2015专题八:概率、随机变量及其分布(含近年高考试题)

2015专题八:概率、随机变量及其分布(含近年高考试题)
2015专题八:概率、随机变量及其分布(含近年高考试题)

2015专题八:概率、随机变量及其分布

一、考试大纲分析:

(1)概率

①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性。 ②理解超几何分布及其导出过程,并能进 行简单的应用。

③了解条件概率和两个时间相互独立的概念,理解n 次独立重复试验的模型及二项式分布,并能解决一些简单的实际问题。

④理解取有限个值的离散型随机变量均值,方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值,方差,并能解决一些实际问题。

⑤利用实际为题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 (2)统计案例

了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题。 ① 独立性检验(只要求2*2列联表)的基本思想,方法及其简单应用。 ② 回归分析

了解回归分析的基本思想,方法及其简单应用。

二、要点梳理:

一、随机事件的概率

1.概率与频率

(1)在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数,称事件A 出现的比例f n (A )=n A

n

为事件A 出现的频率.

(2)对于给定的随机事件A ,由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A ),因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A ).

2.事件的关系与运算

定义

符号表示 包含关系 如果事件A 发生,则事件B 一定发生,这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )

B ?A (或A ?B ) 相等关系 若B ?A 且A ?B ,那么称事件A 与事件B 相等

A =

B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生,则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)

A ∪

B (或A +B ) 交事件

若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生,则称此事

A ∩B

(积事件) 件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)

(或AB ) 互斥事件 若A ∩B 为不可能事件,那么称事件A 与事件B 互斥 A ∩B =? 对立事件

若A ∩B 为不可能事件,A ∪B 为必然事件,那么称事件A 与事件B 互为对立事件

A ∩

B =? 且A ∪B =Ω

3.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围:0≤P (A )≤1.(2)必然事件的概率:P (A )=1. (3)不可能事件的概率:P (A )=0. (4)概率的加法公式

如果事件A 与事件B 互斥,则P (A ∪B )=P (A )+P (B ). (5)对立事件的概率

若事件A 与事件B 互为对立事件,则A ∪B 为必然事件.P (A ∪B )=1,P (A )=1-P (B ). 注意1.易将概率与频率混淆,频率随着试验次数变化而变化,而概率是一个常数.

2.互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.

二、古典概型、几何概型 1.基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的.

(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件). 2.古典概型 (1)特点:

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,即有限性. ②每个基本事件发生的可能性相等,即等可能性. (2)概率公式:P (A )=A 包含的基本事件的个数

基本事件的总数.

注意:

1.在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时,易忽视他们是否是等可能的.

2.概率的一般加法公式P (A +B )=P (A )+P (B )-P (A ∩B )中,易忽视只有当A ∩B =?,即A ,B 互斥时,P (A +B )=P (A )+P (B ),此时P (A ∩B )=0.

3.几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.

4.几何概型的概率公式 P (A )=

构成事件A 的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

注意 易混淆几何概型与古典概型,两者共同点是基本事件的发生是等可能的,不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的,古典概型中基本事件的个数是有限的. 三、离散型随机变量及其分布列

1.离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母X ,Y ,ξ,η,…表示.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列及其性质

(1)一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i =1,2,…,n )的概率P (X =x i )=p i ,则表

X x 1 x 2 … x i … x n P

p 1

p 2

p i

p n

称为离散型随机变量X 的概率分布列,简称为X 的分布列,有时为了表达简单,也用等式P (X =x i )=p i ,i =1,2,…,n 表示X 的分布列.

(2)离散型随机变量的分布列的性质○1p i ≥0(i =1,2,…,n );○2∑==n

i i

p

1

1

3.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布:

若随机变量X 服从两点分布,即其分布列为

X 0 1 P

1-p

p

其中p =P (X =1)称为成功概率.

(2)超几何分布:

在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{X =k }发生的概率为P (X =k )=C k M C n -

k

N -M

C n N

k =0,1,2,…,m ,其中m =min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *,称分布列为超几何分布列.

X 0

1

… m

P

C 0M C n -

N -M

C n N

C 1M C n -

1

N -M

C n N

C m M C n -

m

N -M

C n

N

四、n 次独立重复试验与二项分布

1.条件概率

条件概率的定义

条件概率的性质

设A 、B 为两个事件,且P (A )>0,称P (B |A )=P (AB )

P (A )为在事件A 发生的条件

下,事件B 发生的条件概率 (1)0≤P (B |A )≤1

(2)如果B 和C 是两个互斥事件,则P (B ∪C |A )=P (B |A )+P (C |A )

2.事件的相互独立性

(1)定义:设A ,B 为两个事件,如果P (AB )=P (A )P (B ),则称事件A 与事件B 相互独立. (2)性质:

①若事件A 与B 相互独立,则P (B |A )=P (B ),P (A |B )=P (A ),P (AB )=P (A )P (B ).

②如果事件A 与B 相互独立,那么A 与B ,A 与B ,A 与B 也相互独立. 3.独立重复试验与二项分布

独立重复试验

二项分布

定义

在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验

在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,

设每次试验中事件A 发生的概率是p ,此时称随机变量X 服从二项分布,记作X ~B (n ,p ),并称p 为成功概率

计 算 公 式

A i (i =1,2,…,n )表示第i 次试验结果,则P (A 1A 2A 3…A n )=P (A 1)P (A 2)…P (A n )

在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率

为P (X =k )=C k n p k (1-p )

n -

k (k =0,1,2,…,n ) .

五、离散型随机变量的均值与方差、正态分布

1.均值

(1)一般地,若离散型随机变量X 的分布列为:

X x 1 x 2 … x i … x n P

p 1

p 2

p i

p n

则称E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(2)若Y =aX +b ,其中a ,b 为常数,则Y 也是随机变量,且E (aX +b )=aE (X )+b . (3)(1)若X 服从两点分布,则E (X )=p ; (2)若X ~B (n ,p ),则E (X )=np . 2.方差

(1)设离散型随机变量X 的分布列为

X x 1 x 2 … x i … x n P

p 1

p 2

p i

p n

则(x i -E (X ))2描述了x i (i =1,2,…,n )相对于均值E (X )的偏离程度,而D (X )=∑i =1

n

(x i -E (X ))2p i 为这些偏离程

度的加权平均,刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度.称D (X )为随机变量X 的方差,其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差. (2)D (aX +b )=a 2D (X ).

