分式及二次根式运算

一、知识点梳理

1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有，那么称 A B

为分式．若，则 A B 有意义；若，则 A B 无意义；若，则 A B

＝0. 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的．用式子表示为 .

3. 约分：把一个分式的分子和分母的约去，这种变形称为分式的约分．

4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为的分式，这一过程称为分式的通分.

5．分式的运算

⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： .

② 异分母的分式相加减： .

⑵ 乘法法则： .乘方法则： .

⑶ 除法法则： .

6．二次根式的有关概念

⑴ 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数a 只能是．并且根式.

⑵ 最简二次根式：被开方数所含因数是，因式是，不含能的二次根式，叫做最简二次根式．

(3) 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数几个二次根式，叫做同类二次根式．

7．二次根式的性质 ⑴ a 0； ⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ；

⑷ =ab （0,0≥≥b a ）； ⑸=b a （0,0>≥b a ）. 8．二次根式的运算

(1) 二次根式的加减：

①先把各个二次根式化成；

②再把分别合并，合并时，仅合并，不变.

（2）二次根式的乘法、除法公式：

（1）a b=ab a 0b 0?≥≥（，）（2）a a =a 0b 0b b

≥f （，） 9．二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．

三、【典例精析、发散思维】

例1（1）当x 时，分式x -13无意义；（2）当x 时，分式3

92--x x 的值为零. 例2 ⑴ 已知 31=-x x ，则221x

x + ＝ . ⑵ 已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y

----的值为 .

例3 先化简，再求值：

(1)（21

2x x -－21

44x x -+）÷22

2x x -，其中x ＝1．

⑵ 22111

1121x x x x x +-÷+--+，其中31x =-.

（3）先化简，再求值：11

12221222-++++÷--x x x x x x ，其中12+=x ．

例4 ⑴ 二次根式1a -中，字母a 的取值范围是（）A ．1a < B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．1

a > ⑵估计1

32202?+的运算结果应在（）

A ．6到7之间

B ．7到8之间

C ．8到9之间

D ．9到10之间

例5 下列根式中属最简二次根式的是（） A.21a + B.1

2 C.8 D.27

例6 计算：⑴ 0(π1)123+-+-； ⑵1

03130tan 3)14.3(27-+?---）

（π

例7. 已知两个分式：A ＝44

2-x ，B ＝x x -++21

21，其中x ≠±2．下面有三个结论：

①A ＝B ； ②A 、B 互为倒数； ③A 、B 互为相反数．

请问哪个正确?为什么?

例8. 先化简222111

11x x x x x ??-++÷ ?-+??，再取一个你认为合理的x 值，代入求原式的值.

八年级分式和二次根式综合

辅导教案

18、已知实数x ，y 满足x 2+y 2－4x －2y+5=0，则32x y y x +-的值为________ 19、计算：（318+ 151504)322-÷= 20、如果，则=_______. 21、若互为相反数，则_______。 22、将根号外的a 移到根号内，得 __________ 23、在实数范围内分解因式（1）；（2） 24、的整数部分是_________，小数部分是________。 25、若 =3，则x 的取值范围是______ 26、观察下列各式及其验证过程：，验证：；验证： .

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4 4 15 的变形结果，并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程. 27、已知，则a_________ 28、已知，则a______ 29、二次根式、、的大小关系是______ 30、当0

35、如果xy= ，x －y=5－1，那么（x+1）（x －1）的值为________。 36、若m 为正实数，且13m m - =，221m m -则= 37、若a<－2，的化简结果是________ 38、已知x=2+1，求（ 22121x x x x x x +---+）÷1x 的值． 39、对于题目“化简求值：1a +2212a a +-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同．甲的解答是：1a +2212a a +-=1a +21()a a -=1a +1a －a=2495 a a -= 乙的解答是： 1a +2212a a +-=1a +21()a a -=1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？ 40、已知x =12，x=________ 41、化简 = 42、已知三个数x ，y ，z 满足xy x y +＝－2，yz y z +＝43，zx z x +＝－43 ．则xyz xy yz zx ++的值为 .

