2019年江苏高考南通密卷二(南通市数学学科基地命题)

2019年高考模拟试卷(2)

南通市数学学科基地命题

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．

1．已知集合{1,1}A k =-，{2,3}B =，且{2}A B = ，则实数k 的值为 ． 2．设2(12)(,R)i a bi a b +=+∈，其中i 是虚数单位，则ab = ． 3．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，且(2)6f =，

则a = ．

4．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 ．

5．设点P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两互相垂 直，且1PA PB PC cm ===，则球的表面积为 2cm ．

6．已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+<>>，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =<>->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ． 7．将参加夏令营的500名学生编号为：001,002,,500 ，采用系统抽样的方

法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分

住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为 ．

8．ABC ?中，“角,,A B C 成等差数列”是

“sin sin )cos C A A B =+”成立的的 条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)

9．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的

一条

渐近线分为弧长为1:2的两部分，则双曲线的离心率为 ．

10．已知442cos sin ,(0,)32πααα-=∈，则2cos(2)3

π

α+= ．

11．已知正数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比1q ≠．将此数列删去一个数后得到的数列(按

原来的顺序)是等差数列，则公比q 的取值集合是 ．

12． 如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==， 若12AC BD ?=-uu u r uu u r ，则AD BC ?=u u u r u u u r

．

13．设ABC ?的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则

sin sin B

A 的取值范围是 ．

14．设函数()f x 满足()(3)f x f x =，且当[1,3)x ∈时，

()ln f x x =．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数

123,,x x x ，使得312123

()

()()f x f x f x t x x x ===，则实数t 的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分14分）

在ABC ?中，2

C A π

-=

，sin A =

． （1）求sin C 的值；

第12题图 0,1

s n ←←第4题图

（2

）若BC =ABC ?的面积． 16．（本小题满分14分）

如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC 是边长为2的菱形，160A AC ∠= ．在面ABC

中，AB =4BC =，M 为BC 的中点，过11,,A B M 三点的平面交AC 于点

N ．

（1）求证：N 为AC 中点；

（2）求证：平面11A B MN ⊥平面11A ACC ．

17．（本小题满分14分）

某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为cm x ，体积为3cm V ． （1）求V 关于x 的函数关系式；

（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的

值．

B A 1 B 1

C 1 M N

A 第16题图

18．（本小题满分16分）

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

，并且椭圆经过点(1,1)，过原点O 的直

线l

与椭圆C 交于A B 、两点，椭圆上一点M 满足MA MB =． （1）求椭圆C 的方程；

（2）证明：222

112

OA OB OM ++

为定值； （3）是否存在定圆，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．

19．（本小题满分16分）

已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且满足1239a a a ++=，12327b b b =． （1）若43a b =，43b b m -=．

①当18m =时，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

②若数列{}n b 是唯一的，求m 的值；

（2）若11a b +，22a b +，33a b +均为正整数，且成等比数列，求数列{}n a 的公差d 的最大值．

(第17题图)图

20．（本小题满分16分）

设函数2()()x f x ax e a =+∈R 有且仅有两个极值点1212,()x x x x <． （1）求实数a 的取值范围；

（2）是否存在实数a 满足23

11()f x e x =？如存在，求()f x 的极大值；如不存在，请说明理由．

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．．．．区域．．

内作答．．．

． A ．（选修４－１：几何证明选讲）

如图，AD 是∠BAC 的平分线，圆O 过点A 且与边BC 相切于点D ，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，求证：EF ∥BC ．

A

B

D

C

E

F O

·

B ．（选修４－２：矩阵与变换）

已知1 0 4 31 2 4 1-????

=????-????B ，求矩阵B ． C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，圆C 是以点(2,)6

C π

-为圆心，2为半径的圆．

（1）求圆C 的极坐标方程；

（2）求圆C 被直线5:12l π

θ=-所截得的弦长．

D ．（选修４－５：不等式选讲） 设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求

111323232

a b c +++++的最小值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）

直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =. D 是BC 的中点.