(3)若X 服从两点分布,则D (X )=p (1-p ).(4)若X ~B (n ,p ),则D (X )=np (1-p ).

3.正态分布 (1)正态曲线的特点:

①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交;②曲线是单峰的,它关于直线x =μ对称;

③曲线在x =μ处达到峰值

1

σ2π

;④曲线与x 轴之间的面积为1; ⑤当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x 轴平移;

⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.

(2)正态分布的三个常用数据:①P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682_6;②P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954_4;③P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.997_4

三、例题精讲

考点一:概率的性质:

1.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X =n )=

a n (n +1)

(n =1,2,3,4),其中a 是常数,则P (12<X <5

2)的值为( )

A.23

B.34

C.45

D.56

解析:选D 由(11×2+12×3+13×4+1

4×5)×a =1.

知45a =1.∴a =54

. 故P (12<X <52)=P (1)+P (2)=12×54+16×54=56.

2.随机变量X 的分布列如下:

X -1 0 1 P

a

b

c

其中a ,b ,c 成等差数列,则P (|X |=1)=______. 解析:∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b =a +c . 又a +b +c =1,∴b =13,∴P (|X |=1)=a +c =23.

答案:2

3

考点二:离散型随机变量分布列求法

[典例] (2013·江西高考改编) 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学

校排球队.游戏规则为:以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,A 7,A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若X =0

就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.

(1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求X 的分布列.

[解] (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28

=28种,X =0时,

两向量夹角为直角,共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为P (X =0)=828=2

7

.

(2)两向量数量积X 的所有可能取值为-2,-1,0,1,X =-2时,有2种情形;X =1时,有8种情形;X =-1时,有10种情形.所以X 的分布列为:

X -2 -1 0 1 P

114

514

27

27

[针对训练]

(2014·温州模拟)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球(不放回),则试验结束.

(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率; (2)记试验次数为X ,求X 的分布列.

解:(1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A ,则P (A )=C 12C 1

6

C 28=37

.

(2)由题知X 的可能取值为1,2,3,4.则

P (X =1)=C 12C 16+C 22C 28=1328,P (X =2)=C 26C 28·C 14C 12+C 22C 26=928,P (X =3)=C 26C 28·C 24C 26·C 12C 12+C 22C 24

=528,P (X =4)=C 26C 28·C 24C 26·C 22

C 24=

1

28

. X 的分布列为

X 1 2 3 4 P

1328

928

528

128

考点三:超几何分布

[典例] (2014·南昌模拟)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动. (1)求所选3人中恰有一名男生的概率; (2)求所选3人中男生人数ξ的分布列.

[解] (1)所选3人中恰有一名男生的概率P =C 25C 1

4

C 39=1021

.

(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.

P (ξ=0)=C 35C 39=542,P (ξ=1)=C 25C 14C 39=1021,P (ξ=2)=C 15C 2

4C 39=514,P (ξ=3)=C 34

C 39=121

.

∴ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3 P

5

42

1021

514

121

[针对训练]

(2013·哈师大附中模拟)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095-2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.

从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:

PM2.5日均值 (微克/立方米)

[25,35] (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85] 频数

3

1

1

1

1

3

(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率; (2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列. 解:(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,恰有一天空气质量达到一级”为事件A ,则

P (A )=C 13·

C 27C 310=2140

.

(2)根据条件,ξ服从超几何分布,其中N =10,M =3,n =3,ξ的可能取值为0,1,2,3,P (ξ=k )=C k 3C 3-

k 7

C 310

(k =

0,1,2,3),其分布列为

ξ 0 1 2 3 P 724 2140 740 1120

考点四:条件概率

1.(2013·平顶山二模)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )

A.3

10 B.29 C.78

D.79 解析:选D 设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”,事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”,则P (A )=310,P (AB )=310×79=730.则所求概率为P (B |A )=P (AB )P (A )

=7

30310

=79. 2.盒中有红球5个,蓝球11个,其中红球中有2个玻璃球,3个木质球;蓝球中有4个玻璃球,7个木质球,现从中任取一球,假设每个球被摸到的可能性相同.若已知取到的球是玻璃球,则它是蓝球的概率为( )

A.23

B.13

C.1116

D.516

解析:选A 记“取到蓝球”为事件A ,“取到玻璃球”为事件B ,则已知取到的球为玻璃球,它是蓝球的概率就是B 发生的条件下A 发生的条件概率,记作P (A |B ).因为P (AB )=416=14,P (B )=616=38,所以P (A |B )=

P (AB )

P (B )

=1438

=23. 3.在100件产品中有95件合格品,5件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率为________.

解析:设事件A 为“第一次取到不合格品”,事件B 为“第二次取到不合格品”,则P (AB )=C 25

C 2100

,所以P (B |A )

=P (AB )P (A )

=5×4

100×995100

=499.

答案:4

99

考点五:相互独立事件的概率

[典例] (2013·长春二模)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位,3人能被选中的概率分别为2

5,

34,1

3

,且各自能否被选中互不影响. (1)求3人同时被选中的概率; (2)求3人中至少有1人被选中的概率.

[解] 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A ,B ,C ,则P (A )=25,P (B )=34,P (C )=1

3.

(1)3人同时被选中的概率

P 1=P (ABC )=P (A )P (B )P (C )=25×34×13=1

10.

(2)3人中有2人被选中的概率

P 2=P (AB C ∪A B C ∪A BC )=25×3

4×????1-13+25×????1-34×13+????1-25×34×13=2360. 3人中只有1人被选中的概率

P 3=P (A B C ∪A B C ∪A B C )=2

5×????1-34×????1-13+????1-25×34×????1-13+????1-25×????1-34×13=5

12

. 故3人中至少有1人被选中的概率为110+2360+512=9

10.

