新北师大版八年级数学上册第一章勾股定理导学案(自编)已审

第一章勾股定理导学案

第1课时探索勾股定理（1）

一、学习目标：掌握勾股定理并能利用它来解决简单的实际问题。

二、预习设计：

1、三角形按角的大小可分为：、、。

2、三角形的三边关系：

三角形的任意两边之和；任意两边之差。

3、直角三角形的两个锐角；

4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。

5、自学感知：探索直角三角形三边的特殊关系：

（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；

（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系?

（3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。猜想：

三、课堂探究：：

如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是

怎样得到的？

思考：

每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。

勾股定理：

直角三角形等于；

几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABC中， C＝ 90°，

则：；

若BC=a，AC=b，AB=c，则上面的定理可以表示为：。

图1.1-1 课堂练习：

1、求下图中字母所代表的正方形的面积

落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？

三、师生互动：

例题.在△ABC 中,AB=AC=5cm ，BC=6cm,求△ABC 的面积.

C

B A

四、训练达标： 基础巩固：

1．在△ABC 中，∠C=90°，

（1）若BC =5，AC =12，则AB = ； （2）若BC =3，AB =5，则AC = ；

（3）若BC ∶AC =3∶4，AB =10，则BC = ，AC = . （4) 若AB=8.5，AC=7.5，则BC= 。

2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 .

3．在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则BC= ,该直角三角形的面积为 。

4．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 . 5.若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为 。 能力提升：

6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方

形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2

. 7.一个直角三角形的三边长为3、4和a ，则以a 的面积是 。

8.如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是 。9．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则其

面积为 ．

10．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，求△ABC 的周长。 课堂检测

1．在△ABC 中，∠C ＝90°，（l ）若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ （2）若c

＝41，a ＝9，则b ＝

2．等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为

第4题

3．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）

A．42 B．32 C．42 ＆ 32 D．37 ＆ 33

4．一个抽斗的长为24cm，宽为7cm，在抽斗里放铁条，铁条最长能是多少？5．若正方形的面积为2cm2，则它的对角线长为2cm（）

6．已知四边形 ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝8，AD＝4，BC＝6，则以DC为边的正方形面积为

7．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，CB＝5，M、N在AB上且AM＝AC，BN＝BC则MN的长为（）

A．2 B．26 C．3 D．4

第2课时 探索勾股定理（2）

一、1.学习目标：能用拼图验证勾股定理,能利用勾股定理解决实际问题。 二、学习探究： 知识回顾：

1、勾股定理：

2、求下列直角三角形的未知边的长

3、在一个直角三角形中，两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ：

（1）如果8a =，15b =，则c = ，面积为 ； （2）如果5a =，13c =，则三角形的周长为 ，面积为 ；

活动探究：利用拼图验证勾股定理（课前准备8个全等的直角三角形）： 活动一： 用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。 2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。 3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？

活动二：你能利用类似的方法由图2125

B A

C

活动三:请利用图3验证勾股定理.

思考：用四个全等的直角三角形，通过拼图验证勾股定理，你还有那些方法？ 三、师生互动：

例1 、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000米处，则飞机的飞行速度是多少？

四、训练达标： 基础巩固：

1、如右图，AD = 3，AB = 4，BC = 12，则CD=________；

2、如图，阴影部分的面积为 ；

3、一个直角三角形的三边分别为3，4，x ，则2

x

4、若等腰三角形的腰为10cm ，底边长为16cm ，则它的面积为 ； 5.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在

图3

b

C

A

地面的固定点距离电线杆底部有 米。

6.一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为 ；

7.直角三角形一直角边为5厘米、斜边为13厘米，那么斜边上的高是 ；

8.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 ； 能力提升：

9.小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/h 的速度向正北方向的学校走去，哥哥以8km/h 的速度向正南方向走去，半小时后，他们相距 10、如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q 三城市的沿江高速的建设成本是100万元∕千米，该沿江高速的造价是多少？

12、．如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10，BC=6，E 为BC 上一点将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的。