分式与二次根式练习题

分式练习题 1. （2013年天津市3分）若x=－1，y=2，则 222x 1x 64y x 8y ---的值等于【】 A ．117- B ．117 C ．116 D ．115 2. （2013年内蒙古包头3分）函数1y x 1=+中，自变量x 的取值范围是【】 A ．x ＞﹣1 B ．x ＜﹣1 C ．x ≠﹣1 D ．x ≠0 3. （2013年广东深圳3分）分式2x 4x 2 -+的值为0，则【】 A.x=－2 B. x=±2 C. x=2 D. x=0 4. （2013年湖南娄底3分）有意义的x 的取值范围是【】 A ．1x 2≥-且x≠1 B ．x≠1 C ．1x 2 ≥- D ．1x>2-且x≠1 5. （2013年湖北襄阳3分）有意义的x 的取值范围是． 6. （2013年重庆市B10分）先化简，再求值：2x 2x 1x 4x x 2x 4x 4+--??-÷ ?--+??，其中x 是不等式3x 71>+的负整数解。 7. （2013年贵州贵阳6分）先化简，再求值：22312x x x 1x x 2x 1 -??-÷ ?+++??，其中x=1． 8 （2013年黑龙江牡丹江农垦5分）先化简：24x 4x 4x x x ++??-÷ ?? ?，若﹣2≤x≤2，请你选择一个恰当的x 值（x 是整数）代入求值．

二次根式练习题 1.（2013年上海市4分）下列式子中，属于最简二次根式的是【】（A）（B（C）（D 2.（2013年广东珠海3分）实数4的算术平方根是【】 A．－2 B．2 C．±2 D．±4 3.（2013年广西贺州3分）1的值在【】 A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间 4.（2013年广西崇左3分）下列根式中，与是同类二次根式的是【】 A B C D 5.（2013年湖北武汉3分）x的取值范围是【】A．x<1 B．x≥1 C．x≤－1 D．x<－1 6.（2013年湖北荆州3分）计算】 A B C D 7.（2013年海南省3分）】 A B．C．D．2 8.（2013年山东临沂3分）】 A．B C．D 9. （2013年湖南常德3分）】 A．﹣1 B．1 C．4-D．7 10.（2013年湖北襄阳3分）有意义的x的取值范围是． 11.（2013年江苏宿迁3分）+的值是． 12.（2013年内蒙古包头3分）=．

分式和二次根式专题训练

分式和二次根式专题训练一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）１、当 x ＿＿＿＿时，分式有意义。２、当＿＿＿＿时，有意义。３、计算：－a －1＝＿＿＿＿。４、化简：(x 2－xy)÷＝＿＿＿＿。５、分式，，的最简公分母是＿＿＿＿。６、比较大小：2＿＿＿＿3。７、已知＝，则的值是＿＿＿＿。８、若最简根式和是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。９、仿照2＝·＝＝的做法，化简3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，－＝＿＿＿＿。 11、若的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若＝＋＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）１、下列各式中，属于分式的是（） A 、 B 、 C 、x ＋ D 、２、对于分式总有（） A 、＝ B 、＝ C 、＝ D 、＝３、下列根式中，属最简二次根式的是（） A 、 B 、 C 、 D 、４、可以与合并的二次根式是（） A 、 B 、 C 、 D 、 x 2 x －3 a －2a 2 a －1 x －y xy b 2a 24a 3bc a 5c 2 32x ＋2y 2y 5 2x ＋y y x ＋1y 30.5220.54×0.5213 (2－x)2(x －3)231－x x －1x －y 22x ＋y 12x 2 1x －1 1x －1x －1(x －1)21x －1x ＋1x 2－11x －112(x －1)21x －111－x 27x 2＋112a 2b 1827613 8y y

５、如果分式中的 x 和都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍６、当 x ＜0 时，｜－x ｜等于（） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分）１、()3÷()0×(－)－2 ２、(＋)÷ ３、－＋４、(3－2)2 四、计算：（每题 6 分，共 24 分）１、－＋２、÷(x ＋1)· ３、－· ４、4b ＋－3ab (＋) 2x x ＋y x 2b 2a 22b 23a b a x 2x －242－x x ＋22x 84 21223x x ＋y y y －x 2xy x 2－y 2x 2－1x 2＋4x ＋4x 2＋3x ＋2x －120＋5 51 312a b 2 a a 5 b 31 ab 4ab y

中考总复习：分式与二次根式—知识讲解(提高)与例题讲解

中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】

【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质 1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义. 2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）. 3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释：分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．

③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算 1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算错误！未找到引用源。±错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数

