4第四章 机械振动

4第四章  机械振动
4第四章  机械振动

- 81 - 第二篇振动与波

振动和波动是物质的基本运动形式。 在力学中有机械振动和机械波 在电学中有电磁振荡和电磁波 声是一种机械波 光则是电磁波

量子力学又叫波动力学。

第四章 机械振动

教学时数:6学时 本章教学目标

了解简谐振动的动力学特征,掌握描述简谐振动的重要参量,理解简谐振动的运动学方程,知道弹簧振子的动能和势能随时间变化的规律;了解简谐振动的合成,掌握同方向、同频率谐振动的合成方法,能够求相关问题的合振动方程,了解同方向不同频率简谐振动的合成,了解阻尼振动、受迫振动、共振的含义。 教学方法:讲授法、讨论法等

教学重点:掌握同方向、同频率谐振动的合成方法,能够求相关问题的合振动方程

机械振动:物体在某固定位置附近的往复运动叫做机械振动,它是物体一种普遍的运动形式。例如活塞的往复运动、树叶在空气中的抖动、琴弦的振动、心脏的跳动等都是振动。

广义地说,任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以叫做振动。例如交流电路中的电流、电压,振荡电路中的电场强度和磁场强度等均随时间

- 82 -

作周期性的变化,因此都可以称为振动。

§4—1 简谐振动的动力学特征

简谐振动是振动中最基本最简单的振动形式,任何一个复杂的振动都可以看成是若干个或是无限多个谐振动的合成。

定义:一个作往复运动的物体,如果其偏离平衡位置的位移z(或角位移口)随时间f 按余弦(或正弦)规律变化,即 x = A cos(ωt + φ0)

则这种振动称之为简谐振动。

研究表明,作简谐振动的物体(或系统),尽管描述它们偏离平衡位置位移的物理量可以千差万别,但描述它们动力学特征的运动微分方程则完全相同。 一、弹簧振子模型

将轻弹簧(质量可忽略不计)一端固定,另一端与质量为m 的物体相连,若该系统在振动过程中,弹簧的形变较小(即形变弹簧作用于物体的力总是满足胡克定律),那么,这样的弹簧——物体系统称为弹簧振子。

如图所示,将弹簧振子水平放置,使振子在水平光滑支撑面上振动。以弹簧处于自然状态(弹簧既未伸长也未压缩的状态)的稳定平衡位置为坐标原点,当振子偏离平衡位置的位移为x 时,其受到的弹力作用为

F= - kx

式中k 为弹簧的劲度系数,负号表示弹力的方向与振子的位移方向相反。即振子在运动过程中受到的力总是指向平衡位置,且力的大小与振子

偏离平衡位置的位移成正比,这种力就称之为线性回复力。

如果不计阻力(如振子与支撑面的摩擦力,在空气中运动时受到的介质阻力及其

2=-x

d m kx

- 83 -

它能量损耗),则振子的运动微分方程为

此式就是描述简谐振动的运动微分方程 能满足上式的系统,又可称为谐振子系统。 二、单摆

如图所示,细线长为l ,一端固定在A 点,另一端系一质量为m 的小球,不计细线的质量和伸长。细线在铅直位置时,小球在O 点。此时作用在小球上的合外力为零,故位置。即为平衡位置。将小球稍微移离平衡位置O ,小球在重力作用下就会在位置。附近来回往复的运动。这一振动系统称为单摆。

把单摆在某一时刻离开平衡位置的角位移θ作为位置变量,并规定小球在平衡位置右方时,θ为正;在左方时,θ为负。重力对A 点的力矩为mglsinθ拉力T 对该点的力矩为零,所以单摆是在重力矩作用下而振动。根据转动定律。得

I β = M = - mg l sin θ

式中负号表示重力矩的符号总是和sin θ的符号(即和角位移θ的符号)相反,I

= m l 2表示小球对A 轴的转动惯量, 表示小球的角加速度。当角位移θ很小时(θ﹤5o),θ的正弦函数可用θ的弧度代替,所以

22dt

d θβ=θ

θβg

d -==2

- 84 -

式中摆长和重力加速度都是常量,而且均为正值。 简谐振动的微分方程,可以归结为如下形式,即

例:

一质量为m 的物体悬挂于轻弹簧下端,不计空气阻力,试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动。

证 如图所示,以平衡位置A 为原点,向下为x 轴正向,设某一瞬时振子的坐标为x ,则物体在振动过程中的运动方程为

式中l 是弹簧挂上重物后的静伸长,因为mg = k l ,所以上式为

l

g x dt

x d =

=+22

2

20ωω对于单摆,mg l x k dt

x

d m ++-=)(22)

.(0)(222222m k x dt

x d l x k dt x

d m ==++-=ωω式中即为

- 85 -

于是该系统作简谐振动。

§4—2简谐振动的运动学

一、简谐振动的运动学方程

如前所述,微分方程 的解可写作 x = A cos(ωt + φ0)

式中A 和φ0是由初始条件确定的两个积分常数,称为简谐振动的运动学方程。

可见简谐振动的运动规律也可用正弦函数表示本教材对机械振动统一用余弦函数表示

二、描述简谐振动的三个重要参量 1.振幅A

物体偏离平衡位置的最大位移(或角位移)的绝对值叫做振幅。 将简谐振动的运动学方程和它对时间的一阶导数,

将初始条件t = 0, x = x 0,v = v 0代入,得

.02

2

2=+x dt

x d ω)

sin(2

)

2

sin()cos(000?ωπ

??π

?ω?ω'+=+

='++=+t A x t t 亦可写成令由于?

?

?

+-=+=)sin()cos(00?ωω?ωt A v t A x ??

?

??

=-=0000sin cos ?ω?A v A x

- 86 -

取二式平方和,即求出振幅

2.周期、频率、圆频率

物体作简谐振动时,周而复始完成一次全振动所需的时间叫做简谐振动的周期,用T 表示。

由周期函数的性质,有

频率:单位时间内系统所完成的完全振动的次数,

用v 表示

在国际单位制中,v 的单位是“赫兹”(符号是Hz)。

圆频率(又称角频率)表示系统在2π秒内完成的完全振动的次数

由上节讨论可知,简谐振动的圆频率是由系统的力学性质决定的,故又称之为 固有(本征)圆频率。

由此确定的振动周期称之为固有(本征)周期。例如:

2

2

0)(

ω

v x A +=

ω

π

π?ω?ω?ω2)2cos(])(cos[)cos(000=

++=++=+T t A T t A t A 由此可知π

ω21==T v v T

ππ

ω22==

I

mgh l g

m

k

=

==

ωωω复摆单摆弹簧振子g l T k

m T π

π

22==单摆弹簧振子

- 87 -

3.位相和初位相

我们把能确定系统任意时刻振动状态的物理量叫做简谐振动的位相(或称相位,周相)。

两振动位相之差△φ = φ2 - φ1,称为位相差。

若位相差等于零或2п的整数倍,则称两振动同步,如果两振动的振幅和频率也相同,则表明此时它们的振动状态相同。

因此,对于一个以某个振幅和频率振动的系统,若它们的运动状态相同,则它们所对应的位相差必定为2п或2nп的整数倍。 t = 0时的位相叫初位相φ0

可见,初位相也是由初始条件确定。

例:轻质弹簧一端固定,另一端系一轻绳,绳过定滑轮挂一质量为m 的物体设弹簧的劲度系数为k ,滑轮的转动惯量为I ,半径为R 若物体m 在其初始位置时弹簧无伸长,然后由静止释放(1)试证明物体m 的运动是谐振动;(2)求此振动系统的振动周期;(3)写出振动方程。

解 (1)若物体m 离开初始位置的距离为b 时,受力平衡,则此时

0tan x v

ω?-=

- 88 -

以此平衡位置为O 坐标原点,竖直向下为x 轴正向,当物体m 在坐标x 处时,由牛

顿运动定律和定轴转动定律有 联立以上5式解得

所以,此振动系统的运动是谐振动。

(2)由上面的表达式知,此振动系统的圆频率

故振动周期为

?????

