广东省清远市清新区滨江2017届高三数学第一次模拟考试试题理

2017届广东省清远市滨江第一次模拟试题数学（理）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合{

|y A x ==

，集合{}2|20B x x x =->，则()R C A B 等于（ ）

A ．()0,2

B ．[)1,2

C ．()0,1

D ．?

2.复数()2

14

1

i z i -+=

+的虚部为 （ ）

A ． -1

B ．-3

C ．1

D ．2

3. 若抛物线()2

20y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则

p 等于（ ）

A ．

12 B ．1 C ．3

2

D ． 2

4.已知向量a b 、满足1,a b a ==与b 的夹角的余弦值为17sin 3

π

，则()2b a b - 等于 （ ）

A ． 2

B ．-1 C. -6 D ．-18 5.已知()0,x π∈，且2

cos 2sin 2x x π??

-= ??

?，则tan 4x π??- ??

?等于 （ ）

A ．

13 B ．1

3

- C. 3 D ．-3 6.如图是一个程序框图，则输出的S 的值是 （ ）

A ． 18

B ． 20 C. 87 D ．90

7. 某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：

若以频率为概率，现从该批次机械元件随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为（ ） A ． 1316 B ．2764 C. 2532 D ．2732

8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）

A ． 6

B ． 9 C. 12 D ．18

9.已知12

x π

=

是函数()()()()2cos 20f x x x ???π=+++<<图象的一条对称轴，

将函数()f x 的图象向右平移

34π个单位后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 在,46ππ??

-????

上的最小值为 （ ）

A ． -2

B ．

-1 C. D

． 10.已知函数()2,01

1,1x f x x -<

的解集

为 （ ）

A ．1,13??

??? B ． []1,4 C. 1

,43

?? ???

D ．[)1,+∞

11.已知双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,0,F c F c P -、是双

曲线C 右支上一点，且212PF F F =.若直线1PF 与圆222

x y a +=相切，则双曲线的离心率

为（ ） A ．

43 B ．5

3

C. 2 D ．3 12.已知函数()()()x

f x e

x b b R =-∈.若存在1,22x ??

∈?

???

，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是（ ）

A ． 8,3??-∞ ???

B ．5,6??-∞ ??? C. 35,26??-

??? D ．8,3??

+∞ ???

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分

13．若x ，y R ∈，且满足1,

230,,x x y y x ≥??

-+≥??≥?

则23z x y =+的最大值等于．

14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆225x y +=上有且仅有三个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的值是．

15．已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，设12n n T S S S =+++…，若2312a a a ?=，且4a 与72a 的等差中项为5

4

，则4T =．

16．若α，,22ππβ??

∈-

????

，且sin sin 0ααββ->，则下列关系式： ①αβ>；②αβ<；③0αβ+>；④22αβ>；⑤22αβ≤． 其中正确的序号是．

三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b=4c ，B=2C

（Ⅰ）求cosB ；

（Ⅱ）若c=5，点D 为边BC 上一点，且BD=6，求△ADC 的面积．

18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：

（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？

（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；

（Ⅲ）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：

①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；

②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；

③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．试估计政府执行此计划的年度预算．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点

（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；

（Ⅱ）若直线PC与平面PAD所成角为45°，求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．

20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．

21．设函数f（x）=e ax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜，e是自然对数的底数

（Ⅰ）求证：函数f（x）有两个极值点；

（Ⅱ）若﹣e≤a＜0，求证：函数f（x）有唯一零点．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（共1小题，满分10分）

22．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy

（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；

（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求?的取值范围．

（共1小题，满分0分）

23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）

（Ⅰ）求x0的值；

（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．

答案：

一、1-5: CBDDA 6-10: CDBBC 11、12：BA

±15.9816.④

二、13.15 14.1)

三、

17．解：（Ⅰ）由题意得B=2C，则sinB=sin2C=2sinCcosC，

又b=4c，所以cosC===，

所以cosB=cos2C=2cos2C﹣1=；

（Ⅱ）因为c=5， b=4c，所以b=，

由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB

则80=a2+25﹣2×a，

化简得，a2﹣6a﹣55=0，

解得a=11或a=﹣5（舍去），

由BD=6得，CD=5，

由cosC=得sinC==，

所以△ADC的面积S=

==10．

18．解：（Ⅰ）数据整理如下表：

从图表中知不能自理的80岁及以上长者占比为： =，

故抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为16×．（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：

