2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案

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1 (3)(2)(1)2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案

一、填空题: 本大题共6小题,每小题8分,共48分,把答案填在横线上.

1.设集合{}21,2log A a b =-与 {}2=1,log (1664)B a b +-恰有一个公共元素为a , 则实数a = .

答案:6

解析:因为1,1,a a a a -≠+≠所以公共元素为 222log log (1664)b b =-,解得28,2log 6b a b ===。

2. 从正九边形中任取三个顶点构成三角形, 则正九边形的中心在三角形内的概率为 . 答案:

514 解析:如图,正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状:

对于(1),有3种情况;对于(2),有9种情况;对于(3);有18种情况;故所求概率为393918514

P C ++== 3.设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,=AP AB λuu u r uu u r ,若

OP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u r u u r ,则实数λ的取值范围是_______________.

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答案:[1

解析:(1)(1,)AP AB OP OA OB λλλλλ=⇒=-+=-u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ,则(1,1)PB λλ=--u u r

,(,)PA λλ=-u u r ,

2(1,)(1,1)(,)(1,1)2410OP AB PA PB λλλλλλλλ⋅≥⋅⇔-⋅-≥-⋅--⇒-+≤u u u r u u u r u u r u u r ,解得:

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11λ-≤≤,因点P 是线段AB 上的一个动点,所以01λ≤≤,综上,满足条件的λ

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的取值范围是112λ-

≤≤.

4.顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面

圆内的点,O 为底面圆圆心,AB OB ⊥,垂足为B ,OH HB ⊥,垂足为H ,且4PA =,

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