极坐标与参数方程讲义(教师版)

极坐标与参数方程

一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系

如图所示

,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射

线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.

一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.

特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.

2.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是

(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点M

直角坐标(,)x y

极坐标(,)ρθ

互化公式

cos sin x y ρθ

ρθ

=??

=? 222

tan (0)

x y y

x x

ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 3.常见圆与直线的极坐标方程 曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点,半径为r 的圆

(02)r ρθπ=≤<

圆心为(,0)r ,半径为r 的圆

2cos ()2

2

r π

π

ρθθ=-

≤<

圆心为(,

)2

r π

,半

径为r 的圆

）（πθθρ≤≤=0sin 2r

过极点,倾斜角为

α的直线

(1)

()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或

(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和

过点(,0)a ,与极轴垂直的直线

cos ()2

2

a π

π

ρθθ=-

<<

过点(,

)2

a π

,与极

轴平行的直线

sin (0)a ρθθπ=<<

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即

(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的

唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(

,)44

M ππ

可以表示为5(,2)(,2),444444

ππππππ

ππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方

程ρθ=. 二、考点阐述

考点1、极坐标与直角坐标互化 例题1、在极坐标中，求两点)4

,2(),4,2(π

π

-Q P 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方

程。

解：两点的直角坐标为),2,2(),2,2(-Q P 它们之间的距离22=PQ . 由于直线PQ 垂直于极轴，且距离极点2，所以直线的极坐标方程为2cos =θρ 练习

1.1、已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，

π4cos 002

ρθρθ??

=< ??

?

，≥≤，求曲线1C 与2C 交点的极坐标． 解：我们通过联立解方程组cos 3(0,0)4cos 2ρθπρθρθ=?≥≤

6ρπθ?=?

?=

??

,即两曲线的交点为(23,)6

π

。

1．2. 已知圆C ：22(1)(3)1x y ++-=，则圆心C 的极坐标为_______(0,02)ρθπ>≤<

答案：（2(2,)3

π

）

练习1.3已知点c 极坐标为(2,)3

π

，求出以C 为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程（写出解

题过程）；

解：1M M ρθ（）如图所示，设为圆上一点， (,),

2MOC 44cos()43

33

π

π

π

θθρρθ∠=-

-+--=则或

，由余弦定理得

4cos()3

π

ρθ∴-极坐标方程为=。

考点2、极坐标与直角坐标方程互化

例题2、已知曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，

极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是2

2(242

x t t y t ?=????=-+??为参数），点P 是曲线C 上的动点，点Q 是直线l 上的动点，求|PQ |的最小值．

解：曲线C 的极坐标方程4sin ρθ=可化为24sin ρρθ=,

其直角坐标方程为2

2

40x y y +-=，即2

2

(2)4x y +-=. ……………（3分） 直线l 的方程为40x y --=.所以圆心到直线l 的距离24322

d --=

= …（6分）

所以，PQ 的最小值为322-. …………………………（10分） 练习2.1、设过原点O 的直线与圆C ：2

2

(1)1x y -+=的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点。

(1) 求圆C 的极坐标方程；

(2) 求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．

解：圆22

(1)1x y -+=的极坐标方程为2cos ρθ=……4分

设点P 的极坐标为11(,)ρθ，点M 的极坐标为(,)ρθ， ∵点M 为线段OP 的中点， ∴12ρρ=，1θθ= ……7分 将12ρρ=，1θθ=代入圆的极坐标方程，得cos ρθ=

∴点M 轨迹的极坐标方程为cos ρθ=，它表示圆心在点1(,0)2，半径为12

的圆． ……10分

练习2.2（2015Ⅰ理数）(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中.直线1C :x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）

求1C ，2C 的极坐标方程；

（II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4

R π

θρ=

∈，设2C 与3C 的交点为M ，N

，求

△C 2MN 的面积

（23）解：（I ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=。 ……5分

（II ）将4

π

θ=

代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得

122ρ=，22ρ=。故122ρρ-=，即2MN =。

由于2C 的半径为1，所以2C MN ?的面积为

1

2

。 ……10分 二、参数方程 1.参数方程的概念

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数

()

()

x f t y g t =??

=?①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

2.参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求

出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()

()

x f t y g t =??

=?就是曲线的参数方程,在参数方程与

普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.

注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数

如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作

匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θθθ=??=?

为参数。

这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。

圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=， 它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θ

θθ

=+??

=+?为参数。

4．椭圆的参数方程

以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22

221(0),x y a b a b

+=>>其参

数方程为cos ()sin x a y b ?

??

=??