30M

13、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？

14、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长

15、如图1-4，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米？

E

C

B

E

D

B

C

A

课堂检测

1、如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在

地面的固定点距离电线杆底部有多远？

2、在右图中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12厘米。求正方形

CDEF的面积。

F E

A C D

B

3、如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条

连接M、O、Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是100万元/千

米，该沿江高速的造价预计是多少？

M

30km

N 40km O

50km

P 120km Q

4

第3课时 探索勾股定理（3）

一、1.学习目标：欣赏几种常见的勾股定理的验证方法，加深对勾股定理的认识，体会勾股定理的的文化价值。 二、课前准备：制作“五巧板”两幅

步骤：做一个Rt △ABC ，以斜边AB 为边向内做正方形ABDE ，延长BC 交DE 于I ，作DF ⊥BI ，在AC 上截取CG=BC ，作HG ⊥AC ，这样就把正方形ABDE 分成五部分：①②③④⑤。 沿这些线剪开，就得到一

幅五巧板。 三、活动探究：

活动一：利用五巧板拼“朱青出入图”

（1）取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C 为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a 、b 的正方形。 （2）你能拼出“朱青出入图”来吗？

（3）利用五巧板，你还能通过怎样的拼图验证勾股定理？与同伴交流。 活动二：

观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2=c 2。

四、师生互动：

B

下面几个图是勾股定理的“无字证明”法，你能看懂吗？

五、训练达标： 基础巩固：

1、一直角三角形的三边分别为

2、

3、x ，那么以x 为边长的正方形的面积 为

2、等腰直角三角形三边的平方比为

3、长方形的一条对角线的长为10cm ，一边长为6cm ，它的面积是

4、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．

5、Rt ?ABC 中，?=∠90C ，AB=2，则AB 2+BC 2+CA 2

= .

6、如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________

步路（假设2步为1m ）。

7、一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．

8、等腰三角形的底边为10cm ，周长为36cm ，则它的面积是 cm 2

. 9.直角三角形两直角边的比为3：4，面积是24，求这个三角形的周长.

D'

C

B

A

能力提升：

10.某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能否顺利通过该隧道？

11.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ’C ’D ’的位置，连接CC ’，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形BCC ’D ’的面积证明勾股定理。

12. 如图,有一只小鸟在一棵高4m 伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？

13、 如图，铁路上A 、B 两站（视为直线上两点）相距25㎞，C 、D 为两村

庄（视为两个点），DA ⊥AB 于A,CB ⊥AB 于B,已知DA=15㎞，CB=10㎞.现在要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少㎞处？

14、在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只猴子只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，问这棵树有多高？

15、以Rt △ABC 三边为直径作半圆，这三个半圆的面积S 1、S 2、S 3之间有什么关系？说明理由。

课堂检测

1、一个直角三角形的斜边为20cm ，且两直角边的长度比为3：4，求两直角边的长。

A

D

E

B

C

第4课时一定是直角三角形吗

一、学习目标：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单的应用。

二、预习设计：

1、勾股定理：

条件：

结论：

2、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?

(1)3, 4, 5, (2)6, 8, 10 （3）9,12,15

勾股逆定理：

条件：

结论：

3、勾股数：。下列几组数是否为勾股数？说说你的理由。

（1）12，18，22 (2) 9, 12, 15 （３）12，35，36 （4）15,36,39

三、师生互动：

例１、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠Ａ和∠ＤＢＣ都应为直角。工人师傅量得AB=3，AD=4,BD=5,BC=12,DC=13,这个零件符合要求吗？

Ｄ

例２、如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角

三角形，你是如何判断的？

例3、（1）如果将一组勾股数扩大相同的倍数，得到的还是勾股数吗？填写下表，并验证。

（2）如果一直角三角形的三边长为a、b、c(c是斜边长)，将三边长都扩大k倍(k为任意正整数)后，得到的还是直角三角形吗？说明理由。

四、训练达标：

基础巩固：

1. 下列说法正确的是( )

A. 若a、b、c是ABC的三边，则222

+=

a b c

B. 若a、b、c是Rt ABC的三边，则222

+=

a b c

C. 若a、b、c是Rt ABC的三边90

+=

a b c

∠=，则222

A

D. 若a、b、c是Rt ABC的三边90

+=

a b c

C

∠=，则222

2、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

Ａ、８，15，17；Ｂ、４，５，６；Ｃ、５，８，10；Ｄ、8，39，40 3、下列几组数中，是勾股数的是（）

A 、4，5，6

B 、12，16，20

C 、-10，24，26

D 、2.4，4.5，5.1

4、若△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ2－ｃ2

）＝０，则△ＡＢＣ是（ ）

Ａ、等腰三角形 Ｂ、直角三角形

Ｃ、等腰直角三角形 Ｄ、等腰三角形或直角三角形 5、 有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来﹙ ﹚ A ．13，12，12 ； B ．12，12，8； C ．13，10，12 ； D ．5，8，4