????='='=+=='-'=-221122

11)(T T T T R a b x k T I R T R T ma T mg 及ββk

mg b kb mg =

=即0)

(0

)(2

22222=++=++x R I m k dt x d kx dt x

d R I m 即)

(2R I m k

+=

ωk

R I m T )

(222+==π

ωπ

- 89 -

(3)依题意知t = 0时,x 0=-b ,v 0=0,可求出

振动系统的振动方程为

例 已知如图(p126 图4-7)所示的谐振动曲线,试写出振动方程。

解 设谐振动方程为 x = A cos(ωt + φ0)。从图中易知A = 4cm ,下面只要求出φ0和

ω即可。从图中分析知,t=0时,x 0=-2cm ,且

(由曲线的斜率决定),代入振动方程,有-2 = 4cosφ0。故 ,又由v 0=-ωA sinφ0<0,得sinφ0>0,因此只能取 。

再从图中分析,t=1s 时,x=2cm ,v>0,代入振动方程有

同时因要满足

故应取 所以振动方程为

πω?ω=--

==

=+

=

)arctan(0

02

2

2

0x v k

mg b v x A ])

(cos[)cos(2

0π?ω++=+=t R I m k k mg t A x π?3

20=00<=dt

dx v π?3

20±=)(应注意这里不能取或所以即3

37353221

)32cos()

3

2

cos(4)cos(420π

πππωπωπω?ω±=+=

++=+=,

032

sin(,0)32sin(<+>+-=πωπωω即v ,,3

532πωππω==+即cm

t x )3

2cos(4ππ+=

- 90 -

用旋转矢量法也可以简单地求出谐振动的φ0和ω。如图4-8所示,在x-t 曲线的左侧作O x 轴与位移坐标轴平行,由振动曲线可知,a ,b 两点对应于t=0s ,1s 时刻的振动状态,可确定这两个时刻旋转矢量的位置分别为

和 。下面作详细说明:由a 向O x 轴作垂线,其交点就是t=0时刻旋转矢量

端点的投影点。已知该处x 0=-2,且此刻v 0<0,故旋转矢量应在O x 轴左侧,它与O x

轴正向的夹角 ,就是t=0时刻的振动位相,即初相;又由x-t 曲线中b 点

向O x 轴作垂线,其交点就是t=1s 时刻旋转矢量端点的投影点,该处x=2cm 且v>0,故此时刻旋转矢量应在O x 轴的右侧,

它与O x 轴的夹角 就是该时刻的振动位相,即

,解得ω=π

§4—3简谐振动的能量

以弹簧振子为例来说明谐振动的能量。

设振子质量为m ,弹簧的劲度系数为k ,在某一时刻的位移为x ,速度为u ,即 x=A cos(ωt+φ0) v=-ωA sin(ωt+φ0)

于是振子所具有的振动动能和振动势能分别为

π?3

2

0=π?3

5=ππω35

32=+t )

(cos 21

21)

(sin 2

1)(sin 212102220

2202222?ω?ω?ωω+===+=+==t kA kx E t kA t A m mv E p k

- 91 -

这说明弹簧振子的动能和势能是按余弦或正弦函数的平方随时间变化的。 动能、势能和总能量随时间变化的曲线如图。

显然,动能最大时,势能最小,而动能最小时,势能最大。简谐振动的过程正是动能和势能相互转换的过程。

谐振动的总能量为

即简谐振动系统在振动过程中机械能守恒。从力学观点看,这是因为做简谐振动的系统都是保守系统此外,还说明谐振动的能量正比于振幅的平方、正比于系统固有角频率的平方。

动能和势能在一个周期内的平均值为

动能和势能在一个周期内的平均值相等,且均等于总能量的一半

上述结论虽是从弹簧振子这一特例推出,但具有普遍意义,适用于任何一个谐振动系统。

22222

12121m mv A m kA E ===

ωE kA E E kA E kA dt t A k T

dt t E T

E p k k T

T

k k 2

1414

14

1)(sin 211)(1

22

20220

==

===+=

=

?

?

即同理,有?ω

- 92 -

对于实际的振动系统,我们可以通过讨论它的势能曲线来研究其能否作谐振动近似处理。

设系统沿x 轴振动,其势能函数为E 。(x),如果势能曲线存在一个极小值,该位置就是系统的稳定平衡位置,在该位置(取x=O)附近将势能函数用级数展开为

由于在x=0的平衡位置处有 ,

若系统是作微振动,当 可略去x 3以上高阶无穷小,得到

根据保守力与势能函数的关系

将上式两边对x 求导可得

这说明,一个微振动系统一般都可以当作谐振动处理。

例:光滑水平面上的弹簧振子由质量为M 的木块和劲度系数为k 的轻弹簧构成现有一个质量为m ,速度为u 0的子弹射人静止的木块后陷入其中,此时弹簧处于自由状态。

(1)试写出该谐振子的振动方程;(2)求出x=A/2处系统的动能和势能。

解 (I)子弹射入木块过程中,水平方向动量守恒

设子弹陷入木块后两者的共同速度为V 0,则有 mu 0=(m+M)V 0

取弹簧处于自由状态时,木块的平衡位置为坐标原点,水平向右为x 轴正方向,并...)(21)()0()(2

02

2

0+++===x dx

E d x dx dE E x E x p x p

p p 0=dx dE p

0)(022

≠=x p dx

E d 2

2

2

)(21)0()(x dx E d E x E x p p p =+≈dx

x dE F p )(-

=)()(02

2kx x dx

E d

F x p

-=-==0

0u M

m m

V +=

- 93 -

取木块和子弹一起开始向右运动的时刻为记时起点,因此初始条件为x 0=0,v 0=V 0>0, 而子弹射入木块后谐振系统的圆频率为

设谐振系统的振动方程为x=A cos(ωt+φ0),将初始条件代入得 联立求出

所以谐振子的振动方程为

(2) 时谐振系统的势能和动能分别为

??

?>-==0sin cos 0000?ω?A V A )

(sin 23

000M m k mu V A +=-==?ωπ

?)23

cos()

()cos(00

π?ω+++=+=t M m k M m k mu t A x 2A x =

)

(83838121)

(8)2(21212

022

222

0222

M m u m kA kA kA E E E M m u m A k kx E p k p +=

=-=-=+=

==

- 94 - §4—4简谐振动的合成

一、同方向、同频率谐振动的合成

设质点同时参与两个同方向同频率的谐振动 x 1=A 1cos(ωt+φ10) x 2= A 2cos(ωt+φ20)

因两分振动在同一方向上进行,x= x 1+ x 2= A 1cos(ωt+φ10)+ A 2cos(ωt+φ20) 利用三角恒等式,上式可化为x=A cos(ωt+φ0)

式中合振幅A 和初相值φ0分别为

由此可见,同方向同频率的简谐振动的合成振动仍为一简谐振动。

利用旋转矢量讨论上述问题则更为简洁直观。如图,取坐标轴O x ,画出两分振动的旋转矢量A 1和A 2,它们与X 轴的夹角分别为φ10和φ20,并以相同角速度ω逆时针方向旋转。因两分矢量A 1,A 2的夹角恒定不变,所以合矢量A 的模保持不变,而且同样以角速度ω旋转。图中矢量A 即t=0时的合成振动矢量,任一时刻合振动的位移等于该时刻A 在x 轴上的投影,即x = A cos(ωt + φ0)

合振动的振幅与两分振动位相差之间的关系 (1) 位相差φ20-φ10=±2kπ时,k=0,1,2, (20)

210120

210101020212

221cos cos sin sin tan )cos(2???????A A A A A A A A A ++=-++=2

1212

2212A A A A A A A

+=++=

- 95 -

即两分振动位相相同时,合成振幅最大。

(2) 位相差φ20-φ10=±(2k+1)π时,k=0,1,2,··· 即两分振动位相相反时,合成振幅最小。 一般情况下,合振幅在A 1+A 2在|A 1-A 2|之间。 二、同方向不同频率简谐振动的合成

设质点同时参与两个同方向,但频率分别为ω1和ω2的简谐振动。设两分振动的振幅相同,且初相均等于φ, 即x 1=A cos(ω1t+φ) x 2= A cos(ω2t+φ)

