完全平方公式

完全平方公式
完全平方公式

15.3.2完全平方公式(1)

单位:编写人:审核组长:

温馨寄语:做学习的勇者,勇于探索。

使用说明:阅读课本P153——P154相关内容,通过独立思考和小组合作,会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的计算。教学目标

1、熟记完全平方公式,说出公式的结构特征.

2、会用完全平方公式推出三项式的完全平方的结果.

3、会在多项式、单项式的混合运算中,正确运用完全平方公式计算.此外,在推导三项式的完全平方公式的过程中,感悟换元变换的思想方法。提高灵活应用公式的能力.

重点:完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释,灵活应用.难点:理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算..一问题导入:

看课本P153问题:

二合作探究: 计算下列各式,你能发现什么规律?

1 .(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______;

(2)(m+2)2=_______;

(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=________;

(4)(m-2)2=________;

(5)(a+b)2=________;

(6)(a-b)2=________.

2.总结:1.完全平方公式的推理过程。两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.

2.完全平方公式为(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2

3.你能根据图(1)和图(2)中的面积说明完全平方公式吗?

三基础练习:应用完全平方公式计算:

)2

(1)(4m+n)2(2)(y-1

2

(5)1022(6)992

四拓展练习:

1. (1)(-a-b)2(2)(b-a)2

(3) 962;(4) 2032

2.已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值

(1)(a+b)2(2)a2+b2

3. 92-30x+k可化为完全平方式(3x+a) 2,则k=a=。

五课堂小结:

这节课你的收获是什么?

六课堂检测:

(1) (-2a+5b)2

(2) (4a-7b)2

)2

(3)(-2c+1

2

(4) 1562

15.3.2 完全平方公式(2)

单位:广武一中编写人:任飞审核组长:

温馨寄语:抬头做人,埋头学习.

使用说明:阅读课本P155——P156相关内容,通过独立思考和小组合作,理解添括号原则,会在多项式、单项式的混合运算中,正确运用完全平方公式进行计算。

学习目标:

1.熟记完全平方公式,并能说出公式的结构特征,进一步发展学生的符号感。

2.能够运用完全平方公式解决简单的实际问题,并在活动当中培养学生数学建模的意识及应用数学解决实际问题的能力。

3.理解添括号法则,进一步熟悉乘法公式的合理利用

4.会在多项式、单项式的混合运算中,正确运用完全平方公式进行计算,感悟换元变换的思想方法,提高灵活应用乘法公式的能力。

重点:运用完全平方公式、平方差公式、多项式乘法等进行运算.难点:几个公式的综合运用.在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的.

学习方法:

合作探究,展示交流。

知识链接:

复习已学过的完全平方公式。

1.完全平方公式:(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a-b)2 = a2 - 2ab + b2

2.公式口诀:首平方,尾平方,两倍乘积放中央,加减看前方,同加异减。

3. 想一想:

(1)两个公式中的字母都能表示什么?

(2)根据两数和或差的完全平方公式,能够计算多个数的和或差的平方吗? 完全平方公式在计算化简中有些什么作用?

知识要点

1.完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.即:两数的和(或差)的平方,?等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的两倍,这两个公式叫做完全平方公式.

2.添括号法则:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符合;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.

典型例题

例.计算:①(2a+3b)2(2a-3b)2;

②2(x+y)(x-y)-(x+y)2-(x-y)2;

③(a-b+c)(a+?b-c)

分析:直接用多项式的乘法比较复杂,可抓住式子的特征确定简单的方法.?第①题先逆用积的乘方,再利用平方差公式和完全平方公式计算;第②题可将x+y看着a,?把x-y看着b,再逆用完全平方公式计算.第③题可以先利用添括号法则将式子变为能用平方差公式计算的结构形式,再运用完全平方公式计算

解:①(2a+3b)2(2a-3b)2

=[(2a+3b)(2a-3b)]2

=(4a2-9b2)2

=16a4-72a2b2+81b4

②2(x+y)(x-y)-(x+y)2-(x-y)2

=-[(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2]

=-[(x+y)-(x-y)]2

=-(2y)2=-4y2

③(a-b+c)(a+b-c)

=[a-(b-c)][a+(b-c)]

=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc

二综合练习:

一、选择题:

1.计算(a+b)(-a-b)的结果是()

A.a2-b2B.-a2-b2C.a2-2ab+b2D.-a2-2ab-b2 2.设(3m+2n)2=(3m-2n)2+P,则P的值是()

A.12mn B.24mn C.6mn D.48mn 3.若x2-kxy+9y2是一个完全平方式,则k值为()A.3 B.6 C.±6 D.±81

4.已知a2+b2=25,且ab=12,则a+b的值是()

A

B C.7 D.±7

二、填空题:

5.计算:(-x-y)2=__________;(-2a+5b)2=_________.

6.a+b-c=a+(_______);a-b+c-d=(a-d)-(_______).

7.x2+y2=(x+y)2-__________=(x-y)2+________.

8.多项式4x2+1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方,?请你写出符合条件的这个单项式是___________.

