八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案

初二数学 全等三角形综合复习

切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证：

ACF BDE ???。

思路：从结论A C F B D E ???入

手，全等条件只有A C B D =；由A E B F =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。还缺少一

个全等条件，可以是CF DE =，也可以是A B ∠=∠。

由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明ACE BDF ???，从而得到A B ∠=∠。

证明

AC CE ⊥，BD DF ⊥

∴90ACE BDF ∠=∠= 在Rt ACE ?与Rt BDF ?中

AE BF

AC BD =??

=?

∴Rt ACE Rt BDF ???(HL)

∴A B ∠=∠

AE BF =

∴AE EF BF EF -=-，即AF BE = 在ACF ?与BDE ?中 AF BE A B AC BD =??

∠=∠??=?

∴ACF BDE ???(SAS)

思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。 例2.

如图，在ABC ?中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。

思路：直接证明21C ∠=∠+∠比较困难，我们可以间接证明，即找到α∠，证明2α∠=∠且1C α∠=∠+∠。也可以看成将2∠“转移”到α∠。

那么α∠在哪里呢？角的对称性提示我们将AD 延长交BC 于F ，则构造了△FBD ，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB ，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C 。 证明：延长AD 交BC 于F

在ABD ?与FBD ?中 90ABD FBD BD BD

ADB FDB ?∠=∠?

=??

∠=∠=? ∴ABD FBD ???(ASA ∴2D FB ∠=∠

又

1DFB C ∠=∠+∠ ∴21C ∠=∠+∠。

思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3. 如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。

思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段

AE 为边的ABE ?绕点B 顺时针旋转90到CBF ?的位置，而线段CF 正好是CBF ?的

边，故只要证明它们全等即可。

证明：90ABC ∠=，F 为AB 延长线上一点 ∴90ABC CBF ∠=∠= 在ABE ?与CBF ?中 AB BC ABC CBF BE BF =??

∠=∠??=?

∴ABE CBF ???(SAS) ∴AE CF =。

思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。 小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助

线构造全等三角形。

例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。

思路：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

证明：连接AC

AB //CD ，AD //BC

∴12∠=∠，34∠=∠ 在ABC ?与CDA ?中 1243AC CA ∠=∠??

=??∠=∠? ∴ABC CDA ???(ASA) ∴AB CD =。

思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证：

BP 为MBN ∠的平分线。

思路：要证明“BP 为MBN ∠的平分线”，可以利用点P 到,BM BN 的距离相等来证明，故应过点P 向,BM BN 作垂线；另一方面，为了利用已知条件“,AP CP 分别是MAC ∠和NCA ∠的平分线”，也需要作出点P 到两外角两边的距离。

证明：过P 作PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F

AP 平分MAC ∠，PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E

∴PD PE =

CP 平分NCA ∠，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F ∴PE PF =

PD PE =，PE PF =

∴PD PF =

PD PF =，且PD BM ⊥于D ，PF BN ⊥于F ∴BP 为MBN ∠的平分线。

思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例6. 如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。

思路：要证明“2AC AE =”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于AC 。因此，延长AE 至F ，使EF AE =。

证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF 在ABE ?与FDE ?中

AE FE AEB FED BE DE =??

∠=∠??=?

∴ABE FDE ???(SAS)

∴B EDF ∠=∠

ADF ADB EDF ∠=∠+∠，ADC BAD B ∠=∠+∠ 又ADB BAD ∠=∠ ∴ADF ADC ∠=∠

AB DF =，AB CD = ∴DF DC =

在ADF ?与ADC ?中 AD AD ADF ADC DF DC =??

∠=∠??=? ∴ADF ADC ???(SAS) ∴AF AC =

又2AF AE =

∴2AC AE =。

思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

例7. 如图，在ABC ?中，A B A C >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。求证：AB AC PB PC ->-。

原图 法一图 法二图

思路：欲证AB AC PB PC ->-，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB AC -。而构造AB AC -可以采用“截长”和“补短”两种方法。

证明：法一：

在AB 上截取AN AC =，连接PN 在APN ?与APC ?中 12AN AC AP AP =??

∠=∠??=?

∴APN APC ???(SAS) ∴PN PC =

在BPN ?中，PB PN BN -<

∴-<-PB PC AB AC ，即AB －AC>PB －PC 。

法二：

延长AC 至M ，使AM AB =，连接PM 在ABP ?与AM P ?中 12AB AM AP AP =??

∠=∠??=?

∴ABP AM P ???(SAS)

∴PB PM =

在PCM ?中，CM PM PC >- ∴AB AC PB PC ->-。

思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。

同步练习

一、选择题：

1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等

D. 斜边相等

2. 根据下列条件，能画出唯一ABC ?的是( ) A. 3AB =，4BC =，8CA =

B. 4AB =，3BC =，30A ∠=

C. 60C ∠=，45B ∠=，4AB =

D. 90C ∠=，6AB =

3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③

C D ∠=∠；④B E ∠=∠。其中能使ABC AED ???的条件有( )

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

4. 如图，12∠=∠，C D ∠=∠，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( ) A. DAE CBE ∠=∠

B. CE DE =

C. DEA ?不全等于CBE ?

D. EAB ?是等腰三角形

5. 如图，已知AB CD =，BC AD =，23B ∠=，则D ∠等于( )

A. 67

B. 46

C. 23

D. 无法确定

二、填空题：

6. 如图，在ABC ?中，90C ∠=，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且

:2:3C D A D =，10AC cm =，则点D 到AB 的距离等于__________cm ；

7. 如图，已知AB DC =，AD BC =，,E F 是BD 上的两点，且BE DF =，若

100AEB ∠=，30ADB ∠=，则BCF ∠=____________；

8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BC BD 为折痕，则CBD ∠的大小为_________；

9. 如图，在等腰Rt ABC ?中，90C ∠=，AC BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，

DE AB ⊥于E ，若10AB =，则BDE ?的周长等于____________；

10. 如图，点,,,D E F B 在同一条直线上，AB //CD ，AE //CF ，且AE CF =，若

10BD =，2BF =，则EF =___________；

三、解答题：

11. 如图，ABC ?为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。求AQN ∠的度数。

12. 如图，90ACB ∠=，AC BC =，D 为AB 上一点，AE CD ⊥，BF CD ⊥，交CD 延长线于F 点。求证：BF CE =。

同步练习的答案

一、选择题： 1. A

2. C

3. B

4. C

5. C

二、填空题： 6. 4

7.

70

8.

90

9. 10

10. 6

三、解答题： 11. 解：

ABC ?为等边三角形

∴AB BC =，60ABC C ∠=∠= 在ABM ?与BCN ?中

AB BC ABC C BM CN =??

∠=∠??=?

∴ABM BCN ???(SAS) ∴NBC BAM ∠=∠

∴60AQN ABQ BAM ABQ NBC ∠=∠+∠=∠+∠=。 12. 证明：

AE CD ⊥，BF CD ⊥

∴90F AEC ∠=∠= ∴90ACE CAE ∠+∠= 90ACB ∠=

∴90ACE BCF ∠+∠= ∴CAE BCF ∠=∠ 在ACE ?与CBF ?中 F AEC CAE BCF AC BC ∠=∠??

∠=∠??=?

∴ACE CBF ???(AAS) ∴BF CE =。