合振动的位移为x=x 1+ x 2= A cos(ω1t+φ)+ A cos(ω2t+φ) 利用三角恒等式可求得

这时式中第一项因子 的周期要比另一因子 的周期长得多。

表示的运动看作是振幅按照 缓慢变化,而圆频率等于 的

“准谐振动”,这是一种振幅有周期性变化的“简谐振动”。或者说,合振动描述的是一个高频振动受到一个低频振动调制的运动,这种振动时大时小的现象叫做“拍”。

2

1212

22

12A A A A A A A -=-+=

)

2

cos()2cos(21

212?ωωωω++-=t t A x t A 2cos 212ωω-t 2cos 1

2ωω+t A 2cos 212ωω-2

12ω

ω+

- 96 -

由于振幅只能取正值,因此拍

的圆频率应为调制频率的2倍,即ω拍=|ω2-ω1|

于是拍频为 拍频等于两个分振动频率之差。

拍现象在声振动,电磁振荡和波动中经常遇到。

例:已知两个谐振动的x —t 曲线如图所示,它们的频率相同,求它们的合振动方程。

解 由图中曲线可以看出,两个谐振动的振幅相同A 1=A 2=A =5cm ,周期均为T =0.1s ,

因而圆频率为

由x-t 曲线(1)可知,谐振动(1)在t=0时,x 10=0,v 10>0,因此可求出(1)振动的初位相

又由x-t 曲线(2)可知,谐振动(2)在t=0时,x 20=-5= -A ,因此可求出(2)振动的初位相φ20=±π。

由上面求得的A ,ω和φ10,φ20,可写出振动(1)和(2)的振动方程分别为

因此合振动的振幅和初相分别为

t

A 2

cos

21

2ωω-121

2222v v v -=-==

π

ωπωπω拍拍ππ

ω202==

T

2

10π

?-

=cm

t x cm

t x )20cos(5)2

20cos(521πππ

π±=-

π???????4

5

41arctan cos cos sin sin arctan

2

52022)cos(22021012021010221020212

22

1或==++===?+=-++=

'A A A A A A A A A A A A

- 97 -

但由x-t 曲线可知t=0时,x=x 1+ x 2= -5cm ,因此,φ0应取 ,故合成谐振动方程

。 方法2:矢量旋转法

从x-t 曲线分析出两个分振动(1)和(2)的振动方程后,用旋转矢量法求合振动方程更简单一些。如图4-17所示,我们在取定了O x 轴的原点后,分别画出两个旋转矢量 和 代表两个谐振动(1)和(2),其中 , 由 与 两个矢量合成的矢量 就是代表合振动的旋转矢量,由矢量合成的方法,从图中很容易求出合振动

振幅和初相分别为 合振动方程为 §4—5 阻尼振动 受迫振动 共振 一、阻尼振动

这种振幅随时间不断衰减的振动叫做阻尼振动。

下面讨论的是谐振子系统受到弱介质阻力而衰减的情况。弱介质阻力是指当振子运动速度较低时,介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比,即这时阻力为

γ称为阻力系数,与物体的形状、大小、物体的表面性质及介质性质有关。仍以弹簧振子为例,这时振子的动力学方程为

π45cm

t x )45

20cos(25ππ+=1OM 2OM cm OM OM 521==1OM 2OM OM

π?4

5

,2520

1==='cm OM A cm

t x )4

5

20cos(25ππ+=dt

dx

v f r

γγ-=-=02,2,2

02

22

022=++==--=x dt dx dt

x d m

m k dt dx kx dt

x d m ωβγβωγ

上式可化成

- 98 -

式中ω0是系统的固有角频率,β称阻尼系数。

当β<<ω0时,称为弱阻尼,其方程的解为x = A 0e -βt cos(ωt+φ0) A 0和φ0依然是由初始条件确定的两个积分常数。阻尼越大(在β<<ω0范围内)振幅衰减越快,阻尼振动的准周期为

可见,阻尼振动的周期比系统的固有周期长。 若β>ω0,称为过阻尼,此时方程的解为

这时系统也不作往复运动,而是非常缓慢地回到平衡位置。

应用:各类机器的防震器,大多采用一系列的阻尼装置;有些精密仪器,如物理天平,灵敏电流 计中装有阻尼装置并调至临界阻尼状态,使测量快捷、准确。

2

20βωω-=式中0

220222ωπβωπωπ>-==T t

t

e

c e

c x )(2)(1202202ωββωββ-+----+=

- 99 -

二、受迫振动

阻尼振动又称减幅振动。要使有阻尼的振动系统维持等幅振动,必须给振动系统不断地补充能量,即施加持续的周期性外力作用。振动系统在周期性外力作用下发生的振动叫做受迫振动这个周期性外力叫做策动力。 为简单起见,假设策动力取如下形式 F = F 0cospt

式中F 0为策动力的幅值,p 为策动力的频率。以弹簧振子为例,讨论弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动,其动力学方程为

该方程的解为

x = A 0e -βt cos(ωt +φ0)+A cos(pt +φ)

解的第一项实际上是在弱阻尼下的通解,随着时间的推移,很快就会衰减为零,故第一项称为衰减项。第二项才是稳定项,即稳定解为x=A cos(pt+φ) 稳定受迫振动的频率等于策动力的频率。 用待定系数法可确定稳定受迫振动的振幅为

说明,稳定受迫振动的振幅与系统的初始条件无关,而是与系统固有频率、阻尼系数及策动力频率和幅值均为有关的函数。 三、共振

共振是受迫振动中一个重要而具有实际意义的现象,下面分别从位移共振和速度共振两方面加以讨论。

pt f x dt dx dt

x d m

F f m m k pt

F dt dx kx dt

x d m cos 2,,2,cos 02

02

2002

0022=++===+--=ωβγβωγ可得

令2

2222

00

4)(p p f A βω+-=

- 100 -

1.位移共振

对于一个给定振动系统,当阻尼和策动力幅值不变时,受迫振动的位移振幅是策动力角频率p 的函数,它存在一个极值。受迫振动的位移达极大值的现象称为位移共振。将

并令 ,可求出位移共振的角频率满足 显然,共振位移的大小与阻尼有关。

2.速度共振

系统作受迫振动时,其速度也是与策动力角频率相关的函数,即称为速度振幅, 即 v = -p A sin(pt + φ)= -v m sin(pt + φ) 式中

称为速度振幅,同样可求出当p v = ω0

时,速度振幅有极大值,这种现象称为速度共振,如图所示。进一步的研究表明,当系统发生速度共振时,外界能量的输入处于最佳状态,即策动力在整个周期内对系统做正功,用以补偿阻尼引起的能耗。因此,速度共振又称为能量共振。在弱阻尼情况下,位移共振与速度共振的条件趋于一致,所以一般可以不必区分两种共振。