整式、分式、二次根式的性质和概念

1、整式的概念和指数：与统称为整式。单项式包括：、、；一个单项式中所有字母的叫做这个单项式的次数。多项式：几个单项式的代数和多项式。单项式中次数最的项就是这个多项式的次数。 2、分式的概念和意义：一般地，形如式子B A ，且 B ≠0叫做分式。（1）、分式有意义的条件：（2）、分式无意义的条件：（3）、分式为0的条件：（4）、分式的基本性质：分式的分子与分母同时（一个不等于0）的整式，分式的值不变。（5）、约分：（6）、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。（7）、通分：（8）、最简公分母：（9）、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。 3、二次根式的概念和意义：（1）、定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。（2）、二次根式有意义的条件：二次根式无意义的条件：（3）、二次根式的性质： ()a 2 =a(a ≥0);

a 2=a =?????<-=>)0()0(0)0(a a a a a a b =a b ? (a ≥0, b ≥0); ④b a =b a ( a ≥0, b ＞0)。（4）、最简二次根式：中不含二次根式；被开方数中不含能开得尽的因数或因式。（5）、同类二次根式：最简二次根式后，被开方数相同，叫做同类二次根式。知识点二：代数式的运算 (一)、整式的加减运算 (1)、同类项：（2）、合并同类项法则：（3）、去括号法则：（4）、整式的加减的实质就是合并同类项。（二）、整式的乘除（1）、同底数幂的乘法：a m ·a n = ，底数不变，指数相加. （2）、幂的乘方与积的乘方：(a m )n = ，底数不变，指数相乘；（3）、(ab)n = ，积的乘方等于各因式乘方的积. （4）、单项式的乘法：系数相乘，相同字母，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里. （5）、单项式与多项式的乘法：m(a+b+c)= ，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧

1.整式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式．注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313 -．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．单项式和多项式统称整式．用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入 (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入． 2.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．注意：(1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：

中考数学代数式整式分式二次根式知识点

知识点大全 2. 代数式（分类） 2.1. 整式（包含题目总数：15） 001020； 001030； 001040； 001050； 001070； 001110； 001130； 001140； 001150； 001160； 001170； 001180； 001200； 001220； 001230； 2.1.1. 整式的有关概念用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式．注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如： b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 23 13-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．单项式和多项式统称整式．用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．

知识点大全注意： (1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入． (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入． 2.1.2. 同类项、合并同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．注意： (1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 2.1. 3. 去括号法则去括号法则1：括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．

分式和二次根式

分式和二次根式 (三) （分式和二次根式）一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）１、当 x ＿＿＿＿时，分式x 2 x －3 有意义。２、当＿＿＿＿时，a －2有意义。３、运算：a 2 a －1 －a －1＝＿＿＿＿。４、化简：(x 2－xy)÷x －y xy ＝＿＿＿＿。５、分式b 2a 2，4a 3bc ，a 5c 2的最简公分母是＿＿＿＿。６、比较大小：23＿＿＿＿32。７、已知x ＋2y 2y ＝ 5 2，则x ＋y y 的值是＿＿＿＿。８、若最简根式x ＋1和y 3是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。９、仿照20.5＝22·0.5＝4×0.5＝2的做法，化简3 1 3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，(2－x)2－(x －3)2 ＝＿＿＿＿。 11、若3的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若＝1－x ＋x －1＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）１、下列各式中，属于分式的是（） A 、x －y 2 B 、2 x ＋y C 、12x ＋ D 、x 2 ２、关于分式1 x －1总有（） A 、1 x －1＝x －1(x －1)2 B 、1x －1＝x ＋1x 2－1 C 、1x －1＝12(x －1)2 D 、1x －1＝11－x ３、下列根式中，属最简二次根式的是（） A 、27 B 、x 2＋1 C 、1 2 D 、a 2b ４、能够与18合并的二次根式是（） A 、27 B 、6 C 、1 3 D 、8 ５、假如分式 2x x ＋y 中的 x 和都扩大为原先的 2 倍，那么分式的值（） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍６、当 x ＜0 时，｜x 2－x ｜等于（） y y y

中考总复习：分式与二次根式

中考总复习：分式与二次根式【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质

1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义. 2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）. 3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释：分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算 1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分需明确的问题： (1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；

整式、分式、二次根式的性质和概念;

第五章整式、分式、二次根式的知识梳理 1、整式的概念和指数：与统称为整式。单项式包括：、、；一个单项式中所有字母的叫做这个单项式的次数。多项式：几个单项式的代数和多项式。单项式中次数最的项就是这个多项式的次数。 2、分式的概念和意义： A，且B≠0叫做分式。一般地，形如式子 B （1）、分式有意义的条件：（2）、分式无意义的条件：（3）、分式为0的条件：（4）、分式的基本性质：分式的分子与分母同时（一个不等于0）的整式，分式的值不变。（5）、约分：