变式: 在本例条件下求三人均未被选中的概率.

解:法一:三人均未被选中

P =P (A B C )=????1-25×????1-34×????1-13=110. 法二:由本例(2)知,三人至少有1人被选中的概率为

9

10

∴P =1-910=1

10.

[针对训练]

高一新生军训时,经过两天的打靶训练,甲每射击10次可以击中9次,乙每射击9次可以击中8次.甲、乙两人射击同一目标(甲、乙两人互不影响),现各射击一次,目标被击中的概率为( )

A.910

B.45

C.89

D.8990

解析:选D 目标被击中的对立事件为两人都击不中,而两人都击不中的概率为????1-910×????1-8

9,所以所求事件的概率为1-????1-910×????1-89=89

90

. 考点六:独立重复试验与二项分布

[典例] 在一次数学考试中,第21题和第22题为选做题.规定每位考生必须且只须在其中选做一题.设4名考生选做每一道题的概率均为1

2

.

(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率;

(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ,求ξ的概率分布列.

[解] (1)设事件A 表示“甲选做第21题”,事件B 表示“乙选做第21题”,则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB +A - B -

”,且事件A 、B 相互独立.

故P (AB +A B )=P (A )P (B )+P (A )P (B ) =12×1

2+????1-12×?

???1-12=12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4, 且ξ~B ???

?4,12 则P (ξ=k )=C k 4????12k ????1-124-k =C k 4

???

?124(k =0,1,2,3,4). 故变量ξ的分布列为:

Ξ 0 1 2 3 4 P

1

16

14

38

14

116

[类题通法]

二项分布满足的条件

(1)每次试验中,事件发生的概率是相同的. (2)各次试验中的事件是相互独立的.

(3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生. (4)随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数. [针对训练]

(2014·广州调研)设事件A 在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A 至少发生一次的概率为63

64

,则事件A 恰好发生一次的概率为( )

A.14

B.34

C.964

D.2764

解析:选C 假设事件A 在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p ,由题意得,事件A 发生的次数X ~B (3,p ),则有1-(1-p )3=6364,得p =34,则事件A 恰好发生一次的概率为C 1

3×34×?

???1-342=964. 1.(2014·杭州模拟)甲、乙两人参加某高校的自主招生考试,若甲、乙能通过面试的概率都为2

3,且甲、乙两

人能否通过面试相互独立,则面试结束后通过人数ξ的数学期望E (ξ)的值为( )

A.43

B.119 C .1

D.89

解析:选A 由题意可知,ξ服从二项分布B ????2,23,所以E (ξ)=2×23=43

. 2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分,已知他命中的概率为0.8,则罚球一次得分ξ的数学期望是( )

A .0.2

B .0.8

C .1

D .0

解析:选B 因为P (ξ=1)=0.8,P (ξ=0)=0.2. 所以E (ξ)=1×0.8+0×0.2=0.8. 考点七:离散型随机变量的均值

1.(2013·广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列为

X 1 2 3 P

35

310

110

则X 的数学期望E (X )=( ) A.3

2 B .2 C.52

D .3

解析:选A E (X )=1×35+2×310+3×110=1510=3

2

.

2.(2013·湖北高考)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小

正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,则X 的均值E (X )

=( )

A.126

125

B.65

C.168125

D.75

解析:选B 依题意,X 的取值可能为0,1,2,3,且P (X =0)=27125,P (X =1)=54125,P (X =2)=36

125,

P (X =3)=

8125,E (X )=0×P (X =0)+1×P (X =1)+2×P (X =2)+3×P (X =3)=0×27125+1×54125+2×36

125

+3×8125=150125=6

5

,故选B. 3.(2013·天津高考)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张, 编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).

(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;

(2)在取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X 的分布列和数学期望.

解:(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A ,则P (A )=C 12C 35+C 22C 2

5

C 4

7=67

. 所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为6

7.

(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X =1)=C 33C 47=135,P (X =2)=C 34

C 47=435,

P (X =3)=C 35C 47=27,P (X =4)=C 36

C 47=47.

所以随机变量X 的分布列是

X 1 2 3 4 P

1

35

435

27

47

随机变量X 的数学期望EX =1×135+2×435+3×27+4×47=17

5.

考点八:离散型随机变量的方差

[典例] (2013·浙江高考)设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.

(1)当a =3,b =2,c =1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;

(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若E (η)=53,D (η)=5

9,

求a ∶b ∶c .

[解] (1)由题意得ξ=2,3,4,5,6.

故P (ξ=2)=3×36×6=14,P (ξ=3)=2×3×26×6

=1

3,

P (ξ=4)=2×3×1+2×26×6=518,P (ξ=5)=2×2×16×6=19,P (ξ=6)=1×16×6=1

36.

所以ξ的分布列为

ξ

2

3

4

5

6

P

14 13 518 19 136

(2)由题意知η的分布列为

η 1 2 3 P

a

a +

b +c

b

a +

b +c

c

a +

b +c

所以E (η)=

a a +

b +

c +2b a +b +c +3c a +b +c =5

3

D (η)=????1-532·a a +b +c +????2-532·b a +b +c +????3-532·c a +b +c =59

. 化简得?????

2a -b -4c =0,

a +4

b -11

c =0,

解得a =3c ,b =2c ,

故a ∶b ∶c =3∶2∶1. [针对训练]

(2014·贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下:

X 8 9 10 P

0.2

0.6

0.2

Y 8 9 10 P

0.4

0.2

0.4

其中X 和Y 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料,越稳定越好.试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料.

解:E (X )=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9,

D (X )=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4;

E (Y )=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9;

D (Y )=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4 =0.8.

由此可知,E (X )=E (Y )=9,D (X )<D (Y ),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同,但甲厂材料相对稳定,应选甲厂的材料.