2

2222

00

4)(p p f A βω+-=

0=dp

dA 2202βω-=r p 2

2222

00

4)(p p pf pA v m βω+-=

=

机械振动和机械波知识点总结与典型例题

高三物理第一轮复习《机械振动和机械波》 一、机械振动: (一)夯实基础: 1、简谐运动、振幅、周期和频率: (1)简谐运动:物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比,并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。 特征是:F=-kx,a=-kx/m (2)简谐运动的规律: ①在平衡位置:速度最大、动能最大、动量最大;位移最小、回复力最小、加速度最小。 ②在离开平衡位置最远时:速度最小、动能最小、动量最小;位移最大、回复力最大、加速度最大。 ③振动中的位移x 都是以平衡位置为起点的,方向从平衡位置指向末位置,大小为这两位置间的直线距离。加速度与回复力、位移的变化一致,在两个“端点”最大,在平衡位置为零,方向总是指向平衡位置。 ④当质点向远离平衡位置的方向运动时,质点的速度减小、动量减小、动能减小,但位移增大、回复力增大、加速度增大、势能增大,质点做加速度增大减速运动;当质点向平衡位置靠近时,质点的速度增大、动量增大、动能增大,但位移减小、回复力减小、加速度减小、势能减小,质点做加速度减小的加速运动。 ④弹簧振子周期:T= 2 (与振子质量有关,与振幅无关) (3)振幅A :振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。它是描述振动强弱的物理量, 是标量。 (4)周期T 和频率f :振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T,它是标量,单位是秒;单位时间内完成的全振动的次数称为频率,单位是赫兹(Hz )。周期和频率都是描述振动快慢的物理量,它们的关系是:T=1/f. 2、单摆: (1)单摆的概念:在细线的一端拴一个小球,另一端固定在悬点上,线的伸缩和质量可忽略,线长远大于球的直径,这样的装置叫单摆。 (2)单摆的特点: ○ 1单摆是实际摆的理想化,是一个理想模型; ○ 2单摆的等时性,在振幅很小的情况下,单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关; ○3单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供,当最大摆角α<100 时,单摆的振动是简谐运动,其振动周期T= g L π 2。 (3)单摆的应用:○1计时器;○2测定重力加速度g=2 24T L π. 3、受迫振动和共振: (1)受迫振动:物体在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动,其振动频率和固有频率无关,等于驱动力的频率;受迫振动是等幅振动,振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充,维持其做等幅振动。 (2)共振:○1共振现象:在受迫振动中,驱动力的频率和物体的固有频率相等时,振幅最大,这种现象称为共振。 ○ 2产生共振的条件:驱动力频率等于物体固有频率。○3共振的应用:转速计、共振筛。 4、简谐运动图象: (1)特点:用演示实验证明简谐运动的图象是一条正弦(或余弦)曲线。 (2)简谐运动图象的应用: ①可求出任一时刻振动质点的位移。 ②可求振幅A :位移的正负最大值。 ③可求周期T :两相邻的位移和速度完全相同的状态的时间间隔。 ④可确定任一时刻加速度的方向。 ⑤可求任一时刻速度的方向。 ⑥可判断某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。 πm K

(完整版)物理选修3-4第十一章机械振动试题及答案详解(可编辑修改word版)

N M P 单元过关测试 ----- 机械振动 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 4 页,第 II 卷 4 至 8 页, 共计 100 分,考试时间 90 分钟 第 I 卷(选择题 共 40 分) 一、本题共 10 小题;每小题 4 分,共计 40 分。在每小题给出的四个选项中,有一个或多个选项正确,全 部选对得 4 分,选对但不全得 2 分,有错选得 0 分. 1. 弹簧振子作简谐运动,t 1 时刻速度为 v ,t 2 时刻也为 v ,且方向相同。已知(t 2-t 1)小于周期 T , 则(t 2-t 1) ( ) A .可能大于四分之一周期 B .可能小于四分之一周期 C .一定小于二分之一周期 D .可能等于二分之一周期 2. 有一摆长为L 的单摆,悬点正下方某处有一小钉,当摆球经过平衡位置向左摆动时,摆线的上部将 被小钉挡住,使摆长发生变化,现使摆球做小幅度摆动,摆球从右边最高点M 至左边最高点N 运动过程的闪 光照片,如右图所示,(悬点和小钉未被摄入),P 为摆动中的最低点。已知每相邻两次闪光的时间间隔相等, 由此可知,小钉与悬点的距离为 ( )A .L /4 B .L /2 C .3L /4 D .无法确定 3. A 、B 两个完全一样的弹簧振子,把 A 振子移到 A 的平衡位置右边 10cm ,把 B 振子移到 B 的平衡位 置右边 5cm ,然后同时放手,那么:( ) A .A 、 B 运动的方向总是相同的. B .A 、B 运动的方向总是相反的. C .A 、B 运动的方向有时相同、有时相反. D .无法判断 A 、B 运动的方向的关系. 4. 铺设铁轨时,每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙,匀速运行列车经过轨端接缝处时,车轮就 会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等,所以这个冲击力是周期性的,列车受到周期性的冲击做受迫振动。普通钢轨长为 12.6m ,列车固有振动周期为 0.315s 。下列说法正确的是 ( ) A. 列车的危险速率为40m / s B. 列车过桥需要减速,是为了防止列车发生共振现象 C. 列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等 D .增加钢轨的长度有利于列车高速运行 5.把一个筛子用四根弹簧支起来,筛子上装一个电动偏心轮,它每转一周,给筛子一个驱动力,这 就做成了一个共振筛,筛子做自由振动时,完成 20 次全振动用 15 s ,在某电压下,电动偏心轮转速是 88 r /min.已知增大电动偏心轮的电压,可以使其转速提高,增加筛子的质量,可以增大筛子的固有周期,要 使筛子的振幅增大,下列做法中,正确的是(r /min 读作“转每分”) ( ) A.降低输入电压 B.提高输入电压 C.增加筛子的质量 D.减小筛子的质量 6.一质点作简谐运动的图象如图所示,则该质点 ( ) A. 在 0.015s 时,速度和加速度都为-x 方向 B. 在 0.01 至 0.03s 内,速度与加速度先反方向后同方向,且速度是先减小后 增大,加速度是先增大后减小。

高一物理 机械运动、位移 典型例题

高一物理机械运动、位移典型例题 [例1]甲、乙、丙三架观光电梯,甲中乘客看一高楼在向下运动;乙中乘客看甲在向下运动;丙中乘客看甲、乙都在向上运动.这三架电梯相对地面的运动情况是[] A.甲向上、乙向下、丙不动 B.甲向上、乙向上、丙不动 C.甲向上、乙向上、丙向下 D.甲向上、乙向上、丙也向上,但比甲、乙都慢 [分析]电梯中的乘客观看其他物体的运动情况时,是以自己所乘的电梯为参照物.甲中乘客看高楼向下运动,说明甲相对于地面一定在向上运动.同理,乙相对甲在向上运动,说明乙对地面也是向上运动,且运动得比甲更快.丙电梯无论是静止,还是在向下运动,或以比甲、乙都慢的速度在向上运动,丙中乘客看甲、乙两电梯都会感到是在向上运动. [答] B、C、D. [例2]下列关于质点的说法中,正确的是[] A.体积很小的物体都可看成质点 B.质量很小的物体都可看成质点 C.不论物体的质量多大,只要物体的尺寸跟物体间距相比甚小时,就可以看成质点 D.只有低速运动的物体才可看成质点,高速运动的物体不可看作质点 [分析] 一个实际物体能否看成质点,跟它体积的绝对大小、质量的多少以及运动速度的高低无关,决定于物体的尺寸与物体间距相比的相对大小.例如,地球可称得上是个庞然大物,其直径约为1.28×107 m,质量达到6×1024kg,在太空中绕太阳运动的速度每秒几百米.由于其直径与地球离太阳的距离(约1.5×1011m)相比甚小,因此在研究地球的公转运动时,完全可以忽略地球的形状、大小及地球自身的运动,把它看成一个质点. [答] C.

[例3]下列各种情况,可以把研究对象(黑体者)看作质点的是[] A. 研究小木块的翻倒过程 B. 讨论地球的公转 C. 解释微粒的布朗运动 D. 计算整列列车通过某一路标的时间 [误解一] 小木块体积小,远看可视为一点;作布朗运动的微粒体积极小,当然是质点,故选(A)、(C)。 [误解二] 列车作平动,车上各点运动规律相同,可视为质点,故选(D)。 [正确解答] 讨论地球的公转时,地球的直径(约1.3×104km)和公转的轨道半径(约1.5×108km)相比要小得多,因而地球上各点相对于太阳的运动差别极小,即地球的大小和形状可以忽略不计,可把地球视为质点,故选(B)。 [错因分析与解题指导] 物理研究中常建立起一些理想化的模型,它是物理学对实际问题的简化,也叫科学抽象。它撇开与当前观察无关的因素和对当前考察影响很小的次要因素,抓住与考察有关的主要因素进行研究、分析、解决问题,质点就是一个理想化的模型。[误解一] 以为质点是指一个很小的点。但在小木块的翻倒过程中,木块各点绕一固定点转动,各点运动情况不同,不可看作质点。至于作布朗运动的粒子,尽管体积极小,仍受到来自各个方向上的液体分子(具有更小体积)的撞击,正是这种撞击作用的不平衡性使之作无规则运动,也不可把布朗运动粒子视为质点。[误解二]以为火车在铁道上的运动为平动,可视为质点。而本题实际考察的是经过某路标的时间,就不能不考察它的长度,在这情况中不能视其为质点。 [例4]关于质点的位移和路程的下列说法中正确的是[] A. 位移是矢量,位移的方向即质点运动的方向 B. 路程是标量,即位移的大小 C. 质点沿直线向某一方向运动,通过的路程等于位移的大小 D. 物体通过的路程不等,位移可能相同 [误解]选(A),(B)。