（6）、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。（7）、通分：（8）、最简公分母：（9）、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。 3、二次根式的概念和意义：（1）、定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。（2）、二次根式有意义的条件：二次根式无意义的条件：（3）、二次根式的性质： ()a 2 =a(a ≥0); a 2=a =?? ???<-=>)0()0(0)0(a a a a a ab =a b ? (a ≥0, b ≥0);

④b a =b a ( a ≥0, b ＞0)。（4）、最简二次根式：中不含二次根式；被开方数中不含能开得尽的因数或因式。（5）、同类二次根式：最简二次根式后，被开方数相同，叫做同类二次根式。知识点二：代数式的运算 (一)、整式的加减运算 (1)、同类项：（2）、合并同类项法则：（3）、去括号法则：（4）、整式的加减的实质就是合并同类项。（二）、整式的乘除（1）、同底数幂的乘法：a m ·a n = ，底数不变，指数相加.

(二)整式、分式、二次根式

3 整式与分解因式【知识梳理】 1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 n m n m a a a +=?（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a a 1 = -（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法: (1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项. (3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式. (5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即2 2))((b a b a b a -=-+； (6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即2 222)(b ab a b a +±=± 3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 4.分解因式的方法： ⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=± 5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区： ⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】【例1】下列计算正确的是（） A. a ＋2a=3a 2 B. 3a －2a=a C. a 2?a 3=a 6 D.6a 2÷2a 2=3a 2 【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（） A ．m B ．m C ．m +1 D ．m -1 【例3】若2 320a a --=，则2 526a a +-= ．【例4】下列因式分解错误的是( ) A ．2 2 ()()x y x y x y -=+- B ．22 69(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+ D ．2 2 2 ()x y x y +=+ 【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一

分式及二次根式运算

分式及二次根式运算一、知识点梳理 1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有，那么称 A B 为分式．若，则 A B 有意义；若，则 A B 无意义；若，则 A B ＝0. 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的．用式子表示为 . 3. 约分：把一个分式的分子和分母的约去，这种变形称为分式的约分． 4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为的分式，这一过程称为分式的通分. 5．分式的运算 ⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： . ② 异分母的分式相加减： . ⑵ 乘法法则： .乘方法则： . ⑶ 除法法则： . 6．二次根式的有关概念 ⑴ 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数a 只能是．并且根式. ⑵ 最简二次根式：被开方数所含因数是，因式是，不含能的二次根式，叫做最简二次根式． (3) 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数几个二次根式，叫做同类二次根式． 7．二次根式的性质 ⑴ a 0； ⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ； ⑷ =ab （0,0≥≥b a ）； ⑸=b a （0,0>≥b a ）. 8．二次根式的运算 (1) 二次根式的加减： ①先把各个二次根式化成； ②再把分别合并，合并时，仅合并，不变. （2）二次根式的乘法、除法公式：（1）a b=ab a 0b 0?≥≥（，）（2）a a =a 0b 0b b ≥f （，） 9．二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．三、【典例精析、发散思维】例1（1）当x 时，分式x -13无意义；（2）当x 时，分式3 92--x x 的值为零. 例2 ⑴ 已知 31=-x x ，则221x x + ＝ . ⑵ 已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y ----的值为 . 例3 先化简，再求值：

分式和二次根式

2006年中考数学第一轮复习专题训练 (三) （分式和二次根式）一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）１、当 x ＿＿＿＿时，分式x 2x －3有意义。２、当＿＿＿＿时，a －2有意义。３、计算：a 2a －1－a －1＝＿＿＿＿。４、化简：(x 2－xy)÷x －y xy ＝＿＿＿＿。５、分式b 2a 2，4a 3bc ，a 5c 2的最简公分母是＿＿＿＿。６、比较大小：23＿＿＿＿32。７、已知x ＋2y 2y ＝ 5 2，则x ＋y y 的值是＿＿＿＿。８、若最简根式x ＋1和y 3是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。９、仿照20.5＝22·0.5＝4×0.5＝2的做法，化简313＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，(2－x)2－(x －3)2＝＿＿＿＿。 11、若3的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若＝1－x ＋x －1＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）１、下列各式中，属于分式的是（） A 、x －y 2 B 、2x ＋y C 、12x ＋ D 、x 2 ２、对于分式1x －1总有（） A 、1x －1＝x －1(x －1)2 B 、1x －1＝x ＋1x 2－1 C 、1x －1＝12(x －1)2 D 、1x －1＝11－x ３、下列根式中，属最简二次根式的是（） A 、27 B 、x 2＋1 C 、12 D 、a 2b ４、可以与18合并的二次根式是（） A 、27 B 、6 C 、13 D 、8 ５、如果分式2x x ＋y 中的 x 和都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍６、当 x ＜0 时，｜x 2－x ｜等于（） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分） y y y … … … … … … … … … … 密 … … … … … … … … 封 … … … … … … … … 装 … … … … … … … … 订 … … … … … … …学校：＿＿＿＿＿＿班级：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿＿座号：＿＿＿＿

