可能取到的值为 3，4，5，事件 X 3 表示随机取出的 3 个球的最大号码为 3， 则另两个球的只能为 1 号，2 号，即 P X 3
1
1 5 10
3
；事件 X 4 表示随机取出的 3 个球的最大
3 1
号码为 4，因此另外 2 个球可在 1、2、3 号球中任选，此时 P X 4
2
5 3
4
3
；同理可得 10
1
2
P X 5 。
5 10
3
X 的分布律为
课后答案X
网 3www 4 .kh 5 https://www.360docs.net/doc/244479839.html,
X 的分布函数为
概率
1 3 6 10 10 10
x 3
F x
1
10 4 10
1
3 x 4
4 x 5
x 5
5. 在相同条件下独立地进行 5 次射击，每次射击时击中目标的概率为 0.6，求击中目标的次数 X 的分布律。
解 依题意 X 服从参数 n 5
5, p k 0.6 的二项分布，因此，其分布律
5 k
P X k
具体计算后可得
0.6 k
0.4 , k 0,1,L ,5 ， X 0
1
2
3
4
5
概率
32 3125
48 625
144 625
216 625
162 625
243 3125
6. 从一批含有 10 件正品及 3 件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽 到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律。
（1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2） 每次取出的产品都不放回这批产品中； （3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。 解 （1）设事件 A i , i 1,2,L 表示第i 次抽到的产品为正品，依题意， A 1 ,L , A n ,L 相互独立，且
P A i
10 , i 13 1,2,L 而
k 1
P X k P A L A A
P A L P A P A 3
10 , k
1,2,L 1 k 1
k 1 k 1 k
13 13
即 X 服从参数 p 10 的几何分布。
13
（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X 可能取到的值为 1，2，3，4，
P X 1
10 , P X 2 13 3 10 5 ,
13 12 26
P X 3 3 2 10 13 12 11 5 143 , P X 4 3 2 13 12 1 10 11 10 1 .
286 X 的分布律为
X 1
2
3
4
概率
10
13
5 5 26
143
1 286
（3）X 可能取到的值为 1，2，3，4，
P X 1
10
, P X 2 13 3 11 13 13 33 ,
169
P X 3 3 2 12 13 13 13 72 2197 , P X 4 3 2 1 13 13 13 6 .
2197 所求 X 的分布律为
X 1 2 3 4
1033726
概率
1316921972197
由于三种抽样方式不同，导致X 的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。
7. 设随机变量X ~ B 6, p，已知P X 1P X 5 ，求p 与P X 2 的值。
网 1 解 由于 X ~ B 课6, p ，后因此答P X
案6
6
p k
1 k
w p w 6 k
., k k 0h ,1,L d ,6a 。https://www.360docs.net/doc/244479839.html, 由此可算得
P X 1
6 p 1 p 5 , P X 5 6 p 5 1 p , 即
6 p 1
p 5 6 p 5 1 p ,
2
6 2
解得 p
1 ； 2
6
此时， P X 2
6 1
1 2 2
2
6 5 1
2! 2
15 。 64
8. 掷一枚均匀的硬币 4 次，设随机变量 X 表示出现国徽的次数，求 X 的分布函数。
解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为 1 ，因此 X 服从 n 2
4, p 1 的二项分布，即
2
P X k 4 1 k 4 k
, k k 2 2
0,1,2,3,4
由此可得 X 的分布函数
0，
1 ，
x 0
0 x 1
16 F x 5 ， 16 11 ， 16 15 ， 16
1，
1 x 2
2 x 3
3 x 4
x 4
9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量 X 服从参数 4 的泊松分布，问在月
初进货时，要进多少才能以 99%的概率充分满足顾客的需要？
解 设至少要进 n 件物品，由题意 n 应满足
P X n 1 0.99, P X n
k
0.99,
即
P X n 1 n 1 4 e
4
0.99
P X n
k 0 k ! n 4
k 4
e
0.99
k 0 k !