大物习题答案第4章机械振动

第4章 机械振动 基本要求 1.掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系 2.掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法,并会用于简谐振动规律的讨论和分析 3.掌握简谐振动的基本特征,能建立一维简谐振动的微分方程,能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程,并理解其物理意义 4.理解同方向、同频率简谐振动的合成规律,了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点 基本概念 1.简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数(或正弦函数)规律随时间变化的运动称为简谐振动。 简谐振动的运动方程 cos()x A t ω?=+ 2.振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。 3.周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。 4.频率ν 单位时间内完成的振动次数,周期与频率互为倒数,即1 T ν = 5.圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数,它与频率的关系为 22T π ωπν= = 6.相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ω?+项称为相位,它决定着作简谐振动的物体状态;t=0时的相位称为初相位? 7.简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。 弹性势能22 2p 11cos ()22 E kx kA t ω?= =+

动能[]2 2222k 111sin()sin ()222 E m m A t m A t ωω?ωω?==-+=+v 弹簧振子系统的机械能为222k p 11 22E E E m A kA ω=+== 8.阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用,振幅不断减小。 9.受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力。 10.共振 驱动力的角频率为某一值时,受迫振动的振幅达到极大值的现象。 基本规律 1.一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的 物体做简谐振动时,其动能和势能都随时间做周期性变化,位移最大时,势能达到最大值,动能为零;物体通过平衡位置时,势能为零,动能达到最大值,但其总机械能却保持不变,且机械能与振幅的平方成正比。图表示了弹簧振子的动能和势能随时间的变化(0?=)。为了便于将此变化与位移随时间的变化相比较,在下面画了x-t 曲线,由图可以看出,动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。 2.简谐振动的合成 若一个质点同时参与了两个同方向、同频率的简谐振动,即 111cos()x A t ω?=+ 222cos()x A t ω?=+ 图 弹簧振子的动能和势能随时间的变化 E p E O O x k E 2 1 2 E kA =t t

高考复习——《机械振动》典型例题复习

九、机械振动 一、知识网络 二、画龙点睛 概念 1、机械振动 (1)平衡位置:物体振动时的中心位置,振动物体未开始振动时相对于参考系静止的位置,或沿振动方向所受合力等于零时所处的位置叫平衡位置。 (2)机械振动:物体在平衡位置附近所做的往复运动,叫做机械振动,通常简称为振动。 (3)振动特点:振动是一种往复运动,具有周期性和重复性 2、简谐运动 (1)弹簧振子:一个轻质弹簧联接一个质点,弹簧的另一端固定,就构成了一个弹簧振子。 (2)振动形成的原因 ①回复力:振动物体受到的总能使振动物体回到平衡位置,且始终指向平衡位置的力,叫回复力。 振动物体的平衡位置也可说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置。

②形成原因:振子离开平衡位置后,回复力的作用使振了回到平衡位置,振子的惯性使振子离开平衡位置;系统的阻力足够小。 (4)简谐运动的力学特征 ①简谐运动:物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比,并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动,叫做简谐运动。 ②动力学特征:回复力F与位移x之间的关系为 F=-kx 式中F为回复力,x为偏离平衡位置的位移,k是常数。简谐运动的动力学特征是判断物体是否为简谐运动的依据。 ③简谐运动的运动学特征 a=-k m x 加速度的大小与振动物体相对平衡位置的位移成正比,方向始终与位移方向相反,总指向平衡位置。 简谐运动加速度的大小和方向都在变化,是一种变加速运动。简谐运动的运动学特征也可用来判断物体是否为简谐运动。 例题:试证明在竖直方向的弹簧振子做的也是简谐振运动。 证明:设O为振子的平衡位置,向下方向为正方向,此时弹簧形变量为x0,根据胡克定律得 x0=mg/k 当振子向下偏离平衡位置x时,回复力为 F=mg-k(x+x0) 则F=-kx 所以此振动为简谐运动。 3、振幅、周期和频率 ⑴振幅 ①物理意义:振幅是描述振动强弱的物理量。 ②定义:振动物体离开平衡位置的最大距离,叫做振动的振幅。 ③单位:在国际单位制中,振幅的单位是米(m)。

普通物理学第十章 机械振动试题

第十章 机械振动 一、是非题 1.简谐振动的能量与频率的平方成正比。···········································()2.两个简谐振动的合振动仍然是一周期性振动。·····································()3.两个简谐振动的合振动的振幅仅决定于两个分振动的振幅,与其他因素无关。··········()4.物体作简谐振动,其动能随时间作周期性变化。····································()6.两个同方向同频率简谐振动的合振动振幅在其相位差为π的奇数倍时取最小值。······()7.简谐振动是一种变速运动。·····················································()8.简谐振动的特点是回复力与位移成正比且方向相同。·······························()10.物体作简谐振动,它的总能量与振幅成正比。······································()11.两个同方向同频率简谐振动的合振动振幅在其相位差为π的奇数倍时取最小值。······()12.两个同方向同频率简谐振动的合振动振幅在其相位差为π的奇数倍时取最大值。······() 二、选择题 1.做简谐振动的物体运动至正方向端点,其位移、速度和加速度为······················() A .0,0,0s a υ=== B .2 0,0,s a A υω ===C .2 ,0,s A a A υω ===?D .,,0 s A A a υω=?==2.对于两个谐振动,下列三图中,满足“振幅相同、频率不同、初相位相同”说法的是:·······( ) A .a B .b C .c D .以上都不对 3.一质点在竖直方向做简谐振动,设向上为s 轴的正方向,t=0时,质点在A/2处,且向下运动,如果将位移方程写成cos()s A t ω?=+,则初相位?为······························() A . 3 π B . 23 πC . 6 πD .3 π? 4.某质点参与15cos(/2)s t cm ππ=?及215cos(/2)s t cm ππ=+两个同方向、同频率的简谐振动,则合振动的振幅为·························································( )

大物习题集答案解析第4章机械振动

第4章 机械振动 4.1基本要求 1.掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系 2.掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法,并会用于简谐振动规律的讨论和分析 3.掌握简谐振动的基本特征,能建立一维简谐振动的微分方程,能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程,并理解其物理意义 4.理解同方向、同频率简谐振动的合成规律,了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点 4.2基本概念 1.简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数(或正弦函数)规律随时间变化的运动称为简谐振动。 简谐振动的运动方程 cos()x A t ω?=+ 2.振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。 3.周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。 4.频率ν 单位时间内完成的振动次数,周期与频率互为倒数,即1 T ν = 5.圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数,它与频率的关系为 22T π ωπν= =

6.相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ω?+项称为相位,它决定着作简谐振动的物体状态;t=0时的相位称为初相位? 7.简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。 弹性势能22 2p 11cos ()22E kx kA t ω?= =+ 动能[]2 2222k 111sin()sin ()222 E m m A t m A t ωω?ωω?==-+=+v 弹簧振子系统的机械能为222k p 11 22 E E E m A kA ω=+== 8.阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用,振幅不断减小。 9.受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力。 10.共振 驱动力的角频率为某一值时,受迫振动的振幅达到极大值的现象。 4.3基本规律 1.一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的 物体做简谐振动时,其动能和势能都随时间做周期性变化,位移最大时,势能达到最大值,动能为零;物体通过平衡位置时,势能为零,动能达到最大值,但其总机械能却保持不变,且机械能与振幅的平方成正比。图4.1表示了弹簧振子的动能和势能随时间的变化(0?=)。为了便于将此变化与位移随时间的变化相比较,在下面画了x-t 曲线,由图可以看出,动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。