=?为参数，其中参数?称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方

程是22

221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ???=??=?

为参数其中参数?仍为离心

角，通常规定参数?的范围为?∈[0，2π）。

注：椭圆的参数方程中，参数?的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02

π

α≤≤

时，相应地也有

02

π

?≤≤

，在其他象限内类似。

5．双曲线的参数方程（了解）

以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为22

221(0,0),

x y a b a b

-=>>其参数方程为sec ()tan x a y b ???

=??

=?为参数，其中3[0,2),.22ππ

?π??∈≠≠

且

焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22

221(0,0),y x a b a b

-=>>其参数方程为

c o t

((0,2).c s c

x b e y a ???π?π?=?∈≠?

=?为参数，其中且 以上参数?都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程

以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)y px p =>的参数方程为

2

2().2x pt t y pt

?=?

=?为参数 7．直线的参数方程

经过点000(,)M x y ，倾斜角为()2

π

αα≠

的直线l 的普通方程是00tan (),

y y x x α-=-而过000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α

α

=+??

=+?()t 为参数。

注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α

α

=+??

=+?()t 为参数，其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任一点

(,)M x y 为终点的有向线段0M M

的数量，当点M 在0M 上方时，t ＞0；当点M 在0M 下

方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0。我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。

考点3、参数方程与直角坐标方程互化

例题3：已知曲线1C 的参数方程为?????=+-=θ

θsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方

程为θθρsin 6cos 2+=．

（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

解：（1）由?????=+-=θ

θsin 10cos 102y x 得10)2(2

2=++y x

∴曲线1C 的普通方程为10)2(22=++y x

∵θθρsin 6cos 2+= ∴θρθρρsin 6cos 22+= ∵θρθρρsin ,cos ,222==+=y x y x

∴y x y x 6222+=+，即10)3()1(22=-+-y x

∴曲线2C 的直角坐标方程为10)3()1(22=-+-y x ……………（５分） （2）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1( ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=C

∴两圆相交

设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C

∴22

2

)10()223(

)2

(=+d ∴22=d ∴公共弦长为22………（10分） 练习3.1（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程.

已知曲线C ：θ??

?θ

+=θ

+=(sin 21cos 23y x 为参数，0≤θ<2π)，

（Ⅰ）将曲线化为普通方程；

（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．

（Ⅰ）023222=--+y x y x … 5分 （Ⅱ）()

θ+θ=ρsin cos 32

… 10分

练习3.2已知曲线C 1：cos ()sin x y θθθ=??=?为参数，曲线C 2：2

22

()22

x t t y t ?=-???

?=

??

为参数。

（1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；

（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C 。写出

1'C ，2'C 的参数方程。1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？

说明你的理由。

练习3.3(2014II)（23）(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2

π

ρθθ=∈.

（1）求C 得参数方程；

（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.

（23）解： （I ）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤. 可得C 的参数方程

为1cos ,sin ,x t y t =+??=?

（t 为参数，0t x ≤≤）

（Ⅱ）设D (1cos ,sin )t t +.由（I ）知C 是以G （1,0）为圆心，1为半径的上半圆。

因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同, tan 3,3

t t π

=

=

. 故

D 的直角坐标为(1cos

,sin )33π

π+，即33

(,)22

。 练习3.4（2013Ⅰ）（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t

y t

=+??

=+?(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=。

（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。 【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题.

【解析】将45cos 55sin x t

y t

=+??=+?消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=，

即1C ：22810160x y x y +--+=，将cos sin x y ρθ

ρθ

=??

=?代入22810160x y x y +--+=得，

28cos 10sin 160ρρθρθ--+=，

∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=； （Ⅱ）2C 的普通方程为2220x y y +-=，

由2222

81016020

x y x y x y y ?+--+=??+-=??解得11x y =??=?或02x y =??=?，∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为（2,

4

π

），(2

,)2

π

.

练习3.5(2015II)23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,

:sin ,x t C y t αα=??

=?

（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，

在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线

3:23c o s C ρθ=．

（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；

（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值． 【答案】（Ⅰ）(0,0)和33

(

,)22

；（Ⅱ）4． 解：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2

2

20x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为

22

230x y x +-=．联立2

2

2

2

20,230,

x y y x y x ?+-=??+-=??解得0,0,x y =??=?或3

,

23,2

x y ?

=????=??

所以2C 与1

C 交

点的直角坐标为(0,0)和33(

,)22

． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为

(2sin ,)

αα，

B

的极坐标为

(23cos ,)

αα．所以

2s i n

23c o s AB αα=-4i n ()3

s π

α=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为

4．

考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．

考点4：利用参数方程求求值域 例题4、在曲线1C ：??