三、解答题

9.计算

①(-xy+5)2②(x+3)(x-3)(x2-9)

③(a+2b-c)(a-2b-c)④(a+b+c)2

10.计算:

①(a+b)2(a2-2ab+b2)②(x+5)2-(x-2)(x-3)③10022

11.已知:a+b=10,ab=20,求下列式子的值:①a2+b2②(a-b)2

四、探究题

12.若a2+b2+4a-6b+13=0,试求a b的值.

13.观察1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52……

(1)根据以上规律,猜测1+3+5+7+…+(2n-1)=__________.(2)用文字语言叙述你所发现的规律:___________.

初二数学利用公式法(完全平方公式)因式分解课堂

设计思路: 教师是学习活动的引导者和组织者,学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用,尊重学生的个体差异,选择适合自己的学习方式,鼓励学生自主探索与合作交流,让学生经历数学知识的形成与应用过程,鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证,指导学生注重数学知识之间的联系,不断提高解决问题的能力。 教学过程: 师生问好,组织上课。 师:我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容? 生1:(答略) 师:你能用符号语言来表示这个公式吗? 生1:(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 师:不错,请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式? 生齐答:两个。 师:接下来有两道填空题,我们该怎么进行填空? a2++1=(a+1)24a2-4ab+=(2a-b)2 生2:(答略) 师:你能否告诉大家,你是根据什么来进行填空的吗? 生2:根据完全平方公式,将等号右边的展开。 师:很好。(将四个式子分别标上○1○2○3○4) 问题:○1、○2两个式子由左往右是什么变形? ○3、○4两个式子由左往右是什么变形? 生3:(答略) 师:刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式,那么将这两个公式反过来就有:

a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2(板书) 问题:这两个式子由左到右的变形又是什么呢? 生齐答:因式分解。 师:可以看出,我们已将左边多项式写成完全平方的形式,即将左边的多项式分解因式了。 这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式,也是我们今天来共同学习的知识(板书课题) 师:既然这两个是公式,那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢?请同学们仔细观察思考一下,同座的或前后的同学可以讨论一下。 (经过讨论之后) 生4:左边是三项,右边是完全平方的形式。 生5:左边有两项能够写成平方和的形式。 师:说得很好,其他同学有没有补充的? 生6:还有一项是两个数的乘积的2倍。 师:这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的? 生6:不是,而是刚才两项的底数。 师:刚才三位同学都回答得不错,每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。 生7:左边的多项式要有三项,有两项是平方和的形式,还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。 教师在学生回答的基础上总结: 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍,但这一项可以是正,也可以是负 4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。

完全平方公式 典型应用

完全平方公式的典型应用 题型一、完全平方公式的应用 例1、计算(1)(- 21ab 2-3 2c )2; (2)(x -3y -2)(x +3y -2); 练习1、(1)(x -2y )(x 2-4y 2)(x +2y ); (2)、(a -2b +3c -1)(a +2b -3c -1); 题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式,则k = 2、.若x 2-7xy +M 是一个完全平方式,那么M 是 3、如果4a 2-N ·ab +81b 2是一个完全平方式,则N = 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式,那么k = 题型三、公式的逆用 1.(2x -______)2=____-4xy +y 2. 2.(3m 2+_______)2=_______+12m 2n +________. 3.x 2-xy +________=(x -______)2. 4.49a 2-________+81b 2=(________+9b )2. 5.代数式xy -x 2- 41y 2等于-( )2 题型四、配方思想 1、若a 2+b 2-2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____. 2、已知0136422=+-++y x y x ,求y x =_______. 3、已知222450x y x y +--+=,求 21(1)2x xy --=_______. 4、已知x 、y 满足x 2十y 2十45=2x 十y ,求代数式y x xy +=_______. 5.已知014642222=+-+-++z y x z y x ,则z y x ++= . 6、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++,请说明该三角

平方差完全平方公式(培优)

平方差完全平方公式 ?选择题(共1小题) 二.填空题(共3小题) 2. (2011?湛江)多项式 2x 2- 3X +5是 _____________________ 次 3. (2010?毕节地区)写出含有字母 x , y 的四次单项式 ____________________ .(答案不唯一,只要写出一个) 4. ( 2004?南平)把多项式 2x 2- 3X +X 3按x 的降幕排列是 _ _ 5. (1999?内江)配方:X 2+4X + =(X + ) 2 配方:x 2-x+ =(x-1) 2 2 三.解答题(共小题) 5.计算: (1) (x - y ) (x+y ) (x 2+y 2) (2) (a - 2b+c ) ( a+2b - c ) 6 .计算:1232 - 124 X 122 . 7 .计算: 2004 2tfi)4 2- 2005X2003 8. (x - 2y+z ) (- x+2y+z ). 9 .运用乘法公式计算. (1) (x+y ) 2-(x -y ) 2; (2) (x+y - 2) (x - y+2); (3) X ; (4) . 10 .化简:(m+n - 2) ( m+n+2). 11 . (x - 2y - m ) (x - 2y+m ) 12 .计算 (1) (a - b+c - d ) (c- a - d - b ); (2) (x+2y ) (x - 2y ) (x 4- 8x 2/+16y 4). 13 .计算:20082- 20072+20062- 20052+…+22- 12. 14 .利用乘法公式计算: ◎ ( a - 3b+2c ) (a+3b - 2c ) ② 472 - 94 X 27+272. 1. (1999?烟台) F 列代数式I ,比逹,普 ,其中整式有( A . 1个 B . 2个 C. 3个 D. 4个 项式.