查泊松分布表可求得 n 9 。
10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.0001，在某天该 段时间内有 1000 辆汽车通过，求事故次数不少于 2 的概率。
解 设 X 为 1000 辆汽车中出事故的次数，依题意，X 服从 n 1000, p 0.0001的二项分布，即 X ~ B 1000,0.0001 ，由于 n 较大， p 较小，因此也可以近似地认为 X 服从 np 1000 0.0001 0.1 的 泊松分布，即 X ~ P 0.1 ，所求概率为
P X 2 1 P X 0.10 1
0! 0 e 0.1 P X 0.11 1!
1
e 0.1
1 0.904837 0.090484 0.004679.
11. 某试验的成功概率为 0.75，失败概率为 0.25，若以 X 表示试验者获得首次成功所进行的试 验次数，写出 X 的分布律。
解 设事件 A i 表示第i 次试验成功，则 P A i 0.75 ，且 A 1 ,L , A n ,L 相互独立。随机变量 X 取 k 意 味着前 k 1 次试验未成功，但第 k 次试验成功，因此有
P X k P A L A A P A L P A P A0.25k 10.75所求的分布律为 1 k 1 k 1 k 1 k
微积分课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
离散数学第三版课后习题答案
离散数学辅助教材 概念分析结构思想与推理证明 第一部分 集合论
离散数学习题解答 习题一（第一章集合） 1. 列出下述集合的全部元素： 1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15} 2）B={x|x∈N∧4+x=3} 3）C={x|x是十进制的数字} [解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14} 2）B= 3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 2. 用谓词法表示下列集合： 1）{奇整数集合} 2）{小于7的非负整数集合} 3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29} [解] 1）{n n∈I∧(?m∈I)(n=2m+1)}； 2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}； 3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧?(?d∈N)(d≠1∧d≠p∧(?k∈N)(p=k?d))}。 3. 确定下列各命题的真假性： 1） 2）∈ 3）{} 4）∈{} 5）{a，b}{a，b，c，{a，b，c}} 6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c}) 7）{a，b}{a，b，{{a，b，}}} 8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}} [解]1）真。因为空集是任意集合的子集； 2）假。因为空集不含任何元素； 3）真。因为空集是任意集合的子集； 4）真。因为是集合{}的元素； 5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集； 6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；
7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集； 8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。 4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 [解] 1）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。 2）假。例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A ∈C。 3）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而ACB∧B∈．C，但A∈C。5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B C，则A C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A C。 [解] 1）真。因为B C x（x∈B x∈C），因此A∈B A∈C。 2）假。例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而A∈B∧B C，但A C。 3）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而A B∧B∈C，但A C。 4）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而A B∧B∈C，但A C。 6．求下列集合的幂集： 1）{a，b，c} 2）{a，{b，c}} 3）{} 4）{，{}} 5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}} [解] 1）{，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}} 2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}} 3）{，{}} 4）{，{}，{{}}，{，{}}}
离散数学课后习题答案
习题参考解答 习题 1、（3）P：银行利率降低 Q：股价没有上升 P∧Q （5）P：他今天乘火车去了北京 Q：他随旅行团去了九寨沟 Q P? （7）P：不识庐山真面目 Q：身在此山中 Q→P，或～P→～Q （9）P：一个整数能被6整除 Q：一个整数能被3整除 R：一个整数能被2整除 T：一个整数的各位数字之和能被3整除 P→Q∧R ，Q→T 2、（1）T （2）F （3）F （4）T （5）F （6）T （7）F （8）悖论 习题 1（3） ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( R P Q P R P Q P R Q P R Q P → ∨ → ? ∨ ? ∨ ∨ ? ? ∨ ∨ ? ? ∨ →
（4） ()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右 2、不， 不， 能 习题 1(3) (())~((~)) (~)()~(~(~))(~~)(~) P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、 主合取范式 ) ()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(()) ()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧?∧?∨?∧∧?∨?∧?∧?=∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧?∧?∨∧?∧?∨?∧∧?∨?∧?∧?=∨?∧∧∨∨?∧?∧∨∨?∧∨?∧?=∧∨?∧∨?=∨?∧∨?=→∧→ ————主析取范式 (2) ()()(~)(~) (~(~))(~(~))(~~)(~)(~~) P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨Q 2、 ()~() (~)(~) (~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价 3、解：根据给定的条件有下述命题公式： （A →（CD ））∧～（B ∧C ）∧～（C ∧D ） （～A ∨（C ∧～D ）∨（～C ∧D ））∧（～B ∨～C ）∧（～C ∨～D ） （（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨ （～A ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ））∧（～C ∨～D ）
离散数学习题解答
习题一 1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （1）中国有四大发明. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （2）5是无理数. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （3）3是素数或4是素数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为1. x+< （4）235 答：不是命题. （5）你去图书馆吗？ 答：不是命题. （6）2与3是偶数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （7）刘红与魏新是同学. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. （8）这朵玫瑰花多美丽呀！ 答：不是命题. （9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题. （10）圆的面积等于半径的平方乘以π. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （11）只有6是偶数，3才能是2的倍数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （13）2008年元旦下大雪. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. 2.将上题中是简单命题的命题符号化. 解:（1）p：中国有四大发明. （2）p:是无理数. （7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π. （13）p:2008年元旦下大雪. 3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值. （1）5是有理数. 答：否定式：5是无理数.p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为1.
