2015上海市高考压轴卷 数学(文) Word版含解析

2015上海高考压轴卷

文科数学

一、填空题:本大题共14小题,每小题4分,共56分.把答案填在答题卡的相应位置

1.已知A={1,3,4},B={3,4,5},则A∩B=.

2.复数z满足iz=3+4i(i是虚数单位),则z= .

3.已知幂函数Z为偶函数,且在区间上是单调增函数,则

的值为.

4.已知,则的值为.

5.如图,在中,是边上一点,,则的长为

6.

围是__________________.

7.已知函数(其中)经过不等式组所表示的平面区域,则实数的取值范围是.

8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体体积为____________.

9.右图是一个算法的流程图,最后输出的k=_____________.

10.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥底面ABCD,△PAD为正三角形,AB=2AD=4,则球O的表面积为______________.

11.若曲线与曲线在处的两条切线互相垂直,则实数a的值为.

12.直线l过点(1,1),且与圆(x-2)2+(y-2)2=8相交于A,B两点,则弦AB最短时直线l的方程为_________________.

13.已知F1、F2为双曲线

22

1

94

x y

-=的两个焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,

O为坐标原点,下列四个命题:

①△PF

1F2的内切圆的圆心必在直线x=3上;

②△PF

1F2的内切圆的圆心必在直线x=2上;

③△PF

1F2的内切圆的圆心必在直线OP上;

④△PF

1F2的内切圆必过(3,0).

其中真命题的序号是__________________.

14.给出如下五个结论:

①若为钝角三角形,则

②存在区间()使为减函数而<0

③函数的图象关于点成中心对称

④既有最大、最小值,又是偶函数

⑤最小正周期为π

其中正确结论的序号是 .

二、填空题:本大题共14小题,每小题4分,共56分.把答案填在答题卡的相应位置

15.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S8=32,则a2+a7=()

A.1

B.4

C.8

D.9

16. 已知向量a ,b 的夹角为

3

π

,||1a = ,且对任意实数x ,不等式||||a xb a b +≥+恒成立,则 ||b 的取值范围是( )

A.1[,)2+∞

B.1

(,)2

+∞ C.[1,)+∞ D.(1,)+∞

17.

18.已知

,若

在上恒成立,则实数的取值范围是( ) A.

B.

C.

D.

三、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的

15. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 8=32,则a 2+a 7=( )

A.1

B.4

C.8

D.9

16. 已知向量a ,b 的夹角为

3

π

,||1a = ,且对任意实数x ,不等式||||a xb a b +≥+恒成立,则 ||b 的取值范围是( )

A.1[,)2+∞

B.1

(,)2

+∞ C.[1,)+∞ D.(1,)+∞

17. . 函数y=的图象可能是( )

A .

B .

C .

D .

18.已知

,若

在上恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B.

C.

D.

四、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的

15.设等差数列

的前n 项和为,若, ,则

A .18

B .36

C .54

D .72

16.已知向量a,b的夹角为,,且对任意实数x,不等式恒成

立,则

A. B.1 C. 2 D.

17.已知实数a>1,命题p:函数y=log (x2+2x+a)的定义域为R,命题q:|x|<1是x

A.“p或q”为真命题 B.“p且q”为假命题

C.“綈p且q”为真命题 D.“綈p或綈q”为真命题

18.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是 ( )

三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

19.已知直线l:y=kx+1(k≠0)与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点,记l与y轴的交点为C.

(Ⅰ)若k=1,且|AB|=,求实数a的值;

(Ⅱ)若=2,求△AOB面积的最大值,及此时椭圆的方程.

20.(12分)某中学将100名高一新生分成水平相同的甲,乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A,B两种不同的教学方式分别在甲,乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如

下,计成绩不低于90分者为“成绩优

秀”.

(1)从乙班样本的20个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2个,求抽出的两个均“成绩优秀”的概率;

(2)由以上统计数据填写下面2x2列联表,并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关.

甲班(A方式)乙班(B方式)总计

成绩优秀

成绩不优秀

总计

附:K2=

P((K2≥k) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025

k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024

21.如图3,在多面体中,平面,∥,平面平面

,,,.

(1)求证:∥;

(2)求三棱锥的体积.

22.已知递增的等比数列{a n}前三项之积为8,且这三项分别加上1、2、2后又成等差数列.(1)求等比数列{a n}的通项公式;

(2)记b n=a n+2n,求数列{b n}的前n项和T n.

23.(本题满分12分)已知函数.

(1)若,求在处的切线方程;

(2)若在R上是增函数,求实数的取值范围.