完全平方公式练习题一

完全平方公式为: 注:1.完全平方公式和平方差公式不同: 形式不同. 结果不同:完全平方公式的结果是三项,即 (a ?b )2=a 2 ?2ab+b 2 ; 平方差公式的结果是两项, 即(a+b )(a?b )=a 2?b 2. 2. 解题过程中要准确确定a 和b ,对照公式原形的两边, 做到不丢项、 不弄错符号、2ab 时不少乘2。 3. 口诀:首平方,尾平方,两倍乘积放中央,加减看前方,同加异减。 例1 用完全平方公式计算: (1)(2x ?3)2 ; (2) (4x +5y )2 ; (3) (mn ?a )2 练习: 1、计算:2 )221 (y x - (n +1)2-n 2 (2x 2-3y 2)2 2、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 (1)()()x y y x +-+ (2)()()a b b a -- (3)()()ab x x ab +--33 (4)()()n m n m +-- 例2.计算: (1)(-1-2x )2 (2)()()n m n m +--22 (3))432)(432(-++-y x y x (4)22)32 1()321(b a b a +-

练习: (1)()2c b a -+ (2) (-2x +1) 2 (3))4)(2)(2(22y x y x y x --+ (4)??? ??+-??? ??-b a b a 32132 1 拓展:1.已知31=+ x x ,则=+221x x ________________ 2. 已知131-=x y ,那么2323122-+-y xy x 的值是________________ 3、已知2216)1(2y xy m x +-+是完全平方公式,则m = 4、若22()12,()16,x y x y xy -=+=则=

完全平方公式与平方差公式培优训练

变形公式???????-+=-+-=++-=+-+=+ab b a b a ab b a b a ab b a b a ab b a b a 4)()(4)()(2)(2)(2222222222常考公式???????+-=+-+=+ 2)1(12)1(1222222x x x x x x x x 知识点一、多项式乘多项式法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加。由多项式乘多项式法则可以得到: bd bc ad ac d c b d c a d c b a +++=+++=++)()())(( 知识点二、平方差公式:22))((b a b a b a -=-+ 两数和与这两数差的积,等于它们的平方之差。 1、即:=-+))((b a b a 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方 2、平方差公式可以逆用,即:))((2 2b a b a b a +-=-。 3、能否运用平方差公式的判定 ①有两数和与两数差的积 即:(a+b )(a-b)或(a+b )(b-a) ②有两数和的相反数与两数差的积 即:(-a-b )(a-b)或(a+b )(b-a) ③有两数的平方差 即:a 2-b 2 或-b 2+a 2 知识点三、完全平方公式:(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。 知识点四、变形公式 例题讲解 1、计算 10199? 2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----L 298 (22)(22)a b c a b c +++-

数学教案的运用完全平方公式法

数学教案的运用完全平方公式法 1。使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式,初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法; 2。理解完全平方式的意义和特点,培养学生的判断能力。 3.进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力. 4.通过运用公式法分解因式的教学,使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。 1。问:什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答:把一个多项式化成几个整式乘积形式,叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。 2。把下列各式分解因式: (1)ax4-ax2 (2)16m4-n4。 解 (1) ax4-ax2=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1) (2) 16m4-n4=(4m2)2-(n2)2 =(4m2+n2)(4m2-n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m-n)。 问:我们学过的乘法公式除了平方差公式之外,还有哪些公式?

答:有完全平方公式。 请写出完全平方公式。 完全平方公式是: (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2。 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样,把完全平方公式反过来,就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2。 这就是说,两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或者差)的平方。式子 a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式,上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子,可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。 问:具备什么特征的多项是完全平方式? 答:一个多项式如果是由三部分组成,其中的两部分是两个式子(或数)的平方,并且这两部分的符号都是正号,第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍,符号可正可负,像这样的式子就是完全平方式。 问:下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9; (2)x2+xy+y2; (3)25x4-10x2+1; (4)16a2+1。

平方差完全平方公式(培优)

