第4章 微分中值定理与导数应用

第4章 微分中值定理与导数应用
第4章 微分中值定理与导数应用

1.计算下列极限: (1) 0lim sin x x

x e e x

-→- (2) 02lim sin x x x e e x x x -→--- (3) cot lim cot 3x x x

π→ (4) 20tan lim tan x x x x x →- (5) 0ln sin 3lim ln sin 2x x x

+→ (6) 0ln lim ln cot x x x +→ (7) 2lim cot ln()2

x x x ππ+

→?- (8) 223

01lim sin 2x x e x x x -→+- 解 (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

2.求下列函数的单调区间:

(1) 31292)(23-+-=x x x x f ;

(2) 2()2ln f x x x =-;

(2)

3.当0>x 时,应用单调性证明不等式成立:2x +>证

4.求下列曲线的凹凸区间及拐点:

(1) 14334+-=x x y ; (2) 24

1y x =+;

解 (1)

(2)

5.求下列函数的极值:

(1) 32()393f x x x x =--+; (2) 2()1x

f x x =+;

(3) 2()2ln f x x x =-;

(4) ()f x =

(2)

(3)

(4)

6. 求下列函数在指定区间的最大值与最小值:

(1) 42()23f x x x =-+, 3

[2]2-,;

(2) ()f x x =[3,1]-;

(3)()sin cos f x x x x =+,[],ππ-.

解 (1)

(3)

最新微分中值定理与导数的应用

微分中值定理与导数 的应用

第三章微分中值定理与导数的应用 本章内容是上一章的延续,主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质及其图形和各种形态,这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位的几个微分中值定理。在分析、论证过程中,中值定理有着广泛的应用。 一、教学目标与基本要求 (一)知识 1.记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论; 2.记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式; 3.记住e x,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x的N阶麦克劳林公式; 4.知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法; 5.知道函数的极值点、驻点的定义以及它们之间的关系; 6.知道曲线的凹凸性与拐点的定义; 7.知道弧微分的定义与弧微分公式; 8.知道光滑曲线、曲率和曲率半径的定义; 9.知道求方程的近似解的基本方法。 (二)领会 1.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理,领会罗尔定理、拉格朗日中值定理的几何意义; 2.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之间的联系; 3.领会洛必达法则; 4.领会函数的单调性与一阶导数之间的联系; 5.领会函数的极值与一、二阶导数之间的联系; 6.领会函数的极值和最值的定义以及它们之间的区别和联系; 7.领会曲线的凹凸性与二阶导数之间的联系。 (三)运用 1.会用中值定理证明等式和不等式; 2.会用洛必达法则求末定式的极限; 3.会求一些函数的泰勒公式和利用泰勒公式求函数的极限及一些函数的近似值; 4.会用导数求函数的单调区间和极值; 5.会用函数的单调性证明不等式; 6.会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点; 7.会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线,会描绘函数的图形; 8.会求一些最值应用问题; 9.会求曲率和曲率半径; 10.会用二分法和切线法求一些方程实根的近似值。 (四)分析综合 1.综合运用中值定理、介值定理和函数的单调性等证明方程实根的存在性和惟一性;

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ,这是极限值与函数值(貌似是邻域)之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ,这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理: 条件:闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论:在开区间(a,b)上存在ζ ,使得()0f ζ= 4、介值定理: 条件:闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论:对于任意min(,)max(,)A B C A B <<,一定在开区间(a,b)上存在ζ,使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论: 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件:闭区间[a,b]连续,开区间(a,b)可导,f(a)=f(b) 结论:在开区间(a,b)上存在ζ ,使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件:闭区间[a,b]连续,开区间(a,b)可导 结论:在开区间(a,b)上存在ζ ,使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件:闭区间[a,b]连续,开区间(a,b)可导,()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论:在开区间(a,b)上存在ζ ,使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况,当g(x)=x 时,柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理,拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值,一般命题人出题证明存在0值,一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制,那就是,零点定理两端点相乘小于0,则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同,