2019届中考数学总复习：分式与二次根式

2019届中考总复习：分式与二次根式—知识讲解【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】

（4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算 1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．

分式运算与根式运算

分式运算与根式运算一、分式运算 1．下列各式：x 2、22+x 、x xy x -、33y x +、 23+πx 、 ()() 1123-++x x x 中，分式有（） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2．()()23+÷-m m 写成分式为____________，且当m ≠_____时分式有意义； 3．若分式x 231-的值为正数，则 x 的取值应是 ( )A .0>x ， B .23=x C . 2 3

分式和二次根式知识总结

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分式与二次根式—知识讲解【知识网络】知识点一、分式的有关概念及性质?1．分式?设Ａ、Ｂ表示两个整式.如果B中含有字母，式子就叫做分式.注意分母Ｂ的值不能为零，否则分式没有意义.?2.分式的基本性质?

(M为不等于零的整式).?3.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释: 分式的概念需注意的问题：? (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号,还含有括号的作用；（2）分式中，A和Ｂ均为整式,A可含字母,也可不含字母，但B中必须含有字母且不为０;?(３）判断一个代数式是否是分式,不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断.?（4）分式有无意义的条件:在分式中, ①当B≠0时,分式有意义;当分式有意义时,B≠0.?②当B=０时，分式无意义；当分式无意义时,B=0．?③当B≠0且A = ０时，分式的值为零. 知识点二、分式的运算?1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1)加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．；异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. (2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母． (3)除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. (４)乘方运算（分式乘方) 分式的乘方,把分子分母分别乘方．?２．零指数．?3.负整数指数 4．分式的混合运算顺序先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的.

九年级数学分式和二次根式

第三讲分式和二次根式一、考点链接： 1．形如的式子，叫做分式，其中A 叫做，B 叫做。 2．分式的基本性质：分式的分子、分母都的整式，分式的值。 3．分式的值为零的条件是，分式有意义的条件是。 4．若实数a≠0，则有0a = ,n a -= (n 为正整数) 5.分式的乘方：n b a ?? ? ??= （n 为正整数） 6．约分的定义： 7．通分的定义： 8．最简分式的定义：分式的分子与分母中 9. 异分母分式相加减，先，再相加减 10．分式的混合运算：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算是先算，再算，最后算，遇到括号，先算括号内的 11.形如的代数式叫做二次根式.（即一个的算术平方根叫做二次根式）强调：二次根式被开方数不小于0 12.二次根式的性质：双重非负性 =2)a ( （a≥0）， =2 a =???<≥0)（a 0）(a =a b （a≥0，b≥0） =b a （a≥0，b ＞0） 13.二次根式的运算：二次根式乘法法则二次根式除法法则 ab b a =?（a≥0，b≥0） ab b a =（a≥0，b ＞0）二次根式的加减：类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并. 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如22222b 2ab a )b a (;b a b)-b)(a (a +±=±-=+）仍然适用.

二、归类探究： 1.识别分式的概念例1：如果分式 32x -+2|x|-1x 的值为零,那么x 等于( ) A.-1 B.1 C.-1或1 D.1或2 2.分式的基本性质的识别例2：（1）下列各式与x y x y -+相等的是( ) A. ()5()5x y x y -+++; B. 22x y x y -+; C. 222()()x y x y x y -≠- D. 22 22x y x y -+ （2）（11·珠海）若分式2a a ＋b 中的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（） A ．是原来的20倍 B ．是原来的10倍 C ．是原来的110 D ．不变 3. 二次根式相关概念。例3：⑴、在函数y =x 的取值范围是。 x 的取值范围是。 4. 二次根式的主要性质。例4：，2= = ，()0a ≤。 5. 二次根式的运算。例5：（1）（2011山东济宁，4，3分）下列各式计算正确的是（） A = B ．2= C ．= D = （2）。（312-+2︱－03sin30。