平方差完全平方公式 一.选择题(共1小题) 1.(1999?烟台)下列代数式,x 2+x ﹣,,,其中整式有( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 二.填空题(共3小题) 2.(2011?湛江)多项式2x 2﹣3x+5是 _________ 次 _________ 项式. 3.(2010?毕节地区)写出含有字母x ,y 的四次单项式 _________ .(答案不唯一,只要写出一个) 4.(2004?南平)把多项式2x 2﹣3x+x 3按x 的降幂排列是 _________ . 5.(1999?内江)配方:x 2+4x+___=(x+___)2 配方:x 2-x+ ___=(x- 2 1)2 三.解答题(共26小题) 5.计算: (1)(x ﹣y )(x+y )(x 2+y 2) (2)(a ﹣2b+c )(a+2b ﹣c ) 6.计算:1232﹣124×122. 7.计算:. 8.(x ﹣2y+z )(﹣x+2y+z ). 9.运用乘法公式计算. (1)(x+y )2﹣(x ﹣y )2; (2)(x+y ﹣2)(x ﹣y+2); (3)×; (4). 10.化简:(m+n ﹣2)(m+n+2). 11.(x ﹣2y ﹣m )(x ﹣2y+m ) 12.计算 (1)(a ﹣b+c ﹣d )(c ﹣a ﹣d ﹣b ); (2)(x+2y )(x ﹣2y )(x 4﹣8x 2y 2+16y 4). 13.计算:20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12. 14.利用乘法公式计算: ①(a ﹣3b+2c )(a+3b ﹣2c )

运用公式法

运用公式法 教学设计示例――完全平方公式(1) 教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式,初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法;2.理解完全平方式的意义和特点,培养学生的判断能力.3.进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力.4.通过分解因式的教学,使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。教学重点和难点重点:运用完全平方式分解因式. 难点:灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问:什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答:把一个多项式化成几个整式乘积形式,叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式:(1)ax4-ax2 (2)16m4-n4. 解(1) ax4-ax2=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1)(2) 16m4-n4=(4m2)2-(n2)2=(4m2+n2)(4m2-n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m-n).问:我们学过的乘法公式除了平方差公式之外,还有哪些公式? 答:有完全平方公式.请写出完全平方公式. 完全平方公式是:(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2. 这节1 ————来源网络整理,仅供供参考

课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样,把完全平方公式反过来,就得到a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2. 这就是说,两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式,上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子,可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问:具备什么特征的多项是完全平方式? 答:一个多项式如果是由三部分组成,其中的两部分是两个式子(或数)的平方,并且这两部分的符号都是正号,第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍,符号可正可负,像这样的式子就是完全平方式. 问:下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9;(2)x2+xy+y2;(3)25x4-10x2+1;(4)16a2+1. 答:(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方,6x=2·x·3,所以x2+6x+9=(x+3) . (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x =(5x ) ,1=1 ,10x =2·5x ·1,所以25x -10x +1=(5x-1) . (4)不是完全平方式.因为缺第三部分. 请同学们用箭头表示完全平方公式中的a,b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项,其中a=?b=?2ab=? 答:完全平方公式为:其中a=3x,b=y,2ab=2·(3x)·y. ————来源网络整理,仅供供参考 2

(完整版)完全平方公式培优训练题(含答案)

平方差公式培优训练 ◆基础训练 平方差公式:(a+b)(a-b)=________________________________, 1.下列计算中,错误的有() ①(3a+4)(3a-4)=9a2-4;②(2a2-b)(2a2+b)=4a2-b2; ③(3-x)(x+3)=x2-9;④(-x+y)·(x+y)=-(x-y)(x+y)=-x2-y2. A.1个B.2个C.3个D.4个 2.若x2-y2=30,且x-y=-5,则x+y的值是()3.(a+b-1)(a-b+1)=(_____)2-(_____)2.A.5 B.6 C.-6 D.-5 4.计算:(a+2)(a2+4)(a4+16)(a-2). 5(1)(2+1)(22+1)(24+1(28+1) (2)(3+1)(32+1)(34+1)…(32008+1)- 4016 3 2 . 6.(一题多变题)利用平方差公式计算:2009×2007-20082., 22007 200720082006 -? , 2 2007 200820061 ?+ . 完全平方公式培优训练 ◆基础训练 1.完全平方公式:(a+b)2=______,(a-b)2=______.即两数的_____的平方等于它们的_____,加上(或减去)________. 2.计算: (1)(2a+1)2=(_____)2+2·____·_____+(____)2=________;

(2)(2x-3y)2=(_____)2-2·____·_____+(_____)2=_______.3.(____)2=a2+12ab+36b2;(______)2=4a2-12ab+9b2. 4.(3x+A)2=9x2-12x+B,则A=_____,B=______. 5.m2-8m+_____=(m-_____)2. 6.下列计算正确的是() A.(a-b)2=a2-b2B.(a+2b)2=a2+2ab+4b2 C.(a2-1)2=a4-2a2+1 D.(-a+b)2=a2+2ab+b2 7.运算结果为1-2ab2+a2b4的是() A.(-1+ab2)2B.(1+ab2)2C.(-1+a2b2)2D.(-1-ab2)2 8.计算(x+2y)2-(3x-2y)2的结果为() A.-8x2+16xy B.-4x2+16xy C.-4x2-16xy D.8x2-16xy 9.计算(a+1)(-a-1)的结果是() A.-a2-2a-1 B.-a2-1 C.a2-1 D.-a2+2a-1 10.运用完全平方公式计算: (1)(-1+3a)2 (2)(1 3 a+ 1 5 b)2 (3)(-a-b)2(4)(-a+1 2 )2 (5)(xy+4)2(6)(a+1)2-a2(7)1012(8)1982 11.计算: (1)(a+2b)(a-2b)-(a+b)2(2)17.计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2