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”,虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解,但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1.教学目的与要求:掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究,熟练应用L'Hospital法则求不定式极限,熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2.教学重点与难点: 重点是中值定理与函数的Taylor公式,利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题,函数的凸性. 3.教学内容: §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理,并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

中值定理与导数的应用

第三章 中值定理与导数的应用 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数)(x f 满足:(1)在闭区间],[b a 上连续, (2)在开区间),(b a 内可导, (3)在区间端点处的函数值相等,即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点 )(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零,即0)('=ξf . 例:设函数)(x f 在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,0)1(=f ,证明:在(0,1)内存在ξ,使得ξ ξξ) ()(f f - ='. 【分析】本题的难点是构造辅助函数,可如下分析: ()0)(0)()(0)()() ()(=' →='+→='+→- ='x xf x f x x f f f f f ξξξξ ξξ 【证明】令)()(x xf x G =,则)(x G 在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且 0)1(1G (1 )0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知,存在)1,0(∈ξ,使得)()()(ξξξξf f G '+='.即ξ ξξ) ()(f f - =' 例:设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续,在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值,f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明:存在(,)a b ξ∈,使得()().f g ξξ''''= 【分析】需要证明的结论与导数有关,自然联想到用微分中值定理,事实上,若令 ()()()F x f x g x =-,则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理,关键是

第六章 微分中值定理及其应用

第六章 微分中值定理及其应用 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到:(1)函数与其导数是两个不同的的函数;(2)导数只是反映函数在一点的局部特征;(3)我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾?需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态(单调性、极值、凹凸性质)方面的应用. §6.1 微分中值定理 教学章节:第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理 教学目标:掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求:深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之 间的包含关系. 教学重点:中值定理. 教学难点:定理的证明. 教学方法:系统讲解法. 教学过程: 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述:弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢? 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现:左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及

微分中值定理及其应用

分类号UDC 单位代码 密级公开学号 2006040223 四川文理学院 学士学位论文 论文题目:微分中值定理及其应用 论文作者:XXX 指导教师:XXX 学科专业:数学与应用数学 提交论文日期:2010年4月20日 论文答辩日期:2010年4月28日 学位授予单位:四川文理学院 中国 达州 2010年4月

目 录 摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言 第一章 微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章 微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章 微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章 结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则,且存在,,设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>( ) 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值,在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==( ) 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=( ) ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ) (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值,F (x)=f (x)g (x),则F(x)在x=a 处( ) (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=( ) (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是( ) (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+, (D) ) 1(∞+-, 8、函数)x (f 在0x x = 处连续,若0x 为)x (f 的极值点,则必有( ) . (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时,处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=( ) ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、(),则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线,若 )x (f y )x (f x 00=( ) 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 , 必为曲线的拐点, )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=. 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=.

第三章 微分中值定理与导数应用教案教学设计

第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 教学目的:理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。 教学重点:罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点:罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容: 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义:对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线,且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说,至少存在一点C ,使得其切线平行于x 轴。 从图中可以看出:符合条件的点出现在最大值和最小值点,由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便,先介绍费马(Fermat )引理 费马引理 设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任 意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明:不妨设)(0x U x ∈时,)()(0x f x f ≤(若)()(0x f x f ≥,可以类似地证明). 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0

根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点,临界点). 罗尔定理 如果函数)(x f 满足:(1)在闭区间],[b a 上连续, (2)在开区间),(b a 内可导, (3)在区间端点处的函数值相等,即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零,即 0)('=ξf . 证明:由于)(x f 在],[b a 上连续,因此必有最大值M 和最小值m ,于是有两种可能的情形: (1)m M =,此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ,即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此,任取),(b a ∈ξ,有.0)(='ξf (2)m M >,由于)()(b f a f =,所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处 的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续,在)3,1(-上可导,且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明:1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个,也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外,满足罗尔定理的一切条件, 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外,在]1,0[上满足罗尔定理的一切条

中值定理与导数的应用(包括题)

第三章 中值定理与导数的应用 一、 基本内容 (一) 中值定理 1.罗尔定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且)()(b f a f =,那么在),(b a 内存在一点ξ,使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,那么在),(b a 内至少有一点ξ,使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,<

