平行四边形专题整理汇编

平行四边形专题整理

一、考点分析

二、平行四边形有关知识点

平行四边形

1、平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边

形ABCD”。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积

S平行四边形=底边长×高=ah

矩形

1、矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质

（2）矩形的四个角都是直角

（3）矩形的对角线相等

（4）矩形是轴对称图形

3、矩形的判定

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积

S矩形=长×宽=ab

菱形

1、菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质

（2）菱形的四条边相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形

3、菱形的判定

（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

正方形

1、正方形的概念

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形的性质

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3、正方形的判定

（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证有一组邻边相等。 先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下： 先证明它是平行四边形； 再证明它是菱形（或矩形）； 最后证明它是矩形（或菱形） 4、正方形的面积

设正方形边长为a ，对角线长为b

S 正方形=2

22

b a

三、真题演练

考点一：平行四边形和特殊平行四边形性质和判定

题型一、平行四边形性质和判定

1、（2011陕西卷9,3分）如图，在?ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，他们相交于G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中的相似三角形共有（ ）

A 、2对

B 、3对

C 、4对

D 、5对

2、(2015陕西卷9,3分)在□ABCD 中，AB=10，BC=14，E 、F 分别为边BC 、AD 上的点，若四边形AECF 为正方形，则AE 的长为（ ）

A.7

B.4或10

C.5或9

D.6或8 3、（2012陕西卷18,6分）如图，在ABCD 中，ABC ∠

的平分线BF 分别与AC 、AD 交于点E 、F ． （1）求证：AB AF =；

（2）当35AB BC ==，时，求

AE

AC

的值． 4、（2006陕西卷20,8分）如图。O 为

的对角线AC 的中点，过点O 左一条直线分

别与AB 、CD 交于点M 、N ，E 、F 在直线MN 上，且OF OE =

题型二、菱形性质和判定

1、(2012陕西卷7,3分)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE AB ⊥，垂足为E ，若=130ADC ∠?，则AOE ∠的大小为（）

A ．75°

B ．65°

C ．55°

D ．50°

2、（2014?黑龙江龙东,第9题3分）如图，菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，P 是线段BD 上的一个动点，则PM+PN 的最小值是 5 ．

3、（2014?莱芜，第17题4分）如图在坐标系中放置一菱形OABC ，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC 沿x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2014的坐标为 （1342，0） ．

4、（2014?四川成都,第24题4分）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN ，连接A′C ，则A′C 长度的最小值是

﹣1 ．

5、（2014?无锡，第18题2分）如图，菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=3，⊙A 、⊙B 的半径分别为2和1，P 、E 、F 分别是边CD 、⊙A 和⊙B 上的动点，则PE+PF 的最小值是 3 ．

题型三、矩形性质和判定

1、(2013陕西卷9,3分)如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB,点M 、N 分别在AD 、BC 上，连接BM 、DN.若四边形MBND 是菱形，则

MD

AM

等于（ ） A.83 B.

32 C.53 D.5

4

2、（2006陕西卷10,3分）如图，矩形ABCG （BC AB ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是 （ ）

A.0

B.1

C.2

D.4

3、（2014?黑龙江绥化,第18题3分）如图，在矩形ABCD 中，AD=AB ，∠BAD 的平分

线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，

下列结论：

①∠AED=∠CED ；②OE=OD ；③BH=HF ；④BC ﹣CF=2HE ；⑤AB=HF ， 其中正确的有（B ）

题型四、正方形性质和判定

1、（2006陕西卷16,3分）将一个无盖正方形纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②），则所剪得得直角三角形较短得与较长得直角边的比是。

4、(2011陕西卷18,6分)在正方形ABCD 中，点G 是BC 上任意一点，连接AG ，过B ，D 两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E ，F 两点，求证：△ADF≌△BAE．

5、（2014?黑龙江龙东,第20题3分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：

①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°．其中正确的个数是（C）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

6、(2014?黑龙江牡丹江, 第20题3分)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x 轴上，C1的坐标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2014到x轴的距离

是．

7、（2014?重庆A,第18题4分）如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且DE=2CE ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ，则OF 的长为

．

考点二、平行四边形和二次函数求面积和坐标问题

1、（2012陕西卷12,10分）如果一条抛物线()2

=++0y ax bx c a ≠与x 轴有两个交点，那么

以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是三角形；

（2）若抛物线()2

=-+>0y x bx b 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值；

（3）如图，△OAB 是抛物线()2

=-+''>0y x bx b 的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为

对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O C D 、、三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

2、（2014陕西卷12,10分）已知抛物线C:

-

=2经过A(-3，0)和B(0，3)两点，将抛

+

x

c

bx

y+

物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.

(1)求抛物线C的表达式；

（2）求点M的坐标；

（3）将抛物线C平移到抛物线C’，抛物线C’的顶点记为M’、它的对称轴与x轴的交点记为N’。如果点M、N、M’、N’为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

3、（2010陕西卷24,10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。

考点三、特殊平行四边形的综合应用问题

1、（2006陕西卷25,12分）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材。他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE围成的区域（如图②），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。

（1）求FC的长；

（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点

．．．．．到BC边的距离

)

(cm

x为多少时，矩形的面积最

大？最大面积时多少？

（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。

2、（2009陕西卷25,12分）问题探究

（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使90APB ∠=°的一个．．点P ，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使60APB ∠=°的所有．．的点P ，并说明理由．

3、（2010陕西卷25,12分）问题探究

(1)请你在图①中做一条．．

直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分； （2）如图②点M 是矩形ABCD 内一点，请你在图②中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分。 问题解决

（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC ∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P （4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的了部分，你认为直线l 是否存在？若存在求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由

4、（2011陕西卷25,12分）如图①，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于F ，然后展开铺平，则以B 、E 、F 为顶点的三角形△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”

（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD 的任意一个“折痕△BEF”是一个 等腰 三

角形

（2）如图②、在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E 位于AD 的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F 的坐标；

（3）如图③，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E 的坐标？若不存在，为什么？

5、（2012陕西卷25,12分）如图，正三角形ABC 的边长为． （1）如图①，正方形EFPN 的顶点E F 、在边AB 上，顶点N 在边AC

上．在正三角形ABC 及其内部，以A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形''''EFPN ，且使正方形''''EFPN 的面积最大（不要求写作法）； （2）求（1）中作出的正方形''''EFPN 的边长；

（3）如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE EF 、在边AB 上，点P N 、分别在边CB CA 、上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．

6、（2013陕西卷25,12分）问题探究

（1）

（2）请在图①中，作出两条直线，使它们将圆面四等分；

（3）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由。

问题解决

（4）如图③，在四边形ABCD中，AB//CD,AB＋CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a,CD= b,且a

b ，那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在的直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由。

图①图②图③

7、（2014?海南,第23题13分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF．

（1）求证：△OAE≌△OBG；

（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由；

（3）试求：的值（结果保留根号）．

8、（2014?黑龙江绥化,第26题9分）在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．

（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC．（不必证明）

（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；

（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．

9、（2014?湖北宜昌,第23题11分）在矩形ABCD中，=a，点G，H分别在边AB，DC 上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．

（1）如图1，当DH=DA时，

①填空：∠HGA=45度；

②若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时的最小值；

（2）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边FG，交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值．

10、（2014?江西，第23题8分）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A、B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）。

第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；

第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；

依此操作下去…

（1）图2中的三角形EFD是经过两次操作后得到的，其形状为____，求此时线段EF 的长；

（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH。

①请判断四边形EFGH的形状为______，此时AE与BF的数量关系是______。

②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围。