完全平方公式(完整知识点)

完全平方公式 完全平方公式即(a±b)2=a2±2ab+b2 该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础,是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。 必须注意的: ①漏下了一次项 ②混淆公式(与平方差公式) ③运算结果中符号错误 ④变式应用难于掌握。 学会用文字概述公式的含义: 两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。叫做完全平方公式.为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式。

这两个公式的结构特征: 1、左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方 和,加上或减去这两项乘积的2倍; 2、左边两项符号相同时,右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时,右 边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注:这里说项时未包括其符号在内). 完全平方公式口诀 前平方,后平方,二倍乘积在中央。 同号加、异号减,符号添在异号前。(可以背下来) 即 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2(注意:后面一定是加号) 公式变形(习题) 变形的方法 (一)、变符号: 例1:运用完全平方公式计算: (1)(-4x+3y)2(2)(-a-b)2 分析:本例改变了公式中a、b的符号,以第二小题为例,处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a,将(-b)看成原来公式中的b,即可直接套用公式计算。 解答: (1)原式=16x2-24xy+9y2 (2)原式=a2+2ab+b2 (二)、变项数:

因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)

因式分解基础习题 (公式法) 专题训练一:利用平方差公式分解因式 题型(一):把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二):把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三):把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -

4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四):利用因式分解解答下列各题 1.证明:两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二:利用完全平方公式分解因式 题型(一):把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+

初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例

完全平方公式的五种常见应用举例 完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时,必须掌握一些使用技巧,才能灵活应用公式,其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”,以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明. 一、正用 根据算式的结构特征,由左向右套用. 例1 计算22 (23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方,可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体,使其转化为一个二项式的平方,然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22 [(2)3]m m =--222(2)6(2)9 m m m m =---+4322446129 m m m m m =-+-++43242129 m m m m =--++ 思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用 将公式逆向使用,即由右向左套用. 例2 己知,,,则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( ) 222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 分析观察本题已知条件,直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现,该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端,于是逆用完全平方公式,就可以得到,而,,的值可求,故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019 b x =+20172020 c x =+∴,,1a b -=-1b c -=-2 c a -=∴222 a b c ab bc ac ++---2221(222222)2 a b c ab bc ac = ++---2222221(222)2 a a b b b b c c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2 a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+

七年级完全平方公式培优

32 5 2 乘法公式 1.乘法公式: 平方差公式(a+b )(a -b )=a 2+b 2, 完全平方公式:(a±b )2=a 2±2ab+b 2 2.运用平方差公式应注意的问题: (1)公式中的 a 和 b 可以表示单项式,也可以是多项式; (2)有些多项式相乘,表面上不能用公式,但通过适当变形后可以用公式. 如 (a +b -c )(b -a+c )=[(b +a )-c )][b -(a -c )] =b 2 -(a -c ) 3.运用完全平方公式应注意的问题: (1)公式中的字母具有一般性,它可以表示单项式、多项式,只要符合公式的 结构特征,就可以用公式计算; (2)在利用此公式进行计算时,不要丢掉中间项“2ab ”或漏了乘积项中的系数 积的“ 2”倍; (3)计算时,应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件,如符合,则可以 直接用公式进行计算;如不符合,应先变形为公式的结构特点,再利用公式 进行计算,如变形后仍不具备公式的结构特点,则应运用乘法法则进行计算. 【典例评析】: 例 1、计算:(1)(-3mn-1)(1-3mn)-8m 2n 2; (2)(a+b-c)(a-b+c) 例 2、计算:(a-2) (a+2) (a 2+4)(a 4+16) 例 3、计算: (1)20 1 ×19 8 ; (2) 9 9 100 2 99 ? 101 + 1 例 4、逆用平方差公式巧算: (1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1- 1 )(1- 1 )(1- 1 )(1- 1 )(1- 1 ) 22 42 62 例 5..已知 x - y = a, z - y = 10, 则代数式 x 2 + y 2 + z 2 - xy - yz - zx 的最小值等于多 少?