2020年八年级数学分式方程与二次根式方程练习题

分式方程与二次根式方程〖知识点〗分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根〖大纲要求〗了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。内容分析 1．分式方程的解法 (1)去分母法用去分母法解分式方程的一般步骤是：（i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； (ii)解这个整式方程； (iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去. 在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母. (2)换元法用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数． 2．二次根式方程的解法 (1)两边平方法用两边平方法解无理方程的—般步骤是： (i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程； (ii)解这个有理方程； (iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去．在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行． (2)换元法用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数．〖考查重点与常见题型〗考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中。考题类型 1．（1）用换元法解分式方程 3x x2－1 ＋ x2－1 3x ＝3时，设 3x x2－1 ＝y，原方程变形为（）（A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝0 2．用换元法解方程x2＋8x＋x2＋8x－11 ＝23，若设y＝x2＋8x－11 ，则原方程可化为（）（A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=0

整式+分式+二次根式

整式的乘法与因式分解一、选择题： 1.下列计算中正确的是 ( ) A ．842a a a =? B ．22a a a =÷ C ．5322a b a =+ D ．6 3 2)(a a -=- 2.下列运算中，正确的是 ( ) A. 632x x x =? B. 623)(x x =- C.2523a a a =+ D. 3 33)(b a b a =+ 3.化简2 3 )()(x x -?-的结果正确的是 ( ) A.6x - B.6x C.5x D.5x - 4.下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有 ( ) ①5236)2(3x x x -=-?；②ab b a b a 2)2(42 3 -=-÷③5 23)(a a = ； ④2 3)()(a a a -=-÷- A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.如果)(m x +与)3(+x 的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为 ( ) A ．－3 B ．3 C ．0 D ．1 6.若153=x ,53=y 则y x -3等于 ( ) A ．5 B ．3 C ．15 D ．10 7.))((2 2 a ax x a x ++-的计算结果是 ( )． A ．3232a ax x -+ B ．33a x - C.3232a x a x ++ D ．322322a a ax x -++ 8.计算232x x ÷的结果是（） A ．x B ．x 2 C ．52x D ．62x 9.下列各式是完全平方式的是 ( )． A ．4 1 2+ -x x B ．21x + C ．1++xy x D ．122-+x x 10. 若16)3(22 +-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于 ( ) A. 3 B. -5 C. 7 D. 7或-1 11.把多项式a ax ax 22 --分解因式，下列结果正确的是 ( ) A ．)1)(2(+-x x a B ．)1)(2(-+x x a C ．2 )1(-x a D ．)1)(2(+-ax ax 12.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）

《分式与二次根式》专题复习

分式与二次根式一、选择题： 1、分式－12x 2 , 5x-14(m-n) ,2n-m 的最简公分母为( ) (A) 4(m －n)(n －m)x 2 (B)14x 2(m-n) (C)4x 2(m －n)2 (D)4(m －n)x 2 2、下列各式的变号中,正确的是 (A)x-y y-x = － y-x x-y ( B)x-y y-x 2 =y-x y-x 2 (C)-x-1-y+1 =x-1y+1 (D)-x-y y-x ＝－ x+y y-x 3、若x >y>0,则x+1y+1 － y x 的结果是( ) (A) 0 (B)正数 (C) 负数 (D) 以上情况都有可能 4、下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5、(x －2)2 ＋(2－x )2 的值一定是（）（A ）0 （B ）4－2x （C ）2x －4 （D ）4 6、计算 3 m 2m 963m m 2-÷--+的结果为（）（A ）3m 3m +- （B ）1 （C ）3m 3m -+ （D ）3 m 3m + 7、计算)a 1(1a)a 1(-÷-的结果为（）（A ）a －1 （B ）－a －1 （C ）1－a （D ）a+1 8、适合a 33)(a 2-=-的正整整a 的值有（）个. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 9、化简a a 4)2a a a 2a (2 -?+---的结果是（）（A ）－4 （B ）4 （C ）2a （D ）2a+4 10、如果a 满足014a a 2=++,那么22a 1a + 的值是( ) （A ）154 （B ）14 （C ）17 4 （D ）4 二、填空题: 11、当x=-------------------时，分式|x|-3x 2+4x+12 的值为零？ 12、（5827 ·113 ·354 ）=------------------- 13、18 ＋22－1 －412 －2( 2 ＋1)0=-------------------