KS5U2015上海高考压轴卷数学文word版参考答案1.{3,4}

解:∵A={1,3,4},B={3,4,5},

∴则A∩B={3,4}

2.4﹣3i

3.16

4.

5.

6.

7.

8.

9.11

10.64 3

11.

12.x+y-2=0

13.①④

14.③④

15.c

16.C

17. .B

【考点】:函数的图象.

【专题】:函数的性质及应用.

【分析】:当x>0时,,当x<0时,

,作出函数图象为B.

解:函数y=的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称.

当x>0时,,

当x<0时,,此时函数图象与当x>0时函数

的图象关于原点对称.

故选B

18.D

19.【考点】:椭圆的简单性质.

【专题】:圆锥曲线中的最值与范围问题.

【分析】:(Ⅰ)若k=1,联立直线和椭圆方程,结合相交弦的弦长公式以及|AB|=,即可求实数a的值;

(Ⅱ)根据=2关系,结合一元二次方程根与系数之间的关系,以及基本不等式进行求解即可.

解:设A(x1,y1),B(x2,y2),

(Ⅰ)由得4x2+2x+1﹣a=0,

则x1+x2=,x1x2=,

则|AB|==,解得a=2.

(Ⅱ)由,得(3+k2)x2+2kx+1﹣a=0,

则x1+x2=﹣,x1x2=,

由=2得(﹣x1,1﹣y1)=2(x2,y2﹣1),

解得x1=﹣2x2,代入上式得:

x1+x2=﹣x2=﹣,则x2=,

==,

当且仅当k2=3时取等号,此时x2=,x1x2=﹣2x22=﹣2×,

又x1x2==,

则=,解得a=5.

所以,△AOB面积的最大值为,此时椭圆的方程为3x2+y2=5.

【点评】:本题主要考查椭圆方程的求解,利用直线方程和椭圆方程构造方程组,转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键.

20.【考点】:独立性检验的应用.

【专题】:计算题;概率与统计.

【分析】:(1)利用列举法确定基本事件的个数,由此能求出抽出的两个均“成绩优秀”的概率;

(2)由已知数据能完成2×2列联表,据列联表中的数据,求出K2≈3.137>2.706,所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关.

【解答】:解:(1)设“抽出的两个均“成绩优秀”“为事件A.

从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为(86,93),(86,96),(86,97),(86,99)(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共15个,(4分)

而事件A包含基本事件:(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共10个.(6分)

所以所求概率为P(A)==(7分)

(2)由已知数据得:

甲班(A方式)乙班(B方式)总计

成绩优秀 1 5 6

成绩不优秀 19 15 34

总计 20 20 40

(9分)

根据2×2列联表中数据,K2=≈3.137>2.706

所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关.(12分)

【点评】:本题考查古典概型概率的求法,考查2×2列联表的应用,是中档题.

21.(1)证明见解析;(2).

试题分析:(1)由∥,可证∥平面,进而可证∥;(2)在平面

内作于点,先证平面,再算出,利用锥体的体积公式即可得三棱锥的体积.

试题解析:(1)证明:∵∥,平面,平面,

∴ ∥平面. …………………2分

又平面,平面平面,

∴∥.………………………………4分

(2)解: 在平面内作于点,

∵平面,平面,

∴. ………………………………5分

∵平面,平面,,

∴平面. (7)

∴是三棱锥的高. (8)

在Rt△中,,,故. ………………………………9分∵ 平面,平面,

∴ . (10)

由(1)知,∥,且∥,

∴ ∥. (11)

∴ . …………………………………………12分

∴三棱锥的体积.…………………14分考点:1、线线平行、线面平行;2、锥体的体积;3、线面垂直.

22.【考点】:数列的求和;等比数列的通项公式.

【专题】:等差数列与等比数列.

【分析】:(1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出;

(2)利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.

解:(1)设等比数列前三项分别为a1,a2,a3,

则a1+1、a2+2、a3+2又成等差数列.依题意得:,即,

解之得,或(数列{a n}为递增等比数列,舍去),

∴数列{a n}的通项公式:.

(2)由b n=a n+2n得,,

∴T n=b1+b2+…+b n=(20+2×1)+(21+2×2)+(22+2×3)+…+(2n﹣1+2n)

=(20+21+22+…+2n﹣1)+2(1+2+3+…+n)

=.

【点评】:本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

23.(1)由题意知:,

切线方程:……………………………………………6分(2)由题意知,因为函数在R上增函数,所以在R上恒成立,即恒成立. ……………………………………………8分

整理得:

令,则,因为,所以

在上单调递减

在上单调递增

所以当时,有极小值,也就是最小值. ……………………………… 11分所以a的取值范围是……………………………………………………12分

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