《完全平方公式》

课题:§1·6 完全平方公式(第1课时) 【北师大版七年级下学期】 内容分析 1.课标要求 数学课标要求在数学课程中,应该当注重发展学生的符号意识、运算能力、推理能力和模型思想.而学生已经学习并掌握了有理数的运算,合并同类项,多项式与多项式相乘等知识,通过学习本节课的学习,能够进一步发展学生的符号意识,运算能力和归纳能力等,同时利用完全平方公式进行运算过程中,有助于学生理解运算的算理,为下一节课解决有些类型的简便运算的问题打下坚实的基础. 2.教材分析 (1)知识技能:学生在已经学习了有理数的运算,整式及其加减,幂的有关运算,整式的乘法等知识之后,自然过渡到多项式与多项式的乘法的特殊情况即两个相同的多项式相乘,本节课所学知识对今后学习因式分解,分式的计算以及解一元二次议程也奠定了坚实的基础. (2)数学能力:学生已经具备了合并同类项法则,幂的有关计算法则,多项式乘以多项式的法则等有关整式计算的能力,也从以往的学习过程中累积了一定的归纳与推理能力.本节课是继“平方差公式”之后学习的另一个公式.对于这个公式的学习,本质上还是归纳与推理的一个过程,通过例子总结归纳出完全平方公式的含义,继而运用完全平方公式进行准确计算. (3)数学思想:本节课的学习让学生经历从特殊到一般的推理过程,掌握推理过程中的归纳思想.并让学生用几何图形理解完全平方公式中,渗透数形结合的思想,体会模型的作用.3.学情分析 学习本节课知识应该具备的知识和能力有:有关有理数的运算,整式的加减,整式的乘法等计算能力.而学生对于本节课要学习的知识已经具备的有:学生已经具备了多项式乘以多项式的能力,能够整理出公式的右边形式,主要是让学生在学习学习过程中归纳出从特殊到一般的规律,从而总结出完全平方公式,并能正确的使用公式. 教学目标 1.知识技能:经历探索完全平方公式的过程,并能运用公式进行简单的计算.

12.5.3因式分解完全平方公式法

12.5.3因式分解 (完全平方公式法) 教学目标: 1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解. 2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力. 重点: 掌握公式法进行因式分解. 难点: 找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 学习过程: 一、课前导入: 1、分解因式学了哪些方法? ⑴提取公因式法:ma +mb +mc =m (a +b +c ) ⑵运用公式法: ①a 2-b 2=(a +b )(a -b ) 练习 把下列各式分解因式 ① ② x 4-16 2.除了平方差公式外,还学过了哪些公式? 完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么? 仔细观察,试着发现以上式子所具有的特征: 从每一项看:都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数 (或整式)的乘积的2倍. 从符号看:平方项符号相同(即:两平方项的符号同号,首尾2倍中间项) 二、讨论探究: 填一填 四、巩固提高 练习填空: (1)a 2+ +b 2=(a +b )2 (2)a 2-2ab + =(a -b ) 2 (3)m 2+2m + =( ) 2 (4)n 2-2n + =( ) 2 (5)x 2-x +0.25=( ) 2 (6)4x 2+4xy +( ) 2=( ) 2 例题(先观察再因式分解) ① x 2+14x +49 ② ③ 3ax 2+6axy +3ay 2 ④ -x 2-4y 2+4xy ⑤ ⑥ 16x 4-8x 2+1 判断因式分解正误,并写出正确过程 (1) -x 2-2xy -y 2= -(x -y )2 (2)a 2+2ab -b 2 2 4ax ax -9)(6)(2 ++-+n m n m 229124b ab a ++2)(b a -=

完全平方公式培优训练题

完全平方公式天才教育 ◆填空 1.完全平方公式:(a+b)2=______,(a-b)2=______.即两数的_____的平方等于它们的_____,加上(或减去)________. 2.计算: (1)(2a+1)2=(_____)2+2·____·_____+(____)2=________; (2)(2x-3y)2=(_____)2-2·____·_____+(_____)2=_______. 3.(____)2=a2+12ab+36b2;(______)2=4a2-12ab+9b2. 4.(3x+A)2=9x2-12x+B,则A=_____,B=______. 5.m2-8m+_____=(m-_____)2. 6.下列计算正确的是() A.(a-b)2=a2-b2B.(a+2b)2=a2+2ab+4b2 C.(a2-1)2=a4-2a2+1 D.(-a+b)2=a2+2ab+b2 7.运算结果为1-2ab2+a2b4的是() A.(-1+ab2)2B.(1+ab2)2C.(-1+a2b2)2D.(-1-ab2)2 8.计算(x+2y)2-(3x-2y)2的结果为() A.-8x2+16xy B.-4x2+16xy C.-4x2-16xy D.8x2-16xy 9.计算(a+1)(-a-1)的结果是() A.-a2-2a-1 B.-a2-1 C.a2-1 D.-a2+2a-1 10.运用完全平方公式计算: (1)(a+3)2(2)(5x-2)2(3)(-1+3a)2 (4)(1 3 a+ 1 5 b)2(5)(-a-b)2(6)(-a+ 1 2 )2 (7)(xy+4)2(8)(a+1)2-a2(9)(-2m2-1 2 n2)2 - 1 -

完全平方公式(一)