（1）求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.

1

A 1

B 1

C D

A

C

B

23.（本小题满分10分）

设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n = 的所有3个元素的子集记为312,,,n

C A A A ．

（1）求集合312,,,n

C A A A 中所有元素之和S ；

（2）记i m 为i A 3(1,2,,)n

i C = 中最小元素与最大元素之和，求32015

132015

C i

i m

C

=∑的值．

2019年高考模拟试卷(2) 参考答案

南通市数学学科基地命题

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题

1．3； 2．12-； 3．5； 4．27； 5．3π； 6．2

9

； 7．14； 8．充分不必要；【解析】

条件“角,,A B C 成等差数列”?3

B π

=

；结论 “sin sin )cos C A A B =+”

?sin()cos sin cos A B A B A B ++?cos sin cos A B A B =?cos 0A =或

sin B B =?A π

=

或3B π

=

．所以条件是结论的充分不必要条件．

9； 10．

11．????；

【解析】若删去2a ，则134,,a a a 成等差数列，3142a a a ∴=+，

即231112a q a a q =+，1q ∴=（舍去）或q =

或q =（舍去）；若删去3a ，

则124,,a a a 成等差数列，2142a a a ∴=+，即3

111

2a q a a q =+，1q ∴=（舍去）或q =

或q =∴q =

12．0；【解析】0AD DC CB BA +++= ，∴AD BC AB CD -=+

，

22()()()()AD DC BC CD AD BC CD AD BC CD AD BC CD AB CD CD ∴+?+=?+?--=?+?+- ，

12AC BD ?=- ，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==，0AD BC ∴?=

．

13．；【解析】由条件得2

b a

c =，不妨设a b c ≤≤，则2b c a b a

=<+，即

2210

b b a --<；同理得当a b

c ≥≥1b a <≤．而sin sin B b A a =，∴sin sin B

A 的取值范围

是． 14．ln31(,)93e ．【解析】()(3)f x f x = ，()()3x f x f ∴=，当[3,9)x ∈时，[1,3)3x ∈，()ln 3

x

f x ∴=，

在直角坐标系内作出函数()f x 的图象，而()

f x x

表示的是该图象上的点与原点的连线的

斜率．图象上的点(9,ln 3)与与原点的连线的斜率为ln 3

9

；当过原点的直线与曲线

()ln ,[3,9)3x f x x =∈相切时，斜率为1

3e

（利用导数解决）

．∴由图可知，满足题意得实数t 的取值范围为ln31

(,)93e

．

二、解答题

15．（1）因为在ABC ?中，2

C A π

-=

，所以A 为锐角，且cos A =．

所以sin sin()cos 2

C A A π

=+

==

（2）由正弦定理得

sin sin BC AB

A C

=

，所以sin sin BC C AB A ===

因为在ABC ?中，2

C A π

-=

，所以C

为钝角，且cos C ==． 因为在ABC ?中，()B A C π=-+，

所以1

sin sin()sin cos cos sin (3

B A

C A C A C =+=+=

=． 所以ABC ?

的面积为111

sin 223

ABC S AB BC B ?=??=?．

16． (1)由题意，平面//ABC 平面111A B C ，平面11A B M 与平面ABC 交于直线MN ，

与平面111A B C 交于直线11A B ，所以11//MN A B ．

因为11//AB A B ，所以//MN AB ，所以CN CM

AN BM

=

． 因为M 为AB 的中点，所以1CN

AN

=，所以N 为AC 中点．

(2)因为四边形11A ACC 是边长为2的菱形，160A AC ∠= ． 在三角形1A AN 中，1AN =，12A A =

，由余弦定理得1A N = 故22211A A AN A N =+，从而可得190A NA ∠= ，即1A N AC ⊥． 在三角形ABC

中，AB =2AC =，4BC =，

则222BC AB AC =+，从而可得90BAC ∠= ，即AB AC ⊥． 又//MN AB ，则AC MN ⊥．

因为1MN A N N = ，MN ?面11A B MN ，1A N ?面11A B MN ， 所以AC ⊥平面11A B MN ． 又AC ?平面11A ACC ，所以平面11A B MN ⊥平面11A ACC ． 17．正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大． 设正三棱锥侧面的高为0h ，高为h ．