考点九:正态分布

[典例] (1)(2013·石家庄模拟)设随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2),若P (ξ<2)=0.8,则P (0<ξ<1)的值为( )

A .0.2

B .0.3

C .0.4

D .0.6

[解析] P (0<ξ<1)=P (ξ<2)-P (ξ<1)=0.8-0.5=0.3,故选B. [答案] B

(2)(2014·合肥模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),P (ξ≤4)=0.84,则P (ξ≤0)=( )

A .0.16

B .0.32

C .0.68

D .0.84

[解析] 因为曲线的对称轴是直线x =2,所以由图知P (ξ≤0)=P (ξ>4)=1-P (ξ≤4)=0.16.

[答案] A

变式:保持本例(2)条件不变,求P (0<ξ≤4). 解析:由P (ξ>4)=P (ξ≤0)=0.16 ∴P (0<ξ≤4)=1-2×0.16=0.68. [类题通法]

关于正态总体在某个区间内取值的概率求法

(1)熟记P (μ-σ<X ≤μ+σ),P (μ-2σ<X ≤μ+2σ),P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)的值; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.

①正态曲线关于直线x =μ对称,从而在关于x =μ对称的区间上概率相等. ②P (X <a )=1-P (X ≥a ),P (X <μ-a )=P (X ≥μ+a ). [针对训练]

某班有50名学生,一次考试后数学成绩X (X ∈N )服从正态分布N (100,102),已知P (90≤X ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________.

解析:由题意知,P (X >110)=1-2P (90≤X ≤100)

2=0.2.

∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10. 答案:10

四、高考试题分析

2013、9、(本小题满分12分)

一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n 。如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为1

2,且各件产品是否为优质品相互独立

(1)求这批产品通过检验的概率;

(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检

验所需的费用记为X (单位:元),求X 的分布列及数学期望。

【命题意图】

【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A ,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C ,第二次取出的1件产品是 优质品为事件D ,这批产品通过检验为事件E ,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB 与CD 互斥,

∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=32

44

111()()222

C ??+411()22?=364.…6分 (Ⅱ)X 的可能取值为400,500,800,并且

P(X=400)=1-3344111()()222C ?-=1116,P(X=500)=116,P(X=800)=33

411()22C ?=14

, ∴X 的分布列为

X 400 500 800

P

1116 116 14

……10分

EX=400×1116+500×116+800×1

4

=506.25 ……12分

2014.18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2

s (同一组数据用该区间的中点值作代表); (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ,其中μ近似为样本平均数x ,2

δ近似为样本方差2

s .

(i)利用该正态分布,求(187.8212.2)P Z <<;

(ii )某用户从该企业购买了100件这种产品,记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i )的结果,求EX . 附:150≈12.2.

若Z ~2

(,)N μδ,则()P Z μδμδ-<<+=0.6826,(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.

解析:

(Ⅰ)0.021700.091800.221900.332000.242100.082200.02230200

x =?+?+?+?+?+?+?=()()()

()()()()222

22

2

2

2

0.021702000.091802000.221902000.332002000.242102000.082202000.022********

s =?-+?-+?-+?-+?-+?-+?-=

(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知, 2

δ=2s =150,所以15012.2δ=≈,

(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6826P Z P Z <<=-<<+=

(ii )100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数X 服从二项分布()100,0.6826B ,所以

1000.682668.26EX =?=

【免费下载】概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题

概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题1.甲乙两人独立地进行两次射击,命中率分别为0.2、0.5,把X 、Y 分别表示甲乙命中的次数,求(X,Y )联合分布律。2.袋中有两只白球,两只红球,从中任取两只以X 、Y 表示其中黑球、白球的数目,求(X,Y )联合分布律。3.设,且P{}=1,求()的X 1=(?1011/41/21/4) X 2=(011/21/2)X 1X 2=0X 1,X 2联合分布律,并指出是否独立。 X 1,X 24.设随机变量X 的分布律为Y=,求(X,Y )联合分布律。X 2X Y 01

概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 5.设(X,Y )的概率分布为 且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a ,b 。6. 设某班车起点上车人数X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客中途下车的概率为P (0

概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 (1)C 的值 (2), (3)P{X+Y ≤1}并判别X 与Y 是否独立。f z (x)f Y (y)9.设f(x,y)= 为(X,Y )的密度函数,求{10 |y |1/2|Y>0}(2) f Y|X (y|x ), f X|Y (x|y )10. 设f(x,y)= 为(X,Y )的密度函数,求 {12x 2y 0 1x ≤y ≤x,x ≥1 其它 f X|Y (x|y )11. 设f(x,y)= 为(X,Y )的密度函数,求的联合分布 {4xy 0 0≤x ≤1,0≤y ≤1 其它 (X,Y )

2.1随机变量及其概率分布(1)

随机变量及其概率分布(1) 【教学目标】 1、在对具体问题的分析中,了解随机变量、离散型随机变量的意义,理解取有限值的离散性随机变量及其概率分布的概念。 2、会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布,认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 3、提高学生的抽象概括能力,提高数学建模的能力,提高学生应用数学的意识。 4、随机变量是客观世界中极为普遍的,通过对各种现象及事件a 的分析,培养严谨的逻辑思维能力,激发学生学习兴趣,初步认识数学的应用价值、科学价值,并深刻体会数学是服务于实践的一门学科。 【教学过程】 1、相关知识回顾: (1)随机现象: 在一定条件下,某种现象可能发生,也可能不发生,事先也不能断定出现哪种结果的现象 (2)基本事件: 在一次试验中可能出现的每一个基本结果 (3)古典概型: 我们将具有:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ②每个基本事件发生的概率相等. 满足这两个特点的概率模型称为古典概率模型 2、新课引入: (1)在一块地里种下10棵树苗,成活的树苗棵数X 是0,1,…,10中的某个数; (2)抛掷一颗骰子,向上的点数Y 是1,2,3,4,5,6中的某一个数; (3)新生婴儿的性别,抽查的结果可能是男,也可能是女。如果将男婴用0表示, 女婴用1表示,那么抽查的结果Z 是0和1中的某个数; 上述问题有哪些共同特点? 上述问题中的X ,Y ,Z ,ε实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数,即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个映射。 例如:上面的植树问题中成活的树苗棵数X : X=0,表示成活0棵; X=1,表示成活1棵;…… 思考:“X>7”表示什么意思? 3、新授: 知识点1:随机变量: 一般地,如果随机试验的结果,可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫随机变量。 通常用大写拉丁字母X ,Y ,Z (或小写希腊字母ζηε,,)等表示,而用小写拉丁字母z y x ,,(加上适当下标)等表示随机变量取得可能值。 引入随机变量后,随机试验中我们感兴趣的事件就可以通过随机变量的取值表达出来。 注:(1)随机试验中,可能出现的恶结果都可以用一个数来表示。如掷一枚硬币,“正