1.6完全平方公式(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.完全平方公式的推导及其应用. 2.完全平方公式的几何背景. (二)能力训练要求 1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展符号感和推理能力. 2.重视学生对算理的理解,有意识地培养他们有条理的思考和表达能力. (三)情感与价值观要求 1.了解数学的历史,激发学习数学兴趣. 2.鼓励学生自己探索算法的多样化,有意识地培养学生的创新能力. ●教学重点 1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释. 2.完全平方公式的应用. ●教学难点 1.完全平方公式的推导及其几何解释. 2.完全平方公式结构特点及其应用. ●教学方法 自主探索法 学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理,揭示其结构特点,然后达到合理、熟练地应用. ●教具准备 投影片四张 第一张:试验田的改造,记作(§1.6.1 A) 第二张:想一想,记作(§1.6.1 B) 第三张:例题,记作(§1.6.1 C) 第四张:补充练习,记作(§1.6.1 D) ●教学过程 Ⅰ.创设问题情景,引入新课 [师]去年,一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示,将一块边长为a米的正方形农田改成试验田,种上了优质的杂交水稻,一年来,收益很大.今年,又一次“科技下乡”活动,使老农铁了心,要走科技兴农的路子,于是他想把原来的试验田,边长增加b米,形成四块试验田,种植不同的新品种. 同学们,谁来帮老农实现这个愿望呢? (同学们开始动手在练习本上画图,寻求解决的途径) [生]我能帮这位爷爷. [师]你能把你的结果展示给大家吗? [生]可以.如图1-25所示,这就是我改造后的试验田,可以种植四种不同的新品种.

公式法第二课时教案

14.3.2公式法教案(第2课时) 教学目标:1.理解并掌握完全平方公式法分解因式的意义,灵活用完全平方公式进行因式分解。 2.了解运用完全平方公式因式分解的一般步骤。 3.在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中,培养学生观察、归纳和逆向思维的能力,通过综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式,进一步培养学生的观察和联想能力。 教学重点:运用完全平方公式法分解因式。 教学难点:完全平方式的特点、识别及运用完全平方公式法分解因式。 教学方法:采用“情境——探究”教学方法,让学生掌握完全平方公式法因式分解。 教学过程: 一、创设情境导入新课 上节课我们利用整式的乘法与因式分解互逆的关系得到了因式分解的平方差公式, 即 x2–y 2 =(x+y)(x-y)。 利用平方差公式分解因式要注意多项式是否符合平方差公式的特点(即:多项式一定是两项,并且是 两个数的平方的差的形式)。 1、【做一做】把下列各式分解因式: (1)x2-9 (2)x3-x (3)9a-ab2(4)(a+b)3-4(a+b) 请同学们独立完成上面两题,完成后互相校对你们的结果。在上面的因式分解中,你都用了哪些 因式分解的方法?并且你认为还要注意什么? 从上面的第(4)题我们知道公式中的a,b可以是单项式也可以是多项式。 2、请大家思考:你会分解多项式a2+2a+1吗?这就是我们这节课所要研究的内容 二、探索新知: 你能否类似上面的平方差公式写出因式分解中的完全平方公式呢? a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2. 一般地形如a2+2ab+b2和a2-2ab+b2的式子称为完全平方公式因式分解,完全平方式具备什么特点呢? 学生小组内合作交流:(代表发言) (1)这个多项式都有三项;(2)三项中都有两数的平方和,加或减这两个数的乘积的2倍。 多项式x2–4xy+4y2是完全平方式吗? x2 - 2 x (2y) + (2y)2 a2 - 2 a b + b2 是一个完全平方式。 1、【做一做】1.下列哪些式子是完全平方式? (1)x 2 +4xy–4y 2(2)4m2–6mn+9n 2(3)m2 +6mn+9n 2 2、在下面的空线上填上一项,使之构成一个完全平方式。 (1)4x 2–_____+9y 2 (2) x 2 +_____+4 3、(1)例5、利用完全平方公式分解因式: (1)16x2 +24x+9 (2)- x2 +4xy -4y2 分析:在(1)中,16x2=(4x)2 9=32 24x=2·4x·3所以16x2 +24x+9是一个完全平方公式,即:

完全平方公式 典型培优练习题

完全平方公式 典型提高练习题 一、点击公式 1、()2a b ±= ,()2 a b --= ,()()a b b a --= . 2、()222a b a b +=++ =()2a b -+ .3、()()22a b a b +--= . 二、公式运用 1、计算化简 (1) ()()()2222x y x y x y ??+-+-?? (2)2)())((y x y x y x ++--- (3)2)21(1x --- (4)()()z y x z y x 3232+--+ (5)()()2121a b a b -+-- 2、简便计算: (1)(-69.9)2 (2)472-94×27+272 3、公式变形应用: 在公式(a ±b )2=a 2±2ab+b 2中,如果我们把a+b ,a-b ,a 2+b 2,ab 分别看做一个整体,那么 只要知道其中两项的值,就可以求出第三项的值. (1)已知a+b =2,代数式a 2-b 2+2a +8b +5的值为 ,已知11 25 ,,7522x y ==代数式 (x +y )2-(x -y )2的值为 ,已知2x -y -3=0,求代数式12x 2-12xy +3y 2的值

是 ,已知x=y +4,求代数式2x 2-4x y+2y 2-25的值是 . (2)已知3=+b a ,1=ab ,则22b a += ,44a b += ;若5a b -=,4a b =,则2 2b a +的值为______;()28a b -=,()22a b +=,则ab =_______. (3)已知:x+y =-6,xy =2,求代数式(x-y )2的值. (4)已知x+y =-4,x-y =8,求代数式x 2-y 2的值. (5已知a+b =3, a 2+b 2=5,求ab 的值. (6)若()()222315x x -++=,求()()23x x -+的值. (7)已知x-y =8,xy =-15,求的值. (8)已知:a 2+b 2=2,ab =-2,求:(a-b )2的值.