15机械振动习题解答

第十五章 机械振动 一 选择题 1. 对一个作简谐振动的物体,下面哪种说法是正确的?( ) A. 物体在运动正方向的端点时,速度和加速度都达到最大值; B. 物体位于平衡位置且向负方向运动时,速度和加速度都为零; C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时,速度最大,加速度为零; D. 物体处负方向的端点时,速度最大,加速度为零。 解:根据简谐振动的速度和加速度公式分析。 答案选C 。 2.下列四种运动(忽略阻力)中哪一种不是简谐振动?( ) A. 小球在地面上作完全弹性的上下跳动; B. 竖直悬挂的弹簧振子的运动; C. 放在光滑斜面上弹簧振子的运动; D. 浮在水里的一均匀球形木块,将它部分按入水中,然后松开,使木块上下浮动。 解:A 中小球没有受到回复力的作用。 答案选A 。 3. 一个轻质弹簧竖直悬挂,当一物体系于弹簧的下端时,弹簧伸长了l 而平衡。则此系统作简谐振动时振动的角频率为( ) A. l g B. l g C. g l D. g l 解 由kl =mg 可得k =mg /l ,系统作简谐振动时振动的固有角频率为l g m k == ω。 故本题答案为B 。 4. 一质点作简谐振动(用余弦函数表达),若将振动速度处于正最大值的某时刻取作t =0,则振动初相?为( ) A. 2π- B. 0 C. 2 π D. π 解 由 ) cos(?ω+=t A x 可得振动速度为 ) sin(d d ?ωω+-== t A t x v 。速度正最大时有0) cos(=+?ωt ,1) sin(-=+?ωt ,若t =0,则 2 π -=?。 故本题答案为A 。 5. 如图所示,质量为m 的物体,由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接,在光滑导轨上作微小振动,其振动频率为 ( )

第1章 机械运动

科学之旅 教学目标 知识技能 1.初步了解一些物理现象 2.对教师讲解的内容有所理解 过程与方法 通过讲解和实验,让学生初步了解学习物理知识和研究物理问题的方法。 情感、态度和价值观: 1.在教学中渗透人文主义教育 2.通过实验教学,激发学生的学习兴趣 教学重点 激发学生学习兴趣,了解学习物理知识和研究物理问题的方法。 教学方法 演示法、讨论法。 课时安排 1课时 教学过程 一、引入新课 同学们,今天我们开始学习一门新的学科—物理,你听别人说过物理吗?你心中的物理是怎样的呢?谁起来说一下?(让学生起来说说自己的看法) 二、新课教学 1. 演示几个实验,说明物理是十分有趣的。 (让学生先猜测现象,再演示) (1)器材:一大一小两只试管(尺寸十分接近),水,红墨水。 做法:大试管装入过半的水,管口朝上,放入小试管,倒过来,水流下,管上升。 现象:试管自动上升。 (2)器材:漏斗,乒乓球。 做法:一个乒乓球放在一个倒扣的漏斗中,通过漏斗嘴用力吹下面的乒乓球。 现象:乒乓球悬在空中不下落。 拓展:让学生撕下两张纸,用力吹两张纸的中央,发现纸靠近。 (3)器材:两只大烧杯,鸡蛋,清水,盐水。 做法:把一只鸡蛋分别放入两个大烧杯中。 现象:鸡蛋有浮有沉。 (4)器材:导线,开关,电池组,小灯泡,变阻器。 做法:连好电路,闭和开关,移动滑片,观察小灯泡的发光情况。 现象:灯变亮。 2. 物理不仅有趣,而且是十分有用的,它能帮助我们解释生活中的许多现象。 (让学生先说说自己的看法,教师再解析) 提问1:人听到子弹声再躲来的及吗?为什么? 解析:子弹出膛飞行时的速度比声音快,所以来不及。 提问2:我们对着水中看到的鱼用手去抓,能抓到吗? 解析:抓不到,我们看到的是像,真正的鱼在像的下边。 提问3:黄浦江边的路灯,水中的像为什么是一道光柱? 解析:古诗云“月黑见渔灯,孤光一点荧。微微风簇浪,散做满河星”,起伏的水面相当于许多平面镜,每盏灯在水里有好多像,连在一起就成了一道光柱。

11第十一章 机械振动

第十一章 机械振动 1.单项选择题(每题3分,共30分) (1)将单摆的摆球从平衡位置向位移的正方向拉开,使摆线与竖直方向成微小角度? ,然后将摆球由静止释放。如果从放手时开始计时,并用余弦函数表示摆球的振动方程,则该单摆振动的初相为[ B ] (A) π; (B) 0 ; (C) π/2 ; (D) ?。 (2)一个弹簧振子和一个单摆在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2,如果将它们拿到月球上去,相应的周期分别为1T '和2T '。则有[ D ] (A) 11T T >'、22T T >'; (B) 11T T ='、22T T ='; (C) 11T T <'、22T T <'; (D) 11T T ='、22T T >'。 (3)一个弹簧振子的谐振子的质量为m ,弹簧的劲度系数为k ,该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置并且向规定的正方向运动时开始计时。则其振动方程为[ B ] (A) )2(cos π-=t k m A x ; (B) )2(cos π -=t m k A x ; (C) )2( cos π+=t k m A x ; (D) )2 (cos π+=t m k A x 。 (4)某质点在x 轴上作简谐振动,振辐A =6cm ,周期T = 2s ,将其平衡位置取作坐标原点。 如果t = 0时刻质点第一次通过x = -3cm 处,并且向x 轴负方向运动,则质点第二次通过x = -3cm 处的时刻为[ B ] (A) 2s ; (B) (4/3) s ; (C) 1s ; (D) (2/3) s 。 (5)某质点作简谐振动的振动方程为)cos(αω+=t A x ,当时间t = 0.5T 时,质点的速度 为[ B ] (A) αωcos A ; (B) αωsin A ; (C) αωcos A -; (D) αωsin A -。 (6)某质点沿x 轴作简谐振动,其振动方程为)4/π3cos(+=t A x ω,在图11-29中,表示该质点振动曲线的是[ A ] (7)当作简谐振动的弹簧振子偏离平衡位置的位移大小为振幅的1/4时,其动能为振动总能量的[ A ] (A) 15/16; (B) 13/16; (C) 11/16; (D) 9/16。 (8)一个作简谐振动的质点的振动方程为)cos(?ω+=t A x ,在求其振动动能时,得出如下面五个表达式,① )(sin 21222?ωω+t A m 、②)(c o s 2 1 222?ωω+t A m 、③ )s i n (212?ω+t kA 、④)(cos 2122?ω+t kA 、⑤)(sin π22222?ω+t mA T ,其中m 是质点的

第四章机械振动

第二篇振动与波 振动和波动是物质的基本运动形式。 在力学中有机械振动和机械波 在电学中有电磁振荡和电磁波 声是一种机械波 光则是电磁波 量子力学又叫波动力学。 第四章机械振动 教学时数:6学时 本章教学目标 了解简谐振动的动力学特征,掌握描述简谐振动的重要参量,理解简谐振动的运动学方程,知道弹簧振子的动能和势能随时间变化的规律;了解简谐振动的合成,掌握同方向、同频率谐振动的合成方法,能够求相关问题的合振动方程,了解同方向不同频率简谐振动的合成,了解阻尼振动、受迫振动、共振的含义。 教学方法:讲授法、讨论法等 教学重点:掌握同方向、同频率谐振动的合成方法,能够求相关问题的合振动方程 机械振动:物体在某固定位置附近的往复运动叫做机械振动,它是物体一种普遍的运动形式。例如活塞的往复运动、树叶在空气中的抖动、琴弦的振动、心脏的跳动等都是振动。 广义地说,任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以叫做振动。例如交流电路中的电流、电压,振荡电路中的电场强度和磁场强度等均随时间