（2）25不是无理数. 答：否定式：25是有理数. p ：25不是无理数. q ：25是有理数. 其否定式q 的真值为1. （3）2.5是自然数. 答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1. （4）ln1是整数. 答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1. 4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数 答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1. （2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数. 答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数. 答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧?，其真值为1. （4）3是偶素数. 答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数. 答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ?∧?，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数. （4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数. 答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ?∨?，其真值为1. (5) 符号化：r s ?∨?，其真值为0. 6.将下列命题符号化. （1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨. 答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ?∧∨∧?. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化 答:列出两种符号化的真值表：
第10章--应用电化学--习题及答案
第10章--应用电化学--习题及答案 应用电化学 习题及答案 10-1 水的标准生成自由能是-237.191kJ mol-1,求在25℃时电解纯水的理论分解电压。 解：H2O=H2 +1/2O2, 电子转移数为2，则有 ΔG = - n F Emf = -237.191kJ mol-1(n=2)，-*****=-2×*****×Emf, Emf=1.229V 10-2 298.15K时测得电池: Pt(s)| H2( pO) | HCl(b) | Hg2Cl2(s) | Hg(l) 的电动势与HCl溶液的质量摩尔浓度的关系如下 b×103/(mol kg-1) Emf / V 75.08 37.69 18.87 5.04 0.4119 0.4452 0.4787 0.5437 求（1）EO甘汞（2）b= 0.07508 mol kg-1时HCl溶液的??。解：负极反应：H2-2e-→2H+ 正极反应：Hg2Cl2 +2e-→2Hg +2Cl- 电池反应：H2+ Hg2Cl2 →2H++2Hg +2Cl- ?a2(Hg)a2(HCl)?Θ ?所以有： E mf= E-RT/2Fln?= E-RT/2Fln?a2(HCl)? ?a(H)a(HgCl)?222??Θ a(HCl)=a (H+) a(Cl-)=(??b/bΘ)2 E mf=EO甘汞- (2RT/F) ln(b/bO) 对于稀溶液，ln??=-A’(I/bΘ)1/2, 1-1价电解质I=b (1) E mf+ (2RT/F) ln(b/bO)=EO甘汞+ (2RT/F) A’ (b/bO)0.5 , 以 E mf+(2RT/F)ln(b/bO)对(b/bO)0.5作图，直线的截距EO甘汞＝0.2685 V (2) E mf=EO甘汞- (2RT/F) ln(b/bO) - (2RT/F) ln?? , ??=0.815 1 10-3 298.2K 时，在有玻璃电极的电池中，加入pH＝4.00的缓冲溶液，测得电动势为0.1122V；则当电动势为0.2305V时，溶液的
屈婉玲版离散数学课后习题答案【1】
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式//最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）// 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.