完全平方公式典型例题

典型例题 例1利用完全平方公式计算: (1);(2);(3). 分析:这几个题都符合完全平方公式的特征,可以直接应用该公式进行计算. 解:(1); (2); (3). 说明:(1)必须注意观察式子的特征,必须符合完全平方公式,才能应用该公式;(2)在 进行两数和或两数差的平方时,应注意将两数分别平方,避免出现的错误. 例2计算: (1);(2);(3). 分析:(2)题可看成,也可看成;(3)题可看成,也可以看成,变形后都符合完全平方公式. 解:(1) (2)原式 或原式 (3)原式 或原式

说明:把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式,做题时要灵活运用. 例3用完全平方公式计算: (1);(2);(3). 分析:第(1)小题,直接运用完全平方公式为公式中a,为公式中b,利用差的平方计算;第(2)小题应把化为再利用和的平方计算;第(3)小题,可 把任意两项看作公式中a,如把作为公式中的a,作为公式中的b,再两次运用完全平方公式计算. 解:(1) = (2) = (3) = 说明:运用完全平方公式计算要防止出现以下错误:, . 例4运用乘法公式计算: (1);(2); (3). 分析:第(1)小题先用平方差公式计算前两个因式的积,再利用完全平方式计算.第(2)小题,根据题目特点,两式中都有完全相同的项,和互为相反数的项b,所以先利用平方 差公式计算与的积,再利用完全平方公式计算;第三小题先需要利用幂的性质把原式化为,再利用乘法公式计算.解:(1)原式= (2)原式= = (3)原式= =.

说明:计算本题时先观察题目特点,灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质,以达到简化运算的目的. 例5 计算: (1);(2);(3). 分析:(1)和(3)首先我们都可以用完全平方公式展开,然后合并同类项;第(2)题可以先根据平方差公式进行计算,然后如果还可以应用公式,我们继续应用公式. 解:(1); (2) ; (3) . 说明:当相乘的多项式是两个三项式时,在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究.

(完整版)平方差完全平方公式(培优1)52940

实用标准文案 平方差完全平方公式一.选择题(共1小题) 2+x﹣,),,其中整式有(1.(1999?烟台)下列代数式,x 3个个4个C.D.A.1个B.2 二.填空题(共3小题)2 _________ 项式.是_________ 次﹣2.(2011?湛江)多项式2x3x+5 .(答案不唯一,只要写出一个),y的四次单项式_________ 3.(2010?毕节地区)写出含有字母x 12222)内江)配方:32 _________ .按x的降幂排列是.(42004?南平)把多项式2x﹣3x+x x+4x+___=(x+___)配方:x-x+ ___=(x-19995.(?226小题)三.解答题(共5.计算:22)x+y(1)(x﹣y)(x+y)(c)(2)(a﹣2b+c)(a+2b﹣ 2 6.计算:123﹣124× 122. 7.计算:. x+2y+z)..(x﹣2y+z)(﹣8

9.运用乘法公式计算.22﹣();x﹣y(1)(x+y)y+2);﹣)(2(x+y﹣2)(x 80.2;79.8(3)×2 19.9(4). 10.化简:(.m+n+2)m+n﹣2)( x﹣2y+m)(2y11.(x﹣﹣m) .计算12 ﹣d﹣);ba)﹣1()(ab+c﹣d(c﹣4224(2)(+16y8xx(﹣y).﹣(x+2y)x2y)222222 1+2+﹣2007200813.计算:﹣+20062005…﹣. .利用乘法公式计算:14 ﹣a+3b(2c))3b+2c﹣①(a22 94﹣47②27+27×.文档. 22的值._________ x﹣y =2015.已知:x﹣y,x+y=4,求 433222 1﹣…+x+x+1)=x)(x+x+1)=x﹣1;(x﹣1)(x(16.观察下列各式:(x﹣1)x+1)=x﹣1;(x﹣13m﹣1m﹣2m﹣;;_________ (其中n为正整数))根据上面各式的规律得:(x﹣1)(x+x+x+…+x+1)= (16968234的值.…+2+2 (2)根据这一规律,计算1+2+2+2+2+ .先观察下面的解题过程,然后解答问题:1742).(题目:化简(2+1)2+1)(2+18442424224﹣1)(2+1)=2﹣1.=)(2+1)(2+1=(2﹣1)(2+1)(2+1)(2)=(解:(2+1)2+1)(2+1)(2﹣1)(2+164248 +1).3+1)(3+1)…(问题:化简(3+1)(3+1)(3 .18. 2的值为+ _________ ..19(2012?黄冈)已知实数x满足x+=3,则x

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