作周期性的变化,因此都可以称为振动。 §4—1 简谐振动的动力学特征 简谐振动是振动中最基本最简单的振动形式,任何一个复杂的振动都可以看成是若干个或是无限多个谐振动的合成。 定义:一个作往复运动的物体,如果其偏离平衡位置的位移z(或角位移口)随时间f 按余弦(或正弦)规律变化,即 x = A cos(ωt + φ0) 则这种振动称之为简谐振动。 研究表明,作简谐振动的物体(或系统),尽管描述它们偏离平衡位置位移的物理量可以千差万别,但描述它们动力学特征的运动微分方程则完全相同。 一、弹簧振子模型 将轻弹簧(质量可忽略不计)一端固定,另一端与质量为m 的物体相连,若该系统在振动过程中,弹簧的形变较小(即形变弹簧作用于物体的力总是满足胡克定律),那么,这样的弹簧——物体系统称为弹簧振子。 如图所示,将弹簧振子水平放置,使振子在水平光滑支撑面上振动。以弹簧处于自然状态(弹簧既未伸长也未压缩的状态)的稳定平衡位置为坐标原点,当振子偏离平衡位置的位移为x 时,其受到的弹力作用为 F= - kx 式中k 为弹簧的劲度系数,负号表示弹力的方向与振子的位移方向相反。即振子在运动过程中受到的力总是指向平衡位置,且力的大小与振子 偏离平衡位置的位移成正比,这种力就称之为线性回复力。 如果不计阻力(如振子与支撑面的摩擦力,在空气中运动时受到的介质阻力及其 222==-m k dt x d m kx ω

2021教科版高中物理选修第一章《机械振动》word学案

2021教科版高中物理选修第一章《机械振动》word 学案 一、简谐运动的图像及应用 由简谐运动的图像能够获得的信息: (1)确定振动质点在任一时刻的位移;(2)确定振动的振幅;(3)确定振动的周期和频率;(4)确定各时刻质点的振动方向;(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向. 例1一质点做简谐运动的位移x与时刻t的关系如图1所示,由图可知( ) 图1

A.频率是2 Hz B.振幅是5 cm C.t=1.7 s时的加速度为正,速度为负 D.t=0.5 s时质点所受的合外力为零 E.图中a、b两点速度大小相等、方向相反 F.图中a、b两点的加速度大小相等,方向相反 二、简谐运动的周期性和对称性 1.周期性:做简谐运动的物体在完成一次全振动后,再次振动时则是重复上一个全振动的形式,因此做简谐运动的物体通过同一位置能够对应不同的时刻,做简谐运动的物体具有周期性. 2.对称性 (1)速率的对称性:系统在关于平稳位置对称的两位置具有相等的速率. (2)加速度和回复力的对称性:系统在关于平稳位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力. (3)时刻的对称性:系统通过关于平稳位置对称的两段位移的时刻相等.振动过程中通过任意两点A、B的时刻与逆向通过的时刻相等. 例2物体做简谐运动,通过A点时的速度为v,通过1 s后物体第一次以相同速度v通过B点,再通过1 s物体紧接着又通过B点,已知物体在2 s内所走过的总路程为12 cm,则该简谐运动的周期和振幅分别是多大? 三、单摆周期公式的应用 1.单摆的周期公式T=2πl g .该公式提供了一种测定重力加速度的方法. 2.注意:(1)单摆的周期T只与摆长l及g有关,而与振子的质量及振幅无关. (2)l为等效摆长,表示从悬点到摆球球心的距离,要区分摆长和摆线长.小球在光滑圆周上小角度振动和双线摆也属于单摆,“l”实际为摆球到摆动所在圆弧的圆心的距离.(3)g为当地的重力加速度或“等效重力加速度”. 例3有两个同学利用假期分别去参观北京大学和南京大学的物理实验室,并各悠闲那儿利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”,他们通过校园网交换实验数据,并由运算机绘制了T2—l图像,如图2甲所示,去北大的同学所测实验结果对应的图线是________(填“A”或“B”).另外,在南大做探究的同学还利用运算机绘制了两种单摆的振动图像(如图乙),由图可知,两单摆摆长之比l a∶l b=________.

4第四章 机械振动

- 81 - 第二篇振动与波 振动和波动是物质的基本运动形式。 在力学中有机械振动和机械波 在电学中有电磁振荡和电磁波 声是一种机械波 光则是电磁波 量子力学又叫波动力学。 第四章 机械振动 教学时数:6学时 本章教学目标 了解简谐振动的动力学特征,掌握描述简谐振动的重要参量,理解简谐振动的运动学方程,知道弹簧振子的动能和势能随时间变化的规律;了解简谐振动的合成,掌握同方向、同频率谐振动的合成方法,能够求相关问题的合振动方程,了解同方向不同频率简谐振动的合成,了解阻尼振动、受迫振动、共振的含义。 教学方法:讲授法、讨论法等 教学重点:掌握同方向、同频率谐振动的合成方法,能够求相关问题的合振动方程 机械振动:物体在某固定位置附近的往复运动叫做机械振动,它是物体一种普遍的运动形式。例如活塞的往复运动、树叶在空气中的抖动、琴弦的振动、心脏的跳动等都是振动。 广义地说,任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以叫做振动。例如交流电路中的电流、电压,振荡电路中的电场强度和磁场强度等均随时间

- 82 - 作周期性的变化,因此都可以称为振动。 §4—1 简谐振动的动力学特征 简谐振动是振动中最基本最简单的振动形式,任何一个复杂的振动都可以看成是若干个或是无限多个谐振动的合成。 定义:一个作往复运动的物体,如果其偏离平衡位置的位移z(或角位移口)随时间f 按余弦(或正弦)规律变化,即 x = A cos(ωt + φ0) 则这种振动称之为简谐振动。 研究表明,作简谐振动的物体(或系统),尽管描述它们偏离平衡位置位移的物理量可以千差万别,但描述它们动力学特征的运动微分方程则完全相同。 一、弹簧振子模型 将轻弹簧(质量可忽略不计)一端固定,另一端与质量为m 的物体相连,若该系统在振动过程中,弹簧的形变较小(即形变弹簧作用于物体的力总是满足胡克定律),那么,这样的弹簧——物体系统称为弹簧振子。 如图所示,将弹簧振子水平放置,使振子在水平光滑支撑面上振动。以弹簧处于自然状态(弹簧既未伸长也未压缩的状态)的稳定平衡位置为坐标原点,当振子偏离平衡位置的位移为x 时,其受到的弹力作用为 F= - kx 式中k 为弹簧的劲度系数,负号表示弹力的方向与振子的位移方向相反。即振子在运动过程中受到的力总是指向平衡位置,且力的大小与振子 偏离平衡位置的位移成正比,这种力就称之为线性回复力。 如果不计阻力(如振子与支撑面的摩擦力,在空气中运动时受到的介质阻力及其 2=-x d m kx

初中物理第一章:机械运动知识点总结精华

第一章:机械运动知识点 一、测量 1、长度的单位:基本单位:米,符号m,常用单位:千米(km)、分米(dm)、厘米(cm)、毫米(mm)、微米(um)、纳米(nm)。 2、单位换算:1km=103m、1m=10dm、1dm=10cm、1cm=10mm、1mm=103um、1um=103nm;1dm=10-1m、1cm=10-2m、1mm=10-3m、1um=10-6m、1nm=10-9m。 3、长度测量的工具:刻度尺, 4、刻度尺的分度值:相邻两条刻度线之间的长度,即(一小格表示的长度),决定测量的精确程度。作用:读数时读到分度值的下一位,例如分度值是0.1cm,读数应该有2位小数。 5、刻度尺的量程:测量的范围。 6、正确使用刻度尺测长度的方法: (1)根据实际需要选择分度值和量程适合的刻度尺; (2)从零刻度线或清晰的刻度线起测量,有刻度的边紧靠被测量物体且与被测边平行,不能歪斜; (3)读数时视线要正对刻度尺且估读到分度值的下一位; (4)记录结果时,结果包括数值和单位两部分。 7、时间的基本单位是:秒,符号s;常用单位:时(h)、分(min)、 8、时间单位的换算:1h=60min、1min=60s、1h=3600s、 9、时间测量的工具:秒表、停表。 10、误差的定义:测量值与真实值之间的差别。 11、误差产生原因:(1)测量仪器不够精密;(2)测量方法不够完善。 12、减小误差的方法:(1)多次测量求平均值;(2)选用精密的测量工具;(3)改进测量方法等。 13、误差和错误的区别:(1)误差不能消除,只能尽可能减小;(2)错误是可以消除的。 二、机械运动: 1、物体位置随时间的变化,叫做机械运动。 2、参照物的定义:判断物体是静止还是运动时,选作为标准的物体叫做参照物。被选来作为参照物的物体都当作是静止的。 3、参照物选择:除研究物体本身以外的一切物体,无论是静止的还是运动的物体,都可以作为参照物。 4、判断物体是否运动的方法:如果研究物体与参照物之间的位置(距离)没有变化则研究物体是静止的,如果研究物体与参照物之间的位置(距离)有变化则研究物体是运动的,物体的运动和静止是相对的,运动还是静止要看参照物选什么。