，

用样本估计总体，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为=2.75%．（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，

P（X=0）=，

P（X=120）==，

P（X=200）==，

P（X=220）==，

P（X=300）==，

则随机变量X的分布列为：

EX==28，

全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元．

政府执行此计划的年度预算约为2.2176亿元．

19．证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，

∵E是PB中点，∴EF AB，∴CD EF，

∴四边形CDEF为平行四边形，

∴DF∥CE，

又△PAD 为正三角形，

∴PA⊥DF，从而PA⊥CE，

又PA⊥CD，CD∩CE=C，

∴PA⊥平面CDE，

又PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE．

解：（Ⅱ）∵AB∥CD，PA⊥CD，

∴PA⊥AB，

又AB⊥AD，PA∩AD=A，

∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，

∴∠CPD为PC与平面PAD所成角，即∠CPD=45°，从而CD=AD，

以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示，

设AD=2，则A（0，0，0），B（4，0，0），P（0，1，），D（0，2，0），E（2，，），

∴=（2，），=（0，2，0），

设平面ADE的法向量=（x，y，z），

则，取z=﹣4，得=（），

由（Ⅰ）知PA⊥平面CDE，∴=（0，1，）是平面CDE的一个法向量，

∴cos＜＞===﹣，

∴二面角A﹣DE﹣C的余弦值为﹣．

20．解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为，

∴，又a2=b2+c2，

解得a=2，b=，

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，

①当k=0时，设直线l的方程为y=y0，P（﹣x0，y0），Q（x0，y0），

则，

∴S=|2x0|?|y0|=|x0|?|y0|=2≤=2，

当且仅当=2﹣，即|y0|=1时，取等号，

此时直线l的方程为y=±1．

②当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣2）=0，

由△=（8km）2﹣4（1+4k2）?4（m2﹣2）＞0，

解得8k2+2＞m2，（*）

，，

∴PQ中点为（﹣，），

∵|AP|=|AQ|，∴，化简得1+4k2=3m，

结合（*）得0＜m＜6，

又O到直线l的距离d=，

|PQ|=|x1﹣x2|=，

∴S=|PQ|?d=?==，

∴当m=3时，S取最大值2，此时k=，直线l的方程为y=．

综上所述，直线l的方程为y=±1或y=．

21．解：（Ⅰ）f′（x）=ae ax+=，（x＞0），

令g（x）=axe ax+λ，其中a＜0，x＞0，

求导得：g′（x）=ae ax（1+ax），

令g′（x）=0，解得：x=﹣，

x∈（0，﹣）时，g′（x）＜0，g（x）递减，

x∈（﹣，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，

x=﹣时，g（x）取得极小值，也是最小值g（﹣）=λ﹣，

∵0＜λ＜，∴g（﹣）=λ﹣＜0，又g（0）=λ＞0，

∴g（﹣）g（0）＜0，

∴函数f（x）有两个极值点；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

不妨令x2∈（﹣，+∞），

故ax2+λ=0，

故f（x2）=（1﹣ax2lnx2），

令h（x）=1﹣axlnx，x∈（﹣，+∞），

h′（x）=﹣a（lnx+1）＞﹣a（ln+1）=0，

∴f（x2）＞0，∵f（0）→负数，

∴函数f（x）有唯一零点．

22．：（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；

椭圆Γ的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；

（Ⅱ）设F （cos θ，sin θ），

∵E （0，﹣1），

∴=（﹣，﹣2），

=（

cos θ﹣

，sin θ﹣1），

∴?=﹣3cos θ+3﹣2（sin θ﹣1）=sin （θ+α）+5，

∴?

的取值范围是．

（共1小题，满分0分）

23．解：（Ⅰ）不等式转化为或

，

解得x ＞2，∴x 0=2；

（Ⅱ）由题意，等价于|x ﹣m|+|x+|=2（m ＞0）有解，

∵|x ﹣m|+|x+|≥m+，当且仅当（x ﹣m ）（x+）≤0时取等号，

∵|x ﹣m|+|x+|=2（m ＞0）有解，

∴m+≤2，

∵m+≥2，

∴m+=2．