二维随机变量及其分布题目

一、单项选择题 1 ,那么下列结论正确的是 ()A B C D.以上都不正确 2设X与Y相互独立,X 0—1分布,Y 0—1分布,则方程 t 有相同实根的概率为 (A(B(C (D 3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 则k的值必为 (A(B(C (D 4.设(X,Y)的联合密度函数为 (A (B(C(D 5.设随机变量X与Y相互独立,而且X服从标准正态分布N(0,1),Y服从二项分布B(n,p),0

二、填空题 2 若(X ,Y )的联合密度 , 3 4 ,则 且区域 5 。 6 . 7

=? ∞+∞ -)(x f X . 8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 ;若X 与Y 相互独立,则=α ,=β . 9 设Y X ,相互独立,)1.0(~),1,0(~N Y N X ,则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f ,Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()()?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =_____。 11设X 服从参数为1的泊松分布,Y 服从参数为2的泊松分布,而且X 与Y 相互独立,则 (max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠= 12 设X 与Y 相互独立,均服从[1,3]上的均匀分布,记(),A X a =≤(),B Y a => 7 ()9 P A B ?= 且,则a=_______. 13 二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度为 221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π -++= -∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________. 三.解答题 1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数. 2.箱子里装有12件产品,其中2件是次品,每次从箱子里任取一件产品,共取2次,定义随机变量12,X X 如下:

第二章__随机变量及其概率分布_考试模拟题答案范文

第二章 随机变量及其概率分布 考试模拟题 (共90分) 一.选择题(每题2分共20分) 1.F(X)是随机变量X 的分布函数,则下列结论不正确的是( B ) A.≤0F(x )1≤ B.F(x )=P{X=x } C.F(x )=P{X x ≤} D.F(∞+)=1, F(∞-)=0 解析: A,C,D 都是对于分布函数的正确结论,请记住正确结论!B 是错误的。 2.设随机变量X 的分布函数律为如下表格:F(x)为其分布函数,则F(5)=( C ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4 解析:由分布函数定义F(5)=P{X ≤5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3.下列函数可以作为随机变量分布函数的是( D ) 4x 01≤≤x 2x 10<≤x A.F(x)= B.F(x)= 1 其它 2 其它 -1 x<0 0 x<0 C.F(x)= 2x 10<≤x D.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.5 解析:由分布函数F(x)性质:01)(≤≤x F ,A,B,C 都不满足这个性质,选D 4 x 31<<-x 4.设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2

A. 0 B.83 C. 43 D. 85 解析:P{-2

《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第三章

习题三 1.将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表: 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表: 3.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 F (x ,y )=???? ? ≤ ≤≤ ≤. , 020,20, sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量(X ,Y )在长方形域? ?? ? ?? ≤<≤ <36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4 3 4 6 3 6 1). 4 =--+= 题3图 说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4.设随机变量(X ,Y )的分布密度 f (x ,y )=?? ?>>+-. , 0, 0,0, )43(其他y x A y x e 求:(1) 常数A ; (2) 随机变量(X ,Y )的分布函数; (3) P {0≤X <1,0≤Y <2}. 【解】(1) 由-(34) (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞ -∞ == =? ??? 得 A =12 (2) 由定义,有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞ -∞ = ?? ( 34 ) 3400 12e d d (1e )(1e ) 0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>? ==?? ? ????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 12(34) 38 {01,02} 12e d d (1 e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤= =--≈?? 5.设随机变量(X ,Y )的概率密度为 f (x ,y )=?? ?<<<<--. , 0, 42,20),6(其他y x y x k (1) 确定常数k ; (2) 求P {X <1,Y <3}; (3) 求P {X <1.5}; (4) 求P {X +Y ≤4}. 【解】(1) 由性质有

第二章__随机变量及其概率分布_考试模拟题答案

第二章随机变量及其概率分布考试模拟题 (共90 分) 一.选择题(每题2分共20分) 1.F(X) 是随机变量X的分布函数,则下列结论不正确的是( B ) A.0 F( x) 1 B.F( x)=P{X=x} C.F( x)=P{X x} D.F( )=1, F( )=0 解析:A,C,D 都是对于分布函数的正确结论,请记住正确结论! B 是错误的。2.设随机变量X的分布函数律为如下表格:F(x)为其分布函数,则F(5)=( C ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4 解析:由分布函数定义F(5)=P{X 5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3.下列函数可以作为随机变量分布函数的是 4x 0 x1 2x A.F(x)= B.F(x)= 其它其它 x<0 x<0 C.F(x)= 2x D.F(x)= 2x 0 x 0.5 其它≥0.5 解析:由分布函数F(x) 性质:0 F(x) 1,A,B,C 都不满足这个性质,选D 4.设X 的密度函数为f(x)=则P{-2

1 解析:根据密 度函数性质: A.有f(x) 0的情况,错; B.D. 不符合 f(x)dx 1错; 1 C. 1 12dx 21x|11 12 21 1 选 C 6.设随机变量 X~N(1 ,4), (1) 0.8413, (0) 0.5 ,则事件 {1 X 3 } 的概率为(D ) 解:P{1 X 3 }=F(3)-F(1)= (3 1) (1 1) (1) (0) 0.8413 0.5 0.3413 22 7.已知随机变量 X 的分布函数为( A ) 0 x 0 1 0 x 1 F(x)= 2 ,则 P X 1 = 2 1x3 3 1 x 3 112 A . 1 B . 1 C . 2 D . 1 623 A. 0 B. C. D. 848 解析: P {-2

