福建省漳州市七校2014届高三第二次联考数学(理)试题

2014届高三漳州七校第二次联考理科数学试卷

考试时间：120分钟总分：150分

一、单选题（本大题共10小题; 共50分．）

1.下面四个集合中，表示空集的是( )．

A．{0}

B．{x|x2＋1＝0，x∈R}

C．{x|x2－1＞0，x∈R}

D．{(x、y)|x2＋y2＝0，x∈R，y∈R}

2.函数y＝3cos(－)的最小正周期是

A．5 B． C．5π D．

3.若1＜，则下列结论中不正确的是

A．l og a b＞l og b a

B．|l og a b＋l og b a|＞2

C．(l og b a)2＜1

D．|l og a b|＋|l og b a|＞|l og a b＋l og b a|

4.以下选项中，不是单位向量的有①a＝(cosθ，－sinθ)；②b＝(，)；③c＝(2x，2x)；④d＝(1－x，x)．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5.已知：e1，e2是不共线向量，a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为

A．8

B．－8

C．3

D．－3

6.长方体的一条对角线和同一顶点上的三条棱中的两条所成的角为，，则它和另一条棱所成的角为

A．

B．

C．

D．不确定

7.已知直线m，n和平面α，那么m∥n的一个必要而不充分的条件是

A．m∥α，n∥α

B．m⊥α，n⊥α

C．nα，且m∥α

D．m，n与α成等角

8.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为

A．8

B．8π

C．4

D．4π

9.若函数f(x)＝a x－(b＋1)(a＞0，且a≠1)的图象在一、三、四象限，则必有

A．0＜a＜1且b＞0

B．0＜a＜1且b＜0

C．a＞1且b＜0

D．a＞1且b＞0

10.已知sinα＋cosα＝，那么sin3α－cos3α的值为

A．

B．－

C．或－

D．以上全错

二、填空题（本大题共5小题; 共20分．）

11.已知：a＝(1，2)，b＝(3，－1)，c＝(－2，4)，则a(b·c)＝________．

12.已知4π＜α＜6π，且角α与角－π的终边垂直，则α＝________．

13.P是棱长为l的正四面体内任一点，则P点到四个面的距离之和为________

14.函数f(x)为奇函数，在(0，＋∞)上递增，且f(3)=0，则不等式x·f(x)＜0的解集为________．

15.过点(－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是________．

三、证明题（本大题共1小题; 共13分．）

16.求证：．

四、计算题（本大题共2小题;每题13分共26分．）

17.上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分．因特网服务公司(Internet Service Provider)的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用．

某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则如图所示，即在用户上网的第1小时内收费1.7，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．

假设一次上网时间总小于17小时．那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？请写出其中的不等关系．

18.已知直线l1：5x－2y＋3m(3m＋1)＝0和直线l2：2x＋6y－3m(9m＋20)＝0，求：

(1)两直线l1、l2交点的轨迹方程；

(2)m取何值时，直线l1与l2的交点到直线4x－3y－12＝0的距离最短，最短距离是多少？

五、解答题（本大题共3小题;19题13分;20，21题各14分共41分．）

19.已知数列{a

n }中，a

1

＝－1，且a

n

＝3a

n－1

－2n＋3(n≥2，n∈N*)

(1)求a

2，a

3

，并证明数列{a

n

－n}是等比数列；

(2)求a

1＋a

2

＋…＋a

n

的值．

20.如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°

(Ⅰ)求证：EF⊥平面BCE；

(Ⅱ)设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

(Ⅲ)求二面角F―BD―A的余弦值．

21.已知函数f(x)＝x3－x2，g(x)＝x2－ax＋．

(Ⅰ)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点P(3，f(3))处的切线方程；

(Ⅱ)当函数y＝f(x)在区间[0，1]上的最小值为－时，求实数a的值；

(Ⅲ)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围．

2014届高三漳州七校第二次联考理科数学试卷(答题卡)

考试时间：120分钟总分：150分

一、

（本大题共10小题; 共50分．）

二、

填

空

题

（

本大题共5小题; 共20分．）

11 12 13.

14 15.

三、证明题（本大题共1小题; 共13分．）

16

四、计算题（本大题共2小题;每题13分共26分．）

17.

18.

五、解答题（本大题共3小题;19题13分;20，21题各14分共41分．）

19.

20.

21.

2014届高三漳州七校第二次联考理科数学试卷——参考答案一、单选题（本大题共10小题; 共50分．）

二、填空题（本大题共5小题; 共20分．）

11． (－10，－20); 12.，13．14． (－3，0)∪(0，3); 15．解：设所求直线方程为，依题意有，∴(无解)或，解得或．

∴直线的方程是或．

三、证明题（本大题共1小题; 共13分．）

16．

四、计算题（本大题共2小题; 共26分．）

17．

18．

五、解答题（本大题共3小题; 共41分．）

19．解：(1)∵a1＝－1，且a n＝3a n－1－2n＋3，(n≥2，n∈N*)

∴a2＝3a1－4＋3＝－4，

a3＝3a2－6＋3＝－15

当n≥2时，有a n－n＝3a n－1－2n＋3－n＝3(a n－1－n＋1)

且a1－1＝－2≠0，

所以数列{a n－n}是一个以－2为首项，3为公比的等比数列

(2)∵a n－n＝－2·3n－1，∴a n＝n－2·3n－19分

∴a1＋a2＋…＋a n＝(1－2·1)＋(2－2·3)＋(3－2·32)＋…＋(n－2·3n－1)

＝(1＋2＋3＋…＋n)－(2·1＋2·3＋2·32＋…＋2·3n－1)

＝

20．解法一：

(Ⅰ)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，

取BE的中点N，连接AN，MN，则MN∥＝∥＝PC

所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN

因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

所以PM∥平面BCE

(Ⅲ)由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD

作FG⊥AB，交BA的延长线于G，则FG∥EA．从而，FG⊥平面ABCD 作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH

因此，∠FHG为二面角F－BD－A的平面角

因为FA＝FE，∠AEF＝45°，

所以∠AFE＝90°，∠FAG＝45°．

解法二：

(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，

所以AE⊥AB

又因为平面ABEF⊥平面ABCD，AE平面ABEF，

平面ABEF∩平面ABCD＝AB，

所以AE⊥平面ABCD．

所以AE⊥AD．

因此，AD，AB，AE两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系A－xyz．

设AB＝1，则AE＝1，B(0，1，0)，D(1，0，0)，E(0，0，1)，C(1，1，0)．

因为FA＝FE，∠AEF＝45°，

所以∠AFE＝90°．

所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，

故平面PMM∥平面BCE

(订正：F点竖坐标为负)

21．(Ⅰ)因为，由题意

即过点的切线斜率为3，又点

则过点的切线方程为：

(Ⅱ)依题意令得或

由，要使函数在区间上的最小值为，则

(ⅰ)当时，

当时，，当时，，

所以函数在区间[0，1]上，

即：，舍去

(ⅱ)当时，

当时，，则使函数在区间上单调递减，

综上所述：

(Ⅲ)设

设令得或

(ⅰ)当时，函数单调递增，函数与的图象不可能有三个不同的交点(ⅱ)当时，随的变化情况如下表：

欲使与图象有三个不同的交点，

方程，也即有三个不同的实根

，所以

(ⅲ)当时，随的变化情况如下表：

由于极大值恒成立，故此时不能有三个解综上所述