2019届高三数学一轮复习经典学案(文理通用)：第8章 平面解析几何 第5讲椭圆

第5讲椭圆

板块一知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1椭圆的概念

在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

(1)若a>c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a

考点2椭圆的标准方程和几何性质

[必会结论]

椭圆的常用性质

(1)设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，P 点在长轴端点处．

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 为斜边，a 2＝b 2＋c 2.

(3)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . (4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为2b 2a . (5)椭圆离心率e ＝

1－b 2a 2.

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )

(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )

(3)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )

(4)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )

(5)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√

2．[2017·浙江高考]椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23 D.59 答案 B

解析 ∵椭圆方程为x 29＋y 2

4＝1， ∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴e ＝c a ＝5

3.故选B.

3．[2018·广东模拟]已知椭圆x 225＋y 2

m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．9 答案 B

解析 由4＝25－m 2(m >0)?m ＝3，故选B.

4．[课本改编]已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1

3，则椭圆C 的方程是( )

A.x 24＋y 2

3＝1 B.x 24＋y 2

3＝1

C.x 24＋y 2

2＝1 D.x 29＋y 2

8＝1

答案 D

解析 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，所以

???

c ＝1，

c a ＝13，

c 2

＝a 2

－b 2

，

解得a 2＝9，b 2＝8.

故椭圆C 的方程为x 29＋y 2

8＝1.

5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m ＝________.

答案 14

解析 椭圆x 2＋my 2＝1可化为x 2＋y

21m

＝1，

因为其焦点在y 轴上，所以a 2＝1

m ，b 2＝1， 依题意知

1m ＝2，解得m ＝14.

6．[2018·上海联考]若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2

a －2＝1，且此椭圆

的焦距为4，则实数a ＝________.

答案 4或8

解析 ①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4；②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.

板块二 典例探究·考向突破 考向

椭圆的定义及标准方程

例1 (1)[2018·杭州模拟]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、 右焦点为F 1，F 2，离心率为3

3，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )

A.x 23＋y 2

2＝1 B.x 23＋y 2

＝1 C.x 212＋y 2

8＝1 D.x 212＋y 2

4＝1

答案 A

解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3

＝3

3，

∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y

22＝1，选A.

(2)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2

16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．

答案 4

解析 连接PF 2，则OM 为△PF 1F 2的中位线， |OM |＝3，∴|PF 2|＝6. ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4. 触类旁通

(1)在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注意到常数2a >|F 1F 2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系．

(2)待定系数法求椭圆方程，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．

【变式训练1】 (1)[2018·厦门模拟]已知椭圆x 24＋y 2

＝1，F 1，F 2

为其两焦点，P 为椭圆上任一点．则|PF 1|·|PF 2|的最大值为( )

A ．6

B ．4

C ．2

D ．8 答案 B

解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ＝4，|PF 1|·|PF 2|＝

mn ≤? ??

??m ＋n 22

＝4(当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立)．故选B. (2)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是________．

答案 x 216＋y 2

12＝1

解析 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)．

由题意知????

?

a 2＝

b 2＋

c 2，a ∶b ＝2∶

3，

c ＝2，

解得a 2＝16，b 2＝12.

所以椭圆C 的方程为x 216＋y 2

12＝1.

(3)[2017·豫北六校联考]设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16.则|AF 2|＝________.

答案 5

解析 由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3. ∵△ABF 2的周长为16，∴4a ＝16，∴a ＝4. 则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5.

考向

椭圆的几何性质

例2 (1)[2017·全国卷Ⅲ]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )

A.63

B.33

C.23

D.13 答案 A

解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a .

又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，

∴圆心到直线的距离d ＝2ab

a 2＋

b 2＝a ，解得a ＝3b ，

∴b a ＝13，∴e ＝c

a ＝a 2－

b 2a ＝

1－? ??

??b a 2 ＝

1－? ??

??132＝6

3.故选A. (2)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．

答案 35

解析 由题意知，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b ，整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，解得e ＝3

5或e ＝－1(舍去)．

触类旁通

椭圆离心率的求解方法

求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

【变式训练2】 (1)[2016·全国卷Ⅰ]直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1

4，则该椭圆的离心率为( )

A.13

B.12

C.23

D.34 答案 B

解析 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b >0，c >0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c

2＝1

4×2b ，

解得b 2

＝3c 2

，又b 2

＝a 2

－c 2

，所以c 2a 2＝14，即e 2

＝14，所以e ＝12(e ＝－

1

2舍去)，故选B.

(2)[2018·锦州模拟]设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．

答案 33

解析 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.所以e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33

.

考向

椭圆中的焦点三角形

例3 [2018·漳浦县校级月考]椭圆x 24＋y 2

＝1上的一点P 与两焦点F 1，F 2所构成的三角形称为焦点三角形．

(1)求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值； (2)设∠F 1PF 2＝θ，求证：S △F 1PF 2＝tan θ

2.

解 (1)设P (x ，y )，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，

则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2. ∵x 2∈[0,4]，∴3

4x 2－2∈[－2,1]． ∴PF 1→·PF 2→的最大值为1，最小值为－2.

(2)证明：由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理可得：

|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)，

可得4c 2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)?|PF 1|·|PF 2|＝2b

2

1＋cos θ

，

即有△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝b 2sin θ

1＋cos θ＝

b 2

tan θ2＝tan θ2.

触类旁通

椭圆的焦点三角形：椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．

以椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则

(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；

(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ；

(3)S △PF 1F 2＝1

2|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时， S △PF 1F 2取最大值，为bc ； (4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )； (5)当P 为短轴端点时，θ最大；

(6)若焦点三角形的内切圆圆心为I ，延长PI 交F 1F 2于点Q ，则|PI |

|IQ |＝|PF 1||F 1Q |＝|PF 2||F 2

Q |，所以|PI ||IQ |＝|PF 1|＋|PF 2||F 1Q |＋|F 2Q |＝2a 2c ＝1e (e 为离心率)．

【变式训练3】 (1)如图所示椭圆中，P 为椭圆上一点，F 为其一个焦点，PF 为直径的圆与长轴为直径的圆的关系为________．

答案 内切

解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，F 、F ′分别是椭圆的左、右焦点，

作出以线段PF 为直径的圆和以长轴为直径的圆x 2＋y 2＝a 2，如图所示．

设PF 中点为M ，连接PF ′，

∴OM 是△PFF ′的中位线，可得|OM |＝1

2|PF ′|，即两圆的圆心距为1

2|PF ′|