(2)在点a 的某去心邻域内,)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ; (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在(或为无穷大),那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件: (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ; (2)当N x >时,)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ; (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在(或为无穷大); 那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式,也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式,可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. (三) 泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数,那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ! )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间,)(x R n 是拉格朗日余项. (四) 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续,在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ,那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加;

微分中值定理及其在不等式的应用

安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用 作者张在 系(院)数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2008级 学号06081090 指导老师姚合军 论文成绩 日期2010年6月

学生诚信承诺书 本人郑重承诺:所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究成果。尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包括其他人已经发表的或撰写的研究成果,也不包括为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所需用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名:日期: 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定,即:学校有权保留送交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名:导师签名:日期

微分中值定理及其应用 张庆娜 (安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002) 摘 要:介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用. 关键词:连续;可导;微分中值定理;应用 1 引言 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论:“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes )正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri ) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实:曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat ) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle ) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy ) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理. 近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要. 2 预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理. 定理2.1[1](有界性定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有界.即常数0M > ,使得x [,]a b 有|()|f x M ≤. 定理2.2(最大、最小值定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值. 定理2.3(介值性定理) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ为介于()f a 与()f b 之间的任意实数(()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<),则至少存在一点

微分中值定理与导数应用

第三单元微分中值定理与导数应用 一、填空题 1、 lim xln x x 0 。 2、 函数f x 2x cos x 在区间 单调增 3 、 函数f x 4 8x 3 3x 4的极大值是 。 4 、 曲线y x 4 6x 2 3x 在区间 是凸的。 5 、 函数f x cosx 在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是 6 、 曲线y xe 3x 的拐点坐标是 。 7、若fx 在含X 。的a,b (其中a b )内恒有二阶负的导数,且 则f X 。是f x 在a,b 上的最大值。 & y X 3 2x 1 在 内有 个零点。 1 1 9、 lim cot x( ) 。 sin x x 1 i 10、 lim (~2 ------------ ) __________ 。 x 0 x xta n x 11、 曲线y e"的上凸区间是 _____________ 。 12、 函数y e x x 1的单调增区间是 _______________ 。 二、单项选择 1、 函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0) 1,f (0) 2,则lim x 0 () (A) 不存在;(E) 0 ; (C) -1 ; (D) -2 2、 设 f(x) (x 1)(2x 1),x (,),则在(丄,1)内曲线 f(x)( f(x) x 2 x

2 (A)单调增凹的;(E)单调减凹的; (A)不可导; (B)可导,且f'(0) 0 ;

(C)单调增凸的; (D)单调减凸的 3、f(x)在(a,b)内连续,X 。 (a,b), f (X 。) f (x °) 0,则 f (x)在 x x 。处 ( ) (A)取得极大值; (E)取得极小值; (C) 一定有拐点(x o ,f(x 。)); (D)可能取得极值,也可能有 拐点。 4、设f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,则I:在(a,b)内f (x) 0与 在(a,b)上f (x) f (a)之间关系是( ) (A)无实根; (B)有唯一实根; (C) 有两个实根; (D)有三个 实根。 7、已知f(x)在x 0的某个邻域内连续,且f(0) 0 , lim f(x) 2 , x 01 cosx 则在点x 0处f(x)( ) (A) I 是H 的充分但非必要条件 分条件; (C) I 是H 的充分必要条件; 也不是必要条件。 5、 设f(x)、g(x)在a,b 连续可导, 则当a x b 时,则有( (A) f(x)g(x) f(a)g(a); (C)他他; g(x) g(a) 6、 方程x 3 3x 1 0在区间(, (B) I 是H 的必要但非充 (D) I 不是H 的充分条件, f (x)g(x) 0,且 f (x)g(x) f(x)g (x), ) (B) f(x)g(x) f (b)g(b); (D)喪起。 f(x) f(a) )内( )