?=+=）y x 为参数θθ

θ

(sin cos 1上求一点，使它到直线2C ：

1222

(112

x t t y t

?

=-+???

?=-??为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。 解：直线C 2化成普通方程是x+y-22-1=0……………………………………2分 设所求的点为P （1+cos θ,sin θ),……………………………………………3分 则C 到直线C 2的距离d=

2

|

122sin cos 1|-+++θθ…………………………5分

=|sin(θ+4

π

)+2|……………………………………7分 当2

34

ππ

θ=

+

时，即θ=45π时，d 取最小值1………………………………9分

此时，点P 的坐标是（1-

22，-2

2

）……………………………………10分

练习4.1.在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=的圆

心为(,)P x y ，求2x y -的取值范围..

【解】由题设得??

?==θ

θ

sin 3cos 4y x （θ为参数）. …………………………3分

于是28cos 3sin 73cos()x y θθθ?-=-=+， ………………………6分 所以 73273x y --≤≤. ………………………10分 练习4.2．（本小题满分10分）

已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线L 的参数方程是?????=+-=,54253t

y t x （t 为

参数）．

（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求MN 的最大值.

答案：（本小题满分10分）

解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为： θρρsin 22

= 又

θρθρρs i n ,

c o s ,2

22===+y x y x .

所以，曲线C 的直角坐标方程为：

0222=-+y y x .

（2）将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得：)

2(34

--=x y

令 0=y 得 2=x 即M 点的坐标为)0,2(

又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为)1,0(，半径1=r ， 则

5=MC ∴15+=+≤r MC MN

练习4.3（2014Ⅰ理数）3. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C ：22

149x y +=，直线l ：222x t y t

=+??=-?（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o

30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.

【解析】：.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θ

θ=??

=?

（θ为参数），

直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分 （Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为

5

4cos 3sin 65

d θθ=

+-， 则()0

25

||5sin 6sin 305

d PA θα=

=+- ，其中α为锐角．且4tan 3α=. 当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为

225

5

；

当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为25

5

. …………10分 考点5：直线参数方程中的参数的几何意义

考点易错点二：直线参数方程中t 的几何意义的应用

为参数）（t t y y t x x ?

?

?+=+=θθ

sin cos 00 t 表示直线上任意一点到定点00(,)P x y 的距离. 直线参数方程为参数）

（t t y y t x x ???+=+=θ

θsin cos 00（t 为参数），椭圆方程2222:1x y C a b +=，相交于,A B 两点，直线上定点00(,)P x y

将直线的参数方程带入椭圆方程，得到关于t 的一元二次方程，则：

2

121212()4AB t t t t t t =-=+- ?????<->+=+=+0

2121212121t t t t t t t t t t PB PA

2

1t t PB PA =?

若M 为AB 的中点，则122

t t PM +=

例题5：已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6

π

α=

，

①写出直线l 的参数方程;

②设l 与圆42

2=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.

解 （1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ?=+????=+??，即312112x t y t ?=+????=+??． 3分 （2）把直线3

12112

x t y t ?=+????=+??代入422=+y x ， 得22231

(1)(1)4,(31)2022

t t t t +

++=++-=，122t t =-， 6分 则点P 到,A B 两点的距离之积为2． 10分

练习5.1求直线415

315x t y t

?

=+????=--??

（为参数t ）被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长.

解：将方程415315x t y t ?=+???

?=--??

，2cos()4

π

ρθ=+

分别化为普通方程：

3410x y ++=，220,x y x y +-+=--------------------------------------(5分)

217

2.

105

d d -=-=211211圆心C （，－），半径为圆心到直线的距离＝，弦长＝2r 2222100 -------------------------------------------------------------------------10分 练习5.2 已知直线).3

cos(2.32),2,1(π

θρπ+=-圆方程的直线倾斜角为

是过点P l （I ）求直线l 的参数方程；

（II ）设直线l 与圆相交于M 、N 两点，求|PM|·|PN|的值。

解：（Ⅰ）l 的参数方程为21cos ,3

()22sin .3x t t y t ππ?

=-+???

?=+??

为参数， 即11,2()32.2

x t t y t ?

=--??

?

?=+??为参数。 …………5分 （Ⅱ）由cos ,sin .

x y ρθρθ=??

=?可将2cos()3π

ρθ=+，化简得2230x y x y +-+=。

将直线l 的参数方程代入圆方程得2(323)6230.t t ++++= ∵12623t t =+，∴12||||||623PM PN t t ==+ 。 …………10分