010x h +=

，解得010h =-．

则h =

x ∈．

所以，正三棱锥体积21133V Sh x ==．

设4452

100(100)4848x x y V ===

求导得34

10012x y '=-，令0y '=

，得x =

当x ∈时，0y '>，∴函数y

在上单调递增，

当x ∈时，0y '<，∴函数y

在上单调递减，

所以，当x =时，y 取得极大值也是最大值． 此时15360y =

，所以3max V =．

答：当底面边长为

时，正三棱锥的最大体积为3．

18．（1

）由题设：22

111,

a b ?+=??解得2233,2a b ==，

∴椭圆C 的方程为22

21;33

x y += （2）①直线l 的斜率不存在或为0时，

222221122224

233

OA OB OM a b ++=+=+=； ②直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠，

则MA MB = ，∴直线OM 的方程为1

y x k

=-，

由2223y kx x y =??+=?得22(12)3k x +=，22

2

312A B x x k ∴==+， 同理2

2

232

M k x k ∴=+，

222112

O A O B O M ∴++= 2221123313(1)(1)(1)12122k k k k k k k +++?+?+?+++ 22

222(12)2(2)3(1)3(1)k k k k ++=+++ 2=，

222

1122OA OB OM ∴++=为定值； （3）由（2）得：

①直线l 的斜率不存在或为0时，2222111112

133

OA OM a b +=+=+=；

②直线l 的斜率存在且不为0时， 22222222222

111112213133(1)3(1)(1)(1)122

k k k OA OM k k k k k k +++=+=+=+++?+?++

∴原点O 到直线AM

的距离1d ==， ∴直线AM 与圆221x y +=相切，

即存在定圆221x y +=，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切． 19．（1）①由数列{}n a 是等差数列及1239a a a ++=，得23a =，

由数列{}n b 是等比数列及12327b b b =，得23b =． 设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，

若18m =，则有2323,3318d q q q +=??-=?

，解得3,

3d q =??=? 或

9,

22

d q ?

=-???=-?． 所以，{}n a 和{}n b 的通项公式为1

33,3n n n

a n

b -=-???=??或2912,

23(2)n n n

a n

b -?