高中物理选修3-4知识点机械振动与机械波解析教程文件

机械振动与机械波 简谐振动 一、学习目标 1.了解什么是机械振动、简谐运动 2.正确理解简谐运动图象的物理含义,知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线。 二、知识点说明 1.弹簧振子(简谐振子): (1)平衡位置:小球偏离原来静止的位置; (2)弹簧振子:小球在平衡位置附近的往复运动,是一种机械 运动,这样的系统叫做弹簧振子。 (3)特点:一个不考虑摩擦阻力,不考虑弹簧的质量,不考虑 振子的大小和形状的理想化的物理模型。 2.弹簧振子的位移—时间图像 弹簧振子的s—t图像是一条正弦曲线,如图所示。 3.简谐运动及其图像。 (1)简谐运动:如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线,这样的振动叫做简谐运动。 (2)应用:心电图仪、地震仪中绘制地震曲线装置等。 三、典型例题 例1:简谐运动属于下列哪种运动() A.匀速运动B.匀变速运动 C.非匀变速运动D.机械振动 解析:以弹簧振子为例,振子是在平衡位置附近做往复运动,并且平衡位置处合力为零,加速度为零,速度最大.从平衡位置向最大位移处运动的过程中,由F=-kx可知,振子的受力是变化的,因此加速度也是变化的。故A、B错,C正确。简谐运动是最简单的、最基本的机械振动,D正确。 答案:CD

简谐运动的描述 一、学习目标 1.知道简谐运动的振幅、周期和频率的含义。 2.知道振动物体的固有周期和固有频率,并正确理解与振幅无关。 二、知识点说明 1.描述简谐振动的物理量,如图所示: (1)振幅:振动物体离开平衡位置的最大距离,。 (2)全振动:振子向右通过O点时开始计时,运动到A,然后向左回到O,又继续向左达到,之后又回到O,这样一个完整的振动过程称为一次全振动。 (3)周期:做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间,符号T表示,单位是秒(s)。 (4)频率:单位时间内完成全振动的次数,符号用f表示,且有,单位是赫兹(Hz),。 (5)周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量,周期越小,频率越大,振动越快。 (6)相位:用来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。 2.简谐运动的表达式:。 (1)理解:A代表简谐运动的振幅;叫做简谐运动的圆频率,表示简谐运动的快慢,且;(代表简谐运动的相位,是t=0时的相位,称作初相位或初相;两个具有相同频率的简谐运动存在相位差,我们说2的相位比1超前。 (2)变形: 三、典型例题 例1:某振子做简谐运动的表达式为x=2sin(2πt+6π)cm则该振子振动的振幅和周期为() A.2cm1s B.2cm2πs C.1cmπ6s D.以上全错 解析:由x=Asin(ωt+φ)与x=2sin(2πt+6π)对照可得:A=2cm,ω=2π=2πT,∴T=1s,A选项正确。 答案:A 例2:周期为2s的简谐运动,在半分钟内通过的路程是60cm,则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为() A.15次,2cm B.30次,1cm C.15次,1cm

全解2015年八年级物理上册第一章机械运动中考典型题附解析

第一章机械运动中考典题补充 例1.(2015·安徽中考)小明利用分度值为的刻度尺测量一个物体的长度,三次测量的数据分别为、、,则测量结果应记为() A. B. C. D. 解析:为了减小误差,需要取多次测量的平均值作为测量结果,并且保留到与原测量值相同的位数。所以该物体长度的测量结果。 答案:A 例2 (2013·山东枣庄中考)小超为了检验躺着和站立时身体长度是否有差异,下列几种尺子哪种最合适() A. 量程15 cm,分度值0.5 mm B. 量程10 m,分度值1 dm C. 量程30 cm,分度值1 mm D. 量程3 m,分度值1 mm 解析:由于人身体的高度大于30 cm,所以选择刻度尺的量程要大于30 cm,故A、C选项错误;由于人躺着和站立时身体长度差异很小,不可能超过1 dm,所以选择刻度尺的分度值要小于1 dm,故B选项错误,D选项正确。 答案:D 例3 .(2015·呼和浩特中考) 小明同学骑自行车沿新华大街自西向东运动,看到两面的高楼不断向西运动。能正确说明高楼向西运动,是以下面哪个物体为参照物的 ( ) A.小明同学的自行车 B.对面驶来的公共汽车 C.新华大街 D.天上飞过的小鸟 解析:小明同学骑自行车沿新华大街自西向东运动,以小明同学的自行车为参照物,路两面的高楼与自行车的位置发生了变化,路两面的高楼是向西运动的,故A选项正确;对面驶来的公共汽车,和小明同学的运动方向相反,是向西运动的,以公共汽车为参照物,路两面的高楼与公共汽车的位置发生了变化,路两面的高楼是向东运动的,故B选项错误;以新华大街为参照物,路两面的高楼和新华大街的位置没有发生变化,路两面的高楼是静止的,故C 选项错误;以天上飞过的小鸟为参照物,路两面的高楼和天上飞过的小鸟的位置发生了变化,由于天上飞过的小鸟的方向不确定,所以路两面的高楼运动的方向是不确定的,故D选项错误。 答案:A 例4.( 2015·江苏泰州中考) 下列物体的运动可近似看成匀速直线运动的是( ) A.正在进站的火车 B.离开脚后在草地上滚动的足球 C.站在商场自动扶梯上顾客的运动 D.绕地球匀速转动的“北斗”卫星 解析:正在进站的火车速度越来越小,火车做的是减速运动,故A选项不符合题意;离开脚后在草地上滚动的足球最终会停止,足球做的是减速运动,故B选项不符合题意;站在商场自动扶梯上的顾客,速度的大小和方向基本都不变,可以近似看成匀速直线运动,故C选项符合题意;绕地球匀速转动的“北斗”卫星做的是匀速圆周运动,运动方向不断改变,故D

第十三章 机械振动作业答案(1)

一. 选择题: [ C ] 1. (基础训练4) 一质点作简谐振动,周期为T .当它由平衡位置向x 轴 正方向运动时,从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12. (B) T /8. (C) T /6. (D) T /4. 【提示】如图,在旋转矢量图上,从二分之一最大位移处到最大位移处矢量转过的角位移为3π,即 3t π ω=,所以对应的时间为 ()332/6 T t T ππωπ= == . [ B ] 2. (基础训练8) 图中所画的是两个简谐 振动的振动曲线.若这两个简谐振动可叠加,则合成的余弦振动的初相为 (A) π2 3. (B) π. (C) π2 1. (D) 0. 【提示】如图,用旋转矢量进行合成,可得合振动的振幅为 2 A ,初相位为π. [ B ]3、(自测提高2)两个质点各自作简谐振动,它们的振幅相同、周期相同.第 一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α).当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时,第二个质点正在最大正位移处.则第二个质点的振动方程为 (A) )π21cos(2+ +=αωt A x . (B) )π21 cos(2-+=αωt A x . (C) )π2 3 cos(2-+=αωt A x . (D) )cos(2π++=αωt A x . 【提示】由旋转矢量图可见,x 2的相位比x 1落后π/2。 [ B ] 4、(自测提高3)轻弹簧上端固定,下系一质量为m 1的物体,稳定后在m 1 下边又系一质量为m 2的物体,于是弹簧又伸长了?x .若将m 2移去,并令其振动,则振动周期为 A/ -· O 1 A 2 A A 合

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