联合概率分布:离散与连续随机变量

Joint Distributions,Discrete Case In the following,X and Y are discrete random variables. 1.Joint distribution(joint p.m.f.): ?De?nition:f(x,y)=P(X=x,Y=y) ?Properties:(1)f(x,y)≥0,(2) x,y f(x,y)=1 ?Representation:The most natural representation of a joint discrete distribution is as a distribution matrix,with rows and columns indexed by x and y,and the xy-entry being f(x,y).This is analogous to the representation of ordinary discrete distributions as a single-row table.As in the one-dimensional case,the entries in a distribution matrix must be nonnegative and add up to1. 2.Marginal distributions:The distributions of X and Y,when considered separately. ?De?nition: ?f X(x)=P(X=x)= y f(x,y) ?f Y(y)=P(Y=y)= x f(x,y) ?Connection with distribution matrix:The marginal distributions f X(x)and f Y(y) can be obtained from the distribution matrix as the row sums and column sums of the entries.These sums can be entered in the“margins”of the matrix as an additional column and row. ?Expectation and variance:μX,μY,σ2 X ,σ2 Y denote the(ordinary)expectations and variances of X and Y,computed as usual:μX= x xf X(x),etc. https://www.360docs.net/doc/206804259.html,putations with joint distributions: ?Probabilities:Probabilities involving X and Y(e.g.,P(X+Y=3)or P(X≥Y)can be computed by adding up the corresponding entries in the distribution matrix:More formally,for any set R of points in the xy-plane,P((X,Y)∈R))= (x,y)∈R f(x,y). ?Expectation of a function of X and Y(e.g.,u(x,y)=xy):E(u(X,Y))= x,y u(x,y)f(x,y).This formula can also be used to compute expectation and variance of the marginal distributions directly from the joint distribution,without?rst computing the marginal distribution.For example,E(X)= x,y xf(x,y). 4.Covariance and correlation: ?De?nitions:Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=E((X?μX)(Y?μY))(Covariance of X and Y),ρ=ρ(X,Y)=Cov(X,Y) σXσY (Correlation of X and Y) ?Properties:|Cov(X,Y)|≤σXσY,?1≤ρ(X,Y)≤1 ?Relation to variance:Var(X)=Cov(X,X) ?Variance of a sum:Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)(Note the analogy of the latter formula to the identity(a+b)2=a2+b2+2ab;the covariance acts like a “mixed term”in the expansion of Var(X+Y).) 1

第二章 随机变量及其概率分布

第二章 随机变量及其概率分布 教学目的与要求 1. 熟练掌握一维离散型随机变量及其分布的概念,会求一维离散型随机变量的分布列; 2. 熟练掌握一维随机变量分布函数的概念与性质; 3. 熟悉一维离散型随机变量的分布函数与分布列的关系; 3. 理解一维连续型随机变量分布函数与分布密度的概念及其关系; 4. 熟记常见的几种分布的表达形式. 6. 熟悉随机变量函数的分布函数与分布密度的计算公式. 教学重点 一维离散型、连续型随机变量及其分布 教学难点 随机变量函数的分布 教学方法 讲解法 教学时间安排 第11-12学时 第一节 随机变量 第四节 随机变量的分布函数 第13-16学时 第二节 离散型随机变量 第三节 连续型随机变量 第17-18学时 第五节 随机变量函数的分布 习题辅导 教学内容 第一节 随机变量 一、随机变量 在上一章所讲的有些随机试验的样本空间中基本事件是用数值描述的,这就提示我们,无论什么随机试验,如果用一个变量的不同取值来描述它的全部可能结果,样本空间的表达及其相应的概率就显得更明了、更简单.事实上,这种想法是可以的,为此,引入一个新概念. 定义2.1 设E 维随机试验,()ωΩ=为其样本空间,若对任意的ω∈Ω,有唯一的实数与之对应,且对{},x R x ξ?∈≤为事件,则称()ξω为随机变量. 这样,事件可通过随机变量的取值来表示,随机变量,(),(),b a b ξξξ≤<≤L 等都表

示为事件,其中,a b 表示任意实数.即用随机变量的各种取值状态和取值范围来表示随机事件. 二、分布函数的定义与性质 定义2.2 定义在样本空间Ω上,取值于实数域的函数()ξω,称为是样本空间Ω上的(实值)随机变量,并称 ()(()), (,)F x P x x ξω=≤∈-∞∞ 是随机变量()ξω的概率分布函数.简称为分布函数. 分布函数的性质: (1)单调性 若12,x x <则12()()F x F x ≤; (2)()lim ()0x F F x →-∞ -∞== ()lim ()1x F F x →+∞ +∞== (3)右连续性 (0)()F x F x += 反过来,任一满足这三个性质的函数,一定可以作为某个随机变量的分布函数.因此,满足这三个性质的函数通常都称为分布函数. 由分布函数还可以下列事件的概率: {()}1(){()}(0) {()}1(0){()}()(0) P x F x P x F x p x F x P x F x F x ξωξωξωξω>=-<=-≥=--==-- 由此可见,形如12121212{()},{()},{()},{()}x x x x x x x x ξωξωξωξω≤≤<<<≤≤<这些事件以及它们经过有限次或可列次并、交、差以后的概率,都可以由()F x 算出来,所以()F x 全面地描述了随机变量()ξω的统计规律. 第二节 离散型随机变量 一、离散型随机变量的概念及其分布 定义 2.2 定义在样本空间Ω上,取之于实数域R ,且只取有限个或可列个值的变量 ()ξξω=,称作是一维(实值)离散型随机变量,简称为离散型随机变量.称