(1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (?p→q)→(?q∨p)
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解： 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 离散数学课后答案 习题一 6.将下列命题符号化。 （1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答： （1）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨（2）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语 14.将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数, 这是不对的. (13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 答： (1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟. (6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了. (12) ? (p∧q)或?p∨?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ? ? (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. 16. 19.用真值表判断下列公式的类型: (1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→?q) →?q 离散数学第四版课后答案 第1章习题解答 1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9）， （10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。 分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。 其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。 （2）p:5能被2整除，p为假命题。 （6）p→q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真 命题，因而p→q为假命题。 （7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命 题，q为真命题，因而p→q为假命题。 （8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不 知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 1 （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。 （12）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q 为假命题，p∨q为真命题。 （13）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数，由于q是假命题，所以，p∨q 为假命题。 （14）p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。 （15）p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。 分析命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。 1．3 令p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为 （1）p→q （2）p→?q （3）?p→q （4）?p→?q 离散数学习题答案 习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化： （5）李辛与李末是兄弟 解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语 解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是 p q ∧ （9）只有天下大雨，他才乘班车上班 解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了 解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值： （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??， (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →?→? 解：列出公式的真值表，如下所示： 20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ?∨→ 解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是： ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有：01，10，11。 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式： 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 第 1 章绪论 课后习题讲解 1. 填空 ⑴（）是数据的基本单位，在计算机程序中通常作为一个整体进行 考虑和处理。 【解答】数据元素 ⑵（）是数据的最小单位，（）是讨论数据结构时涉及的最小 数据单位。 【解答】数据项，数据元素 【分析】数据结构指的是数据元素以及数据元素之间 的关系。 ⑶ 从逻辑关系上讲，数据结构主要分为（）、（）、（） 和（）。 【解答】集合，线性结构，树结构，图 结构 ⑷ 数据的存储结构主要有（）和（）两种基本方法，不论哪种存储结构，都要存储两方面的内容：（）和（）。 【解答】顺序存储结构，链接存储结构，数据元素，数据元素 之间的关系 ⑸ 算法具有五个特性，分别是（）、（）、（）、（）、 （）。 【解答】有零个或多个输入，有一个或多个输出，有穷性，确定 性，可行性 ⑹ 算法的描述方法通常有（）、（）、（）和（）四种，其中，（）被 称为算法语言。 【解答】自然语言，程序设计语言，流程图，伪代码， 伪代码 ⑺ 在一般情况下，一个算法的时间复杂度是（）的 函数。 【解答】问题规模 ⑻ 设待处理问题的规模为n，若一个算法的时间复杂度为一个常数，则表示成数量级的形式为（），若为n*log25n，则表示成数量级的形式为（）。 【解答】Ο(1)，Ο(nlog2n) 【分析】用大 O 记号表示算法的时间复杂度，需要将低次幂去掉，将最高次 幂的系数去掉。 2. 选择题 ⑴ 顺序存储结构中数据元素之间的逻辑关系是由（）表示的，链接存储结构中的数据元素之间的逻辑关系是由（）表示的。 A 线性结构 B 非线性结构 C 存储位置 D 指针 【解答】C，D 【分析】顺序存储结构就是用一维数组存储数据结构中的数据元素，其逻辑关系由存储位置（即元素在数组中的下标）表示；链接存储结构中一个数据元素对应链表中的一个结点，元素之间的逻辑关系由结点中的指针表示。 ⑵ 假设有如下遗产继承规则：丈夫和妻子可以相互继承遗产；子女可以继承父亲或母亲的遗产；子女间不能相互继承。则表示该遗产继承关系的最合适的数据结构应该是（）。 A 树 B 图 C 线性表 D 集合 离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 1.1．略 1.2．略 1.3．略 1.4．略 1.5．略 1.6．略 1.7．略 1.8．略 1.9．略 1.10．略 1.11．略 1.12．将下列, 并给出各命题的: (1)2+2＝4 当且仅 当3+3＝6. (2)2+2＝4 的充要 条件是3+3 6. (3)2+2 4 与3+3 ＝6 互为充要条件. (4)若2+24, 则 3+36, 反之亦然. (1)p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为1. (2)p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0. (3) p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0. (4) p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为1. 1.13．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1)若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则明天是星期三. 令p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三. (1) p q 1. (2) q p 1. (3) p q 1. (4) p r 当p 0 时为真; p 1 时为假. 1.14．将下 列 . (1) 刘 晓月跑得快, 跳得高. (2) 老王是山东 人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽 绒服. (4)王欢与李乐组成一个 小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学 过法语. (7)他一面 吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他 迟到了. (12)2 与4 都是素数, 这是不对的. (13)“2或4 是素数, 这是不对的”是不对的. 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：离散数学课后习题答案(左孝凌版)
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