最新3[1]1微分中值定理及其应用汇总

3[1]1微分中值定理 及其应用

3.2 微分中值定理及其应用 教学目的: 1.掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打好坚实的理论基 础; 2.熟练掌握洛比塔法则,会正确应用它求某些不定式的极限; 3.掌握泰勒公式,并能应用它解决一些有关的问题; 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法,能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象; 5.会求函数的最大值、最小值,了解牛顿切线法。 教学重点、难点: 本章的重点是中值定理和泰勒公式,利用导数研究函数单调性、极值与凸性;难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数:2学时 一、微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则?Skip Record If...?,使得?Skip Record If...?.

https://www.360docs.net/doc/275028537.html,grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导, 则?Skip Record If...?,使得?Skip Record If...?. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函 数. 推论2 函数和在区间I上可导且 推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有 (证) 但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在 内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函 数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I 上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.

第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)

第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0,3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ,则k = 。 3、=a ,=b 时,点(1,3)为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ,在[-1,1]中最大值为 ,最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ,其极大值为 ,极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ,则=a ,=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(,则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是( ) A 、单调增加,图形上凹 B 、单调减少,图形上凹 C 、单调增加,图形下凹 D 、单调减少,图形下凹 2、设函数)(x f 在[0,1]上可导,0)(>'x f 并且0)1(,0)0(>

最新数学分析教案-(华东师大版)第六章-微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用 教学目的: 1.掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打好坚实的理论基础; 2.熟练掌握洛比塔法则,会正确应用它求某些不定式的极限; 3.掌握泰勒公式,并能应用它解决一些有关的问题; 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法,能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象; 5.会求函数的最大值、最小值,了解牛顿切线法。 教学重点、难点: 本章的重点是中值定理和泰勒公式,利用导数研究函数单调性、极值与凸性;难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数:14学时 § 1 中值定理(4学时) 教学目的:掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础。 教学要求:深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系。 教学重点:中值定理。 教学难点:定理的证明。 教学难点:系统讲解法。 一、引入新课:

通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系,引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下,自然提出另外一个基本问题:导数有什么用?俗话说得好:工欲善其事,必先利其器。因此,我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问:若函数可导,则它应该有什么特性?由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性(板书课题) 二、讲授新课: (一)极值概念: 1.极值:图解,定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. (二)微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.360docs.net/doc/275028537.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证)

微分中值定理与导数的应用练习题

题型 1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题 2.根据极限,利用洛比达法则,进行计算 3.根据函数,计算导数,求函数的单调性以及极值、最值 4.根据函数,进行二阶求导,求函数的凹凸区间以及拐点 5.根据函数,利用极限的性质,求渐近线的方程 内容 一.中值定理 1.罗尔定理 2.拉格朗日中值定理 二.洛比达法则 一些类型(00、∞ ∞、∞?0、∞-∞、0 ∞、0 0、∞ 1等) 三.函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值 四.函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点 五.函数的渐近线

水平渐近线、垂直渐近线 典型例题 题型I 方程根的证明 题型II 不等式(或等式)的证明 题型III 利用导数确定函数的单调区间与极值 题型IV 求函数的凹凸区间及拐点 自测题三 一.填空题 二.选择题 三.解答题 4月13日微分中值定理与导数应用练习题 基础题: 一.填空题 1.函数12 -=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。 3.1)(2 -+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。 4.函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。 5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 . 6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,则0)(='x f 有 个实根,分别位于区间 中. 7. =→ x x x 3cos 5cos lim 2 π35- 8.=++∞→x x x arctan ) 1 1ln(lim

第三章中值定理与导数的应用答案

(A) 一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明 1 .若 x 0,证明 e x 1 x 。 证明:令 F x =e x _1_x ,则 F x =e x -1 当x 0时,F'x ?0,从而Fx 在0单增 因为F0=0,故Fx ?0,即 e x 1 x 2 2 .设 x 0,证明 x - x In 1 x :: x 。 2 证明: -In 1 X ,贝u f x =1 —X-丄二二 2 因x ? 0,贝U f x ::: 0,从而f x 在0, ?::单减。 2 x 故 f x :: f 0 =0,即卩 x In 1 x 2 20:令 g x ;=ln 1 x -x ,则 g x 1 ——1 1 + x 当x 0时,g x ::: 0,从而g x 在0「::单减 故 g x : g 0 = 0,即 In 1 x < x 2 由 1°、20 知,x —亠:::l n 1 ? x :: x 2 (B ) 一选择 1— 4 CBDD 习题3.1 1°:令 f x R x -