随机变量及其概率分布

第二章 随机变量及其概率分布 【内容提要】 一、随机变量及其分布函数 设()X X ω=是定义于随机试验E 的样本空间Ω上的实值函数,且x R ?∈, {}()X x ωω≤是随 机事件,则称()X X ω=为随机变量,而称()()()F x P X x ω=≤为其概率分布函数。 随机变量()X X ω=的概率分布函数()()()F x P X x ω=≤具有如下性质: ⑴.非负性: x R ?∈,有0()1F x ≤≤; ⑵.规范性: ()0,()1F F -∞=+∞=; ⑶.单调性: 若12x x ≤,则12()()F x F x ≤; ⑷.右连续性: x R ?∈,有(0)()F x F x +=。 二、离散型随机变量 1.离散型随机变量及其概率分布律 若随机变量()X X ω=只取一些离散值12n x x x -∞<<=其中而。 三、连续型随机变量

人教版高数选修2-3第二章2.1随机变量及其分布(教师版)

随机变量及其分布 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解随机变量的概念. 2.熟练掌握随机变量的概率分布及其性质. 3.能熟练应用两点分布. 4.能熟练运用超几何分布. 1.随机变量: 一般地,如果随机试验的结果,可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量,通常用大写拉丁字母X ,Y ,Z (或小写希腊字母,,ξηζ)等表示,而用小写拉丁字母x ,y ,z (加上适当下标)等表示随机变量取的可能值. 注意:(1)一般地,一个试验如果满足下列条件:i)试验可以在相同的情形下重复进行;ii)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是个随机试验,为了方便起见,也简称试验. (2)所谓随机变量,即是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系,这种对应关系是人为建立起来的,但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的,只不过在函数概念中,函数f (x )的自变量是实数,而在随机变量的概念中,随机变量的自变量是试验结果. (3)一般情况下,我们所说的随机变量有以下两种: 如果随机变量所有可能的取值都能一一列举出来,这样的随机变量叫做离散型随机变量.如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. (4)离散型随机变量和连续型随机变量的区别: 离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验所出现的结果,但二者之间又有着根本的区别:对于离散型随机变量来说,它所可能取的值为有限个或至多可列个,或者说能将它的可能取值,按一定次序一一列出,而连续型随机变量可取某一区间内的一切值,我们无法将其中的值一一列举. 2.随机变量的概率分布 一般地,假定随机变量X 有n 个不同的取值,它们分别是12,, ,,n x x x 且()i P X x == ,1,2,3, ,i p i n =①,则称①为随机变量X 的概率分布列. 3.随机变量概率分布的性质 (1)对于随机变量的研究,我们不仅要知道随机变量取哪些值,随机变量所取的值表示的随机试验的结果,而且需要进一步了解随机变量:取这些值的概率. (2)随机事件A 的概率满足0≤P (A )≤1,必然事件U 的概率P (U )=1.若离散型随机变量X 所有可能取的值为12,, ,.n x x x X 取每一个值i x (i =1,2,…,n )的概率为(),i i P X x p ==○ 10,1,2,3,,;i p i n ≥=○2123 1.n p p p p ++++=不满足上述两条性质的分布列一定是错误的, 即分布列满足上述两条性质是该分布列正确的必要不充分条件. (3)由离散型随机变量分布列的概念可知,离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的.

《概率论与数理统计》习题三问题详解-设二维随机变量(x,y)

《概率论与数理统计》习题及答案 习题三 1.将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ?? 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 F (x ,y )=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量(X ,Y )在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4.设随机变量(X,Y)的分布密度 f(x,y)= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求:(1)常数A; (2)随机变量(X,Y)的分布函数; (3)P{0≤X<1,0≤Y<2}. 【解】(1)由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 (2)由定义,有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k (1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}. 【解】(1)由性质有

第二章随机变量及其函数的概率分布

第二章 随机变量及其函数的概率分布 §2.1 随机变量与分布函数 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 一、 填空题 1. 某射手每次命中目标的概率为0.8,若独立射击了三次,则三次中命中目标次数为k 的概率==)(k X P 3,2,1,0,) 2.0()8.0(33=-k C k k k ; 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2()1(===X P X P ,则==)4(X P 0.0902 ; 3. 设X 服从参数为p 的两点分布,则X 的分布函数为 ?? ? ??≥<≤-<=1 ,110 ,10 ,0)(x x p x x F ; 4. 已知随机变量X 的概率分布:P(X =1)=0.2, P(X =2)=0.3, P(X =3)=0.5, 则其分布 函数)(x F = 0 10.2 120.5 231 3x x x x =λ==则且,0),,2,1()(b k b k X P k 为(B ) (A) λ>0的任意实数; (B) ;11+=b λ (C) λ=b +1; (D) 1 1 -=b λ. 三、 计算下列各题 1. 袋中有10个球,分别编号为1~10,从中任取5个球,令X 表示取出5个球的最大号码,试求X 的分布列。 解 X 的可能取值为5,6,7,8,9,10 且10,9,8,7,6,5 ,)(5 10 41 ===-k C C k X P k 所以X 的分布列为

概率论与数理统计随机变量及其分布问题

随机变量及其分布问题 1、假设随机变量X 的绝对值不大于1,1(1),8P X =-= 1 (1).4 P X ==在事件(11)X -<<出现的条件下,X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求X 的分布函数()()F x P X x =≤ 解:当1x <-时,()0F x =。 当1x =-时,()()(1)(1)F x P X x P X P x x =≤=≤-+-<≤ 1 (1)8 P X x = +-<≤ 而 5(11)1(1)(1)8 P X P X P X -<<=-=--==, 因此 (1)(1,11)P X x P X x X -<≤=-<≤-<< (11)(111)P X P X x X =-<<-<<-<< 5155 8216 x x ++=?= , 于是,得 5155 ()8216 x x F x ++=?= 当1x ≥-时,()1F x =。 故所求分布函数为 0, 1 55(), 11161, 1 x x F x x x <-??+? =-≤≤??≥?? 评述 分由函数可以完整地描述任何类型随机变量的取值规律,这里的随机变量包括离散 型、连续型和混合型在类。 2、一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿号灯的路口,每个路口的信号灯为红或绿与其他路口的信号灯为红或绿相互独立,且红、绿两 种信号显示的时间相等。以X 表示该汽车遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布。 解 设i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”(i =1,2,3)。依题意,1A ,2A ,3A 相互独立。X 的可能取值是0,1,2,3。于是,得X 的概率分布为 11 (0)(),2 P X P A ===

