悖论

指一种特殊的逻辑矛盾，即由对某一命题的肯定可以推出该命题的否定，而由对该命题的否定又可以推出其肯定。设此命题为P，则既可以从P推出非P，又可以从非P推出P，其结果P与非P等值，即P成立当且仅当非P成立，亦即P?——P。悖论问题是一个十分古老的问题，古希腊的学者即开始了对这一问题的研究，并把它称为“说谎者”。中世纪的经院逻辑学者把对悖论问题的研究向前推进了一步，称它为“不可解命题”。悖论问题曾引发了数学史上第三次危机，动摇了人们对数学的信念，并把对数学基础的研究引向深入，形成一些新的分支学科。现代研究悖论的学者，通常把悖论区分为语义悖论和语法悖论(又称“集合论悖论”)。对于语法悖论，逻辑学家认为可以通过建立公理系统予以解决，例如，由蔡梅罗和弗兰克尔所建立的公理集合论，就有效地防止了集合论悖论。对于悖论的研究，目的在于分析产生悖论的根源，寻求克服悖论的方法、途径。这种研究推动了逻辑学、数学、语义理论的发展。此外，形式系统中的若干不可判定语句的构造，包括哥德尔关于不完全性定理的证明，也都从悖论中受到启发。下面是几个著名的悖论：撒谎者悖论这是从古希腊流传下来的最先发现的悖论。该悖论有多种不同的形式，其中有的形式的撒谎者悖论并不是真正的悖论。如，有一个克里特岛上的人说：“所有克里特岛上的人说的话都是谎话”，当断定这句话真时，可以推出这个人的话为假，但当断定这句话假时，却推不出这个人的话是真的。撒谎者的典型形式为“我在说谎”。从这句话真，可以推出这句话假，因为他已说明说的是谎话;从这句话假，又可以推出这句话真，因为说谎者承认他在说谎，那就是说了真话。撒谎者悖论也可表示为：这句话是假的。

理发师悖论。罗素提出的一个悖论。一个乡村理发师为自己制定了一条规则：他只给那些不给自己理发的人理发。根据这条规则，这个理发师给不给他自己理发呢?如果他给自己理发，那么根据上面的规则，他就不应该给自己理发，因为他只给不给自己理发的人理发。如果他不给自己理发，那么根据上面的规则，他就应该给自己理发，因为对于不给自己理发的人，他都应该为其理发。结果，这个理发师给自己理发，当且仅当他不给自己理发。

理查德悖论。该悖论为理查德提出。任一英语语句总是一个由26个字母、标点符号和字母之间的空位构成的有穷长的符号序列。令E为所有能用有限个字符定义的大于0小于1的实数的集合，并且令定义出来的数按字典顺序排列为e1，e2，…，en，…。这种排列的方法使E是可数的(可枚举的)集合。再把属于E的每一实数都表示为无穷小数，例如，若1/2属于E，把它表示为0.499…。现在定义一个实数a，小数点前为0，若第n个定义所定义的实数的小数点后第n位数字为g，则a的小数点后第n位的数字为0;若第n个定义所定义的实数的小数点后第n位的数字为i(i=0，…，8)，则a的第n位的数字为i+1。a是一个用有限个字符定义的大于0小于1的实数，然而a不属于E，因为a与E中的每一元素至少有一位数字不相同。这个悖论又称为定义可数性悖论。

格林悖论。该悖论为格林提出。这个悖论是由“自谓的”与“非自谓的”概念引起的。所谓“自谓的”是指其含义对自身也适用的词或概念。如“概念”这个词就是自谓的，因为它自身也是概念。所谓“非自谓的”是指其含义对其自身不适用的词或概念。如“柏林”这个词的含义对

其自身并不适用，因为它自身只是一个表意符号，而不是柏林这个城市。根据这种分类，“非自谓的”这个概念应属于哪一类?如果它属于“非自谓的”一类，那么这不是“自谓”了吗?如果它属于“自谓的”一类，那么它又是“非自谓的”。因此，“非自谓的”是非自谓的，当且仅当它不是非自谓的。

罗素悖论。该悖论为罗素提出。根据概括原则，每一性质定义一个集合。把“不是自身元素的集合”作为一种性质，由这一性质所定义的集合即是由不是自身元素的集合所组成的集合。把这个集合记作A，把上述性质用符号表示为：X?X，其中X代表任意一个集合。于是，集合A的定义可以表示为

X∈A，当且仅当X?X。

现在问：集合A属于不属于A?如果A属于A即A∈A，根据定义，属于A的集合都不是自身的元素的集合即X?X，所以推出A?A。反之，如果A?A既A不属于A， A不是自身的元素的集合，根据定义，A就属于A即A∈A，因为它满足X?X这一性质。这样，从A∈A推出A?A，又从A?A推出A∈A，即

A∈A，当且仅当A?A

布雷里—福尔蒂悖论。布雷里—福尔蒂所发现的悖论，又称最大序数悖论。根据康托尔集合论，所有的序数可以组成一个集合。但是“所有序数的集合”，本身就是一个悖论。因为所有序数可以用序数的自然次序排成一良序，所以，所有序数的集合是一个良序集合，这个集合本身也有一个序数。然而，一个序数集合的序数应该大于属于该集合的每个序数，因此，所有序数集合的序数大于任何序数。这也就是说，“所有序数的集合”有序数，但它又不属于任何序数。

康托尔悖论。康托尔所发现的悖论，又称最大基数悖论。把所有的集合组成一个新的集合，记作U。根据康托尔定理，一个集合M的幕集P(M)的基数大于M的基数，即有，也就有。但是另一方面，P(U)中的元素都是集合，而U是所有集合的集合，因此P(U)中的元素都是U的元素，即P(UP)U。由此，根据集合论的另一条定理，有：≤，亦即≮