计算与证明 arcta n arcta n — n n +1 1 1 解:令F x "「如x ,则Fx 在GJ 上连续,在占*可导,故 1 1 arctan arcta n — ,使 f n LJ v f 1 1 当n 时,贝厂> 0 1 故原式二 lim f = lim 2 = 1 2.设f x 在0,1 1上可导,且0 ::: f x ::: 1,对于任何x ?0,1 ,都有f x - 1, 试证:在0,1内,有且仅有一个数X ,使f x = x 。 证:令Fx 二fx-x ,因为Fx 在0,1上连续,且F0二f0 0, F 1二f 1 -1 :::0,则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ,使 F x 二 f x = 0,即 f x 二 x 。 下证唯一性。设在0,1内存在两个点X 1与X 2,且X 1 ::: X 2,使f X 1 = x 1, f X 2 1=X 2,在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理,则有 :5 1X1, X 2 ,使 得 f = f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1 x 2 _捲 x 2 _捲 这与题设f X =1矛盾,故只有一个X 使f X 二X 。 3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ,且f2二f1=0,如果 F x -1 f x ,证明至少存在一点 1,2,使F 」=0。 求lim n _L :i 由拉格朗日定理知,存在一点

微分中值定理与导数的应用习题

第四章微分中值定理与导数得应用习题 §4、1 微分中值定理 1. 填空题 (1)函数在上使拉格朗日中值定理结论成立得ξ就是. (2)设,则有3个实根,分别位于区间中. 2.选择题 (1)罗尔定理中得三个条件:在上连续,在内可导,且,就是在内至少存在一点,使成立得(B ). A.必要条件 B.充分条件 C. 充要条件D.既非充分也非必要条件 (2)下列函数在上满足罗尔定理条件得就是( C ). A、B、C、D、 (3)若在内可导,且就是内任意两点,则至少存在一点,使下式成立(B). A. B. 在之间 C. D. 3.证明恒等式:. 证明: 令,则,所以为一常数. 设,又因为, 故. 4.若函数在内具有二阶导数,且,其中,证明:在内至少有一点,使得. 证明:由于在上连续,在可导,且,根据罗尔定理知,存在, 使. 同理存在,使. 又在上 符合罗尔定理得条件,故有,使得. 5. 证明方程有且仅有一个实根. 证明:设, 则,根据零点存在定理至少存在一个,使得.另一方面,假设有,且,使,根据罗尔定理,存在使,即,这与矛盾.故方程只有一个实根. 6. 设函数得导函数在上连续,且,其中就是介于之间得一个实数. 证明: 存在,使成立、 证明: 由于在内可导,从而在闭区间内连续,在开区间内可导.又因为,根据零点存在定理,必存在点,使得. 同理,存在点,使得.因此在上满足罗尔定理得条件,故存在,使成立. 7、设函数在上连续,在内可导、试证:至少存在一点, 使 证明:只需令,利用柯西中值定理即可证明、 8.证明下列不等式 (1)当时,. 证明:设,函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,且, 故, 即 () 因此, 当时,. (2)当时,. 证明:设,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,有 因为,所以,又因为,所以,从而 . §4、2 洛毕达法则 1. 填空题 (1) (2)0 (3)= (4)1 2.选择题

微分与积分中值定理及其应用

第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根(零点)的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一,它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础,是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带,具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续; (ⅱ)f 在开区间(a,b )内可导; (ⅲ))()(b f a f =, 则在(a,b )内至少存在一点ξ,使得 0)(='ξf . 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件: (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续; (ⅱ)f 在开区间(a,b )上可导; 则在(a,b )内至少存在一点ξ,使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ.

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