二维随机变量及其概率分布

1 第三章二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合分布函数 1.定义若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量. 对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数.2.分布函数的性质 (1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减. (2)0≤F(x,y)≤1,F(x,-∞)=0,F(-∞,y)=0,F(-∞,-∞)=0,F(∞,∞)=1.(3)F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(4)对于任意实数x 1

随机变量的概率分布

随机变量的概率分布 一、填空题 1.某射手射击所得环数X 的概率分布为 解析 P (X >7)=P (X =8)+P (X =9)+P (X =10)=0.28+0.29+0.22=0.79. 答案 0.79 2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)等于________. 解析 由已知得X 的所有可能取值为0,1, 且P (X =1)=2P (X =0),由P (X =1)+P (X =0)=1, 得P (X =0)=1 3. 答案 1 3 3.(优质试题·常州期末)设X 是一个离散型随机变量,其概率分布为: 则q 的值为________解析 由概率分布的性质知??? ?? 2-3q ≥0, q 2 ≥0, 13+2-3q +q 2 =1, 解得q =32-33 6. 答案 32-33 6 4.设离散型随机变量X 的概率分布为

解析由概率分布的性质,知 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 由Y=2,即|X-2|=2,得X=4或X=0, ∴P(Y=2)=P(X=4或X=0) =P(X=4)+P(X=0) =0.3+0.2=0.5. 答案0.5 5.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则“放回5个红球”事件可以表示为________. 解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故ξ=6. 答案ξ=6 6.(优质试题·南通调研)从装有3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是________. 解析如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,则这是一个超几何分布 问题,故所求概率为P=C23C14 C37= 12 35. 答案12 35 7.已知随机变量X只能取三个值x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则公差d 的取值范围是________. 解析设X取x1,x2,x3时的概率分辊为a-b,a,a+d,则(a-d)+a+(a

概率统计作业8——二维随机变量(1)

班级班级::________________ 学号学号::________________ 姓名:________________ 概率统计概率统计作业作业8————二二维随机变量维随机变量((1) 提要:①二维随机变量的分布函数:(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤; ②二维离散型随机变量联合分布律:(,),i j ij P X x Y y p ==?,11,0ij ij i j p p ∞==≥∑; ③二维离散型随机变量的分布函数:,(,)(,)(,)i j i j x x y y F x y P X x Y y P X x Y y ≤≤=≤≤===∑ ; ④边缘分布函数:()()(,)(,)X F x P X x P X x Y F x =≤=≤≤+∞=+∞, ()()(,)(,)Y F y P Y y P Y y X F y =≤=≤≤+∞=+∞; ⑤二维离散型随机变量边缘分布律:.1()(,),i i ij i j P X x P X x Y p p ∞====<+∞= ∑? .1()(,)j j ij j i P Y y P Y y X p p ∞ ====<+∞=∑?; ⑥二维随机变量的独立性:,X Y 相互独立??(,)()()X Y F x y F x F y =; ★二维离散型随机变量,X Y 相互独立??(,)()(),,1,2,i j i j P X x Y y P X x P Y y i j ======?. 1. 设袋中有5个白球,3个红球. 第一次从袋中任取一个球,不放回;第二次从袋中任取两个球. 记X 为第一次取到红球的个数,Y 为第二次取到红球的个数. (1) 求(,)X Y 的联合分布律; (2)求,X Y 的边缘分布律; (3) ,X Y 相互独立吗?为什么? (4) 求()P X Y =,(0)P XY ≠. 2. 设某人独立地投篮两次,每次命中率为0.6,用X 表示他命中的次数;又设 (0)0.3,P Y ==(1)0.7P Y ==,,X Y 相互独立. (1)写出X 的分布律; (2)求(,)X Y 的联合分布律; (3)求()P X Y <. 3.设(,)X Y 的联合分布律为: \X Y 0 2 0 0.3 0.2 2 0.4 0.1 (1)在上表中填出,X Y 的边缘分布律; (2) 求(0,2)P X X Y =+=; (3)求(0)P XY =.

自考概率论与数理统计多维随机变量及其概率分布

第三章多维随机变量及其概率分布 内容介绍 本章讨论多维随机变量的问题,重点讨论二维随机变量及其概率分布。 考点分析 内容讲解 §3.1多维随机变量的概念 1. 维随机变量的概念: 个随机变量,,…,构成的整体=(,,…,)称为一个维随机变量, 称为的第个分量(). 2.二维随机变量分布函数的概念: 设(,)为一个二维随机变量,记 ,,, 称二元函数为二维随机变量(,)的联合分布函数,或称为(,)的分布函数. 记函数= =, 则称函数和为二维随机变量(,)的两个分量和的边缘分布函数. 3. 二维随机变量分布函数的性质: (1)是变量(或)的不减函数;

(2)01,对任意给定的,;对任意给定的,; ,; (3)关于和关于均右连续,即. (4)对任意给定的,有 . 例题1. P62 【例3-1】判断二元函数是不是某二维随机变量的分布函数。【答疑编号12030101】

解:我们取, = 1-1-1+0=-1<0,不满足第4条性质,所以不是。 4.二维离散型随机变量 (1)定义:若二维随机变量(X,Y)只取有限多对或可列无穷多对(),(=1,2,…),则称(X,Y)为二维离散型随机变量. (2)分布律: ① 设二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为(),(=1,2,…),(X,Y)的各个可能取值的概率为 ,(=1,2,…), 称,(=1,2,…)为(X,Y)的分布律. (X,Y)的分布律还可以写成如下列表形式

②(X,Y)分布律的性质 [1] ,(=1,2,…); [2] 例题2. P62 【例3-2】设(X,Y)的分布律为 求a的值。 【答疑编号12030102】 解:

相关文档
最新文档