=-+???=-? ② 由题设43b b m -=，得233q q m -=，即2330q q m --=（*）．

因为数列{}n b 是唯一的，所以

若0q =，则0m =，检验知，当0m =时，1q =或0（舍去），满足题意；

若0q ≠，则2(3)120m -+=，解得34m =-，代入（*）式，解得1

2q =，

又23b =，所以{}n b 是唯一的等比数列，符合题意．

所以，0m =或3

4-．

（2）依题意，113336()()a b a b =++，

设{}n b 公比为q ，则有3

36(3)(33)d d q q

=-+++， （**）

记3

3m d q

=-+

，33n d q =++，则36mn =． 将（**）中的q 消去，整理得2()3()360d m n d m n +-++-=， d

=

而,m n N *∈，所以 (,)m n 的可能取值为：

(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4)12,3),(18,2),(36,1)．

所以，当1,36m n ==时，d

． 20．(1)()2x f x ax e '=+．

显然0a ≠，12,x x 是直线12y a =-与曲线()x x

y g x e

==两交点的横坐标．

由1()0x

x

g x

-'=

=，得1x =．列表： 此外注意到：

当0x <时，()0g x <；

当[0,1]x ∈及(1,)x ∈+∞时，()g x 的取值范围分别为1[0,]e 和1

(0,)e ．

于是题设等价于1102a e <-

<

e

-∞-． (2)存在实数a 满足题设．证明如下：

由(1)知，1201x x <<<，111()20x f x ax e '=+=，

故1

1

122

13

11

1()+2x x x x f x =ax e e e e x =-=，故

11

2

31102

x x e e e x --=． 记2

3

1()(01)2x x e R x e e x x =--<<，则2(1)1()02

x x e x R x e x -'=-<，

于是，()R x 在(0,1)上单调递减．

又2()03R =，故()R x 有唯一的零点2

3

x =．

从而，满足2

3

11()f x e x =的12

3

x =．所以，1231324x e a e x =-=-． 此时22

33()4x f x e x e =-+，233()2

x f x e x e '=-+，

又(0)0f '>，(1)0f '<，(2)0f '>，而12

(0,1)3

x =∈，

故当2334a e =-时,2

312

()()3

f x f x e ==极大.

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

21.A . 如图，连结DF ．

因为BC 与圆相切，

所以CDF DAF ∠=∠．

A

E

F O

·

因为EFD ∠与EAD ∠为弧DE 所对的圆周角， 所以EFD EAD ∠=∠．

又因为AD 是BAC ∠的平分线，

所以EAD DAF ∠=∠． 从而CDF EFD ∠=∠．

于是//EF BC ． B ．设 , a b c d ??=????B 则1 0

1 2

2 2a b a c b d ????=????++????

B ， 故4,4,

3,3,

4 3.24,4, 4 221, 2.

a a

b b a

c c b

d d =-=-????==-???

?=????+==-????

??+=-=-??解得故B C ．（1）圆C 是将圆4cos ρθ=绕极点按顺时针方向旋转

6

π

而得到的圆，所以圆C 的极坐标方程是4cos()6

π

ρθ=+．

（2）将512πθ=-

代入圆C 的极坐标方程4cos()6

π

ρθ=+

，得ρ= 所以，圆C 被直线5:12

l π

θ=-

所截得的弦长为 D. 因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，

所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．

于是由均值不等式可知

()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++

9≥，

当且仅当13a b c ===时，上式等号成立．

从而1111323232

a b c ++≥+++． 故

111323232a b c +++++的最小值为1．此时13

a b c ===． 22． 在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，

∴分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，

则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ,

D 是BC 的中点，∴(1,2,0)D ，

（1）111(0,4,0),(1

,2,3)AC A D ==- ， 设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z = ，则1111100

n AC n A D ??=???=??

， 即111140230y x y z =??+-=?，取111

3

01

x y z =??=??=?， ∴平面11

A C D 的法向量1(3,0,1)n =

， 而1(1,2,3)DB =-

，

111111

cos ,n DB n DB n DB ?∴<>==? ， ∴直线1DB 与平面11A C D

（2）11(2,0,0)A B = ，1(1,2,3)DB =-

设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z = ，则211210

n A B n DB ??=???=??

， 即222220230x x y z =??-+=?，取222

32

x y z =??=??=?， ∴平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =

，

121212

cos ,n n n n n n ?∴<>==?

， ∴二面角111B A D C --

． 23．（1）因为含元素1的子集有21n C -个，同理含2,3,4,,n 的子集也各有21n C -个，于是所求

元素之和为2

2211(123)(2)(1)4

n n C n n n -++++?=

-- ； （2）集合{}1,2,3,,M n = 的所有3个元素的子集中：

以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；

以2为最小元素的子集有22n C -个，以1n -为最大元素的子集有2

2n C -个；

以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有2

2C 个．

3

1

n

C i i m =∴∑312n

C m m m =+++

222

122(1)()n n n C C C --=++++ 22231233(1)()n n n C C C C --=+++++ 22231244(1)()n n n C C C C --=+++++ 3(1)n n C ==+ ，

3131n C i

i n

m

n C =∴=+∑． 32015

132015

201512016C i

i m

C

=∴

=+=∑．