6、三角形的三边长a, b, c 满足等式（a+b ）2-c 2

=2ab,则此三角形的是 三角形。 7、如图，在平行四边形ABCD 中，CA ⊥AB ，若AB=3，

BC=5，则平行四边形ABCD 的面积为

8、当m= 时，以m+1，m+2，m+3的长为 边的三角形是直角三角形。

9.一个三角形的三边之长分别为15，20，25，则这个三角形的最大角为 ，这个三角形的面积为 。

10、如果三条线段a 、b 、c 满足a 2=c 2?b 2

，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？

能力提升：

11、如图，在?DEF 中，DE=17cm, EF=30cm, EF 边上的中线DG=8cm ，问?DEF 是等腰三角形吗？为什么？

G

F

E

D

12、已知：在△ABC 中，三条边长分别为a,b,c,a=n 2-1,b=2n,c=n 2

+1(n ＞1)。

B

试判断△ABC 的形状.

13、 如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900

, 求这块草地的面积。

14、如图，有一零件是等腰三角形ABC ，AB=AC ，底边BC=20，D 是AB 上的一点，且CD=16，BD=12，⊿ACD 的形状，并求⊿ABC 的周长。 15、若⊿A BC 三边长分别为a,b,c,且满足条a

2

+b 2+c 2

+338=10a+24b+26c,

试判断⊿ABC 的形状，并证明为什么。 课堂检测

1、如果一个三角形边长之比为3︰4︰5，那么这个三角形的形状如何？试说明理由。

2、如果三条线段a 、b 、c 满足a 2=c 2?b 2

，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？

3、下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A 、a=7 b=24 c=25 B 、 a=1﹒5 b=2 c=2﹒5

A B

C 、a= 23 b=1 c=5

4

D 、a=15 b=8 c=17

4、下列数组中不是勾股数的是（ ）

A 、3k ，4k ，5k

B 、5，12，13

C 、7，24，25

D 、8，12，15 5、传说古埃及人曾用拉绳的方法画直角，现有一根长24cm 的绳子，请你利用它拉出一个周长为24cm 的直角三角形，那么你拉出的直角三角形三边的长度分别是 ________cm ，________cm ，________cm 。其中的道理是_________________.

6、如图1，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，说说你的理由。

图1 图2

7、如图2所示，在四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AD=12，DC=13。你能求出这个四边形的面积吗？怎么求？

8、长度分别为9cm 、12cm 、15cm 、36cm 、39cm 的五根木棒，最多可搭直角三角形的个数为_________个。

9、在?ABC 中，AB=12，BC=16，AC=20，则?ABC 的面积是____________。 10、如图，在?DEF 中，DE=17cm, EF=30cm, EF 边上的中线DG=8cm ，问?DEF 是等腰三角形吗？为什么？

G

F

E

D

A

B

C

第5课时 勾股定理的应用

一、1.学习内容：教材P22-24

2.学习目标：应用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题。

二、预习设计：

1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )

A. 1.5,2,3;

B. 7,24,25;

C. 6,8,10;

D. 9,12,15 2、若有两条线段，长度分别为5,13，第三条线段的平方为 时 ，这三条线段才能组成直角三角形。

3、 圆柱的侧面展开图是________形，圆锥的侧面展开图是_______形。

4、圆的周长公式是 ___。

5、在一个圆柱石凳上，，恰好一只在A 处的蚂蚁想吃到B 处的食物，想一想，蚂蚁爬行的最短路线是什么？自己做一个圆柱进行思考探索。

三、学习探究： 活动一：如果上面的圆柱高等于12厘米，底面半径等于3厘米.则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3).

活动二：

一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm 、8cm 、 12cm ，一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到顶的B 点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？

B

12cm

8cm

8cm

B

A

B